Tangente an eine Kurve

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1 Tangente an eine Kurve Wolfgang Kippels 22. Februar 2019 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Einleitung 3 3 Tangentenbestimmung im Berührpunkt 3.1 Problemdarstellung Zusammenfassung Beispiele Beispiel Beispiel 2: Tangente mit bekannter Steigung.1 Problemdarstellung Grundsätzliche Vorgehensweise an einem Beispiel Weiteres Beispiel Tangentenbestimmung von einem Punkt außerhalb Problemstellung Grundsätzliche Lösungsstrategien Weiteres Beispiel Übungsaufgaben Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Lösungen der Übungsaufgaben Aufgabe

2 7.2 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe

3 1 Vorwort Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe. Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend beschriebenen Generationenvertrages : Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen (oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die nachfolgende Generation weiter. Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine kleine an die folgende Adresse: Vielen Dank! 2 Einleitung In diesem Artikel geht es darum, an den Graph einer bekannten Funktion eine (oder mehrere) Tangente(n) zu legen und die zugehörige(n) Tangentengleichun(en) zu berechnen. Für das Verständnis müssen die Grundkenntnisse der Differentialrechnung vorausgesetzt werden. Diese kann man beispielsweise hier nachlesen: 3

4 3 Tangentenbestimmung im Berührpunkt 3.1 Problemdarstellung Nebenstehend ist eine Funktion f dargestellt. Im Berührpunkt B soll eine Gerade g als Tangente an den Graphen von f angelegt werden. Die Geradengleichung g(x) soll berechnet werden. Die Vorgehensweise möchte ich an einem Beispiel erläutern. Beispiel: Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x) = x 2 x + 5 Die Gerade soll an der Stelle x B = 3 den Funktionsgraphen von f als Tangente berühren. y f g 2 1 B x Lösung: Zunächst wird der y-wert y B des Punktes B berechnet. y B = f(x B ) = x 2 B x B + 5 = y B = 2 Damit ist der Berührpunkt B(3 2) bekannt. Ausgegangen wird von der Funktionsgleichung der Tangenten als Geradengleichung in Normalform: g(x) = mx + b Da die Gerade die Kurve berührt, haben beide die gleiche Steigung. Diese kann berechnet werden. Dafür wird zunächst die Ableitung der gegebenen Funktion benötigt. f(x) = x 2 x + 5 f (x) = 2x Hiermit kann der Parameter m berechnet werden. Damit sieht die Tangentengleichung so aus: m = f (x B ) = 2x B = 2 3 m = 2 g(x) = 2x + b

5 Zur Berechnung des Parameters b können die bekannten Koordinaten des Berührpunktes B(3 2) eingesetzt werden. g(x B ) = y B 2x B + b = y B b = b = 2 6 b = Damit lautet die Tangentengleichung: g(x) = 2x 3.2 Zusammenfassung Fassen wir die Vorgehensweise allgemein zusammen. Damit kommen wir zu folgenden Schema: 1. Bestimmung der y-koordinate des Berührpunktes 2. Bestimmung der Steigung der Funktion (und damit auch der Tangenten) im Berührpunkt 3. Aufstellen der Tangentengleichung in Normalform. Einsetzen der bekannten Steigung in die Tangentengleichung 5. Einsetzen der Berührpunktkoordinaten in die Tangentengleichung 5

6 3.3 Beispiele Zwei Beispiele sollen das Gelernte vertiefen Beispiel 1 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x) = x 3 6x 2 + 9x An der Stelle x B = 2 soll eine Tangente an den Funktionsgraphen von f gelegt werden. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangenten g! Schritt 1: Schritt 2: Schritt 3: Schritt : Schritt 5: y B = f(x B ) = x 3 B 6x B + 9x B = y B = 2 f(x) = x 3 6x 2 + 9x f (x) = 3x 2 12x + 9 m = 3x 2 B 12x B + 9 = m = 3 g(x) = mx + b g(x) = 3x + b g(x B ) = y B 3x B + b = y B b = b = b = Damit lautet die Funktionsgleichung der Tangente: g(x) = 3x + 6

