Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Transkript

1 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie Folge ist eie Fuktio mit der Defiitiosmege Bemerkug We es wesetlich ist, ob die Null zur Defiitiosmege gehört oder icht, schreibt m oder dazu Beispiel Die Folge a mit a 4, 3 a3 3 9, der Quadratzahle hat die Folgeglieder a, Jede Folge besitzt (jedefalls im Prizip) eie explizite Darstellug, d h Agabe vo Term i, ud eie rekursive Darstellug, d h Agabe des Afgswerts a (bzw a ) ud der Rekursiosgleichug a Term i a oder Term i Die eifachste Folge sid kostte Folge, zum Beispiel die Folge a mit a 5 für alle Defiitio Eie Folge heißt arithmetisch, we die Differez aufeider folgeder Folgeglieder kostt ist Beispiel Die arithmetische Folge, 3, 5, hat für die explizite Darstellug a ; rekursive Darstellug a ud a a (oder ) Defiitio Eie Folge heißt geometrisch, we alle Folgeglieder ugleich sid ud der Quotiet aufeider folgeder Folgeglieder kostt ist Beispiel Die geometrische Folge 3, 6,, hat für die explizite Darstellug a 3 ; rekursive Darstellug a 3 ud a a (oder ) Defiitio Eie Folge heißt alteriered, we die Folgeglieder abwechseld positiv ud egativ sid Beispiel die Folge a mit a zus_folgeudkovergez /8

2 Beschräkte Folge Defiitio Eie reelle Zahl S (bzw s) heißt eie obere Schrke (bzw utere Schrke) eier Folge a, we für alle Folgeglieder a gilt S (bzw s) Eie Folge heißt ach obe beschräkt (bzw ach ute beschräkt), we sie eie obere Schrke (bzw utere Schrke) hat Eie Folge heißt beschräkt, we sie ach obe ud ach ute beschräkt ist Bemerkug We eie Folge eie obere Schrke S hat, d ist auch jede reelle Zahl S mit S S eie obere Schrke der Folge Eie ach obe beschräke Folge hat also uedlich viele obere Schrke, aber geau eie kleiste obere Schrke Etspreched hat eie ach ute beschräkte Folge uedlich viele utere Schrke, aber geau eie größte utere Schrke Beispiele a) Die Folge a mit a b) Die Folge a mit a ist weder ach obe och ach ute beschräkt ist beschräkt Die kleiste obere Schrke ist, ud die größte utere Schrke ist Bemerkug Die größte utere Schrke wird icht geomme, d h es gibt kei Folgeglied a mit Feststellug Eie Folge a ist geau d beschräkt, we es eie reelle Zahl K gibt, so dass für alle Folgeglieder gilt K Kovergez vo Folge Merke Der Abstd zweier reeller Zahle a ud b auf der Zahlegerade ist a b Defiitio Gegebe ist eie Folge a ud eie reelle Zahl g Die Folge a kovergiert gege g (oder Die Folge a hat de Grezwert g), we es zu jeder reelle Zahl eie atürliche Zahl gibt mit der Eigeschaft g für alle Schreibweise lim a g oder g für Bemerkuge Eie Folge a kovergiert geau d gege eie Zahl g, we es zu jedem vorgegebee (och so kleie) Höchstabstd eie Folgeidex gibt, ab dem alle Folgeglieder um weiger als vo g etfert sid Die Defiitio sagt ichts darüber, wie m de Grezwert eier Folge bestimmt Beispiel Folge, die gege 3 kovergiere, sid zum Beispiel die Folgea mit a 3 oder a 3 oder a 3 oder a 3 oder zus_folgeudkovergez /8

