Komplexe Analysis D-ITET. Serie 3

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1 Prof. Dr. P. S. Jossen M. Wellershoff Frühlingssemester 8 Komplexe Analysis D-ITET Serie 3 ETH Zürich D-MATH Aufgabe 3. Einschreibung in Echo Wichtig: Bitte schreiben Sie sich auf echo.ethz.ch in die Übungsste, welche Sie auch besuchen, ein! Dies bedeutet, dass Sie sich eventuell aus einer Übungsste ausschreiben müssen, die Sie nicht besuchen. Hinweis: Das Umschreiben in die korrekte Übungsste hilft uns dabei den Assistierenden frühzeitig mitzuteilen, sollte niemand in ihre Sten kommen, die Räume der ETH wieder freizugeben. Aufgabe 3. (3.a R-Linearität C-Linearität Betrachten Sie die Einheitsvektoren ( e :=, e := ( des C. Zeigen Sie, dass B := {e, e, ie, ie } eine R-Basis von C bildet. Lösung: Wir zeigen, dass B ein minimales Erzeugendensystem für C ist. Sei dazu z C beliebig. Dann lässt sich z schreiben als ( ( z x + iy z = =, z x + iy wobei x, x, y, y R. Insbesondere gilt also z = x e + x e + y ie + y ie B ist ein Erzeugendensystem. Wir können uns auch davon überzeugen, dass wir keinen Vektor aus B entfernen können, ohne dass dabei die erzeugende Eigenschaft von B verloren geht. Benutzen wir das Symbol span um die lineare Hülle einer Menge von Vektoren zu beschreiben, so gilt nämlich span(b \ {e } = ir C, span(b \ {e } = C ir, span(b \ {ie } = R C, span(b \ {ie } = C R. Damit ist B also ein minimales Erzeugendensystem von C somit eine Basis. (3.b Betrachte nun eine Matrix a a a 3 a 4 A L := a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 R4 4. a 4 a 4 a 43 a 44 Serie 3 Seite Aufgabe 3.

2 Die Matrix A L beschreibt eine R-lineare Abbildung L : C C in der Basis B := {e, e, ie, ie }. Was muss für ihre Koeffizientent a ij, i, j =,, 3, 4, gelten damit L auch C-linear ist? Lösung: In der Vorlesung hatten wir gesehen, dass R-lineare Abbildungen L : C C welche L(ie = i L(e L(ie = i L(e erfüllen auch C-linear sein müssen. Daraus folgen die Bedingungen wobei wir a 3 a a 3 a 33 = i a a 3 = a 43 a 4 x a 3 a 4 a a, a 4 a 4 a 34 = a 44 a 3 a 4 a a i x y = i (x e + x e + y ie + y ie B y y = ( y e y e + x ie + x ie B = y x x benutzt haben. Die Koeffizienten a ij, i, j =,, 3, 4, müssen also erfüllen damit L C-linear ist. Aufgabe 3.3, a 3 = a 3, a 3 = a 4, a 33 = a, a 43 = a, a 4 = a 3, a 4 = a 4, a 34 = a, a 44 = a Regel von de l Hospital Seien f, g : C C zwei Funktionen, die in einer Umgebung von z = differenzierbar sind für die f( = g( =, g ( gilt. Dann gilt die Regel von de l Hospital f(z z g(z = f ( g (. Lösung: Wir benutzen die Definition der Differenzierbarkeit an z = erhalten f(z z g(z = f(z z z Bemerkung: Die etwas allgemeinere Aussage z g(z = f ( z g(z z = f ( g (. Seien f, g : C C zwei Funktionen, die in einer Umgebung von z = differenzierbar sind, für die f( = g( = gilt der Grenzwert existiert. Dann gilt f (z z g (z f(z z g(z = f (z z g (z. Serie 3 Seite Aufgabe 3.3

