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1 $Id: dreieck.tex,v /05/03 14:05:29 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.6 Ähnliche Dreiecke Wir hatten zwei Dreiecke kongruent genannt wenn in ihnen entsprechende Seiten jeweils dieselbe Länge haben und dann eingesehen das dies genau dann der Fall ist wenn sie sich durch eine Bewegung der Ebene ineinander überführen lassen. Läßt man zusätzlich Streckungen zu so erhält man die sogenannten Ähnlichkeitsabbildungen und kommt auf den Begriff ähnlicher Dreiecke. Definition 1.5 (Ähnliche Dreiecke) Man nennt zwei Dreiecke, ähnlich zueinander wenn in ihnen entsprechende Winkel kongruent sind, wenn also in den Standardbezeichnungen α = α, β = β und γ = γ gelten. Mit den Kongruenzsätzen des vorigen Abschnitts ist es auch leicht einige Ähnlichkeitskriterien für Dreiecke anzugeben. Satz 1.21 (Charakterisierungen ähnlicher Dreiecke) Seien, zwei Dreiecke deren Seiten und Winkel gemäß der Standardbezeichnungen als a, b, c, α, β, γ beziehungsweise a, b, c, α, β, γ benannt sind. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Die Dreiecke und sind ähnlich. (b) Entsprechende Seiten haben dieselben Verhältnisse, also a b = a b, a c = a c, b c = b c. (c) Ein Paar entsprechender Winkel und das Verhältniss der angrenzenden Seiten sind gleich. (d) Das Verhältniss zweier entsprechender Seiten und die der jeweiligen größeren Seite gegenüberliegenden Winkel sind gleich. (e) Zwei Paare entsprechender Winkel sind gleich. Beweis: (a) (e). Klar da die Winkelsumme im Dreieck immer 180 ist. 7-1

2 (a)= (b). Nach dem Sinussatz Satz 19 gilt a b = sin α sin β sin α = = a sin β b und die Gleichheit der anderen Verhältnisse ergibt sich analog. (b)= (a). Nach Satz 16 gilt ( ) b 2 + c 2 a 2 α = arccos 2bc ( ( 1 b = arccos 2 c + c b a b a )) c ( ( 1 b = arccos 2 c + c b a a b c )) = α, und analog ergeben sich auch β = β und γ = γ. (a)= (c). Klar da die Implikation von (a) nach (b) bereits gezeigt ist. (c)= (b). Sei etwa b/c = b /c und α = α, die anderen beiden Fälle ergeben sich dann durch Umbezeichnungen. Nach Satz 18 gilt a ( c ) 2 b = c b b cos α = 1 + ( c b ) 2 2 c b cos α = a b, und analog folgt auch a/c = a /c. (a)= (d). Klar da die Implikation von (a) nach (b) bereits gezeigt ist. (d)= (c). Beachte das durch das Verhältnis zweier Seiten festgelegt ist welches die größere der beiden ist, daher entsprechen sich auch die der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel in beiden Dreiecken. Bis auf Umbezeichnungen können wir b/c = b /c und β = β annehmen. Mit Satz 17 folgt a c = cos β + (b ) 2 (b sin 2 β = cos β + c c ) 2 sin 2 β = a c, und wir haben die Situation von (c) hergestellt. Schon in Abschnitt 1.3 hatten wir das Mittendreieck = A B C eines Dreiecks = ABC eingeführt. Wir wollen uns dieses nun noch einmal unter dem Aspekt des Ähnlichkeitsbegriffs anschauen. 7-2

3 C B S m A A C B Lemma 1.22 (Lemma über das Mittendreieck) Sei = ABC ein Dreieck mit Mittendreieck = A B C. Dann sind die vier Dreiecke, C BA, B A C und AC B alle zueinander kongruent und alle ähnlich zu mit halb so großen Seitenlängen. Weiter sind A B parallel zu AB, A C parallel zu AC und B C parallel zu BC. Beweis: Bezeichne die Seiten und Winkel in gemäß der Standardbezeichnungen. Im Dreieck C BA ist der Winkel bei B gleich β und das Verhältniss der beiden anliegenden Seiten ist A 1 B C B = a 2 1 c = a c, 2 also sind und C BA nach Satz 21 ähnlich. Wieder nach Satz 21 ist damit auch A C 1 2 c = A C BC = b c, also A C = 1 2 b, das Dreieck C BA hat also halb so große Seitenlängen wie. Analog schließen wir für B A C und AC B, und insbesondere sind diese drei Dreiecke zueinander kongruent. Damit hat das Mittendreieck = A B C die Seitenlängen a = B C = 1 2 a, b = A C = 1 2 b und c = A B = 1 2 c, ist also ebenfalls zu ähnlich mit halbierten Seitenlängen und zu den anderen drei Dreiecken kongruent. Die Aussagen über die Parallelität sind eine unmittelbare Folgerung, da B A C ähnlich zu ABC ist stimmen die Winkel dieser Dreiecke bei A beziehungsweise B überein, die Gerade B C schneidet A B und AB also im selben Winkel und somit sind A B und AB nach dem Stufenwinkelsatz parallel. Die beiden anderen Parallelitätsaussagen ergeben sich analog. 7-3