7 3.3.2 Beispiel 2: Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x) = 2x 6x An der Stelle x B = 1 soll eine Tangente an den Funktionsgraphen von f gelegt werden. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangenten g! Schritt 1: Schritt 2: Schritt 3: Schritt : Schritt 5: y B = f(x B ) = 2x B 6x2 B + 5 = y B = 1 f(x) = 2x 6x f (x) = x 3 12x m = f (x B ) = x 3 B 12x B = m = g(x) = mx + b g(x) = x + b g(x B ) = y B x B + b = y B 1 + b = 1 + b = 1 + b = 5 Damit lautet die Funktionsgleichung der Tangente: g(x) = x + 5 7

8 Tangente mit bekannter Steigung.1 Problemdarstellung Gegeben ist jetzt neben der Funktion f noch eine Gerade g 1. Diese Gerade soll so parallelverschoben werden, dass sie den Funktionsgraphen von f als Tangente berührt. Die verschobene Gerade heißt dann g 2. Nebenstehend ist ein Beispiel dargestellt mit f(x) = x 2 x + 6 und g 1 (x) = 2x 1. Die Gerade wird so (nach rechts) verschoben, dass sie die Parabel im Punkt B berührt. Wie kann nun die Funktionsgleichung von g 2 berechnet werden? y f g 1 g 2 B x.2 Grundsätzliche Vorgehensweise an einem Beispiel Beim Verschieben der Gerade verändert sich ihre Steigung nicht. Im Berührpunkt muss also die Steigung der Geraden mit der Steigung der Kurve übereinstimmen. Außerdem müssen die Koordinaten des Berührpunktes sowohl die Funktionsgleichung von f(x) als auch von g 2 (x) erfüllen. 1 Führen wir das für unser Beispiel durch. Die Funktionsgleichung der Tangente hat diese Normalform: g 2 (x) = mx + b Dabei ist der Parameter m aus der Funktionsgleichung der Geraden g 1 mit m = 2 bekannt. Setzen wir das in die Gleichung von g 2 ein, erhalten wir: g 2 (x) = 2x + b Ich benenne die Koordinaten des Berührpunktes mit B(x B y B ). Den Wert für x B erhalten wir aus der Bedingung für gleiche Steigung im Berührpunkt. f (x B ) = m f (x B ) = m 2x B = 2 + 2x B = 6 : 2 x B = 3 1 Die Vorgehensweise ähnelt sehr der Methode, die man zum Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften verwendet. Das ist beispielsweise hier ausführlich beschrieben:

9 Als nächstes nutzen wir aus, dass im Berührpunkt beide y-werte übereinstimmen müssen. Deshalb können wir die beiden Funktionsgleichungen mit x = x B gleichsetzen. g 2 (x B ) = f(x B ) g 2 (x B ) = f(x B ) 2x B + b = x 2 B x B b = b = 3 6 b = 3 Damit lautet die gesuchte Geradengleichung: g 2 (x) = 2x 3.3 Weiteres Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x) = x 3 9x 2 + 2x 10 und die Gerade mit der Gleichung: g 1 (x) = 9x + 3 Die Gerade soll so verschoben werden, dass sie die Gerade als Tangente berührt. Nebenstehend sind der Funktionsgraph sowie die Geraden dargestellt. Wie mal leicht erkennt, gibt es zwei Lösungen, die Gerade g 21 mit dem Berührpunkt B 1 und die Gerade g 22 mit dem Berührpunkt B 2. y g g 21 1 f B 2 B 1 g 22 x Gehen wir zur Lösung genauso vor, wie im ersten Beispiel. f (x B ) = m 3x 2 B 1x B + 2 = 9 9 3x 2 B 1x B + 15 = 0 : 3 x 2 B 6x B + 5 = 0 x B1/2 = 3 ± 9 5 x B1/2 = 3 ± 2 x B1 = 1 x B2 = 5 Für beide Lösungen müssen jetzt separat die b-werte bestimmt werden. Beginnen wir mit dem Parameter b 1 für den Punkt B 1. g 21 (x B1 ) = f(x B1 ) 9x B1 + b 1 = x 3 B1 9x2 B1 + 2x B b 1 = b 1 = 6 9 b 1 = 3 9

