Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte:

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1 ZUNAME: VORNAME: MAT. NR.: Teilprüfung A Signale und Systeme 2 Institute of Telecommunications TU-Wien Bitte beachten Sie: Die Dauer dieser Klausur beträgt 90 Minuten. Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis auf Ihrem Tisch zur Überprüfung bereit. Mobiltelefone müssen während der Prüfung ausgeschaltet sein und dürfen nicht auf dem Tisch liegen! Neben Schreibwerkzeugen und einfachen, nicht-programmierten Taschenrechnern ist als Hilfsmittel die SuS2-Formelsammlung erlaubt sonst nichts! Wichtig: Bitte beachten Sie, dass Schummeln, wie z.b. die Verwendung nicht erlaubter Hilfsmittel, studienrechtliche und prüfungsrelevante Konsequenzen hat. Bitte verwenden Sie einen permanent färbenden, nicht-roten Stift. Die Beispiele sind ausschließlich auf den Seiten dieser Angabe auszuarbeiten. Mitgebrachte Zusatzblätter werden ignoriert! Sofern weitere Leerseiten zur Bearbeitung der Beispiele benötigt werden, sind diese bei der Klausuraufsicht erhältlich. Bitte bearbeiten Sie nicht mehr als ein Beispiel auf einem Blatt. Bitte kennzeichnen Sie auf jeder Seite eindeutig, welche Aufgabe und welcher Unterpunkt behandelt wird. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer! Diese Angabe muss, mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer beschriftet, bei der Klausuraufsicht abgegeben werden. Sie dürfen diese Angabe nicht mitnehmen! Sofern Sie nicht wollen, dass Ihre Bearbeitung eines Beispiels gewertet wird, streichen Sie die entsprechenden Seiten klar ersichtlich durch. Eine lesbare Schrift und übersichtliche Darstellung sind Voraussetzungen für die positive Beurteilung der Arbeit! Bitte bleiben Sie bei Klausurende so lange auf Ihrem Platz, bis alle Klausuren eingesammelt sind und die Klausuraufsicht die Freigabe zum Verlassen der Hörsaals erteilt. Sofern Sie während der Klausur zur Toilette müssen, melden Sie sich bitte rechtzeitig bei der Klausuraufsicht. Bitte verlassen Sie nicht ohne Rücksprache mit der Klausuraufsicht den Hörsaal. Sofern Sie vor dem Klausurende gehen wollen, tun Sie dies bitte nicht in den letzten 15min vor dem Ende der Klausur. Melden Sie sich bevor Sie gehen bei der Klausuraufsicht und geben Sie Ihre Angabe ab. Abgabezeit: (wird nur bei vorzeitiger Abgabe von der Klausuraufsicht ausgefüllt) Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte: 1

2 Zuname:... A.2 Matrikelnummer:... Aufgabe 1: (34 Punkte) Ein periodisches, zeitdiskretes Signal x[n] ist durch die Angabe aller Fourierreihenkoeffizienten vollständig beschrieben: c 0 = 1 c 1 = 1 2 c 2 = 1 c 3 = 1 2. (1) (a) (3 Punkte) Für welche Periodendauer N x wurden die Fourierkoeffizienten berechnet? (b) (5 Punkte) Berechnen Sie die mittlere Leistung des Signals x[n]. Hinweis: Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Punkt (d) berechnet werden.

3 Zuname:... A.3 Matrikelnummer:... (c) (4 Punkte) Aufgrund der Eigenschaften der Fourierreihenkoeffizienten c 0,..., c 3 erwarten Sie folgende Eigenschaften des Signals x[n]: gerade / ungerade / keine Symmetrie: (Begründung!) rein reell / rein imaginär / komplex: (Begründung!)

4 Zuname:... A.4 Matrikelnummer:... (d) (10 Punkte) Berechnen Sie das zeitdiskrete Signal x[n] für allgemeines n. Skizzieren Sie das Signal x[n] für Werte von n = 0 bis n = 2N x.

5 Zuname:... A.5 Matrikelnummer:... (e) (10 Punkte) Das Signal y[n] erhält man als Produkt der Signale x[n] und w[n], y[n] = x[n]w[n]. (2) Das periodische, zeitdiskrete Signal w[n] ist in der unten stehenden Skizze gegeben: w[n] n Welche (kleinstmögliche) Periode N y hat das Signal y[n]? Berechnen Sie für diesen Wert von N y die Fourierreihenkoeffizienten c k von y[n]. N y = c k =

6 Zuname:... A.6 Matrikelnummer:... (f) (2 Punkte) Aufgrund der Form des Signals y[n] erwarten Sie die Fourierreihenkoeffizienten als rein reell / rein imaginär / komplex: (Begründung!) Hinweis: dieser Aufgabenteil kann ohne vollständige Lösung von Punkt (e) gelöst werden.

