Proseminar über multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie

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1 Proseminar über multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Aufgabensteller: Dr. M. Kaplan Josef Lichtinger Montag, 1. Dezember 008

2 Proseminar WS0809 Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 3 Lösung 4.1 Bestimmung von d(h Symmetriebetrachtungen und Koordinatensystemwahl Konstruktion von d(h Berechnung von d(h Explizite Werte für h h = a lim d(h h..3 lim d(h h 0 3 Alternative Berechnung von d(h mittels Analysis Koordinatensystemwahl und Aufstellung der Gerade g Allgemeiner Weg d(h, x Minimaler Weg d(h, x Abbildungsverzeichnis 16

3 Proseminar WS Aufgabenstellung P sei eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche F (Seitenlänge a und Höhe h. Ihre Spitze sei S, zwei nicht benachbarte Ecken ihrer Grundflächen seien A und C. a Ermitteln Sie den kürzesten Weg von A nach C auf der Oberfläche von P (nicht jedoch auf der Grundfläche und seine Länge d für h = a/ (zeichnerische Lösung gilt! b d = d(h sei die Länge des kürzesten Weges von A nach C in Abhängigkeit von h. Ermitteln Sie lim d(h für h 0 und für h.

4 Proseminar WS Lösung.1 Bestimmung von d(h.1.1 Symmetriebetrachtungen und Koordinatensystemwahl Es ist der kürzeste Weg von A nach C gesucht, der nicht über die Grundfläche geht. Es muss also ein Weg von A nach C gefunden werden, der über die Mantelfläche der Pyramide geht. Da die Seitenlängen a der Pyramidengrundfläche alle gleich sind, ist die Pyramide spiegelsymmetrisch zu den Ebenen, die die Kanten der Pyramidenoberfläche und die Diagonalen der Grundfläche enthalten. Hier ist das einmal die Ebene, die durch die Vektoren AC und AS aufgespannt wird und die Ebene, die durch BD und BS aufgespannt wird. Das heißt, wenn man die Pyramide in zwei Teile unterteilt, wobei die Schnittebene zum Beispiel A, C und S enthält (also die Ebene, die durch AC und AS aufgespannt wird, braucht man nur einen Teil betrachten, da aufgrund der Symmetrie kein neuer Weg entstehen würde. Das heißt es ist egal, ob der Weg von A nach C über die Strecke BS oder über DS geht. Im Folgenden wird deshalb die rechte Seite der Pyramide untersucht, wie in Abb.1 zu sehen ist. Abbildung 1: Quadratische Pyramide mit Seitenlänge a und Höhe h. Der Bereich, auf dem gerechnet wird ist blau dargestellt, der gelbe bzw. durchsichtige Bereich muss aufgrund der Symmetrie nicht extra betrachtet werden. Links: Pyramide von oben; Rechts: 3D Ansicht der Pyramide

5 Proseminar WS Wiederum die Hälfte davon reicht für die Berechnung des kürzesten Weges aus, da beide Viertel wieder symmetrisch sind. Einen Weg von A nach C erhält man, wenn man die Strecke vom Punkt A zur Kante BS an der Ebene, die durch BD und BS aufgespannt wird, spiegelt (vgl. Abb.. Abbildung : Die blaue Strecke erhält man durch Spiegelung der grünen Strecke an der Ebene, die durch die Punkte D,S und B geht (lila Abbildung 3: Der für die Rechnung zu betrachtende Bereich (blau kann aufgrund der Symmetrie weiter reduziert werden. Links: Pyramide von oben; Rechts: 3D Ansicht des relevanten Bereichs