10 Mit diesem Ergebnis lautet die erste Geradengleichung: g 21 (x) = 9x 3 Mit x B2 = 5 kann nun b 2 berechnet werden. g 22 (x B1 ) = f(x B2 ) 9x B2 + b 2 = x 3 B2 9x2 B2 + 2x B b 1 = b 2 = 10 5 b 1 2 = 35 Damit lautet die zweite Geradengleichung: g 22 (x) = 9x 35 10

11 5 Tangentenbestimmung von einem Punkt außerhalb 5.1 Problemstellung Jetzt soll ein Punkt P gegeben sein, der nicht auf dem Funktionsgraphen liegen soll. Im nebenstehd dargestellten Beispiel gibt es zwei Lösungen, je nach Art der Funktion und Lage des Punktes P können es aber auch mehr oder weniger sein. Es stellt sich die Frage: Wie können diese Tangenten ermittelt werden? y f B 1 Die Vorgehensweise möchte ich an einem Beispiel zeigen, zu dem auch der nebenstehende Funktionsgraph passt. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f(x) = x 2 x g 2 B 2 g 1 P x Der Punkt, durch den die Tangenten verlaufen sollen, heißt P (3 2). 5.2 Grundsätzliche Lösungsstrategien Gehen wir zur Lösung zunächst allgemein von einem Punkt P (x P y P ) und einem Berührpunkt B(x B y B ) aus. Damit können wir die Geradensteigung m angeben. m = y x = y B y P x B x P Da der Wert y B durch die Funktion f gegeben ist können wir ds einsetzen: m = f(x B) y p x B x P Die Steigung m ist zugleich auch die Ableitung f (x). Die Steigung der Geraden und der Tangenten müssen im Berührpunkt übereinstimmen. Das setzen wir ein. f (x B ) = f(x B) y p x B x P Damit haben wir eine Gleichung erhalten, aus der x B berechnet werden kann. 11

12 Im konkreten Beispiel sieht das dann so aus: f (x B ) = f(x B) 2 x B 3 2x B = (x2 B x B + 6) 2 x B 3 2x B = x2 B x B + x B 3 (x B 3) (2x B ) (x B 3) = x 2 B x B + 2x 2 B 6x B x B + 12 = x 2 B x B + 2x 2 B 10x B + 12 = x 2 B x B + x B 6x B + = 0 x B1/2 = 3 ± 9 x B + x x B1/2 = 3 ± 1 x B1 = x B2 = 2 Mit diesen x-werten kann über f (x B ) jeweils die Steigung der Geraden bestimmt werden. Mit Steigung und einem bekannten Punkt kann dann die jeweilige Geradengleichung bestimmt werden. Führen wir das zunächst für x B1 durch. Damit hat die Gerade g 21 diese Form: m 1 = f (x B1 ) = 2x B1 = 2 = g 21 (x) = x + b 1 Um b 1 zu bestimmen werden die Koordinaten von P (3 2) in diese Funktionsgleichung eingesetzt. g 21 (x P ) = y P x P + b 1 = y P 3 + b 1 = b 1 = 2 12 b 1 = 10 Damit erhalten wir die gesuchte erste Tangentengleichung: g 21 (x) = x 10 Jetzt machen wir das Gleiche mit der Tangenten g 22. Damit hat die Gerade g 22 diese Form: m 2 = f (x B2 ) = 2x B2 = 2 2 = 0 g 22 (x) = 0 x + b 1 Wegen des Sonderfalles m 2 = 0 wird der nächste Schritt noch etwas einfacher. g 21 (x P ) = y P 0 x P + b 1 = y P b 1 = 2 12

