Einführung in die Stochastik für Mathematiker - SS 03 Prof. Dr. M. Schaefer, RWTH Aachen Definitionen und Sätze

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1 Eiführug i die Stochastik für Mathematiker - SS 03 Prof. Dr. M. Schaefer, RWTH Aache Defiitioe ud Sätze Erstellt vo Lars Otte lars.otte@kulle.rwth-aache.de 5. September 2003 Diese Aufzeichuge stamme icht vom Lehrstuhl ud wurde auch icht vo diesem kotrolliert. Demetspreched köe och Fehler ethalte sei, für die ich keie Veratwortug überehme! Uter lotte/stochastik/ ist immer die aktuellste Versio dieses Dokumets erhältlich (zumidest i der ähere Zukuft. Erstellt mit LATEX. 1 Diskrete Wahrscheilichkeitsräume Defiitio 1.1 Sei Ω abzählbar: (a Eie Abbildug p : Ω R heißt Zähldichte, falls (i p(ω 0 ω Ω (ii p(ω = 1 ω Ω (b Ist p : Ω R eie Zähldichte, so heißt das Paar (Ω, p ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum. (c Ist (Ω, p ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum, so heißt die Abbildug { P(Ω R P : A ω A p(ω Satz 1.1 die zu p gehörige Wahrscheilichkeitsverteilug. Sei (Ω, p ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum ud P die zu p gehörige Wahrscheilichkeitsverteilug. Da gilt: (a P (A 0 A P(Ω ( P ist icht-egativ (b P (Ω = 1 ( P ist ormiert 1

2 (c Sid A, N, paarweise disjukt, so ist ( P A = =1 P (A =1 ( P σ-additiv Satz 1.2 Sei Ω abzählbar ud P : P(Ω R mit (a (c aus Satz 1.1; ist da { Ω R p : ω P ({ω}, so ist p Zähldichte ud P die zu p gehörige Wahrscheilichkeitsverteilug. Bemerkug 1.1 (a Ist P : P(Ω R icht-egativ, ormiert ud σ-additiv, so gilt: Satz 1.3 (i Ist I höchstes abzählbar uedlich ud sid A i, i I paarweise disjukt, so ist P ( i I A i = i I (P (A i. (ii Satz 1.1 ud 1.2 zeige, dass ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum auch als Paar (Ω, P defiiert werde ka, wobei P icht-egativ, ormiert ud σ-additiv ist. Sei (Ω, P ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum, da gilt: (a P (A C = 1 P (A A P(Ω (b P (A P (B A, B P(Ω, A B (c P (A = P (AB + P (AB C A, B P(Ω (d P (A B = P (A + P (B P (AB A, B P(Ω ( (e P A P (A A P(Ω, N =1 =1 ( (f P A = lim P (A =1 ( (g P A = lim P (A =1 A P(Ω, N, A A +1 N A P(Ω, N, A A +1 N 2 Grudbegriffe der Kombiatorik Zwei wichtige Prizipie der Kombiatorik (1 M = r M i M = r M i (2 M 1, M 2 : M 1 = M 2 f : M 1 M 2 bijektiv 2

3 Hilfsmittel (1 Fakultätsfuktio (erklärt für N {0} =: N 0 1, = 0! := j, 1 j=1 (2 Biomialkoeffiziet (erklärt für k Z ud N Abkürzuge ( {!, 0 k k! ( k! := k 0, sost (1 M = {1,..., },, r N (i G r (M := {(x 1,..., x r x i M, 1 i r} ( Mege der geordete r Tupel mit Kompoete aus M mit Wiederholug (ii G o r(m := {(x 1,..., x r x 1,..., x r paarw. verschiede} ( Mege der geordete r Tupel mit Kompoete aus M ohe Wiederholug (iii U r (M := {(x 1,..., x r G r (M x 1 x 2... x r } ( Mege der ugeordete r Tupel mit Kompoete aus M mit Wiederholug (iv U o r (M := {(x 1,..., x r G r (M x 1 < x 2 <... < x r } ( Mege der ugeordete r Tupel mit Kompoete aus M ohe Wiederholug (2 M 1, M 2, F(M 1, M 2 := {f : M 1 M 2 f ijektiv} (3 M beliebig, k Z Satz 2.1 (i P er(m := F(M, M (ii P k (M := {A P(M A = k} (a N, M 1, M 2 beliebige Mege: M 1 = M 2 = F(M 1, M 2 =! (b k Z, N, M beliebige Mege: M =. Da gilt: Satz 2.2 (i P er(m =! (ii P k (M = ( k (iii P(M = 2 (a r N, M 1,..., M r, M i <, 1 i r M 1... M r = r M i (b r, N, M = {1,..., } Da gilt: 3