6 Proseminar WS Das bedeutet, die Strecke vom Punkt A zur Kante SB ist die Hälfte von d(h. Daher reicht es für die Berechnung von d(h aus nur eine Seite der Mantelfäche der Pyramide zu betrachten, wie in Abb.3 dargestellt ist. Weiterhin wird das Koordinatensystem so gewählt, dass sich dieses 3 dimensionale Problem auf ein dimensionales Problem vereinfacht, das heißt, die x-y- Ebene des Koordinatensystems ist die Ebene, die von den Vektoren AS und AB aufgespannt wird (blaue Fläche in Abb.4. Abbildung 4: Die blaue Fläche stellt die x-y- Ebene des Koordinatensystems dar..1. Konstruktion von d(h Um d(h zu konstruieren, geht man wie folgt vor: Man fällt das Lot von A auf die Strecke BS, wobei der Lotfußpunkt P genannt wird (vgl. Abb.5. AP ist auch die Höhe des Dreiecks ABS. Da das Lot die kürzeste Verbindung ist, hat man dadurch den optimalen Weg von A zur Strecke BS gefunden. Die Höhe des Dreiecks ABS, bzw. die Länge der Strecke AP ist dann gerade d(h. Um den gesamten Weg zu erhalten, muss jetzt nur noch AP an der Ebene, die die Punkte B, D und S enthält, gespiegelt werden (vgl. Abb.. Dynamische Veranschaulichung der Konstruktion

7 Proseminar WS Abbildung 5: Konstruktion der Strecke AP, die der minimalen Weg d(h ist. Links: Die Lotgerade von A zur Strecke BS definiert den Punkt P. Rechts: Fertige Strecke AP mit der Länge d(h.1.3 Berechnung von d(h Um nun d(h analytisch zu bestimmen muss zuerst die Gerade g, die die Strecke SB (rote Linie in Abb.6 enthält, aufgestellt werden. Als Aufpunkt kann B gewählt werden. Der Richtungsvektor v ist v = B S. Damit ergibt sich für die Gerade g in diesem zweidimensionalen Koordinatensystem: g : ( a 0 ( a + λ H(h mit λ R und H(h = ( a + h. H(h wurde aus der dreidimensionalen Betrachtung der Pyramide mittels Pythagoras berechnet (vgl. Abb.6. Um den Abstand von Punkt A, der in den Ursprung gelegt wurde, zu der Strecke BS zu berechnen, muss die Hessenormalform der Hyperebene, die die Strecke BS enthält, aufgestellt werden. Im zweidimensionalen ist die Hyperebene, die BS enthält, gerade die Gerade g. Um g in Hessenormalform darstellen zu können, wird der Normalenvektor n 0 von g benötigt, der orthogonal zum Richtungsvektor v ist. Ein zu v senkrechter Vektor n 0 ist:.

8 Proseminar WS Abbildung 6: Aufgrund der Wahl des Koordinatensystems, muss H(h = ( a + h berechnet werden n 0 = ( H(h a Dass v und n 0 wirklich orthogonal sind, kann mit dem Skalarprodukt überprüft werden: v, n 0 = ( a H(h ( H(h a = 0 Da das Skalarprodukt 0 wird, steht n 0 senkrecht auf v. n Für die Hessenormalform wird der normierte Normalenvektor 0 n 0 benötigt. n Für 0 ergibt sich: n 0 n 0 n 0 = 1 ( a + H(h ( H(h a Jetzt kann die Hessenormalform der Gerade g aufgestellt werden: ( ( n 0 x a g : n 0, = 0 y 0 1 g : ( a (H(hx + a + H(h y H(ha = 0