3 lässt sich ähnlich leicht beweisen. Man braucht hierfür jedoch Konzepte, welche wir in der Vorlesung noch nicht eingeführt haben. Aufgabe 3.4 Die Kettenregel Sei U C offen sowohl γ : [, ] U, als auch f : U C differenzierbar. Sei ausserdem g(t := f(γ(t. Leiten Sie die Kettenregel her. Lösung: Wir betrachten t (, Da f differenzierbar ist gilt, dass g (t = t t g(t g(t t t g (t = f (γ(t γ(t = t t f(γ(t f(γ(t t t f(γ(t f(γ(t = γ(t γ(t. t t γ(t γ(t t t f (γ(t = f(z f(γ(t z γ(t z γ(t existiert somit, dass f f(γ(t f(γ(t (γ(t =, t t γ(t γ(t da γ stetig ist. Alles in allem folgt g f(γ(t f(γ(t (t = γ(t γ(t t t γ(t γ(t t t = f (γ(t γ(t. = f (γ(t t t γ(t γ(t t t Aufgabe 3.5 Wir benutzen die Notation Die Cauchy Riemann Gleichungen f(x + iy = u(x, y + iv(x, y, x, y R. Welche der im Folgenden definierten Funktionen sind holomorph? (3.5a u(x, y := x 4 6x y + y 4, v(x, y := 4x 3 y 4xy 3. Lösung: In all diesen Aufgaben werden wir zeigen, dass die Cauchy Riemann Gleichungen erfüllt oder nicht erfüllt sind. Wir verifizieren x u(x, y = 4x3 xy = v(x, y y y u(x, y = x y + 4y 3 = v(x, y. x Damit folgt, dass f holomorph ist. Serie 3 Seite 3 Aufgabe 3.4

4 (3.5b u(x, y := x 3 3xy, v(x, y := 3x y + y 3. Lösung: Hier rechnen wir x u(x, y = 3x 3y = v(x, y, y sodass die Cauchy Riemann Gleichungen nicht erfüllt sind. Also ist f nicht holomorph. (3.5c u(x, y := sin(x y cosh(xy, v(x, y := cos(x y sinh(xy. Lösung: Zuerst wollen wir sehen, dass gilt. Damit rechnen wir nun cosh (z = ez e z = sinh(z sinh (z = ez + e z = cosh(z x u(x, y = x cos(x y cosh(xy + y sin(x y sinh(xy = v(x, y y nach. Also sind die Cauchy Riemann Gleichungen nicht erfüllt f ist nicht holomorph. (3.5d u(x, y := e x y cos(xy, v(x, y := e x y sin(xy. Lösung: Wir rechnen direkt, dass y u(x, y = xex cos(xy ye x y sin(xy = v(x, y x y y u(x, y = yex cos(xy xe x y sin(xy = v(x, y y x gelten. Also sind die Cauchy Riemann Gleichungen erfüllt f ist holomorph. Hinweis: Der Kosinus Hyperbolicus der Sinus Hyperbolicus sind gegeben durch cosh(z := ez + e z, sinh(z := ez e z. Aufgabe 3.6 Die Cauchy Riemann Gleichungen in Polarkoordinaten Sei f : C C. Wir können f dann in algebraischen Koordinaten als f(x + iy = u(x, y + iv(x, y oder in Polarkoordinaten als f(re iφ = ũ(r, φ+iṽ(r, φ schreiben. Die Cauchy Riemann Gleichungen in algebraischen Koordinaten sind aus der Vorlesung bekannt lauten x u(x, y = v(x, y, y u(x, y = v(x, y. y x Serie 3 Seite 4 Aufgabe 3.6

