FOS 1995, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Analytische Geometrie, Aufgabengruppe B II

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Mareke Junge
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1 Aufgabenstellung In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ), B( 3) und C( 3) gegeben.. Die Punkte A und B bestimmen die Gerade g. Die Ebene E enthält den Punkt C und steht senkrecht auf der Geraden g. (a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. (Teilergebnis: E : x x + x 3 3 = ) (b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g mit der Ebene E. (Ergebnis: S( )) (c) Zeigen Sie, dass der Punkt A durch Spieglung an der Ebene E in den Punkt B übergeführt wird. (d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. (e) Zeigen Sie dass die Gerade h : x = + µ µ R senkrecht auf der Fläche des Dreiecks ABC steht. (f) Die Punkte H und H liegen so auf der Geraden h, dass das Volumen der Pyramiden ABCH und ABCH jeweils 8 VE beträgt. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte H und H.. Gegeben sind ferner die Ebenen F a : x + ax + x 3 6 = mit a R. (a) Untersuchen Sie, ob eine der Ebenen F a die Gerade g enthält. (b) Bestimmen Sie den Wert a R so, dass die zugehörige Ebene F a mit der Ebene E identisch ist. (c) Alle Ebenen F a haben eine Gerade s gemeinsam. i. Begründen Sie ohne Rechnung, dass diese Gerade s den Punkt S aus Teilaufgabe (b) enthält. ii. Bestimmen Sie nun eine Gleichung dieser Geraden s. c 3, Thomas Barmetler

2 Lösungsvorschlag. (a) Aufpunkt von g sei der Punkt A. Der Richtungsvektor von g sei der Vektor AB. g : x = + k g : x = + k Da die Ebene senkrecht auf der Geraden steht, ist der Richtungsvektor der Geraden gleichzeitig der Normalenvektor der Ebene. n ( x a) = AB ( x c) = x = 3 x x + x 3 ( + 6) = x x + x 3 3 = (b) Die Komponenten von g in E einsetzen und Wert für k bestimmen (k) ( k) + ( + k) 3 = 9k 9 = k = Wert von k in Geradengleichung ergibt Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes S s = + S( ) (c) Abstand des Punktes A von E ermitteln d = d = d = 3 d = 3 a a + a ( ) + + () 3 9 c 3, Thomas Barmetler

3 (d) Um die Koordinaten des Spiegelpunktes vom Punkt A in Bezug zur Ebene E zu erhalten, muss zum Ortsvektor des Punktes A zwei Mal der Normalenvektor der Ebene E mit der Länge d = 3 addiert werden. a 3 = a + n n a = a = 3 Die Koordinaten des Spiegelpunktes A entsprechen den Koordinaten des Punktes B. A = AB AC A = A = 6 A = () + () + ( 6) A = 9 (e) Normalenvektor der Dreiecksfläche aus vorheriger Teilaufgabe n = AB AC n = n = 6 Untersuchung ob der Richtungsvektor der Geraden h und der Normalenvektor der Dreiecksfläche linear abhängig sind. = = wahre Aussage Die Gerade g steht senkrecht auf der Dreiecksfläche. c 3, Thomas Barmetler 3

4 Alternativer Nachweis: Falls die Gerade g senkrecht auf der Dreiecksfläche steht, so muss das Vektorprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Dreiecksfläche den Nullvektor ergeben. n u = n u = (f) Um das Volumen der Pyramide bestimmen zu können, müssen die drei Differenzvektoren der Eckpunkte bekannt sein. µ AB = AC = AH = µ µ Formel für das Volumen einer Pyramide ansetzen. Das Volumen mit V = 8 vorgeben und einen Wert für µ bestimmen. V = 6 AH ( AB AC) 8 = µ 6 µ 8 = µ µ µ µ 6 8 = µ µ 6µ 8 = 5µ µ = µ = in Gleichung der Geraden h H ( 3) Da in der Formel für das Volumen einer Pyramide das Vektorprodukt nicht nur mit AB AC, sondern auch mit AC AB berechnet werden kann, ergibt sich noch ein zweiter Wert für µ, so dass das Volumen der Pyramide trotzdem 8 VE beträgt. V = 6 AH ( AC AB) 8 = µ 6 µ µ c 3, Thomas Barmetler

5 8 = µ µ µ 6 8 = µ + µ + 6µ 8 = 5µ µ = µ = in Gleichung der Geraden h H ( 6 ). (a) Gerade g in Gleichung der Ebene F a einsetzen. Erhält man eine vom Parameter der Geradengleichung unabhängige wahre Aussage (d. h. der Parameter der Geradengleichung wird eliminiert), so enthält die Ebene F a die Gerade g. Aus Teilaufgabe (a): g : x = + k ( + k) + a ( k) + ( + k) 6 = k ak + a = ( a) k + a = Damit der Parameter k keinen Einfluss hat muss gelten: a = a = 5 Die Ebene F 5 : x + 5x + x 3 6 = enthält die Gerade g. (b) Falls die Ebenen E und F a identisch sind muss gelten: n (E) n (Fa) = n (E) n (Fa) = n 3(E) n 3(Fa) = n (E) n (Fa) (c) = a = = 3 a = 6 Die Ebene F mit a = ist identisch mit der Ebene E. i. Setzt man die Koordinaten des Punktes S in die Ebenengleichung von F a ein, so sieht man, dass der Parameter a stets mit Null multipliziert wird. Er hat also keinen Einfluss mehr. Deshalb erhält man unabhängig vom Wert des Parameters a stets eine wahre Aussage =. Die Ebenengleichungen F a liefern mit den Koordinaten des Punktes S unabhängig vom Wert des Parameters a stets eine wahre Aussage. Deshalb ist S ein Element aller Ebenen F a. c 3, Thomas Barmetler 5

6 ii. Um eine Geradengleichung aufstellen zu können benötigt man neben dem Punkt S einen weiteren Punkt Q. Auch bei diesem muss die x -Koordinate Null sein, damit der Parameter a keinen Einfluss mehr hat und somit der Punkt Q ein Element aller Ebenen F a ist. Indem man einen beliebigen Wert für x wählt (der Einfachheit halber x = ) kann die x 3 -Koordinate des Punktes Q berechnet werden. + a + x 3 6 = x 3 = 3 Q( 3 ) Aufstellen der Geradengleichung mit den Punkten S und Q s : x = s + l u s : x = s + l ( q s) s : x = + l s : x = + l c 3, Thomas Barmetler 6

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