13 Die zweite Tangentengleichung lautet also: g 22 (x) = Weiteres Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x 3 6x 2 + 9x 1 sowie der Punkt P (1 ). Gesucht sind alle Tangenten an den Funktionsgraphen von f, die durch P verlaufen. y 3 2 B 1 P g 1 g 2 f Bevor wir mit der ersten hergeleiteten Formel zur Berechnung von x B beginnen können, benötigen wir noch die Ableitung von f. f(x) = x 3 6x 2 + 9x 1 f (x) = 3x 2 12x B x Damit können wir die beim ersten Beispiel angesprochene Formel zur Berechnung von x B nutzen. f (x B ) = f(x B) y p x B x P 3x 2 B 12x B + 9 = x3 B 6x2 B + 9x B 1 (x B 1) x B 1 (x B 1) (3x 2 B 12x B + 9 ) = x 3 B 6x2 B + 9x B 5 3x 3 B 12x2 B + 9x B 3x 2 B + 12x B 9 = x 3 B 6x2 B + 9x B 5 3x 3 B 15x2 B + 21x B 9 = x 3 B 6x2 B + 9x B 5 x 3 B + 6x2 B 9x B + 5 2x 3 B 9x2 B + 12x B = 0 Mit einem beliebigen Verfahren 2 oder auch mit dem GTR erhält man folgende Lösungen: x B1 = 0,5 x B2 = 2 An der Gleichung erkennt man schon, dass bis zu drei Lösungen möglich sind. (In diesem Fall ist aber x B2 = 2 eine doppelte Lösung.) Außerdem ist (vermutlich) ersichtlich, dass bei Funktionstermen mit Polynomen höheren Grades mehr Rechenaufwand notwendig ist. 3 Für jeden x B -Wert muss nun ein eigener Lösungsweg vorgenommen werden. 1. Teillösung für x B1 = 0,5: 2 Details siehe auch hier: 3 Deshalb möchte ich an dieser Stelle auf weitere Beispiele dazu verzichten. 13

14 Damit hat die Gerade g 21 diese Form: m 1 = f (x B1 ) = 3x B x B1 + 9 = 3 0, ,5 + 9 m 1 = 3,75 g 21 (x) = 3,75x + b 1 Um b 1 zu bestimmen werden die Koordinaten von P (1 ) in diese Funktionsgleichung eingesetzt. g 21 (x P ) = y P 3, b 1 = 3,75 b 1 = 0,25 Damit erhalten wir die gesuchte erste Tangentengleichung: g 21 (x) = 3,75x + 0,25 Damit hat die Gerade g 22 diese Form: 2. Teillösung für x B2 = 2: m 2 = f (x B2 ) = 3x B x B2 + 9 = m 2 = 3 g 22 (x) = 3x + b 2 Um b 2 zu bestimmen werden die Koordinaten von P (1 ) in diese Funktionsgleichung eingesetzt. g 22 (x P ) = y P b 2 = + 3 b 2 = 7 Damit erhalten wir die gesuchte zweite Tangentengleichung: g 22 (x) = 3x + 7 1

15 6 Übungsaufgaben 6.1 Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x 3 + 6x 2 Gesucht ist die Geradengleichung g(x) für die Tangente, die den Funktionsgraphen im Berührpunkt bei x B = 2 berührt. 6.2 Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x x 3 + 6x 2 x + 2 Gesucht ist die Geradengleichung g(x) für die Tangente, die den Funktionsgraphen im Berührpunkt bei x B = 2 berührt. 6.3 Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x 3 + 6x 2 9x + 2 An den Funktionsgraphen soll eine Gerade mit der Steigung m = 9 Berechnen Sie die Funktionsgleichungen für alle möglichen Geraden! angelegt werden. 6. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: Die Gerade g 1 mit der Funktionsgleichung f(x) = x 3 3x 2 + x 2 g 1 (x) = x 10 soll so verschoben werden, dass sie den Funktionsgraphen von f als Tangente berührt. Berechnen Sie alle möglichen Geradengleichungen! 6.5 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x) = x 2 Vom Punkt P (2 3) aus soll eine Tangente an die Parabel gelegt werden. Berechnen Sie alle möglichen Tangentengleichungen! 15

16 6.6 Aufgabe 6 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x) = 1 3 x3 2x 2 3x + 2 Vom Punkt P (1 1) aus soll eine Tangente an die Parabel gelegt werden. Berechnen Sie alle möglichen Tangentengleichungen! 16

