MAS Automation Management

Transkript

1 MAS Automation Management Modul: A-NLE Winterthur, 27.1./ Ruprecht Altenburger, Lineare Regelung an einem einfachen Beispiel

2 erstellt für das Frühlingssemester 215; Version vom 12. Januar 217

3 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Systeme Lineares System (die Regelstrecke) Differentialgleichung Übertragungsfunktion Frequenzgang Regelung Beispiel PI-Regler am RCRC-Glied Vereinfachtes Nyquistkriterium Auslegungsverfahren nach Ziegler Nichols Verfahren I

4 Kapitel 1 Lineare Regelung - am Beispiel eines Systems 2ter Ordnung 1.1 Lineares System (die Regelstrecke) Ein Netzwerk ist gegeben durch folgende Schaltung: Abbildung 1.1: RCRC - Glied Differentialgleichung Dies ist ein lineares dynamisches System mit einem Eingang (u(t)) und einem Ausgang (y(t)). Mit Hilfe von Maschengleichungen und Bilanzieren der Ströme an den Knoten, sowie dem dynamischen Verhalten eines Kondensators i = C u (der Strom über dem Kondensator ist die Spannungsänderung multipliziert mit der Kapazität des Kondensators) lässt sich die Differentialgleichung dieses Systems aufstellen: DGL: R 1 C 1 R 2 C 2 ÿ + (R 1 C 1 + R 2 C 2 + R 1 C 2 )ẏ + y(t) = u(t) Dies ist eine lineare Differentialgleichung - y(t) und deren Ableitungen kommen nicht innerhalb von Funktionen vor (z.b. sin(y)) mit konstanten Koeffizienten - die Faktoren vor y(t), u(t) usw. sind alles Konstanten (und keine Funktionen der Zeit) zweiter Ordnung - die höchste Ableitung ist vom Grad zwei

5 1.1 Lineares System (die Regelstrecke) Übertragungsfunktion Für lineare Systeme kann aus der DGL direkt die Übertragungsfunktion abgelesen werden Übertragungsfunktion: G(s) = 1 R 1 C 1 R 2 C 2 s 2 + (R 1 C 1 + R 2 C 2 + R 1 C 2 ) s + 1 s muss man sich als komplexwertige Variabel vorstellen. Die Übertragungsfunktion wird z.b. verwendet, um Pol- und Nullstellen des Systems zu berechnen Frequenzgang Wenn man den Wertebereich für s einschränkt und nur noch die imaginäre Achse zulässt, so ergibt sich die Substitution s = i ω (oder s = j ω) und man gelangt zum Frequenzgang. Frequenzgang: G(i ω) = 1 R 1 C 1 R 2 C 2 ω 2 + (R 1 C 1 + R 2 C 2 + R 1 C 2 ) iω + 1 Der Frequenzgang hat messtechnisch eine ganz anschauliche Bedeutung. Generell gilt: Wenn in ein lineares System ein harmonisches Signal (Sinusfunktion) eingespeist wird, dann liegt am Systemausgang wiederum ein harmonisches Signal an (nachdem das System eine gewisse Einschwingphase absolviert hat). Dieses harmonische Ausgangssignal hat folgende Eigenschaften: Die Frequenz des Signals ist gleich der Eingangsfrequenz Die Amplitude des Ausgangs hat sich gegenüber dem Eingangssignal erhöht oder abgeschwächt. Es wird das Amplitudenverhältnis gebildet A = A Ausgang / A Eingang Das Ausgangssignal ist gegenüber dem Eingangssignal um eine Phase ϕ verschoben. Es gilt nun: Die Amplitudenveränderung und die Phasenverschiebung hängen ab von der Eingangsfrequenz ω Amplitudenverhältnis A und Phasenverschiebung ϕ sind also jeweils Funktionen der Frequenz! A = A(ω), ϕ = ϕ(ω) Diese beiden Funktionen werden nun gerade durch den Frequenzgang abgebildet. Wenn man den Frequenzgang an einer konkreten Frequenz ω auswertet, so ergibt das Resultat eine komplexe Zahl. Komplexe Zahlen lassen sich als Betrag und Phase darstellen. Der Betrag ist nun gerade das Amplitudenverältnis und die Phase ist die Phasenverschiebung. Am Beispiel oben: Verwende Zahlenwerte C 1 = C 2 = 47nF, R 1 = R 2 = 47Ω 1 G(s) = 4.88E 6 s i ω G(jω) = 4.88E 6 ω i ω + 1

6 1.2 Regelung 6 Es ergeben sich folgende Werte für verschiedene Frequenzen. ω G 1.66i i i i.2.3i G arg(g) Die Funktionen A(ω) und ϕ(ω) lassen sich als Grafiken auftragen. Dies ergibt das so genannte Bodediagramm. 2 Amplitude [ db ] Phase [ ] Kreisfrequenz [ rad/s ] Abbildung 1.2: Bodediagramm des RCRC - Gliedes. Dabei ist es sehr üblich, die Frequenzen in logarithmischer Darstellung und die Amplituden in db aufzutragen. (db: 2 log 1 ( ) ) 1.2 Regelung Die Grundlage der Regelung ist stets, dass (mindestens) eine Systemgrösse des dynamischen Prozesses erfasst, zurückgeführt und mit einer Sollgrösse verglichen wird. Die resultierende Regeldifferenz e(t) wird in einen Regler gegeben, welcher im allgemeinen wiederum ein dynamisches System darstellt. Vereinfacht ist dies in folgendem Blockschaltbild dargestellt.