4 (i G r (M = r (ii Gr(M o = r! ( r (iii U r (M = ( +r 1 r (iv Ur o (M = ( r Satz 2.3 ( Hypergeometrische Verteilug Seie r, s N 0, r + s > 0, N := r + s, N, M 1 := {1,..., r}, M 2 := {r + 1,..., N}, M = M 1 + M 2, Ω = U(M o = P (M, P Laplace-Verteilug auf Ω, k {1,..., }, A k ˆ= iteressates Ereigis, A k := {ω Ω ω M 1 = k}. Da gilt: ( r ( k N r P (A k = ( N k Beachte: P (A k = 0, falls k > r oder k > s = N r. Satz 2.4 ( Siebformel Sei (Ω, P ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum, N, A 1,..., A Ω, M = {1,..., } ( ( P A i = ( 1 k 1 P A i k=1 I P k (M i I 3 Bedigte Wahrscheilichkeit, stochastische Uabhägigkeit Defiitio 3.1 Sei (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum, A, B P(Ω mit P (B > 0. Da heißt P (A B := P (AB P (B die bedigte Wahrscheilichkeit vo A uter B ( uter der Bedigug B. Satz 3.1 Sei N, 2, (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum, A 1,..., A P(Ω, P Da gilt: ( P A i = i 1 P (A i ρ=1 A ρ 4 ( 1 A i > 0.

5 Satz 3.2 Sei (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum, da gilt: (a Ist B P(Ω mit P (B > 0, so ist { P(Ω R P B := A P (A B eie diskrete Wahrscheilichkeitsverteilug. (b ( Satz vo der totale Wahrscheilichkeit Sid N, A, B 1,..., B P(Ω mit P (B i > 0, 1 i ud Ω = so folgt: (i P (A = P (B i P (A B i ( Satz vo der totale Zerlegug (ii ( Formel vo Bayes Ist auch P (A > 0, so gilt Defiitio 3.2 P (B i A = P (B i P (A B i P (A B j P (B j j=1 B i ( B i B j = i, j, Sei (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum, I (beliebige Idex-Mege, A i P(Ω, i I. Da heißt {A i i I} stochastisch uabhägig (bzgl. P, falls für jede edliche Teilmege J I gilt: ( P A j = P (A j j J j J Satz 3.3 Sei (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum, I, A i P(Ω, i I, {A i i I} stochastisch uabhägig. Da gilt: (a Ist A P(Ω mit P (A {0, 1}, so ist auch {A i i I} {A } stochastisch uabhägig. (b Ist J I, J, so ist auch {A j j J} stochastisch uabhägig. (c Sid B i P(Ω mit B i {A i, A C i }, i I, so ist (auch {B i i I} stochastisch uabhägig. Satz 3.4 ( Modellierug vo uabhägige Zufalls-Experimete Sei N (O.B.d.A. sei 2. Weiter seie (Ω i, P i diskrete Wahrscheilichkeitsräume mit zugehöriger Zähldichte p, 1 i, Ω := Ω 1... Ω. Außerdem sei die Abb. π i : Ω Ω i defiiert durch (ω 1,..., ω ω i ( Projektio vo Ω auf die i-te Kompoete. Da sei π 1 i : Da gilt: { P(Ωi P(Ω B {(ω 1,..., ω Ω π i (ω 1,..., ω B} 5