7 Zuname:... A.7 Matrikelnummer:... Aufgabe 2: (36 Punkte) Ein zeitdiskretes System ist aus drei Teil-Systemen mit den Impulsantworten h 1 [n], h 2 [n], h 3 [n] wie folgt zusammengesetzt: x[n] h 1 [n] h 2 [n] y[n] h 3 [n] Die Impulsantworten sind für n Z gegeben durch h 1 [n] = δ[n] + δ[n 1] h 2 [n] = σ[n] σ[n 4] h 3 [n] = δ[n 1] + δ[n 3]. (a) (4 Punkte) Handelt es sich bei dem Gesamtsystem mit dem Eingangssignal x[n] und dem Ausgangssignal y[n] um ein System mit endlich langer oder unendlich langer Impulsantwort? (Begründung!) (b) (8 Punkte) Bestimmen Sie die Impulsantwort h 12 [n] des Systemteils, der durch die Teil-Impulsantworten h 1 [n] und h 2 [n] beschrieben ist (oberer Zweig).

8 Zuname:... A.8 Matrikelnummer:... (c) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Gesamt-Impulsantwort h[n] des Systems, das aus den Teil-Impulsantworten h 1 [n], h 2 [n] und h 3 [n] dem Blockschaltbild entsprechend zusammengesetzt ist.

9 Zuname:... A.9 Matrikelnummer:... (d) (6 Punkte) In der Folge soll ein System mit der Impulsantwort h[n] = σ[n] σ[n 5] für n Z betrachtet werden. Zum Zeitpunkt n = 0 werde auf dieses System die bei n = 0 eingeschaltete komplexe Exponentielle x[n] = e jθn σ[n] als Eingangssignal gegeben. Berechnen Sie das Ausgangssignal y[n] des Systems, unter der Annahme, dass alle inneren Speicher des Systems zum Zeitpunkt n = 0 den Wert 0 haben.

10 Zuname:... A.10 Matrikelnummer:... (e) (6 Punkte) Bestimmen Sie für die komplexe Exponentielle x[n] = e jθn σ[n] am Eingang des Systems mit der Impulsantwort h[n] = σ[n] σ[n 5] eine Frequenz θ im Bereich 0 θ π, bei der die größten Signal-Amplituden am System- Ausgang beobachtet werden. Nehmen Sie hierfür an, dass der Einschwingvorgang des Systems abgeschlossen ist, d.h. n 0. Hinweis: Stellen Sie das Ausgangssignal in der Form y[n] = e jθn e jαθ f(θ) dar, wobei f(θ) eine Funktion mit rein reellen Werten ist. Beachten Sie, dass cos(z) = 1 2( e jz + e jz).

11 Zuname:... A.11 Matrikelnummer:... (f) (8 Punkte) Bestimmen Sie für die komplexe Exponentielle x[n] = e jθn σ[n] am Eingang des Systems mit der Impulsantwort h[n] = σ[n] σ[n 5] alle Frequenzen θ im Bereich 0 θ π, bei denen für das Aussgangssignal y[n] = 0 gilt. Nehmen Sie hierfür an, dass der Einschwingvorgang des Systems abgeschlossen ist, d.h. n 0. Hinweis: Stellen Sie, wie in Teil (e), das Ausgangssignal in der Form y[n] = e jθn e jαθ f(θ) dar, wobei f(θ) eine Funktion mit rein reellen Werten ist. Additionstheoreme: cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) und cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1. Die Lösungen der Gleichung x 2 + px + q = 0 lauten x 1,2 = p 2 ± p 2 /4 q.

