Abschlussprüfung Fachoberschule 2015 Mathematik

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1 Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /0 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung = + ;. f( ),5 5,065 Der Graph von f ist G f.. Untersuchen Sie Gf auf Symmetrie. Begründen Sie Ihre Aussage. / Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen.. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G f mit der y-achse. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. /7.3 Bestimmen Sie die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von G f. /5. Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ ;] unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte. Berechnen Sie auch die Funktionswerte am Rand des Intervalls. Nutzen Sie hierfür das Koordinatensystem auf der folgenden Seite. /5.5 Weiterhin ist eine Parabel p mit der Funktionsgleichung p ( ) = 6 + 6,5 ; gegeben. /9 Durch Gleichsetzen der Funktionsterme von p und f erhält man eine Gleichung, deren Lösungen die Schnittstellen der beiden Funktionen sind. Stellen Sie diese Gleichung auf. Die gesuchte Schnittstelle ist eine Nullstelle der Funktion n mit n ( ) = 6,5 + 6,375. Begründen Sie diesen Sachverhalt. Eine Schnittstelle der Graphen von p und f liegt bei ungefähr =. Bestimmen Sie einen Näherungswert dieser Stelle mit einem geeigneten Verfahren. Brechen Sie das Verfahren nach drei Schritten ab. Betrachten Sie die Tendenz der Funktionswerte der ermittelten Näherungen und beurteilen Sie hiermit die Wirksamkeit des Näherungsverfahrens. Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

2 A Koordinatensystem zu Aufgabe. Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

3 A Rekonstruktion /5 Eine ganzrationale Funktion f dritten Grades besitzt den Wendepunkt W ( 6). Die Wendetangente in W schneidet die y-achse bei 0. Der Funktionswert von f an der Stelle - beträgt 0.. Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Funktionsgleichung dieser Funktion f. /9 Die Lösung dieses Gleichungssystems ist nicht erforderlich.. Lösen Sie stattdessen das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie 3 damit die gesuchte Funktionsgleichung f ( ) = a + b + c + d der Funktion f : /6 3a + 9 b + c + d = 6 5a + 5 b c = 30 8a b + c + d = 6 a 6b c = 6 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 3 von 5

4 A 3 Etremwertaufgabe /8 Gegeben ist die Funktion f mit 3 = + ; [ ; 5] f( ) 35 5 Für jeden Punkt P auf dem Graphen von P f( ), f bilden die drei Punkte ( ) N ( ) und ( 0) 0 Dreieck. F ein rechtwinkliges 3. Bestimmen Sie die Flächeninhalte der Dreiecke für = sowie für =, 5. / 3. Der Flächeninhalt der Dreiecke in Abhängigkeit von kann durch eine Funktion A beschrieben werden. Weisen Sie nach, dass die Funktion A die folgende Funktionsgleichung hat: 3 A ( ) = 0, ,5 /6 3.3 Bestimmen Sie den Wert von, für den das Dreieck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt entsteht. Berechnen Sie diesen maimalen Flächeninhalt. /8 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

5 A Integralrechnung /7 In der modernen Landwirtschaft werden zunehmend Erntemaschinen mit GPS-Steuerung eingesetzt. Hierzu werden die Formen der Felder erfasst und mathematisch beschrieben. Das in der Abbildung dargestellte Gerstenfeld wird durch die Koordinatenachsen sowie den Graphen G der Funktion n und den Graphen G der Funktion o begrenzt. Die Eckpunkte des n Feldes sind somit ABCO.,,, Eine Längeneinheit entspricht 0 Meter. Auf dem Feld befindet sich ein Feuchtbiotop, welches vollständig von dem Graphen Funktion p und dem Graphen Folgende Koordinaten wurden erfasst: Punkte: A( 0 0) Gn Funktionsgleichungen: o Gg der Funktion g eingeschlossen wird. B ( 0 8, ) G, G ( 5 0) n o C o G p der G O ( 0 0) 3 n ( ) = 0,0006 0,0 + 0,6 + 0 p ( ) = 0, o ( ) = 0,0 +,7 + 3,6 g ( ) = 0,5 + 6 LE = 0 m. Wie viel landwirtschaftliche Nutzfläche ließe sich durch Trockenlegen des Feuchtbiotops gewinnen?. Berechnen Sie die Größe des abzuerntenden Feldes und geben Sie das Ergebnis in Quadratmetern an..3 Der durchschnittliche Ertrag pro Hektar (ha) liegt bei 6,9 Tonnen (t). Wieviel Gerste wird von diesem Feld geerntet, wenn mit einem Ernteverlust von zwei Prozent zu rechnen ist?. Für welchen Wert des Parameters a ( a ) hat die vom Graphen der Funktion f mit f ( ) = + a + und der -Achse im Intervall [ ; ] eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt 6,5 FE? /9 /9 /5 / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 5 von 5