3 Stdardaufgabe Gegebe ist eie Folge a ud eie reelle Zahl g Zeige mithilfe der Defiitio, dass die Folge a gege g kovergiert Lösug Setze i die Ugleichug g de Term vo a ud die Zahl g ei Vereifache de Term i dem Betrag so weit wie möglich 3 Schreibe die Ugleichug ohe Betrag 4 Löse die Ugleichug ach auf M erhält Term i 5 Notiere Wähle als die kleiste atürliche Zahl mit Term i Bemerkug Bei der Lösug muss eie Ugleichug äquivalet umgeformt werde Wedet m eie Fuktio auf beide Seite der Ugleichug, d ist das im Allgemeie ur d eie Äquivalezumformug, we die Fuktio streg mooto wachsed ist Beispiel Die Fuktio f mit f x x ist für x streg mooto wachsed Sid also beide Seite eier Ugleichug positiv, d ist das Quadriere beider Seite der Ugleichug eie Äquivalezumformug Defiitio Eie Folge, die gege kovergiert, heißt eie Nullfolge Stdardbeispiele für Nullfolge (Beweis siehe Aufschrieb) ( ) ist eie Nullfolge Die Folge a mit Die Folge a mit a Umittelbar aus der Defiitio folgt die q q ist eie Nullfolge Feststellug Eie Folge ist geau d eie Nullfolge, we die Folge der Beträge eie Nullfolge ist Feststellug (Beweis siehe Aufschrieb) Die i der Defiitio vo Kovergez auftretede Ugleichug g ist äquivalet zu g a g Aschaulich bedeutet das Der Abstd eies Folgeglieds a zu g ist geau d kleier als, we a zwische g ud g liegt Defiitio Für eie reelle Zahl g heißt ei Itervall g ; g (, ) eie -Umgebug vo g g g g Defiitio Fast alle Folgeglieder bedeutet Alle Folgeglieder mit höchstes edlich viele Ausahme zus_folgeudkovergez 3/8

4 Eie Folge strebt also geau d gege eie Zahl g, we i jeder -Umgebug vo g fast alle Folgeglieder liege Defiitio Hat eie Folge eie Grezwert, d heißt die Folge koverget; derfalls heißt sie diverget Feststellug Eie kovergete alterierede Folge ist eie Nullfolge Beweis Nimm, eie alterierede Folge a hat eie Grezwert g Fall g Wähle g D gibt es eie atürliche Zahl mit Also gilt für alle für alle g g g, also isbesodere g g g Das ist ei Widerspruch dazu, dass die Folge alteriered ist De Fall g beweist m alog mit g qed Also ist die Folge für alle keie Nullfolge a diverget, de die Folge ist alteriered ud wege a a mit Defiitio Das Maximum (bzw Miimum) eier edliche Mege x, x,, x reeller Zahle ist die größte (bzw kleiste) Zahl der Mege Schreibweise x x x bzw x x x max,,, mi,,, Bemerkug Eie uedliche Mege reeller Zahle braucht kei Maximum ud keie Miimum zu habe Zum Beispiel hat die Mege kei Maximum, ud die Mege ; ; 3; hat kei Miimum Feststellug Eie Folge hat höchstes eie Grezwert Beweis Nimm, eie Folge a hat zwei verschiedee Grezwerte Sei g der kleiere ud g der größere Grezwert Wähle g g D gibt es eie atürliche Zahl mit g für alle, ud es gibt eie atürliche Zahl mit g für alle max, Wähle zus_folgeudkovergez 4/8

5 D gilt für alle Erste Möglichkeit g, also g g, also isbesodere g g g g g g g g g g g, ud g, also g g, also isbesodere g g g g g g g g g g g Das ist ei Widerspruch Zweite Möglichkeit g ud g, also -Ugl g g g a a g g a a g g a a g a g a g g g g g Das ist ei Widerspruch qed qed Satz Eie kovergete Folge ist beschräkt Beweis Sei a eie Folge mit lim a g Wähle D gibt es eie atürliche Zahl, so dass für alle gilt g g g a g Also ist S max a, a,,, g eie obere Schrke ud s mia, a,,, g eie utere Schrke voa qed Defiitio Eie Folge a heißt eie Cauchy-Folge, we gilt Zu jeder reelle Zahl gibt es eie atürliche Zahl mit der Eigeschaft am für alle m, Satz Jede kovergete Folge ist eie Cauchy-Folge zus_folgeudkovergez 5/8