17 7 Lösungen der Übungsaufgaben 7.1 Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x 3 + 6x 2 Gesucht ist die Geradengleichung g(x) für die Tangente, die den Funktionsgraphen im Berührpunkt bei x B = 2 berührt. Lösung: Zunächst wrid die Steigung der Geraden als Ableitung im Berührpunkt berechnet. f(x) = x 3 + 6x 2 f (x) = 3x x m = f (x B ) = 3 ( 2) ( 2) m = 12 Damit kann die Geradengleichung schon etwas konkretisiert werden. g(x) = 12x + b 6 f g B 2 y x Als nächstes wird der Funktionswert im Berührpunkt B(x B y B ) bestimmt. y B = f(x B ) = f( 2) = ( 2) ( 2) 2 = + 2 y B = 16 Die Koordinaten des Berührpunktes werden in die Geradengleichung eingesetzt. g(x B ) = y B m x B + b = y B 12 ( 2) = 16 2 = 16 2 b = Somit lautet die gesuchte Geradengleichung: g(x) = 12x 17

18 7.2 Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x x 3 + 6x 2 x + 2 Gesucht ist die Geradengleichung g(x) für die Tangente, die den Funktionsgraphen im Berührpunkt bei x B = 2 berührt. Lösung: Zunächst wrid die Steigung der Geraden als Ableitung im Berührpunkt berechnet. y f(x) = x x 3 + 6x 2 x + 2 f (x) = x 3 12x x m = f (x B ) = m = f 2 B g Damit kann die Geradengleichung schon etwas konkretisiert werden. g(x) = x + b Als nächstes wird der Funktionswert im Berührpunkt B(x B y B ) bestimmt. y B = f(x B ) = f(2) = = y B = x Die Koordinaten des Berührpunktes werden in die Geradengleichung eingesetzt. g(x B ) = y B m x B + b = y B 2 = 2 b = 6 Somit lautet die gesuchte Geradengleichung: g(x) = x 6 1

19 7.3 Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x 3 + 6x 2 9x + 2 An den Funktionsgraphen soll eine Gerade mit der Steigung m = 9 Berechnen Sie die Funktionsgleichungen für alle möglichen Geraden! angelegt werden. Zunächst wird die Ableitung f berech- Lösung: net. f(x) = x 3 + 6x 2 9x + 2 f (x) = 3x x 9 Die Ableitung muss mit der Geradensteigung im Berührpunkt übereinstimmen. Damit können die x-werte x B1 und x B2 der Berührpunkte bestimmt werden. y 2 0 B 1 g 1 g 2 f x f (x B ) = m 2 B 2 3x 2 B + 12x B 9 = 9 9 3x 2 B + 12x B 5 = 0 : ( 3) x 2 B x B + 15 = 0 x B1/2 = 2 ± = 2 ± 15 = 2 ± 1 2 x B1 = 5 2 x B2 = 3 2 Mit der Funktionsgleichung von f können nacheinander die zugehörigen y-werte y B1 und y B2 bestimmt werden. Untersuchung für B 1 : y B1 = f(x B1 ) = x 3 B1 + 6x2 B1 9x B1 + 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) = = y B1 = 11 19

20 Die Geradengleichung lautet: g 1 (x) = 9 x + b 1 Durch Einsetzen von x B1 und y B1 kann b 1 berechnet werden. g 1 (x B1 ) = y B1 m x B1 + b 1 = y B b 1 = b 1 = 11 b 1 = 3 b 1 = 17 5 Somit lautet die erste gesuchte Geradengleichung: g 1 (x) = 9 x 17 Untersuchung für B 2 : y B2 = f(x B2 ) = x 3 B2 + 6x2 B2 9x B2 + 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) = = y B2 = 11 Die Geradengleichung lautet: g 2 (x) = 9 x + b 2 Durch Einsetzen von x B2 und y B2 kann b 2 berechnet werden. g 2 (x B2 ) = y B2 m x B2 + b 1 = y B b 1 = b 1 = 11 b 2 = 3 b 2 = Hiermit lautet die zweite gesuchte Geradengleichung: g 1 (x) = 9 x 19 20