6 (a p : Ω R, (ω 1,..., ω p i (ω i ist Zähldichte auf Ω. (b p P, B i P(Ω i, 1 i, A i := π 1 i (B i, 1 i. (i P (B 1... B = P i (B i (ii {A 1,..., A } stochastisch uabhägig bzgl. P mit P (A i = P i (B i. (c Ist Q diskrete Wahrscheilichkeitsverteilug auf Ω, so dass π1 1 (B 1,..., π 1 (B bzgl. Q stochastisch uabhägig sid mit Q ( π 1 i (B i = P i (B i, 1 i, so folgt Q = P (aus (a. ( P ist eideutig bestimmt Beispiel 3.6(a (Beroulli-Experimet, Biomialveteilug Geg. Zufalls-Experimet mit 2 mögliche Ergebisse: 0 oder 1 1 ϑ [0, 1] 0 1 ϑ N (Experimet wird -mal uabhägig durchgeführt Ω i = {0, 1}, p i (1 = ϑ = 1 p i (0, 1 i, Ω = Ω 1... Ω = {0, 1} ( Produktraum p(ω = p(ω 1,..., ω = p i (ω i = ϑ t(ω (1 ϑ t(ω mit t(ω = (Ω, P Beroulli-Experimet ω i k {0, 1,..., }, p P, A k = {ω Ω t(ω = k} (bei diese Durchführuge tritt 1 geau k-mal ei. P (A k = p(ω = ( k ϑ k (1 ϑ k ω A k Sei u Ω = {0, 1,..., }, p (k := ( k ϑ k (1 ϑ k, k Ω p (k 0 ud p (k = (ϑ + 1 ϑ = 1 = 1 k Ω Also: (Ω, p diskreter Wahrscheilichkeitsraum: p P, P heißt Biomialverteilug mit Parameter ud ϑ. Beispiel 3.6(b (Negative Biomialverteilug mit Parameter r N, ϑ (0, 1] Seie r, N, r, ϑ (0, 1]. Betrachte Beroulli-Experimet mit ud ϑ. Ω = {0, 1}, p(ω 1,..., ω = ϑ t(ω (1 ϑ t(ω, wobei t(ω := t(ω 1,..., ω = ω i. A ( r := {(ω 1,..., ω Ω t(ω = r, ω = 1} p P : P (A ( r = ( 1 ϑ r (1 ϑ r r 1 k := r, da k + r P (A (k+r r = ( k+r 1 ϑ r (1 ϑ k = ( k+r 1 ϑ r (1 ϑ k r 1 k N 0 =: Ω, p (k := ϑ r( k+r 1 k (1 ϑ k Da gilt: (1 p (k 0 k Ω ud (2 p (k = 1 p P : P heißt egative Biomialverteilug mit Parameter r ud ϑ. k 6 k=0

7 Iterpretatio: Ei 0-1-wertiges Experimet werde so lage uabhägig durchgeführt, bis geau r Eise eitrete. Die Wahrscheilichkeit vo 1 sei ϑ. Da ist die Wahrscheilichkeit, dass geau k + r Ausführuge ötig sid, gleich ϑ r( k+r 1 k (1 ϑ k. Spezialfall: Für r = 1 erhält ma die geometrische Verteilug. Satz 3.5 (Poisso scher Grezwertsatz Sei λ > 0, ϑ := λ, N, da gilt: lim ( k ϑ k(1 ϑ k = e λ λk k! k N 0 Bemerkug 3.2 Seie Ω := N 0, p(ω = e λ λω ω!, ω Ω Da gilt: (1 p(ω 0 ω Ω ud (2 k=0 p(k = 1 Also: p Zähldichte auf Ω, p P heißt Poissoverteilug mit Parameter λ. 4 Zufallsvariable Defiitio 4.1 Seie Ω, X, f : Ω X, da heißt f 1 : P(X P(Ω, B {ω Ω f(ω B} die Mege-Iverse vo f. Adere Schreibweise: ω Ω : {f(ω B} = {f B} := f 1 (B x X : {f = x} := f 1 ({x} Lemma 4.1 Seie Ω, X, f : Ω X, I (beliebige Idex-Mege, B i P(X, i I, da gilt: ( (a f 1 B i = f 1 (B i i I i I ( (b f 1 B i = f 1 (B i ( f 1 ist operatiostreu i I i I (c f 1 (B c = (f 1 (B c, B P(X Defiitio 4.2 Seie (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum; X ud X : Ω X (a X heißt Zufallsvariable auf (Ω, P mit Werte i X. (b P X : P(X R, B P ( X 1 (B heißt die Verteilug vo X (bzgl. P. 7

