D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 5. (1 + x) n 1 + nx

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1 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 5 1. Die Beroullische Ugleichug besagt, dass für N 0 ud x R mit x 1 stets 1 + x 1 + x gilt. Wir wolle u aaloge Ugleichuge für adere Werte vo fide. Etscheide Sie i de folgede Fälle jeweils, welches Ugleichheitszeiche ma i 1 + x 1 + x für eisetze muss, damit die Ugleichug für alle x R mit x > 1 gilt: a 1/2, b 1. Sie müsse Ihre Atworte icht beweise. Bemerug: Für a R mit a 0 ist a 1/2 eie adere Notatio für a. 2. Sei K ei Körper. Beweise Sie für x K ud m, N 0 die Potezrecheregel x m x m mittels vollstädiger Idutio. Sie dürfe dabei die Formel xy x m+ x m x x, y K, m, N 0 ohe Beweis verwede. x y ud 3. Sei K ei Körper. a Sei f K[T ]. Zeige Sie, dass x K geau da eie Nullstelle vo f ist, we das Polyom T x K[T ] ei Teiler vo f ist. b Folger Sie, dass ei Polyom f K[T ] \ {0} vom Grad deg f höchstes verschiedee Nullstelle habe a. c Seie u N 0 ud f, g K[T ] Polyome mit Grad höchstes, die i mehr als Pute übereistimme d.h. {x K fx gx} >. Zeige Sie, dass f g gilt. Bitte wede!

2 4. Sei X R eie beliebige Teilmege. Wir ee eie Teilmege D X dicht i X, falls für jede offee Teilmege O R mit O X auch O D gilt. Zeige Sie, dass die folgede Aussage äquivalet sid: i Die Teilmege D X ist dicht i X. ii Jeder Put vo X \ D ist ei Häufugsput vo D. iii Jede abgeschlossee Teilmege vo R, die D ethält, ethält auch X. 5. Für, N 0 ist der Biomialoeffiziet defiiert durch! :!!. a Beweise Sie die folgede ombiatorische Iterpretatio vo Biomialoeffiziete: ist die Azahl der Möglicheite, aus Objete auszuwähle ohe Zurüclege, ohe Beachtug der Reihefolge, oder äquivaleterweise die Azahl der -elemetige Teilmege eier Mege mit Elemete. Diese Iterpretatio erlaubt ombiatorische Beweise vo algebraische Idetitäte für Biomialoeffiziete. Beispiel: + Kombiatorischer Beweis: Ageomme wir habe blaue Kugel ud 1 rote Kugel. Da ist die Azahl der Möglicheite, beliebige userer + 1 Kugel auszuwähle. I jeder mögliche Auswahl ommt die rote Kugel etweder vor oder icht. Die Azahl der Fälle, i dee die rote Kugel vorommt, ist geau de ma muss da och 1 aus de blaue Kugel auswähle, ud die Azahl der Fälle, i dee sie icht vorommt, ist geau de ma muss da alle Kugel aus de blaue wähle. Also gilt +. b Seie u, m, N 0. Fide Sie ombiatorische Beweise der Idetitäte j0 m j j m +, j j j Aalog zur Defiitio i R ee wir eie Put z 0 C eie Häufugsput vo A C, falls es für jedes ε > 0 ei a A gibt mit 0 < a z 0 < ε. Zeige Sie, dass jede uedliche, beschräte Teilmege vo C eie Häufugsput besitzt. Siehe ächstes Blatt!

3 7. Multiple-Choice-Frage Mehrere Atworte öe richtig sei! 1. Seie A R ud x 0 R. Welche der folgede Aussage sid äquivalet zur Aussage, dass x 0 ei Häufugsput vo A ist? a b c d ε > 0!a A: 0 < a x 0 < ε ε > 0 a A: 0 < a x 0 < ε ε 0 > 0 ε 0, ε 0 a A: 0 < a x 0 < ε ε > 1 a A: 0 < a x 0 < ε 2. Seie m, N 0 mit m. Wie viele Summade omme i der Summe m a vor? a m 1 b m c m Seie m, N 0 mit m. Welche der folgede Ausdrüce stimme stets mit der Summe m a überei? a b c d im a m+ i m j1 a j m 0 a m+ m l0 a l Bitte wede!

4 4. I der verallgemeierte Dreiecsugleichug a a 1 für omplexe Zahle a 1,..., a C gilt Gleichheit geau da we die Summade a 1,..., a... 1 a b c d... alle dasselbe Vorzeiche habe.... über R liear abhägig sid.... auf eier Gerade Rz : {rz r R} mit z C liege.... auf eiem Strahl R 0 z : {rz r R 0 } mit z C liege. 5. Welche der folgede Zahle sid algebraisch? Vgl. Abschitt im Sript. a z b z c z 3 i Seie, N mit. Welche der folgede Formel gelte stets? a b c d j0 j 2 j0 1j j 2 1 Siehe ächstes Blatt!

5 7. Sei X { 1 + 1/ N}. Was ist die Mege der Häufugspute vo X? a {1} b { 1} c { 1 } d {±1} e X Eletroische Erlärug der Bereitschaft eie oder mehrere Aufgabe vorzulöse: bis Mittwoch, 25. Otober 2017, 11:00, uter Abgabe der schriftliche Lösuge zu dejeige Aufgabe, für welche Sie ausgewählt wurde: bis Mittwoch, 25. Otober 2017, 15:15, im Fach Ihres Übugsleiters im HG F 27, per a Ihre Übugsleiter oder im Kolloquium. Olie-Abgabe der Multiple-Choice-Frage: bis Freitag, 27. Otober 2017, 8:00, uter

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