9 Proseminar WS Aus der Hessenormalform kann dann direkt der Abstand vom Ursprung zu g abgelesen werden. Da der Punkt A im Koordinatenursprung liegt, ist es also der minimale Abstand vom Punkt A zu g und somit der minimale Abstand vom Punkt A zur Strecke SB und damit d(h. 1 g : ( a (H(hx + a + H(h y H(ha = ( a + H(h }{{} d(h Damit ergibt sich also für d(h: d(h = ( H(ha ( a = a a + h + H(h a + h a d(h = a +8h a +h ( Die Strecke vom Punkt A zur Gerade g mit der Länge d(h ist senkrecht zu der Gerade g. Wie schon oben erwähnt, gilt das gleiche für die Strecke von der Gerade g zum Punkt C. Im 3 dimensionalen ergibt sich also das Bild, das in Abb.7 dargestellt ist, wobei die blaue Linie den minimalen Weg mit der Länge d(h von A nach C auf der Pyramidenoberfläche visualisiert. Abbildung 7: Minimaler Weg d(h(blau von A nach C über den Pyramidenmantel für h = a. Links: Vorderansicht; Rechts: Draufsicht

10 Proseminar WS Explizite Werte für h..1 h = a ( a a d = a + a a + a = 3 a Zur Visualisierung der kürzesten Strecke d(h von A nach C auf der Pyramidenoberfläche für h = a vgl. Abb.7... lim h d(h lim d(h = lim a h h a + 8h a + h = a lim h a + 8h a + h = a lim h 16h }{{} 4h 4 = a Abbildung 8: Für h wird die Pyramide zu einem nach oben offenen Quader mit quadratischer Grundfläche. Der kürzeste Weg d(h(blau von A nach C ist dann genau der halbe Umfang der Grundfläche. Dieses Ergebnis ist anschaulich klar. Geht die Höhe der Pyramide gegen unendlich, denn stehen die Kanten der Pyramide senkrecht auf die Grundfläche F und es entsteht ein nach oben offener Quader. Das heißt, der kürzeste Weg

11 Proseminar WS (senkrecht zu den Kanten der Pyramide bzw. Quader läuft entlang des Umfangs der Grundfläche (vgl. Abb.8 und ist somit a + a = a. Bemerkung: Der Limes kann unter die Wurzel gezogen werden, da die Wurzelfunktion stetig ist beim vorletzten Gleichheitszeichen wurden die Rechenregeln von l Hôpital angewandt..3 lim h 0 d(h lim d(h = lim a h 0 h 0 a + 8h a + h = a a a = a Auch hier überrascht das Ergebnis nicht. Für h 0 ist der Pyramidenmantel gerade die Grundfläche F und die Kanten der Pyramide sind die Diagonalen (AC und BD der Grundfläche F. Der kürzeste Weg ist wieder das Lot auf die Kanten und ist somit die direkte Verbindung von A nach C (vgl. Abb.9. Er ist dann laut Pythagoras: d(h 0 = a + a = a Dieses Ergebnis ist konsistent mit dem obigen Limes. Bemerkung: Bei sämtlichen Rechnungen wurde der Betrag vernachlässigt, da a laut Angabe nicht negativ ist. Außerdem handelt es sich hier um ein anschaulich geometrisches Problem mit positiven Längen. 3 Alternative Berechnung von d(h mittels Analysis 3.1 Koordinatensystemwahl und Aufstellung der Gerade g Um diese Aufgabe mit Analysis zu lösen, wird wieder das gleiche Koordinatensystem wie oben gewählt, damit sich das 3 dimensionale Problem auf

12 Proseminar WS Dimensionen reduziert. Das bedeutet, es wird wieder nur eine Seite der Pyramidenmantelfläche betrachtet um damit d(h zu berechnen, was die Rechnung erheblich vereinfacht. Wie auch oben muss wieder die Gerade g aufgestellt werden (vgl. Abb. 10. Für g, die die Strecke BS enthält, gilt wieder (vgl. oben auf Seite 7: Abbildung 9: Für h 0 geht die ganze Pyramide in ihre Grundfläche über. Der kürzeste Weg d(h(blau von A nach C ist dann genau die Diagonale der Grundfläche von A nach C. Abbildung 10: Vordere Seite der Pyramide mit der Gerade g. H(h muss wieder aus h berechnet werden.