8 Lemma 4.2 Seie (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum, X, X : Ω X Da gilt: (a P X ist icht-egativ (d.h. P X (B 0 B (b P X ist ormiert (d.h. P X (X = 1 ( (c P X ist σ-additiv (d.h. sid B P(X, N, paarweise disjukt, so ist P X B P X (B =1 (d Es gibt abzählbare, icht-leere Teilmege X 0 X mit (i P X (X 0 = 1 (ii P X (B = x X 0 q(x1 B (x B P(X, dabei ist q(x := P X( {x} = P ( {X = x}, x X (Sprechweise: P X ist eie quasi-diskrete Wahrscheilichkeitsverteilug auf X =1 = Bemerkug 4.1 Ist X eie Zufallsvariable aus (Ω, P mit Werte i R 1 bzw. R, so et ma X auch eie reelle bzw. -dim. Zufallsvariable. Lemma 4.3 Seie (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum, X 1, X 2 (beliebig, X 1, X 2 Zufallsvariable auf (Ω, P mit Werte i X 1, X 2. X : Ω X 1 X 2, ω ( X 1 (ω, X 2 (ω, X 1 := X 1 (Ω, X 2 := X 2 (Ω (! X 1 ud X 2 abzählbar! Da gilt: (a (i P X 1 (B 1 = P X(B 1 {x 2 }, B 1 P(X 1 (ii P X 2 (B 2 = x 2 X 2 x 1 X 1 P X({x 1 } B 2, B 2 P(X 2 (b X 1 = X 2 = R, Z = X 1 + X 2 P Z( {z} = P X ( {x 1, z x 1 } x 1 X ( 1 = P ( {X 1 = x 1 } {X 2 = z x 1 } = P ( {X 1 = z x 2 } {X 2 = x 2 } x 1 X 1 Defiitio 4.3 Sei (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum; I (beliebig, X i, X i Zufallsvariable auf (Ω, P mit Werte i X i, i I. Da heißt (X i i I stochastisch uabhägig, we für jede Wahl vo B i P(X i, i I, die Ereigisse A i := {X i B i }, i I, stochastisch uabhägig sid. Bemerkug 4.2 (a Uabhägigkeit vo Ereigisse ist äquivalet mit der Uabhägigkeit jeder edliche Auswahl der gegebee Ereigisse. Daher ist die Uabhägigkeit vo (X i i I äquivalet mit der Uabhägigkeit vo (X j j J für jede edliche Mege J I. x 2 X 2 (b Im folgede betrachte wir daher zuächst de Fall I = {1,..., }, N, 2. 8