21 7. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: Die Gerade g 1 mit der Funktionsgleichung f(x) = x 3 3x 2 + x 2 g 1 (x) = x 10 soll so verschoben werden, dass sie den Funktionsgraphen von f als Tangente berührt. Berechnen Sie alle möglichen Geradengleichungen! Lösung: Zunächst wird untersucht, wo die Funktion f die gleiche Steigung wie die Gerade g 1 hat. Dafür wird die Ableitung von f benötigt. f(x) = x 3 3x 2 + x 2 f (x) = 3x 2 6x + f (x B ) = m 3x 2 B 6x B + = 3x 2 B 6x B = 0 : 3 x 2 B 2x B = 0 An dieser Stelle kann man mit der p-q-formel weiterarbeiten. Einfacher geht es jedoch durch Ausklammern von x B und mit dem Lehrsatz: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. y 0 B 1 g 21 g 22 f g B 1 2 x x 2 B 2x B = 0 x B (x B 2) = 0 x B1 = 0 x B2 2 = 0 x B2 = 2 Mit der Funktionsgleichung von f können nacheinander die zugehörigen y-werte y B1 und y B2 bestimmt werden. Untersuchung für B 1 : Die Geradengleichung lautet: y B1 = f(x B1 = x 3 B1 3x2 B1 + x B1 2 = y B1 = 2 g 1 (x) = x + b 1 21

22 Durch Einsetzen von x B1 und y B1 kann b 1 berechnet werden. g 1 (x B1 ) = y B1 m x B1 + b 1 = y B1 0 + b 1 = 2 b 1 = 2 Somit lautet die erste gesuchte Geradengleichung: g 21 (x) = x 2 Die Geradengleichung lautet: Untersuchung für B 2 : y B2 = f(x B2 ) = x 3 B2 3x2 B2 + x B2 2 = y B2 = 2 g 2 (x) = x + b 2 Durch Einsetzen von x B2 und y B2 kann b 2 berechnet werden. g 2 (x B2 ) = y B2 m x B2 + b 2 = y B2 2 + b 2 = 2 b 2 = 6 Hiermit lautet die zweite gesuchte Geradengleichung: g 22 (x) = x 6 22

23 7.5 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x) = x 2 Vom Punkt P (2 3) aus soll eine Tangente an die Parabel gelegt werden. Berechnen Sie alle möglichen Tangentengleichungen! Lösung: In Kapitel 5 (Tangentenbestimmung von einem Punkt außerhalb) hatten wir eine Formel zur Bestimmung von x B entwickelt. Um die Formel nutzen zu können, benötigen wir noch f (x). f(x) = x 2 f (x) = 2x Damit können wir die Formel anwenden. f (x B ) = f(x B) y p x B x P 2x B = x2 B 3 (x B 2) x B 2 2x 2 B x B = x 2 B 3 x2 B + 3 x 2 B x B + 3 = 0 x B1/2 = 2 ± = 2 ± 1 x B1 = 1 x B2 = 3 10 f 5 y B 1 g 1 P B Mit diesen x-werten kann über f (x B ) jeweils die Steigung der Geraden bestimmt werden. Mit Steigung und einem bekannten Punkt kann dann die jeweilige Geradengleichung bestimmt werden. Führen wir das zunächst für x B1 durch. Untersuchung für x B1 = 1: g 2 x Damit hat die Gerade g 1 diese Form: m 1 = f (x B1 ) = 2x B1 = 2 1 = 2 g 1 (x) = 2x + b 1 Um b 1 zu bestimmen werden die Koordinaten von P (2 3) in diese Funktionsgleichung eingesetzt. g 1 (x P ) = y P 2x P + b 1 = y P b 1 = 3 + b 1 = 3 b 1 = 1 Damit erhalten wir die gesuchte erste Tangentengleichung: g 1 (x) = 2x 1 23

24 Untersuchung für x B2 = 3: Damit hat die Gerade g 2 diese Form: m 2 = f (x B2 ) = 2x B2 = 2 3 = 6 g 2 (x) = 6x + b 2 Um b 2 zu bestimmen werden die Koordinaten von P (2 3) in diese Funktionsgleichung eingesetzt. g 2 (x P ) = y P 6x P + b 2 = y P b 2 = b 2 = 3 12 b 2 = 9 Damit erhalten wir die gesuchte zweite Tangentengleichung: g 2 (x) = 6x 9 2