5 Zeigen Sie, dass wenn f die Cauchy Riemann Gleichungen in algebraischen Koordinaten erfüllt also holomorph ist dann f auch die Cauchy Riemann Gleichungen in Polarkoordinaten erfüllt. r ũ(r, φ = φ, r φṽ(r, Lösung: Wir betrachten die Koordinatentransformationen x = r cos φ, y = r sin φ. φũ(r, φ = r ṽ(r, φ r Damit können wir ũ(r, φ = u(r cos φ, r sin φ ṽ(r, φ = v(r cos φ, r sin φ schreiben. Wir erhalten dank der Kettenregel ũ(r, φ = r x u(r cos φ, r sin φ cos φ + u(r cos φ, r sin φ sin φ y φ = φũ(r, x u(r cos φ, r sin φ r sin φ + u(r cos φ, r sin φ r cos φ. y Ebenso folgt, dass ṽ(r, φ = r x v(r cos φ, r sin φ cos φ + v(r cos φ, r sin φ sin φ y φ = φṽ(r, x v(r cos φ, r sin φ r sin φ + v(r cos φ, r sin φ r cos φ. y Es folgt jetzt unmittelbar aus der algebraischen Form der Cauchy Riemann Gleichungen, dass r ũ(r, φ = r φṽ(r, φ φũ(r, φ = r ṽ(r, φ. r Aufgabe 3.7 (3.7a Das Wirtinger Kalkül Sei z = x + iy. Dann gilt x = z + z y = z z. i Wenden Sie die Kettenregel auf informelle Art Weise auf F (x, y an, um den Ausdruck z F = ( x F + i y F herzuleiten. Lösung: Wir rechnen direkt nach, dass z F (x, y = ( z + z z F, z z i = = x F ( x F (x, y + i F (x, y y ( z + z., z z i ( z + z y F, z z i i Serie 3 Seite 5 Aufgabe 3.7

6 (3.7b Wir definieren den Differentialoperator z := ( x + i y. Zeigen Sie dass, wenn eine Funktion f holomorph ist also ihr Real- Imaginärteil die Cauchy Riemann Gleichungen erfüllen dann ist. z f = Lösung: Wir rechnen nach, dass z f(x + iy = ( x f(x + iy + i y = f(x + iy ( u(x, y + i x x v(x, y + i y u(x, y v(x, y y = gilt. Bemerkung: Wir nennen z die Wirtinger Ableitung. Aufgabe 3.8 Einige Wegintegrale (3.8a Betrachten Sie den Weg γ : [, ] C, welcher den Einheitskreis in C im Uhrzeigersinn parametrisiert. Berechnen Sie nun dz, n Z. zn γ Lösung: Zuallererst wollen wir den Weg γ : [, ] R mathematisch genau beschreiben. Wir definieren dazu γ(t := e πit berechnen γ γ(t = πie πit = πiγ(t. Nun betrachten wir n = rechnen z dz = γ(t dt = πi γ(t Ist n, so gilt γ z dz = n γ(t dt = πi γ(t n = n [e πit( n] =. dt = πi. γ(t n dt = πi e πit( n dt (3.8b Betrachten Sie die beiden Wege γ, γ : [, ] C, welche in Abbildung 3. dargestellt sind. Berechnen Sie damit die Integrale Serie 3 Seite 6 Aufgabe 3.8

7 ir ir i γ γ (a R Abbildung 3.: Die Wege γ γ. (b R i γ Re(z dz, ii γ Re(z dz, iii γ z dz, iv γ z dz. Lösung: i Wir betrachten den Weg γ (t := t mit γ (t =. Damit gilt γ Re(z dz = Re(γ (t dt = t dt =. ii Wir teilen den Weg γ in drei Teilpfade auf. Zuerst betrachten wir γ, (t := it mit γ, (t = i. Dann durchlaufen wir γ, (t := t + i mit γ, (t =. Zu guter Letzt benutzen wir noch γ,3 (t := + i it mit γ,3 (t = i. Dann gilt Re(z dz = γ Re(z dz + γ, Re(z dz + γ, Re(z dz γ,3 = i = Re(it dt + t dt i = i. Re(t + i dt i Re( + i it dt iii Hier rechnen wir z dz = γ γ (t dt = t dt = 3. Serie 3 Seite 7 Aufgabe 3.8

8 iv Wir berechnen z dz = γ z dz + γ, z dz + γ, z dz γ,3 = i = i = (it dt + t dt + t dt i (t + i dt i t + it dt i ( + i it dt ( + i i( + it t dt ( + i it dt = 3 i( + i = 3. Es ist interessant zu bemerken, dass unsere Rechnungen γ z dz = γ z dz implizieren. Dies würde nämlich auch direkt aus dem Satz von Cauchy folgen. Publiziert am 7. März. Einzureichen am 4. März. Serie 3 Seite 8 Aufgabe 3.8