13 Proseminar WS g : B ( ( + λ B S a = 0 ( a + λ H(h = ( x y mit λ R Man hat Gleichungen, die die Gerade g charakterisieren. Die 1. Gleichung gibt die x-koordinaten aller Punkte auf der Geraden g an und die. Gleichung die y-koordinaten: (1 x = a + λ a ( y = λh(h Wenn jetzt λ eliminiert wird, ergibt sich die Geradengleichung für g: Gleichung (1 nach λ auflösen: λ = a (x a und in Gleichung ( einsetzen: y = H(h a (a x Damit hat man jetzt die x- und y- Koordinaten aller Punkte auf g unabhängig von λ bestimmt. Bemerkung: Dieses Ergebnis hätte man auch einfacher aus der Hessenormalform von g auf Seite 8 haben können. Man hätte nur den Normierungsfaktor ( a + H(h herauskürzen und nach y auflösen müssen. 3. Allgemeiner Weg d(h, x Mit Pythagoras kann man dann den allgemeinen Abstand eines Punktes auf g vom Ursprung (bzw. von A in Abhängigkeit von x berechnen (vgl. Abb. 11: d(h, x = x + y = x + 4H(h a (a x Damit erhält man für d(h, x: d(h, x = x + 4H(h a (a x

14 Proseminar WS Abbildung 11: d(h,x kann aus x und y(x berechnet werden. 3.3 Minimaler Weg d(h, x 0 Wenn man jetzt d(h, x nach x ableitet und gleich Null setzt, bekommt man dann den optimalen Wert für x 0, mit dem der Weg d(h, x 0 minimal wird: d dx d(h, x = a x 8H(h (a x a 4H(h (a x + a x = 0 x 0 = 4aH(h a + 4H(h Wird x 0 in d(h, x eingesetzt, ergibt sich: a d(h, x 0 = 4 H(h a + 4H(h Wenn dann noch H(h = ( a + h eingesetzt und d(h, x 0 ein wenig vereinfacht wird, ergibt sich das gleiche Ergebnis wie bei obiger Betrachtung (vgl. ( auf Seite 9: d(h, x 0 = a a + 8h a + h

15 Proseminar WS Bemerkung: Eigentlich müsste man noch überprüfen, ob das Extremum von d(h, x für x = x 0 auch ein Minimum ist. Das kann man sich aber sparen, da d(h, x 0, abgesehen von den Randextrema, keine weiteren Extrema haben kann (Es gibt den minimalen Weg. Weicht man von diesem Weg ab, wird d(h, x größer, bis man für h und h 0 den Rand des Koordinatensystems erreicht hat. Im Grunde wurde jetzt die Strecke BS allgemein in Abhängigkeit eines Variationsparameters (hier x aufgestellt. Dieser Parameter wurde dann variiert, so dass der Punkt P von B auf der Strecke BS nach S läuft (das ist beispielhaft mit den grünen Linien in Abbildung1 dargestellt. Dabei soll x zwischen und 1 liegen, damit P wirklich nur auf BS liegt. Während dieser Variation wird die Länge d(h,x der Strecke AP betrachtet und ein Minimum gesucht. Ist x 0 der Minimalpunkt, dann ist die Länge des kürzesten Weges von A nach C d(h, x 0 (blaue Linie in Abb.1. d(h,x Abbildung 1: Es werden die Wege d(h, x bzw. mit x variiert, bis der optimale (kürzeste Weg gefunden ist. Die grünen Linien sollen beispielhaft die Variation darstellen und die blaue Linie ist der optimale Weg.

16 Proseminar WS Abbildungsverzeichnis 1 Wesentlicher Bereich der Pyramide Pyramide mit Spiegelebene Relevanter Pyramidenbereich für die Rechnung Koordinatensystem an der Pyramide Konstruktion von d(h Bestimmungsdreieck für H(h d(h an der Pyramide für h = a d(h für h d(h für h Vordere Pyramidenseite mit g und H(h Bestimmung von d(h,x Darstellung der Variation