Übungen zur Klausur 11M1 21/05/2008 Seite 1 von 5

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1 Seie von 5 Aufgabe : Eine ganzraionale Funkion. Grades habe die Nullsellen ; ;. Ihr Schaubild gehe durch P( 6). Besimme die Exremsellen. Skizziere den Graphen der Funkion. allgemeine Form einer Funkion. Grades: ( ) f x = ax + bx + cx + d Informaionen aus den Angaben: aus den Nullsellen folg: (i) f ( ) = 0 0 = a + b c + d (ii) f () = 0 0 = a + b + c + d (iii) f () = 0 0 = 7a + 9b + c + d aus P( 6) folg: (iv) f () = 6 6 = 8a + + c + d Durch geschickes lösen des Gleichungssysems (z.b. Gaußverfahren oder Einsezungsverfahren) ergib sich: a = ; b = 6; c = ; d = 6 und man erhäl folgende Funkionsgleichung: f x x x x ( ) = Exremwerbesimmung: f x x x '( ) = 6 f ''( x) = x nowendige Bedingung: f '( x) = 0 0 = 6x x mi Lösungsverfahren für quadraische Gleichungen folg: x = ; x = + hinreichende Bedingung: f ''( x ) = 8 < 0 lokales Maximum an der Selle x = H 9 f ''( x) = 8 > 0 lokales Minimum an der Selle x = + T + 9

2 Seie von 5 Aufgabe : Von einer Funkion. Grades is bekann, dass sie die y -Achse bei schneide und durch den Punk Q( 7) geh. Die Tangene an den Berührpunk Q ha die Seigung. Gib die Funkionsgleichung. [8 Punke] f ( x) = ax + bx + c aus: y-achse bei : f (0) = c = [ Rohpunke] aus: Q( 7) f () = 7 7 = 9a + b + c ( i) [ Rohpunk] aus: m = in Q f '() = mi f '( x) = ax + b [ Rohpunk] = 6 a + b ( ii) [ Rohpunk] c in ( i) 9a + b + = 7 a = b ( iii) ( iii) in ( ii) 6 b + b = b = 4 [ Rohpunk] b in ( iii) a = ( 4) a = [ Rohpunk] f ( x) = x 4x + [ Rohpunk]

3 Seie von 5 Aufgabe : Die Funkion f ( x) = x( x ) mi R beschreib eine Funkionenschar. (a) Besimme die Schnipunke S des Graphen von f mi der x -Achse. Gib die Gleichungen der Tangenen in S an. (b) Berechne den Wer, für welchen die Tangenen orhogonal zueinander sind. (c) Welche Koordinaen ha der Schnipunk P (für allgemeines ) der Tangenen in S. (d) Besimme den Flächeninhal des Dreiecks SPS in Abhängigkei von. [ Punke] f ( x) = x( x ) = x x; R (a) Schnipunke mi der x-achse f ( x) = 0 0 = x( x ) x = 0; x = [ Rohpunk] S ( x 0) = S (0 0) ( x 0) = S ( 0) [ Rohpunk] Tangenen in S f '( x) = x [ Rohpunk] Seigung der Tangenen m = f '( x ) = f '(0) = mi y = m x + n 0 = 0 + n n = 0 : y = x [,5 Rohpunke] in S Seigung der Tangenen m = f '( x ) = f '( ) = = mi y = m x + n 0 = + n y = x n = : [,5 Rohpunke] (b) Tangenen sind orhogonal, wenn gil: m m = = = = und = [ Rohpunke]

4 Seie 4 von 5 (c) Schnipunk = P x = x = x x = = [ Rohpunke] P x in : y = = [ Rohpunk] (d) Skizze: y P mi den Koordinaen der Punke P und S folg: A g h = = = 4 [ Rohpunke] x S S 8 9 Aufgabe 4 Die Funkion f mi f ( x) = ax + bx + c schneide die y-achse bei y = und geh durch den Punk Q(/ 7). Die Tangene an den Berührpunk Q ha die Seigung -. Wie laue die Funkion? [0 Punke] Die Funkion f ( x) = ax + bx + c ha Unbekanne, somi sind Gleichungen nöig diese Unbekannen zu finden. (i) aus der Informaion schneide die y-achse bei y = folg: f (0) = = a 0 + b 0 + c c = (ii) aus der Informaion geh durch den Punk Q(/ 7) folg: c= () = 7 7 = = 9 + f a b c a b (iii) aus der Informaion Die Tangene an den Berührpunk Q ha die Seigung -. folg: f '() = mi f '( x) = ax + b folg = a + b = 6a + b Nun sind nur noch die Gleichungen 9 = 9a + b und = 6a + b zu lösen und man erhäl a und b :

5 Seie 5 von 5 lös man die Gleichung = 6a + b nach b auf erhäl man b = 6a, dieses nun in die Gleichung 9 = 9a + b eingesez, liefer: 9 = 9a + ( 6a ) 9 = 9a 8a 6 = 9a a =. = b Dieses Ergebnis kann man in b = 6a einsezen und man erhäl b = 6 b = 4. Und so erhäl man die gesuche Funkion: f ( x) = x 4x +. Aufgabe 5: Welche Beziehungen müssen bei einer Funkion f mi Koeffizienen erfüllen, dami das Schaubild von f (a) zwei, (b) genau eine oder (c) keine waagreche Tangenen ha? f ( x) x bx cx d = die [8 Punke] aus waagrecher Tangene folg f '( x ) = 0 [ Rohpunk] f '( x) = x + bx + c waagreche Tangene: 0 = x + bx + c b ± c x/ = [ Rohpunk] 6 (a) Zwei waagreche Tangenen exisieren, wenn die Gleichung f '( x ) = 0 zwei Lösungen besiz. > c 0 [ Rohpunke] (b) Eine waagreche Tangene exisier, wenn die Gleichung f '( x ) = 0 eine Lösung besiz. = c 0 [ Rohpunke] (c) Keine waagreche Tangene exisier, wenn die Gleichung f '( x ) = 0 keine Lösung besiz. < c 0 [ Rohpunke]

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