9 Satz 4.1 (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum; N, X 1,..., X, X 1,..., X Zufallsvariable auf (Ω, P mit Werte i X 1,... bzw. X. Da sid die folgede Aussage äquivalet: (a X 1,..., X sid stochastisch uabhägig. ( (b P {X i = x i } = P ( {X i = x i } x = (x 1,..., x X 1... X ( (c P {X i B i } = P ( {X i B i } B i = (B 1,..., B P(X 1... P(X Lemma 4.4 X 1, X 2,..., X seie stochastisch uabhägige Zufallsvariable auf (Ω, P mit Werte i X 1, X 2,... bzw. X. Ferer seie X i := X i (Ω, 1 i. Außerdem seie X := X 1... X (abzählbar ud X := X 1... X. Da gilt: (a Ist B P(X, B B X, so folgt: P ( {(X 1,..., X B} = P ( {(X 1,..., X B } = P ( {X i = x i } (x 1,...,x B (b Ist J {1,..., }, J, so sid auch (X j j J stochastisch uabhägig. Satz 4.2 Mit de Bezeichuge ud Voraussetzuge aus Lemma 4.4 seie ferer k {1,..., 1}, J 1 := X 1... X k, J 2 := X k+1... X, Z 1, Z 2 ud g 1 := J 1 Z 1, g 2 := J 2 Z 2 ; defiiert ma da Z 1 : Ω Z 1, ω g 1 (X 1 (ω,..., X k (ω ud Z 2 : Ω Z 2, ω g 2 (X k+1 (ω,..., X (ω, so sid Z 1, Z 2 stochastisch uabhägig. 5 Erwartugswert, Variaz, Kovariaz, Korrelatio Defiitio 5.1 Ist X reelle Zufallsvariable auf (Ω, P mit X(ω P ({ω} < (absolute Kovergez ω Ω so heißt E(X = EX := X(ω P ({ω} ω Ω der Erwartugswert vo X (bzgl. P. Bemerkug 5.1 Ist Ω <, so ist die Bedigug X(ω P ({ω} < überflüssig. ω Ω Ist dagege Ω =, so wird durch diese Bedigug sichergestellt, dass X(ω P ({ω} u- ω Ω abhägig vo der Abzählug vo Ω ist. 9

10 Satz 5.1 ( Trasformatiossatz X Zufallsvariable auf (Ω, P mit Werte i X. Weiter seie g : X R; Y : Ω R, ω g (X(ω (also Y = g X. Ist da X abzählbar mit X X(Ω, so gilt: (a Y (ω P ({ω} < g(x P ({X = x} < ω Ω x X (b Y (ω P ({ω} < EY = g(x P ({X = x} ω Ω x X Bemerkug 5.2 (a Ma beachte, dass X icht otwedig reellwertig ist. (b Ist X reelle Zufallsvariable mit existieredem Erwartugswert, so folgt aus Satz 5.2(b: EX = x X x P ({X = x} (Wähle X := X(Ω, g : R R, x x Das heißt der Erwartugswert vo X hägt ur ab vo der Verteilug vo X. Beispiel 5.2 (a X sei b(, ϑ-verteilt ( N, ϑ [0, 1] EX = ϑ (b X sei hypergeometrisch verteilt mit Parameter r, s, N 0, 1, r + s 1 EX = r r + s (c X sei egativ biomialverteilt mit Parameter r N, ϑ (0, 1 EX = r 1 ϑ ϑ (d X sei Poisso-verteilt mit Parameter λ > 0 EX = λ Satz 5.2 X, Y seie reelle Zufallsvariable auf (Ω, P mit existierede Erwartugswerte. Da gilt: (a Ist α R, so existiert der Erwartugswert vo αx ud es gilt E(αX = αex. (b Der Erwartugswert vo X + Y exisitiert ud es gilt E(X + Y = EX + EY. (c Sid X, Y stochastisch uabhägig, so existiert der Erwartugswert vo X Y ud es gilt E(X Y = EX EY 10

