Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl.

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1 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 00 =Übungskapitel 5.Kl.,Übergangsklasse ;. & 4.Kl. mathematische Kompetenzen Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der 5.Klasse) Definition der Zahlenmengen N,Z,Q und R und ihr Zusammenhang Kenntnis über mathematische Symbole und über die Sprache der Mathematik Durchschnitt und Vereinigung- Begriffe verstehen können- Anwendung in Beispielen Ziel dieses Kapitels (dieses Übungsleuchtturms) ist: eine Aussage über Zahlenmengen und über den Mengenbegriff in Zusammenhang mit mathematischen Symbolen in der mathematischen Fachsprache als wahr oder falsch bewerten können Lösungen findest du ab Seite 4 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite

2 2 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Ü Gib an. ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind (warmer oder fauliger Apfelstrudel). Begründe deine Entscheidung!!!.) 2.) 4 7 4, N.) Die Menge der rationalen Zahlen ist eine Obermenge der natürlichen Zahlenmenge. 4.) 5.) Z 6.) R 7.) 22,24,27 { { 200,26, 299 = { 8.) 22,24,27 0,9,24 = 24 9.) {,9,47 { 0,9,24 = {,9 Z = N Q 0.).) Die kleinste natürliche Zahl ist. 2.) Die größte natürliche Zahl ist ). x Z 4.). x Q N =,0,,2,... 5.) 6.) N = N { 0 7.) N* = N { 0 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite 2

3 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C 8.) Die Mengen N,Z und Q stehen in folgender Beziehung: Q Z N ) < 97 x 7 inn L = { 8,9,0, ) x 409 inz L = 409, ,... 2.) 22.) x 57 inz L = { 58, 59, ) ,79, Z 24.) 25.) R 27.) R N 28.) * 0 N 26.) 29.) R 7 2.) 9 5.) I 24 0.).) Z.) 0, 45 4.) R I Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite

4 4 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Ü w.a... wahre Aussage f.a... falsche Aussage 4.) 7 Begründung: da jede Zahl, die als Bruch darstellbar ist, eine rationale Zahl ist. 2.) 4, N f. A..) Begründung: Die Menge der natürlichen Zahlen wird definiert als N = { 0,,2,,4,5,6,....In dieser Menge gibt es keine Dezimalzahl. Die Menge der rationalen Zahlen ist eine Obermenge der natürlichen Zahlenmenge Begründung: N Z Q R Q N Die Menge der rationalen Zahlen ist eine größere Menge als die Menge der natürlichen Zahlen-daher eine Obermenge-siehe Mengendiagramm! 4.) Begründung: eine gemischte (negative) Zahl ist ja ein unechter Bruch-also ein Bruch Brüche sind rationale Zahlen. 5.) Z f. A. Begründung: eine gemischte (negative) Zahl ist ja ein unechter (negativer) Bruchalso ein Bruch Z = {..., 4,, 2,,0,,2,,4,....In der Menge der ganzen Zahlen sind keine Brüche. Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite 4

5 5 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C 6.) R Begründung: eine gemischte (negative) Zahl ist ja ein unechter (negativer) Bruch-also ein Bruch. Reelle Zahlen sind ja alle positiven und negativen Zahlen -auch Brüche sind natürlich enthalten. Laut Mengendiagramm : Wenn,dann liegt die Zahl automatisch auch Q R,also die Menge der rationalen in der Menge der reellen Zahlen, weil ja Zahlen in der Menge der reellen enthalten ist. 7.) { 22,24,27 { 200,26, 299 = f. A. Begründung Die Vereinigungsmenge Alle Elemente, die entweder in der.menge oder in der 2.Menge oder in beiden enthalten sind. Vereinigungsmenge alle Elemente zusammen und jene Elemente, die doppelt vorkommen, werden nur einmal gezählt { { 22,24,27,200,26,299 Richtig wäre hier 22,24,27 200,26,299 = Daher kann es nicht die leere Menge sein! 8.) { 22,24,27 { 0,9,24 = { 24 Begründung: In der Durchschnittsmenge liegen jene Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Wir können in den Mengenklammern jene Elemente unterstreichen, die in beiden Klammern vorkommen. Also insgesamt jene Elemente, die doppelt vorkommen. Hier kommt nur ein Element doppelt vor-nämlich ) {,9,47 { 0,9,24 = {,9 f. A. Die Vereinigungsmenge Alle Elemente, die entweder in der.menge oder in der 2.Menge oder in beiden enthalten sind. Vereinigungsmenge alle Elemente zusammen und jene Elemente, die doppelt vorkommen, werden nur einmal gezählt Richtig wäre hier {,9,47 { 0,9,24 = {,9,47,0,9,24 Daher kann die Vereinigungsmenge nicht nur diese beiden Elemente enthalten! Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite 5