4 1.7 Einige spezielle Punkte im Dreieck Mit den speziellen Punkten in einem Dreieck sind Punkte gemeint die in irgendeiner kanonischen Weise geometrisch aus dem Dreieck heraus konstruiert werden können, also beispielsweise der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden oder der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Wir behandeln hier hauptsächlich die vier wichtigsten von diesen, und dies sind die jeweiligen Schnittpunkte der Seitenhalbierenden, der Winkelhalbierenden, der Mittelsenkrechten und der Höhen. Dies hängen eng mit dem Innkreis und dem Umkreis eines Dreiecks zusammen. Den Satz über den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden haben wir dabei bereits in Abschnitt 1.3 als ein Beispiel zum Satz von Ceva bewiesen, wir wollen ihn jetzt noch einmal in der inzwischen eingeführten Sprache formulieren und bweisen. Satz 1.23 (Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) Sei ABC ein Dreieck mit Mittendreieck A B C. Dann schneiden die drei Seitenhalbierenden AA, BB und CC sich in einem Punkt S m und dieser zerlegt diese Strecken jeweils im Verhältnis 2 : 1, d.h. es gelten 2 S m A = AS m, 2 S m B = BS m und 2 S m C = CS m. Beweis: Wir zeigen zunächst das der Schnittpunkt je zweier der Strecken AA, BB, CC diese beiden im Verhältniss 2 : 1 teilt. Es reicht dies für die beiden Strecken AA und BB zu tun, die anderen beiden Fälle sind dann analog. Sei also S der Schnittpunkt von AA und BB. Nach Lemma 22 sind die beiden Geraden B A und AB parallel. Damit können wir den Strahlensatz Satz 14 auf diese parallelen Geraden und das sich in S schneidende Geradenpaar AA, BB anwenden und erhalten mit Lemma 22 SA c = SA 1 2 c, also AS = 2 SA. Da dann weiter auch der Schnittpunkt von AA und CC die Strecke AA im Verhältnis 2 : 1 teilt ist dieser mit S identisch, alle drei Seitenhalbierenden gehen also durch einen Punkt. Man nennt den Schnittpunkt S m der Seitenhalbierenden eines Dreiecks auch den Schwerpunkt von. In Abschnitt 1.3 hatten wir auch gesehen das sich der Schwerpunkt in baryzentrischen Koordinaten als schreiben läßt. S m = A + B + C 3 = 1 3 A B C 7-4

5 Als nächsten der speziellen Punkte behandeln wir nun den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und hierzu sollten wir uns erst einmal überlegen welche Bedeutung die Winkelhalbierende überhaupt hat. Wir wollen uns überlegen, dass die Winkelhalbierende gerade aus denjenigen Punkten innerhalb des betrachteten Winkels besteht die von beiden Seiten des Winkels denselben Abstand haben. Angenommen wir haben eine Gerade g und einen Punkt P außerhalb von g. Der Abstand P d(p, g) ist der kleinstmögliche Abstand von P zu Punkten auf der Geraden, also formal g d(p, g) = inf{ XP : X g}, wobei in dieser Situation tatsächlich ein Minimum vorliegt. Fällen wir nämlich wie rechts gezeigt das Q Lot von P auf g und bezeichen den Lotfußpunkt mit Q, so ist Q der eindeutige P am nächsten gelegene Punkt auf g. Nach einem Blick auf das Bild sollte das klar sein, formal kann man es etwa mit dem X Satz des Pythagoras Satz 1 begründen, ist X ein beliebiger weiterer Punkt auf g, so haben wir ein rechtwinkliges Dreieck XQP und erhalten XP 2 = XQ 2 + QP 2 > QP 2, also auch XP > QP. Mit dieser Beobachtung können wir nun einsehen, dass die Punkte auf der Winkelhalbierenden zweier Geraden tatsächlich genau die Punkte innerhalb des von den beiden Geraden gebildeten Winkels sind die von beiden Geraden denselben Abstand haben. Wir formulieren diese Aussage als ein kleines Lemma das aufgrund der hierbei auftretenden Figur gerne als das Drachenlemma bezeichnet wird. In der Formulierung dieses Lemmas sagen wir dabei das zwei Strecken aufeinander senkrecht sind wenn die sie enthaltenden Geraden dies sind. Lemma 1.24 (Bestimmung der Winkelhalbierenden) Seien AB und AC zwei Strecken und P ein weiterer Punkt so, dass BP senkrecht auf AB ist und CP senkrecht auf AC ist. Bezeichne α den auf derselben Seite wie P liegenden Winkel zwischen AB und AC im Punkt A. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Es ist d(p, AB) = d(p, AC). (b) Es ist BP = CP. (c) Es ist AB = AC. (d) Die Dreiecke ABP und ACP sind kongruent. (e) Die Strecke AP ist die Winkelhalbierende von α. 7-5