11 Lemma 5.1 X, Y reelle Zufallsvariable auf (Ω, P, so dass der Erwartugswert vo X 2 ud Y 2 existiert. Da gilt: (a Es existiere Erwartugswerte vo X ud Y. (b Bezeichet a bzw. b de Erwartugswert vo X bzw. Y, so existiere Erwartugswerte vo (X a 2, (Y b 2 ud (X a(y b. (c Es existiert der Erwartugswert vo (X + Y 2. Defiitio 5.2 X, Y seie reelle Zufallsvariable auf (Ω, P mit EX 2 <, EY 2 <, ferer sei a := EX, b := EY (a V arx := E(X a 2 heißt die Variaz vo X (b Cov(X, Y := E(X a(y b heißt die Kovariaz vo X ud Y (c Ist V arx > 0 ud V ary > 0, so heißt ρ(x, Y := Cov(X, Y V arx V ary die Korrelatio zwische X ud Y. Gilt ρ(x, Y = 0, also Cov(X, Y = 0, so et ma X ud Y ukorreliert. Satz 5.3 X, Y reelle Zufallsvariable auf (Ω, P mit EX 2 <, EY 2 < ; α, β, γ, δ R. Da gilt: (a V arx = EX 2 (EX 2 (b Cov(X, Y = E(XY EX EY (c V ar(αx + β = α 2 V arx (d Cov(αX + β, γy + δ = αγ Cov(X, Y (e V ar(x + Y = V arx + V ary + 2 Cov(X, Y (f X, Y stochastisch uabhägig V ar(x + Y = V arx + V ary Satz 5.4 X, Y seie reelle Zufallsvariable auf (Ω, P mit EX 2 < ud EY 2 <, da gilt: (a ( Cauchy-Schwarz-Ugleichug ( E(X Y 2 EX2 EY 2 (b Cov(X, Y 2 V arx V ary (c Ist die Korrelatio zwische X ud Y erklärt, so ist ρ(x, Y 1 11

12 Beispiel 5.4 (a x 1,..., x R, X Zufallsvariable mit P (X = x i = 1. Da ist EX = 1 gilt: ( V arx = 1 x 2 i x 2 (b N, ϑ [0, 1]; X sei b(, ϑ-verteilt. Da ist EX = ϑ ud es gilt: V arx = ϑ(1 ϑ x i =: x ud es (c X sei hypergeometrisch verteilt mit r, s, ; N := r + s. Da ist EX = r N V arx = r ( s N N N N 1 ud es gilt: (d r N, ϑ (0, 1; X sei egativ biomialverteilt mit r ud ϑ. Da ist EX = r(1 ϑ ϑ gilt: ud es V arx = r(1 ϑ ϑ 2 (e Sei λ > 0, X Poisso-verteilt mit Parameter λ. Da ist EX = λ ud es gilt: V arx = λ Satz 5.5 ( Tschebyscheff-Ugleichgug Sei X reelle Zufallsvariable auf (Ω, P mit EX 2 < P ( { X EX ε} V arx ε 2 ε > 0 Satz 5.6 ( Markow-Ugleichug Sei Z reelle Zufallsvariable auf (Ω, P ; g : [0, + [0, + mit (1 g isoto (d.h. mooto wachsed (2 Eg( Z < g(ε P ( { Z ε} Eg( Z Bemerkug 5.3 (a Die Ugleichug i (5.5 ist relativ grob, aber vo theoretischem Nutze. (b Der Nutze wird deutlich im ächste Satz: 12

13 Satz 5.7 ( Schwaches Gesetz der große Zahle Seie N, X 1,..., X reelle stochastisch uabhägige Zufallsvariable auf (Ω, P. Alle X 1,..., X möge dieselbe Verteilug besitze (X 1,..., X seie stochastisch uabhägige idetisch verteilte Zufallsvariable. Ist da EX 2 <, a := EX 1, σ 2 := V arx 1, X( := 1 X i, so gilt: P ( { X ( a ε} σ2 ε 2 ε > 0 6 Diskrete Zufallsvariable auf allgemeie Räume Defiitio 6.1 Seie Ω, A P(Ω, da heißt A σ-algebra i Ω falls folgede Bediguge erfüllt sid: (1 Ω A (2 Für alle A A gilt auch A c A ( (3 Für jede Folge A A, N, gilt: A A Satz 6.1 Ω, A σ-algebra i Ω, da gilt: (a A (b Ist I abzählbar ud sid A i A, i I, da folgt: (i A i A i I (ii i I A i A Satz 6.2 Ω, A σ-algebra i Ω; A A, N B := A m A ( lim if A C := =1 m= =1 m= A m A ( lim sup A 13