6 Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A. Die Eponenten von sind nur gerade, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. oder f( ) = f( ) Der höchste Eponent der Variablen im Funktionsterm von f ist. Da a im Summand a positiv ist, verläuft der Graph von plus Unendlich nach plus Unendlich oder f( ) für ±. Schnittpunkt mit y-achse: f(0) = 5,065; S y (0 5,065) Nullstellen: f( ) = 0 z,5 + 5,065 = 0 Substitution,5z+ 5,065 = 0 p-q-formel = z z / =, 5 Resubstitution = ± z N =, 5 ; N =, 5 Nullstellen 6.3 Etrema 3 f ( ) = 9 = 0 notwendige Bedingung ( 9) = 0 E = 0 mögliche Etremstelle und 9 = 0 =, 5; =, 5 mögliche Etremstellen E E3 E f ( ) = 9 0 Überprüfen der hinreichenden Bedingung für E f (0) = 9 < 0 Maimum bei = 0 f (, 5) = 8 > 0 Minimum bei E =, 5 f (, 5) = 8 > 0 Minimum bei E3 =, 5 f (0) = 5,065 Hochpunkt H (0 5,065) f (, 5) = 0 Tiefpunkt T (, 5 0) f (, 5) = 0 Tiefpunkt (, 5 0) 9 E Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

7 Erwartungshorizont noch.3 Wendepunkte f ( ) = 9 = 0 notwendige Bedingung = 0,866; = 0,866 mögliche Wendepunkte W W f '''( ) = 0 notw. und hinreichende Bedingung f '''(0,866) = 0,78 > 0 Wendepunkt bei = 0,866 f '''( 0,866) = 0,78 < 0 Wendepunkt bei = 0,866 f (0,866) =,5 Wendepunkt (0,866,5) f ( 0,866) =,5 Wendepunkt ( 0,866,5) 6. Randpunkte f ( ) = 3,065 linker Randpunkt L( 3,065) f ( ) = 3,065 rechter Randpunkt R ( 3,065) w w Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

8 Erwartungshorizont.5 f( ) = p ( ) 6,5 + 6,375 = 0 n ( ) = 0, der Ansatz zum Bestimmen der Nullstellen von n, liefert dieselbe Gleichung wie f( ) = p ( ). Somit liefern Gleichsetzen der Funktionsterme von p und f bzw. das Bestimmen der Nullstellen von n die gleichen Lösungen. Näherungsverfahren 3 n ( ) = 6,5 + 6,375, n'( ) = Startwert wählen; Berechnung Algorithmus kennen und anwenden (Bem.: Mögliche Lösung ist unten aufgeführt, auch andere Lösungsansätze sind denkbar.) Beispielrechnung für Startwert s - erste Näherung n f( n ) f'( n ) n+ f( n+ ) s 0,565,9535 0,037633,9535 0, ,697, ,00037, , ,935335, ,09E-09 5 Die Funktionswerte der ermittelten Näherungen laufen gegen Null, durch das Verfahren nähern wir uns der Nullstelle an. Mögliche BE Summe Aufgabe 0 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 3 von 6

9 Erwartungshorizont. 3 f ( ) = a + b + c + d ; f '( ) = 3a + b + c ; f ''( ) = 6a + b f () = 6 Wendepunkt f ''() = 0 Wendepunkt 6 0 mt = f '() = = 3 0 Anstieg der Wendetangente f ( ) = 0 Funktionswert an der Stelle Gleichungssystem: 8a + b + c + d = 6 a + b = 0 a + b + c = 3 a + b c + d = Lösungen des Gleichungssystems berechnen a = ; b = 6 ; c = 5 ; d = 3 3 Funktionsgleichung: f( ) = Mögliche BE 0 Summe Aufgabe 5 3. A Δ g hg ( ) f( ) = = ; A =,5 FE ; A,5, 53 FE 3. Hauptbedingung ( ) f( ) A ( ) = Nebenbedingung 3 f( ) = Zielfunktion 3 ( ) ( ) 3 A ( ) = = 0, ,5 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

10 Erwartungshorizont 3.3 Maima bestimmen 3 A'( ) = = 0 = Dreieck mit Flächeninhalt Null; planvolles Raten Polynomdivision 3 (0, ,5) : ( ) = = 5 ; 3 = 3 pq-formel A''( ) = A ''() = 6 > 0 Minimum A ''(3) = 8 < 0 Maimum A ''(5) = 6 > 0 Minimum A (3) = 8 maimaler Flächeninhalt Der maimale Flächeninhalt von 8 FE wird an der Stelle = 3 erreicht. Mögliche BE Summe Aufgabe 8. Flächeninhalt des Biotop A Biotop Bestimmung der Schnittstellen der Graphen von g und p g ( ) = p ( ); 0,6 9,5 + 5 = 0 = 8,9695 9,0 ; = 3,5305 3,5 9,0 3,5 ( ) 3 AB = g( ) p( ) d = 0, 9, ,09 A Biotop Rund = A 0 m 0 m 609 m B 609 m Nutzfläche sind zu gewinnen.. Flächeninhalt des Feldes A Feld 0 5 A = n( ) d + o( ) d A F AF = 0,0005 0, , ,033 0,86 3,6 + + AB 0 A F = 0,6667 +,8333 6,09 = 6, A = A 0 m 0 m 6m Feld F Das Feld besitzt eine Fläche von B m. 9,0 3, Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 5 von 6

11 Erwartungshorizont.3 Ertrag E t t t E = A Feld 6,9 = 6m 6,9 =,6ha 6,9 = 8,73 t ha ha ha Ertrag nach Ernteverlust E V EV = E 0,98 = 8,57 t Es werden 8,57 t Gerste vom Feld geerntet.. ( a ) d 6,5 + + = ; 3 a + + = 6,5 6 3 a 3 a + + 6, = 6 a = Mögliche BE 0 6 Summe Aufgabe 7 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 6 von 6