7 1.2 Regelung 7 w(t) e(t) G (s) R G (s) RS y(t) Regler Strecke Abbildung 1.3: Vereinfachtes Blockschaltbild eines Regelkreises Für eine Dimensionierung des Reglers wird sehr oft die so genannte offene Kette G (s) betrachtet. Dies ist die Verkettung von Regler und Strecke. Es gilt nun für lineare Systeme, dass die Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von in Reihe geschalteten dynamischen Gliedern einfach miteinander multipliziert werden dürfen. Es ist also: Für die resultierende Amplitudengänge gilt: G (s) = G R (s) G RS (s) die Amplituden der beiden Einzelsysteme multiplizieren sich bzw. addieren sich in der db-darstellung (log a b = log a + log b). die Phasengänge der Einzelsysteme addieren sich. Mit dieser Erkenntnis ist es nun möglich, für viele Regelstrecken mit grafischen Methoden die Regelparameter zu bestimmen. Frequenzgänge der Regelstrecken kann man sehr oft recht einfach messen, Die Frequenzgänge des Reglers kann man in gewissem Masse selbst gestalten Beispiel PI-Regler am RCRC-Glied Die Übertragungsfunktion und Frequenzgang des PI-Reglers sind gegeben durch: G(s) = k T ns + 1 T n s bzw. G(i ω) = k T n i ω + 1 T n i ω Durch Verändern der Regelparameter (hier k und T n ) lässt sich der Amplitudengang nach links und rechts, sowie nach oben und unten schieben.

8 1.2 Regelung RC Glied k = 1, T n = 1/17 k = 5, T n = 1/1 Amplitude [ db ] Phase [ ] Kreisfrequenz [ rad/s ] In obiger Grafik sind (neben dem Diagramm des RCRC-Gliedes) die Bodediagramme von PI-Reglern mit zwei verschiedenen Parametrierungen dargestellt. Amplitude [ db ] G PI G*PI 1 Phase [ ] Kreisfrequenz [ rad/s ] In obiger Grafik wurde die Nachstellzeit T n = 1/173 gewählt. Der resultierende Amplitudenund Phasengang ergibt sich durch Addition der jeweiligen einzelnen Amplituden- und Phasengängen.

9 1.3 Vereinfachtes Nyquistkriterium 9 2 RC Glied RC Glied mit PI Regler Amplitude [ db ] Phase [ ] Kreisfrequenz [ rad/s ] Vom rückgekoppelten (also geregelten) System kann wiederum ein Frequenzgang berechnet (oder gemessen) werden. Die Berechnung erfolgt aus der offenen Kette mit: G geregelt (s) = G (s) 1 + G (s) Für stabile Systeme kann dieses grafische Vorgehen in der Regel sehr gut genutzt werden. Bei instabilen oder schwach gedämpften Strecken muss mitunter eine detailliertere Modellbildung erfolgen - bzw. es ergeben sich andere Entwurfsverfahren. 1.3 Vereinfachtes Nyquistkriterium Es sei folgendes System nach Abbildung 1.4 betrachtet: Dieses rückgekoppelte System w(t) e(t) G (s) R Regler G (s) RS Strecke y(t) Abbildung 1.4: Regler, Strecke und Rückführung. werde gerade knapp an der Stabilitätsgrenze betrieben, führe also Schwingungen aus der Form: y(t) = A sin ω krit t Wenn die Eingangsgrösse verschwindet, (w(t) = ) folgt aber: e(t) = A sin ω krit t Dann folgt jedoch, dass bei dieser Frequenz auf dem Übertragungsweg von e(t) nach y(t) lediglich eine Vorzeichenumkehr stattfindet. Es gilt somit für den Frequenzgang: G R (jω krit ) G RS (jω krit ) = G (jω krit ) = Y (jω krit) E(jω krit ) = 1

