Musterlösung zur Probeklausur zur Mathematik für Biologen

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1 Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den Prof. Dr. R. Stens P. - M. Küpper Musterlösung zur Probeklausur zur Mathematik für Biologen Aufgabe 1: a) Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich: (i) a 4 c a b c + b 4 c, a, b, c N, a ±b, c (a b)(a + ab + b ) a 4 c a b c + b 4 c c (a b)(a + ab + b ) (a b ) c(a b)(a + b) (a b) (a + b) c(a b)(a + b) a b. c (ii) (p 6 q 3 ) 3, p, q > 0. (p 5 q ) 4 (p 6 q 3 ) 3 (p 5 q ) 4 3 p 18 q 9 4 p 0 q 8 7 q 1 p 1 7 p q. b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung x 6 x x. 4 Unterscheide zwei Fälle: 1.Fall: x 6 :.Fall: x < 6 : x 6 x x x 6 x x (x 6) x x (x 6) x x x 7x 0 x + 5x 0 x(x 7) 0 x(x 5) 0 (x 0 und x 7) (x 0 und x 5) oder (x 0 und x 7) oder (x 0 und x 5) x 7 oder x 0 0 x 5 x 6 x 7 x<6 0 x 5 L 1 {x R x 7} L {x R 0 x 5} L ges L 1 L {x R 0 x 5 oder x 7}

2 Aufgabe : Zwei Thermoskannen mit jeweils einem Liter Fassungsvermögen sind mit einer Kaffee-Milch-Mischung gefüllt. In Kanne A seien 10 %, in Kanne B % Milch, der Rest ist jeweils Kaffee. a) Wie viel muss man aus jeder Kanne nehmen, um eine Tasse ( 00 ml) Kaffee 3 mit einem 5%igen Milchanteil zu erhalten? x : Menge aus der ersten Kanne in der Tasse in ml, y : Menge aus der zweiten Kanne in der Tasse in ml. Somit erhält man als erste Gleichung: (i) x + y 00 ml. Betrachtet man die Grundgleichung der Prozentrechnung P G Grundwert G Menge der Flüßigkeit in der Tasse 00 ml, Prozentsatz p Milchanteil in der Tasse 5, Prozentwert P Absolute Milchmenge in der Tasse x dann erhält man als zweite Gleichung: (ii) x 10 + y 00 ml 5 10x + y 0 ml. p 10 + y, und setzt dabei Die beiden Gleichungen kann man zu einem Gleichungssystem zusammenfassen und mit Hilfe des Gaußalgorithmus lösen: x y ml 10 0 ml 10Z 1 Z ml ml Z : ml ml Z 1 Z ml ml Nimmt man 75 ml aus der ersten und 15 ml aus der zweiten Kanne, erhält man eine Tasse Kaffee mit 5%igem Milchanteil.

3 b) Die Mischung aus 50 ml aus Kanne A, 75 ml aus Kanne B und 15 ml aus einer weiteren Kanne C ist 6%ig. Wie hoch ist der Milchanteil in Kanne C? Mit der Grundgleichung der Prozentrechnung P G Setzungen: Grundwert G Gesamtmenge Kaffee der Mischung 50 ml + 75 ml + 15 ml 50 ml, Prozentsatz p prozentualer Milchanteil in der Mischung 6, Prozentwert P absoluter Milchanteil in der Mischung 50 ml p ml + 15 ml x erhält man mit folgenden x wobei x den gesuchten prozentualen Milchanteil in der Mischung bezeichne. Das liefert: x ml 6 50 ml x 1500 x 6, 8. In der Kanne C befinden sich also 6, 8% Milch. ml, Aufgabe 3: 5 Es liege eine Kultur von anfänglich Bakterien vor. Von diesen sterben ständig so viele, dass nach einem Tag nur noch 85% des ursprünglichen Bestandes vorhanden sind. Um die Verluste auszugleichen, werden jeweils nach einem Tag Bakterien zur Kultur hinzugefügt. Ermitteln Sie eine Formel für die Anzahl der Bakterien nach n Tagen und berechnen Sie, wie viele Bakterien sich nach 14 Tagen in der Kultur befinden. a 0 : , a n : Anzahl der Bakterien nach n Tagen. Man berechnet: a , , a 0, 85( , ) , , , a 3 0, 85(0, , ) , , ,

4 Als allgemeine Formel erhält man: n 1 a n 0, 85 n , 85 k k0 n 1 0, 85 n , 85 k k0 geom. Summe 0, 85 n , 85n , 85 0, 85 n (1 0, 85n ). Einsetzen von n 14 liefert: a 14 0, (1 0, 8514 ) (0, (1 0, 8514 )) , , Nach 14 Tagen befinden sich etwa, Bakterien in der Kultur. Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen, die gegeben sind durch ( ) 4n+3 n + a) a n, 3 n + 1 ( ) 4n+3 ( ) 4n+3 n + n a n n + 1 n + 1 ( ( ) ) n ( ) 3 n + 1 n + 1 ( n + 1 n ) 4n+3 n + 1 [ ( ) n+1 ( ) ] 1 ( ) 3 n + 1 n + 1 n + 1 [ ( ) ] n+1 ( ) 1. n + 1 n + 1 [ ( lim a n lim ) ] n+1 ( ) 1 e (1 + 0) e. n n n + 1 n + 1 4