14 Defiitio 6.2 Ω, A P(Ω, P : A R (a (Ω, A heißt Messraum, falls A σ-algebra i Ω ist. (b Ist (Ω, A ei Messraum, so heißt P ei Wahrscheilichkeitsmaß auf (Ω, A, falls P ichtegativ, ormiert ud σ-additiv ist. (c (Ω, A, P heißt ei (allgemeier Wahrscheilichkeitsraum, falls (Ω, A ei Messraum ud P ei Wahrscheilichkeitsmaß auf (Ω, A ist. Bemerkug 6.1 (a Die Sätze 1.3 ud 2.4 gelte auch, mit folgede Modifikatioe: (i Ersetze (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum durch (Ω, A, P Wahrscheilichkeitsraum. (ii Vo alle auftretede Teilmege vo Ω wird zusätzlich verlagt, dass sie Elemet vo A sid. (b Mit de selbe Modifikatioe werde die Defiitio 3.1 ud 3.2 auf allgemeie Wahrscheilichkeitsräume übertrage. (c Mit diese Modifikatioe bleibe die Sätze 3.1 ud 3.3 gültig. (d Es gilt folgede Verallgemeierug vo Satz 3.4: Satz 6.3 ( Produktmaßsatz Seie (Ω 1, A 1, P 1, (Ω 2, A 2, P 2 Wahrscheilichkeitsräume ud Ω := Ω 1 Ω 2. Da gilt: (a Es gibt σ-algebra A i Ω ud ei Wahrscheilichkeitsmaß P auf (Ω, A mit (i A 1 A 2 A A 1 A 1, A 2 A 2 (ii P (A 1 A 2 = P (A 1 P (A 2 A 1 A 1, A 2 A 2 (b Wählt ma A als kleiste σ-algebra i Ω, die (a(i erfüllt, so ist P eideutig bestimmt. Zu Zufallsvariable: (Ω, A, P, X : Ω X. Ω ist im Allgemeie icht abzählbar ud damit ist X(Ω im Allgemeie icht abzählbar. Defiitio 6.3 (vgl. Def. 4.2 Seie (Ω, A, P Wahrscheilichkeitsraum, X (beliebig, X : Ω X (a X heißt diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte i X, falls gilt: (i X(Ω abzählbar (ii X 1 (B A B P(X (b Ist X diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte i X, so heißt P X : { P(X R B P (X 1 (B die Verteilug vo X. 14

15 Satz 6.4 Sei (Ω, A Messraum, X beliebig, X : Ω X mit X(Ω abzählbar. Da sid folgede Aussage äquivalet: (a X 1 (B A (b X 1 ({x} A B P(X x X Satz 6.5 Seie (Ω, A, P Wahrscheilichkeitsraum, X, Z, X : Ω X, g : X Z, so dass X diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P ist. Da ist Y : { Ω Z ω g ( X(ω eie diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte i Z. Satz 6.6 Seie (Ω, A, P Wahrscheilichkeitsraum, X 1, X 2 X : Ω X, ω ( X 1 (ω, X 2 (ω. Da gilt:, X := X 1 X 2, X i : Ω X i, i = 1, 2 ud X ist diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte i X geau da, we X i diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte i X i ist (i = 1, 2. Bemerkug 6.2 (a Lemma 4.3 bleibt gültig mit folgede Modifikatioe: (i Ersetze (Ω, P diskreter Wahrscheilichkeitsraum durch (Ω, A, P allgemeier Wahrscheilichkeitsraum. (ii Ersetze X 1, X 2 Zufallsvariable auf (Ω, P durch X 1, X 2 diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P. (b Mit de etsprechede Modifikatioe wird Defiitio 4.3 auf diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P übertrage. (c Sätze 4.1 ud 4.2 gelte mit de etsprechede Modifikatioe auch für diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P. (d (Ω, A, P Wahrscheilichkeitsraum, X diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte i R; X := X(Ω (! X abzählbar!. Ist die Reihe x X x P ( {X = x} <, so heißt EX := x X x P ( {X = x} der Erwartugswert vo X. (e Die Begriffe Variaz, Kovariaz ud Korrelatio werde aalog wie i 5 eigeführt. (f Alle Aussage i 5 bleibe gültig. (g Alle Voraussetzuge der im folgede Paragraphe agegebee Sätze sid icht leer. Isbesodere gilt der folgede Satz: 15