25 7.6 Aufgabe 6 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung: f(x) = 1 3 x3 2x 2 3x + 2 Vom Punkt P (1 1) aus soll eine Tangente an die Parabel gelegt werden. Berechnen Sie alle möglichen Tangentengleichungen! Lösung: Zunächst wird die Ableitung der Funktion f bestimmt. f(x) = 1 3 x3 2x 2 3x + 2 f (x) = x 2 x 3 Damit lässt sich die in Kapitel 5 hergeleitete Formel zur Bestimmung des x-wertes x B des Berührpunktes anwenden. g 2 B 2 3 f 2 y B 1 P x 1 2 g 3 g 1 B 3 f (x B ) = f(x B) y p x B x P x 2 B x B 3 = 1 3 x3 B 2x B 3x 2 B + 2 ( 1) x B 1 (x B 1) x 3 B + x2 B x2 B + x B 3x B + 3 = 1 3 x3 B 2x2 B 3x B x3 B x3 B 3x2 B + x B = 2x 2 B 3x B + 2x 2 B + 3x B 2 ( 3 x3 B x2 B + x B = 0 3 ) 2 x 3 B x2 B 6x B = 0 Mit einem beliebigen Verfahren oder auch mit dem GTR kann man die Lösungen bestimmen. Weil es einfach geht, führe ich hier die analytische Lösung vor. Weil das absolute Glied fehlt, kann x B ausgeklammert werden. x 3 B x2 B 6x B ( ) = 0 x B x 2 B x B 6 = 0 Details siehe auch hier: 25

26 Dieser Lehrsatz hilft jetzt weiter: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Wenn der erste Faktor Null ist, erhalten wir sofort die Lösung: x B1 = 0 Die beiden weiteren Lösungen erhalten wir aus dem zweiten Faktor, dem Klammerausdruck. Mit der p-q-formel können sie bestimmt werden. x 2 B x B 6 = 0 x B2/3 = 3 ) 2 ± ( 3 ( 6) x B2/3 = 3 9 ± x B2/3 = ± x B2 = ,312 x B3 = ,12 Mit diesen x-werten kann über f (x B ) jeweils die Steigung der Geraden bestimmt werden. Mit Steigung und einem bekannten Punkt kann dann die jeweilige Geradengleichung bestimmt werden. Führen wir das zunächst für x B1 durch. Untersuchung für x B1 = 0: m 1 = f (x B1 ) = x 2 B1 x B1 3 = = 3 Damit hat die Gerade g 1 diese Form: g 1 (x) = 3x + b 1 Um b 1 zu bestimmen werden die Koordinaten von P (1 1) in diese Funktionsgleichung eingesetzt. g 1 (x P ) = y P 3x P + b 1 = y P b 1 = b 1 = b 1 = 2 Damit erhalten wir die gesuchte erste Tangentengleichung: g 1 (x) = 3x

27 Untersuchung für x B2 = : m 2 = f (x B2 ) = x 2 B2 x B2 3 ( ) = = = = = = m 2 0,721 Damit hat die Gerade g 2 diese Form: g 2 (x) = x + b 2 Um b 2 zu bestimmen werden die Koordinaten von P (1 1) in diese Funktionsgleichung eingesetzt. g 2 (x P ) = y P x P + b 2 = y P b 2 = b 2 = 1 b 2 = = b 2 0, Damit erhalten wir die zweite gesuchte Tangentengleichung: g 2 (x) = x + oder als Näherung: g 2 (x) 0,721x 0,279 27

28 Untersuchung für x B3 = : m 3 = f (x B3 ) = x 2 B3 x B3 3 ( ) = = = = = = m 3 13,529 Damit hat die Gerade g 3 diese Form: g 3 (x) = x + b 3 Um b 3 zu bestimmen werden die Koordinaten von P (1 1) in diese Funktionsgleichung eingesetzt. g 3 (x P ) = y P x P + b 3 = y P b 3 = b 3 = 1 b 3 = = b 3 12, Damit erhalten wir die zweite gesuchte Tangentengleichung: g 3 (x) = x + oder als Näherung: g 3 (x) 13,529x + 12,529 2