5 b) b n 4n 5n + 1 (n + 1), 4 b n 4n 5n + 1 (n + 1) 3. bin. Formel 4n 5n + 1 (n + 1) 4n 5n (n + 1) 4n 5n + 1 4n 4n 1 n ( ) + n( + 1 ) n n n 9n n( 4 5n + 1n + + 1n ) lim n b n lim n n n n n n n c) c n n 3 + 3n 1 4n 3 n + 5n c n n 3 + 3n 1 4n 3 n + 5n + 10 n3 ( ) n n 3 n 3 ( ). n n n lim c n lim 1 n n 3 n n n n n 3 5

6 Aufgabe 5: 4 Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes über monotone und beschränkte Folgen die Konvergenz der rekursiv definierten Folge (a n ) n N, die gegeben ist durch a 1 1, a n a n (n N). Hinweis: Zeigen Sie dazu zunächst mit vollständiger Induktion, dass a n 1 für alle n N gilt. Untersuchen Sie die Folge anschließend auf Monotonie und berechnen Sie dann den Grenzwert der Folge. 1. Man beweise mit vollständiger Induktion, dass die Aussage A(n) : a n 1 für alle n N gilt. Dazu: I.A. n 1 : a (wahr!). I.V. A(n) gelte für ein n N. I.S. Zeige: Falls A(n) gilt, dann gilt auch A(n + 1) : a n+1 1. I. V. Dazu: a n+1 1+an Mit dem Induktionsprinzip folgt die Behauptung.. Untersuche (a n ) n N auf Monotonie: a 1 + a a 1, a 1 + a a. Vermutung: (a n ) n N ist monoton wachsend, d. h. es gilt: a n+1 a n für alle n N. Beweis: a n a n a n 1 + a n a n a n 1 (wahre Aussage, vgl. 1.) Bisher wurde also gezeigt: (a n ) n N ist monoton wachsend und durch 1 nach oben beschränkt. Mit dem Satz über monotone und beschränkte Folgen gilt: (a n ) n N besitzt einen Grenzwert. Es sei a lim a n lim a n+1. Damit erhält man: n n 1 + a n a lim a n+1 lim n n a 1 + a a 1. GW ex. 1 + lim n a n a

7 Aufgabe 6: Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen a k konvergieren; berechnen Sie k0 in a) zusätzlich den Wert der Reihe. Dabei sei a) a k ( 5 )k, k0 ( ) k lim 5 n n k0 die Reihe konvergiert also (gegen 5 3 ). ( ) k geom. Summe 1 ( 5 lim )n+1 5 n , b) a k k k + 1 4k 4 + 3k Untersuche k0 k k + 1 4k 4 + 3k + 1 Vergleiche dazu a k mit c k k 4 c 1 k 0 a k k k + 1 4k 4 + 3k + 1 Somit: 0 a k 1 1 k. k k k 4 + 3k + 1 k0 Zähler vergr. mit dem Majorantenkriterium. a 0 1,a für ein c > 0. Für k 1 erhält man: k 0 + k 4k 4 + 3k + 1 k Nenner verkl. k k + 1 4k 4 + 3k k 4k k. k 1 k. }{{} konvergente Majorante Mit dem Majorantenkriterium folgt die Konvergenz von k0 k k + 1 4k 4 + 3k

8 Aufgabe 7: Bestimmen Sie zu den folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich sowie die erste Ableitung. x + 1 a) f(x) x + 1 D(f) {x R x > 1}. f (x) ( 1 1 x +1 x+1 x(x + 1) (x + 1) 1 (x + 1) ) x + 1 x + x 1 1 x + 1 (x + 1) x + x 1. (x + 1) 1,5 (x + 1) 0,5 b) g(x) x x 1 x + x 8 g(x) x x 1 x + x 8 x x 1, also D(g) R \ { 4, }. (x )(x + 4) g (x) ( 3 7 x )(x + x 8) (x x 1)(x + ) (x + x 8) ( 3 7 x x x x + 6x 8 (x x x x ) (x + x 8) 11x ) x x 4 7 3x x 6. (x + x 8) 8

9 Aufgabe 8: Sei t R mit t 0. Bestimmen Sie für die Funktion f t (x) 1 tx 1 a) den maximalen Definitionsbereich D(f t ); D(f t ) R, falls t < 0, { D(f t ) R \ 1 1, }, falls t > 0 t t b) die Nullstellen, 1 f t (x) besitzt keine Nullstellen. c) das Verhalten von f t (x) an den Rändern des Definitionsbereichs 3 (auch für x ± ); Für t > 0: lim f t(x) lim f t (x) 0 x x lim f t (x) lim f t (x) x 1 t x 1 + t lim f t (x) lim f t (x) x 1 + t x 1 t Für t < 0: lim f t(x) lim f t (x) 0 x x d) relative Extrema. f t(x) 0(tx 1) 1(tx) tx, man erhält somit: (tx 1) (tx 1) f t(x) 0 tx 0 x 0. (tx 1) Einzig mögliche relative Extremstelle ist also x 0. 9

10 Desweiteren gilt für t > 0: f t(x) > 0 x < 0, f t(x) < 0 x > 0. Somit hat die erste Ableitung an der Stelle x 0 einen Vorzeichenwechsel von + nach, also liegt an der Stelle x 0 ein Maximum vor: Max(0 f(0)), also Max(0 1). Für t < 0 gilt: f t(x) > 0 x > 0, f t(x) < 0 x < 0. Somit hat die erste Ableitung an der Stelle x 0 einen Vorzeichenwechsel von nach +, also liegt an der Stelle x 0 ein Minimum vor: Min(0 f(0)), also Min(0 1). e) Skizzieren Sie die Graphen zu den Funktionen f (x) und f (x) möglichst 3 genau mit Hilfe der unter a) d) gewonnenen Informationen. f (x) 1 x 1 f (x) 1 x 1 10