10 1.3 Vereinfachtes Nyquistkriterium 1 Das System ist offenbar gerade dann an der Stabilitätsgrenze, wenn es eine Frequenz ω krit gibt, bei der der Frequenzgang G R G RS, also der aufgeschnittene Regelkreis = 1 wird. Demzufolge nimmt der Punkt -1 bei der Darstellung der Ortskurve in der komplexen Ebene eine ganz besondere Rolle ein. Wenn die Ortskurve durch diesen Punkt hindurchläuft (G (ω krit ) = 1), dann ist das System offenbar gerade an der Stabilitätsgrenze. Es stellt sich nun die Frage, was passiert, wenn die Ortskurve von G gerade knapp auf der einen oder auf der anderen Seite dieses Punktes entlangläuft. Für den Fall, dass G selbst stabil ist, macht das folgende Kriterium Aussagen darüber und es gilt: Vereinfachtes Nyquistkriterium (für G (s) stabil): Ein geschlossener Regelkreis ist genau dann stabil, wenn der Punkt ( 1; j) in der Ortskurvendarstellung des offenen Regelkreises G mit ansteigendem ω links von der Ortskurve liegt. ω I 1 R Abbildung 1.5: Ortskurve zweier offenen Ketten G. Abbildung 1.5 zeigt beispielhaft zwei Ortskurven. Wenn diese Systeme rückgekoppelt werden, so ergibt sich für das schwarze System ein stabiles System, da bei der gezeigten Ortskurve der Punkt -1 links liegt. Für die grau skizzierte Ortskurve, wird es im rückgekoppelten Fall zu einem instabilen System kommen, da der Punkt -1 rechts von der Kurve liegt. Dieses vereinfachte Nyquistkriterium wird zur Reglerdimensionierung verwendet (Stichwort: Frequenzkennlinienverfahren, Amplitudenreserve, Phasenreserve). Im nächsten Abschnitt wird es in seiner allgemeinen Form formuliert werden. Dort wird ein ausführlicherer Beweis für das Kriterium gegeben. Anmerkung: Oben wurde etwas salopp formuliert, dass die offene Kette G selbst stabil sein muss, dies ist nicht ganz korrekt. Die genauen Kriterien für die Anwendbarkeit des vereinfachten Nyquistkriteriums sind im folgenden gegeben. Bedingungen für die Anwendbarkeit des vereinfachten Nyquistkriteriums: das System G (s) hat keinen Pol in der rechten Halbebene es gibt maximal 2 Polstellen im Ursprung das System ist nicht sprungfähig

11 1.4 Auslegungsverfahren nach Ziegler Nichols Auslegungsverfahren nach Ziegler Nichols Ist die Regelstrecke selbst stabil, so kann ein einfaches Einstellverfahren für die Regelparameter angewendet werden. Es sind empirisch gefundene Werte und das Verfahren kann angewendet werden, wenn keine sehr grossen Anforderungen an die Regelgüte gestellt werden. Bei Regelungsexperten mit eher theoretischem Hintergrund mag das Verfahren ob seiner Einfachheit und der prinzipiellen Herangehensweise etwas verpönt sein. Dennoch gibt es dem Praktiker ein einfaches Schema zur Reglereinstellung an die Hand und wird in der Praxis sehr häufig angewendet. Bei dem Verfahren sind zwei verschiedene Herangehensweisen möglich. Bei beiden resultieren schliesslich Regelparameter für P, PI oder PID Regler Verfahren I Das erste Verfahren arbeitet mit der offenen Regelstrecke. Voraussetzungen: die Regelstrecke ist stabil die Sprungantwort der Strecke ist ermittelt worden die Sprungantwort kann durch ein PT 1 -T T Glied angenähert werden. Bei diesem Verfahren werden die Parameter k (statische Verstärkung), T T (Totzeit) und τ 1 (Zeitkonstante) als Zahlenwerte aus der Sprungantwort abgelesen, bzw. angenähert. Es ist also eigentlich nur für Strecken anwendbar, die auch etwa ein solches Verhalten aufweisen. k.63 k T T τ 1 t Abbildung 1.6: Sprungantwort eines PT 1 - T T -Gliedes mit drei charakteristischen Parametern. Für die Regelparameter ergeben sich für die drei Reglertypen: P, PI bzw. PID Regler die Werte nach folgender Tabelle 1.1. Dabei haben PI und PID Regler die Schreibweise: G PI (s) = K P T N s + 1 T N s, G PID (s) = K P ( T N s + T Ds ) (additive Form)

12 1.4 Auslegungsverfahren nach Ziegler Nichols 12 Regler K P T N T D P Regler τ 1 k T T Tabelle 1.1: Einstellregeln für Regelparameter nach Ziegler Nichols mit Verfahren I. PI Regler.9 τ 1 k T T 3.33 T T PID Regler 1.2 τ 1 k T T 2 T T.5 T T Hier ist mitunter Vorsicht geboten: Die Totzeit T T tritt bei der Reglerverstärkung im Nenner auf. Diese kann mitunter aus Messungen nicht sehr präzise abgelesen werden, woraus wenn die Zeit sehr klein abgeschätzt wurde deutlich zu grosse Reglerverstärkungen resultieren.