12 Zuname:... A.12 Matrikelnummer:... Aufgabe 3: (15 Punkte) Bestimmen Sie die zutreffenden Antworten und kreuzen Sie diese an. Jede korrekte Antwort wird mit +1 Punkt gezählt. Keine Antwort oder das Ankreuzen beider Alternativen werden mit 0 Punkten gezählt. Eine falsche Antwort wird mit 1 Punkt gezählt. Die Punkte werden für die gesamte Aufgabe summiert; eine negative Gesamtsumme wird auf Null gesetzt. (a) (4 Punkte) Es soll angegeben werden, ob die folgenden Aussagen über zeitdiskrete Signale richtig oder falsch sind, wobei n Z und N N gilt: A) Das Signal x[n] = cos( 2πn) ist periodisch. B) Das Signal x[n] = cos( 2θ 0 πn) mit θ 0 R kann periodisch sein. C) Ein Signal x[n] mit der Eigenschaft x[2k + 1] = x[2k] für n, k Z ist immer betragssummierbar. D) Ein Signal mit der Eigenschaft x[n + N] = x[n 2N] für alle n hat die Periode 3N 1. (b) (4 Punkte) Es soll angegeben werden, ob die folgenden Aussagen über zeitdiskrete Signale richtig oder falsch sind: A) Die Energiedefinition zeitdiskreter Signale impliziert keine physikalische Dimension. B) Nicht-periodische Signale mit beschränkten, von Null verschiedenen Amplituden haben endliche mittlere Leistung. C) Die Energie jedes periodischen Signals mit beschränkten Amplituden ist endlich. D) Ein periodisches Signal kann gerade sein. (c) (4 Punkte) Es soll angegeben werden, ob die folgenden Aussagen über Fourier- Reihen zeitdiskreter Signale mit der Periode N N richtig oder falsch sind: A) Für N < gibt es unendlich viele Fourier-Koeffizienten. B) Für die Berechnung der Fourier-Koeffizienten müssen Summen mit 2N + 2 Summanden berechnet werden. C) Die Energie einer Signal-Periode kann direkt mit Hilfe der Fourier-Koeffizienten bestimmt werden. D) Zur Rücktransformation muss ein Integral gelöst werden. (d) (3 Punkte) Es soll angegeben werden, ob die folgenden Aussagen über zeitdiskrete Signale richtig oder falsch sind: A) Linearität ist keine Signal eigenschaft. B) Ein zeitdiskretes Signal ist eine Folge von Zahlen. C) Jedes Signal endlicher Länge kann in einen ungeraden und einen geraden Anteil zerlegt werden.

13 Zuname:... A.13 Matrikelnummer:... Aufgabe 4: (15 Punkte) Bestimmen Sie die zutreffenden Antworten und kreuzen Sie diese an. Jede korrekte Antwort wird mit +1 Punkt gezählt. Keine Antwort oder das Ankreuzen beider Alternativen werden mit 0 Punkten gezählt. Eine falsche Antwort wird mit 1 Punkt gezählt. Die Punkte werden für die gesamte Aufgabe summiert; eine negative Gesamtsumme wird auf Null gesetzt. (a) (4 Punkte) Es soll angegeben werden, ob die folgenden Aussagen über lineare, zeitinvariante, zeitdiskrete Systeme richtig oder falsch sind: A) Ein stabiles, kausales System muss eine Impulsantwort h[n] haben, für die gilt: h[n] 0, wenn n. B) Ein nicht-triviales kausales System kann eine gerade Impulsantwort haben, d.h. h[n] = h[ n]. C) Ein stabiles System kann eine endlich lange Impulsantwort besitzen. D) Die Impulsantwort eines stabilen Systems ist immer endlich lang. (b) (4 Punkte) Es soll angegeben werden, ob die folgenden Aussagen über lineare, zeitinvariante, zeitdiskrete Systeme richtig oder falsch sind: A) Ein nichtkausales System liefert bei einem kausalen Eingangssignal ein kausales Ausgangssignal. B) Ein nichtkausales System ist immer instabil. C) Das System ist durch seine Übertragungsfunktion eindeutig beschrieben. D) Das System ist durch seine Implusantwort eindeutig beschrieben. (c) (4 Punkte) Das Eingangssignal eines zeitdiskreten Systems sei mit x[n] bezeichnet und das Ausgangssignal mit y[n]. Es soll angegeben werden, ob, für die folgenden Systembeschreibungen, die Aussage richtig oder falsch ist, dass es sich um lineare Systeme handelt. A) y[n] = tanh(x[n]) B) y[n] = 1 x[n] C) y[n] = 1 x[n], a = 0.5 a n +1 D) y[n] = x[n] (d) (3 Punkte) Es soll angegeben werden, ob die folgenden Aussagen über lineare, zeitinvariante, zeitdiskrete, stabile Systeme richtig oder falsch sind: A) Das System-Ausgangssignal kann mit Hilfe der Faltung aus dem System-Eingangssignal berechnet werden. B) Die Energie des Ausgangssignals ist immer beschränkt. C) Die Antwort y[n] auf ein Eingangssignal x[n] = 0, n > 0, kann eine von Null verschiedene Energie haben.

14 Zuname:... A.14 Matrikelnummer:... Raum für Nebenrechnungen

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