6 6 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C 0.) Z { N Q = f. A. Begründung: Laut Mengendiagramm kann die Menge der ganzen Zahlen keineswegs aus der Vereinigung der natürlichen und rationalen Zahlen bestehen,da die Menge der rationalen Zahlen alleine schon größer als die Menge der ganzen Zahlen ist. Die kleinste natürliche Zahl ist..) f. A. N = * N = N { 0,,2,,4,5,6,... \ { 0 = {,2,,4,5,6,... Begründung: Die Menge der normalen natürlichen Zahlen beinhaltet Null als kleinstes Element. Die Menge N stern ist eine zusätzliche Nebendefinition. 2.) Die größte natürliche Zahl ist f. A. Begründung: Die Menge der natürlichen Zahlen hat unendlich viele Elemente. x N wäre zum Beispiel gleich eine größere natürliche Zahl. Oder ). x Z Begründung Es gibt unendlich viele ganze Zahlen. 4.). x Q Begründung Es gibt unendlich viele rationale Zahlen. 5.) = {,0,,2,... N f. A. Begründung Die Menge der natürlichen Zahlen enthält keine negativen Zahlen. N = { 0,,2,,4,5,6,... siehe oben N = N 0 f. A. 6.) Begründung: In der Menge der natürlichen Zahlen ist schon Null enthalten! Richtig wäre N = N * { 0 7.) * = N { 0 N f. A. * Begründung: In der Menge N ist Null nicht enthalten, daher kann Null bei der Vereinigung nicht dabei sein! Richtig wäre N = N * { 0 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite 6

7 7 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C 8.) Die Mengen N, Z und Q stehen in folgender Beziehung Q Z N f. A. 9.) Begründung: Richtig ist natürlich N Z Q R Das Zeichen müsste umgedreht werden!!!! Q Z N Die rationalen Zahlen sind eine Obermenge der ganzen Zahlen, diese sind eine Teilmenge der natürlichen. 4 4 < 97 Begründung: Wandeln wir die Bruchzahlen in Dezimalzahlen um, haben wir < Die rechte obige Dezimalzahl ist größer, weil sie als negative Zahl eine kleinere Tausendstelstelle aufweist!!! Anders gesagt: bei gleichem Zähler ist jene negative Bruchzahl größer,deren Nenner eine größere Zahl als die andere aufweist (bei positiven Bruchzahlen ist es genau umgekehrt!) x 7 inz L = 8,9,0,... f. A. 20.) Begründung: bei bei größer gleich ist die angegebene Zahl bei der Menge dabei x 7 L = 7,8,9,0,... Richtig wäre 2.) 409 inz L = { 409, ,... x f. A. Begründung: Die angegebenen Elemente sind größer als -409!! x 409 L = 409, ,... Richtig wäre x 409 L = {..., 4097, 4096, 4095, 4094, ) 57 inz L = { 58, 59, x f. A. Begründung: Die angegebenen Elemente sind kleiner als -57!!außerdem ist -57 nicht dabei Richtig wäre x 57 L = { 57, 56, 55,....) 0 0 f.a. weil 0:0 ist verboten! 78 4 w.a. weil 4:78= w.a. weil 0:099=0 000 w.a weil 000:= Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite 7

8 8 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C 9,79,4 f.a. für rationale Zahlen ist die Definition des Teilers nicht gegeben Der Teiler ist nur für ganze Zahlen an ganzen Zahlen definiert..) Fortsetzung 27 f.a. für rationale Zahlen (also Brüche) ist die Definition des Teilers nicht gegeben. Der Teiler ist nur für ganze Zahlen an ganzen Zahlen definiert. 24.) 25.) + 0 Z f. A. + Begründung Z = {,2,,4,5,... ganzen Zahlen!!! * 0 N f. A. Begründung N * = {,,2,,4,5,6,... natürlichen Zahlen ohne Null!!! Null ist nicht Element der positiven Null ist nicht Element von N stern, der 26.) f. A. Begründung = Quadratwurzelzahlen sind keine rationalen Zahlen, sondern reelle Zahlen. Richtig wäre R 27.) R Begründung = somit eine reelle Zahl Begründung = =rational 28.) R N Begründung Die reellen Zahlen sind eine Obermenge der natürlichensiehe Mengendiagramm anders gesagt: die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen 29.) R Begründung = Quadratwurzelzahlen sind reelle Zahlen. 0.) Z f. A. Begründung: Quadratwurzelzahlen sind keine ganzen Zahlen, sondern reelle Zahlen. (der Ausdruck unter der Wurzel kann eine Quadratzahl oder Nicht- Quadratzahl sein, beide Wurzelergebnisse sind reell, aber nur Nicht- Quadratzahlen wären irrational, d.h. die Nachkommastellen des Ergebnisses brechen nicht ab. ) 0.) ist also eine falsche Aussage. Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite 8

9 9 Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C 44.) R w.a. 99 Begründung Jede Bruchzahl ist eine rationale Zahl und somit eine reelle Zahl, da die Menge der rationalen Zahlen ja eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Die reellen Zahlen sind ja alle Zahlen!!!! 7 2.) 9 Begründung Jede Bruchzahl ist eine rationale Zahl. In diesem Fall als Neuntel eine periodische Dezimalzahl, also ein Element von Q..) 0, 45 w.a. Begründung: 0, 45 = Dies ist eine unendliche periodische Dezimalzahl, also ein Element von Q. 4.) I Begründung: Quadratwurzelzahlen, deren Radikand (Zahl unter der Wurzel) keine Quadratzahl ist, sind Dezimalzahlen, deren Nachkommastellen nicht abbrechen. Daher ist dies eine irrationale Zahl. 5.) I 24 Begründung: Quadratwurzelzahlen, deren Radikand als Bruch (Zahl unter der Wurzel) keine Quadratzahl ist, sind Dezimalzahlen, deren Nachkommastellen nicht abbrechen. Daher ist dies eine irrationale Zahl all right???? Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-(./4.)Klasse-Nr.00 Aussagen & Mengen- Teil- C Seite 9