16 Satz 6.7 Für N sei (Ω, P ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum, da gibt es eie allgemeie Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P ud darauf eie Folge vo stochastisch uabhägige Zufallsvariable X, N, mit Werte i Ω, N, so dass P X = P N. 7 Gesetze der große Zahle Satz 7.1 ( Schwaches Gesetz der große Zahle Seie X, N, diskrete stochastisch uabhägige Zufallsvariable auf eiem allgemeie Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P mit Werte i R; alle X möge dieselbe Verteilug besitze; ist da EX1 2 <, a := EX 1, so gilt: ({ } lim P 1 X i a ε = 0 ε > 0 Satz 7.2 Seie (Ω, A, P ei Wahrscheilichkeitsraum; Y, Y, N, diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte jeweils i R; ist da C 0 := { ω Ω lim Y (ω = Y (ω }, so gilt C 0 A. Satz 7.3 (Ω, A, P sei Wahrscheilichkeitsraum, Y, Y, N, diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte jeweils i R. Da sid folgede Aussage äquivalet: (a P ( {ω Ω lim Y (ω = Y (ω} = 1 (b N A mit P (N = 0 ud lim Y (ω = Y (ω ( { } (c P Ym Y < 1 = 1 k N k ( (d P (e lim P =1 m= =1 m= ( m= { Ym Y 1 k { Ym Y 1 k } = 0 k N } = 0 k N Satz 7.4 ( Kolmogoroff-Ugleichug ω N c Seie (Ω, A, P Wahrscheilichkeitsraum, N, X 1,, X stochastisch uabhägige diskrete Zufallsvariable auf (Ω, A, P mit Werte jeweils i R. Ferer seie EXi 2 <, a i := EX i, σi 2 := V arx i, 1 i, τ 2 := ( σi 2 = V ar X i. Ist da τ 2 > 0, so gilt ( { } j P (X ρ a ρ k τ 1 k > 0 k 2 j=1 ρ=1 16

17 Defiitio 7.1 Seie Y, Y, N diskrete Zufallsvariable auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P mit Werte jeweils i R. (a (Y N heißt stochastisch koverget gege Y, falls lim P ( { Y Y ε} = 0 ε > 0 (b (Y N kovergiert (P - fast sicher gege Y, falls ({ } P lim Y = Y = 1 Satz 7.5 ( Starkes Gesetz der große Zahle X, N, seie diskrete, stochastisch uabhägige Zufallsvariable auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P mit Werte jeweils i R. Es gelte EX 2 < N. Ist da a := EX, σ 2 := V arx, Y := 1 (X i a i, N, ud gilt die Kolmogoroff-Bedigug σ 2 <, so =1 2 folgt: Satz 7.6 (Y N kovergiert fast sicher gege 0 Mit de Bezeichuge ud Voraussetzuge aus Satz 7.5 gelte ferer: 1 Es gibt a R mit lim a i = a. Da folgt: ( 1 Satz 7.7 X i N kovergiert fast sicher gege a Sei (X N eie Folge vo stochastisch uabhägige diskrete Zufallsvariable auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P mit Werte jeweils i R. Alle X, N, möge dieselbe Verteilug besitze (also P ({X = x} = P ({X 1 = x} x R N; gilt da EX 2 1 <, so folgt: ( 1 Satz 7.8 X i N kovergiert fast sicher gege a 1 := EX 1 Sei (X N eie Folge vo stochastisch uabhägige diskrete Zufallsvariable auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P mit Werte jeweils i eier (beliebige Mege X. Alle X, N, möge dieselbe Verteilug besitze. Ist da g : X R, Y := g(x, N, ud gilt EY1 2 <, so folgt: ( 1 Y i kovergiert fast sicher gege b 1 := EY 1 N 17

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