6 C A α P B Beweis: (a) (b). Wegen BP AB und CP AC sind d(p, AB) = BP und d(p, AC) = CP (die Schreibweise ist hier etwas ungenau, gemeint ist der Abstand zur jeweiligen Geraden und nicht zur Strecke), also sind (a) und (b) äquivalent. (b) (c). Wenden wir den Satz des Pythagoras Satz 1 in den beiden rechtwinkligen Dreiecken ABP und ACP an, so ergibt sich AB 2 + BP 2 = AP 2 = AC 2 + CP 2, und damit ist genau dann AB = AC wenn BP = CP gilt. (a)= (d). Da die Implikationen von (a) nach (b) und (c) bereits gezeigt sind, haben wir AB = AC und BP = CP, d.h. die beiden Dreiecke ABP und ACP sind kongruent. (d)= (b). Dies ist klar. (d) (e). Die Dreiecke ABP und ACP stimmen in der Seite AP überein und haben bei B beziehungsweise C gleiche, nämlich rechte, Winkel. Nach dem Kongruenzsatz SWW Satz 20 sind die beiden Dreiecke damit genau dann kongruent wenn ihre Winkel in A übereinstimmen wenn also AP den Winkel α halbiert. B C A w 2 β α g w 1 B h A C Gleicher Abstand zu zwei Geraden Winkelhalbierende im Dreieck 7-6

7 Beachte das sich das Drachenlemma auf Punkte P innerhalb des Winkels α bezieht. Haben wir zwei verschiedene Geraden g, h die sich in einem Punkt schneiden, so setzt sich die Menge M := {P R 2 d(p, g) = d(p, h)} aller Punkte die von g und h denselben Abstand haben aus zwei Geraden zusammen die senkrecht aufeinander sind. Um dies zu sehen, unterteilen wir die Ebene in einen von g, h gebildeten Winkel α zusammen mit seinem Gegenwinkel und den anderen von g, h gebildeten Winkel β zusammen mit seinem Gegenwinkel. Der Teil von M innerhalb von α ist nach dem Drachenlemma die Winkelhalbierende w 1 von α und diese ist auch gleich der Winkelhalbierenden des Gegenwinkels und der Teil innerhalb von β und dem Gegenwinkel von β ist die Winkelhalbierende w 2 von β. Der Winkel zwischen w 1 und w 2 ist α/2 + β/2 = (α + β)/2 = π/2, die beiden stehen also senkrecht aufeinander. Damit haben wir M = w 1 w 2, wie behauptet. Bei zwei beliebigen Geraden gibt es keine Möglichkeit zwischen w 1 und w 2 zu unterscheiden, haben wir dagegen ein Dreieck = ABC so betrachten wir in jedem Eckpunkt den das Dreieck enthaltenden Winkel und nennen seine Winkelhalbierende die Winkelhalbierende von durch die entsprechende Ecke. Die auf der Winkelhalbierenden von durch eine Ecke senkrecht stehende andere Winkelhalbierende nennt man dann die äußere Winkelhalbierende von durch den betrachteten Eckpunkt. Schneiden wir diese paarweise, so erhalten wir wie oben abgebildet ein neues Dreieck A B C, mit dem wir uns in den Übungsaufgaben beschäftigen werden. Nach diesen Vorbereitungen können wir die Existenz des Schnittpunkts der Winkelhalbierenden in einem Dreieck sehr bequem einsehen. Satz 1.25 (Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden) Sei = ABC ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Winkelhalbierenden von in einem Punkt S w und dieser ist der eindeutige Punkt in der von allen drei Seiten des Dreiecks denselben Abstand hat. Beweis: Die beiden Winkelhalbierenden durch A und B schneiden sich in einem Punkt S w und nach dem Drachenlemma Lemma 24 angewandt auf diese beiden Winkelhalbierenden gelten d(s w, AB) = d(s w, AC) und d(s w, AB) = d(s w, BC), also ist d(s w, AB) = d(s w, AC) = d(s w, BC) und wieder nach dem Drachenlemma liegt S w auch auf der Winkelhalbierenden durch C. Da der Schnittpunkt S w der Winkelhalbierenden von allen drei Seiten des Dreiecks denselben Abstand r := d(s w, AB) = d(s w, AC) = d(s w, BC) hat, berührt der Kreis mit Mittelpunkt S w und Radius r alle drei Seiten tangential. Man nennt diesen Kreis dann den Inkreis des Dreiecks und r heißt entsprechend der Inkreisradius von. Neben dem Inkreis gibt es noch drei weitere Kreise die alle, als Geraden aufgefasste, Seiten des Dreiecks berühren, diese haben die schon oben 7-7

8 erwähnten Schnittpunkte je zweier äußerer Winkelhalbierenden des Dreiecks als ihre Mittelpunkte. Mit diesen sogenannten Ankreisen von werden wir uns in den Übungen beschäftigen. C r S w A B 7-8

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