6 Beweis Sei a eie Folge mit lim a g Sei D ist auch Also gibt es eie atürliche Zahl mit g für alle Also gilt für alle m, -Ugl a a a g g a a g g a a g g a a g a g m m m m m Für Experte Da vollstädig ist, gilt auch die Umkehrug des Satzes, d h es gilt Jede Cauchy- Folge ist koverget Stdardaufgabe Zeige, dass eie Folge icht koverget ist Lösug Zeige, dass die Folge ubeschräkt ist oder dass die Folge keie Cauchy-Folge ist Grezwertsätze für Folge Satz (Summe kovergeter Folge) Kovergiere die Folge auch die Summefolge b, ud es gilt lim a b lim a lim b a ud b, d kovergiert Beweis Sei lim a a ud lim b b Sei D ist auch Also gibt es eie atürliche Zahl mit a für alle, ud es gibt eie atürliche Zahl mit b b für alle Wähle max, D gilt für alle -Ugl a b ab a b ab a ab b a a b b a a b b qed qed zus_folgeudkovergez 6/8

7 Satz (Differez, Produkt ud Quotiet kovergeter Folge; ohe Beweis) Kovergiere die Folgea ud b, d kovergiere auch die Differezefolge b ud die Produktfolge b, ud es gilt lim a b lim a lim b lim a b lim a lim b ud a Ist außerdem lim b, d kovergiert auch die Quotietefolge b a lim a lim b lim b, ud es gilt Stdardaufgabe Bestimme de Grezwert eies Bruchterms mithilfe der Grezwertsätze Lösug Klammere im Zähler ud im Neer jeweils de am schellste wachsede Term aus ud kürze Zur Ersparis vo Schreibarbeit bei der Lösug dieser Stdardaufgabe diet die Feststellug (Beweis siehe Aufschrieb) Sid c, c,, ck reelle Zahle ud sid,,, k positive reelle Zahle, d gilt c c ck lim c c k Beispiel lim 3 Stdardaufgabe Bereche de Grezwert der Differez zweier Wurzel Lösug Erweitere mit der Summe der Wurzel ud verwede die dritte biomische Formel Zur Ersparis vo Schreibarbeit bei der Lösug dieser Stdardaufgabe diee die folgede beide Feststelluge Feststellug Ist a eie reelle Zahl ud b eie Folge, die gege strebt, d gilt a lim b Für eie Defiitio vo strebt gege ud eie Beweis der Feststellug siehe Für Experte Beispiel lim 3 Feststellug (Wurzel eier kovergete Folge; ohe Beweis) Kovergiert die Folge a ud gilt für alle, d kovergiert auch die Folge a, ud es gilt lim a lim a zus_folgeudkovergez 7/8

8 Beispiel 5 5 lim 4 lim 4 4 Da eie kovergete alterierede Folge eie Nullfolge ist, gibt es für das Grezverhalte eier alterierede Folge zwei Möglichkeite Etweder ist die Folge eie Nullfolge, oder sie ist diverget Daraus ud aus der Tatsache, dass eie Folge geau d eie Nullfolge ist, we die Folge der Beträge eie Nullfolge ist, ergibt sich die Lösug der Stdardaufgabe Utersuche eie alterierede Folge auf Kovergez Lösug Utersuche die Folge der Beträge Ist die Folge der Beträge eie Nullfolge, d ist auch die eigetliche Folge eie Nullfolge Aderfalls, we also die Folge der Beträge diverget ist oder gege eie vo verschiedee Zahl kovergiert, ist die eigetliche Folge diverget Für Experte Defiitio Eie Folge a strebt gege, we es zu jeder reelle Zahl C eie atürliche Zahl gibt mit der Eigeschaft C für alle Eie Folge strebt also geau d gege, we für jede vorgegebee (och so große) Zahl C fast alle Folgeglieder größer als C sid Beweis der Feststellug Ist a eie reelle Zahl ud b eie Folge, die gege strebt, d gilt a lim Beweis Im Fall a ist ichts zu zeige Sei u a Sei a Wähle C D gibt es eie atürliche Zahl mit b Also gilt für alle ud b C für alle b C a a a a a a qed b b b b C a zus_folgeudkovergez 8/8