22 Stetigkeit von Funktionen

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1 Abschni 22 Seigkei von Funkionen R Plao Seigkei von Funkionen 221 Einührung Deiniion 221 Sei W D!Reine Funkion mi Deiniionsbereich D R a) an nenn die Funkion im Punk o 2 D seig, alls lim / D o /! o erüll is b) an nenn die Funkion au einer Teilmenge D seig, alls sie in jedem Punk o 2 seig is c) an nenn die Funkion kurz seig, alls sie au ihrem Deiniionsbereich D seig is Der Seigkeisbegri ermöglich Aussagen über die Eisenz von Lösungen von Gleichungen und inimierungsproblemen Deails dazu werden späer vorgesell Zunächs werden einige Beispiele zum Seigkeisbegri präsenier Beispiel 222 Au einem Inervall I R is die konsane Funkion I!R; c seig, ebenso die idenische Funkion I! R; Die Beragsunkion j j WR!Ris ebenalls seig Beispiel 223 Die durch / D 1 alls 2 < 0; 1 alls 0 3; deiniere Funkion W Œ 2; 3! R is unseig im Punk o D 0 So lieg z B ür die Folge n D 1 n ; n 1, die Konvergenz n! 0 ür n! 1 vor, jedoch gil in diesem Fall n / D 1, was sicher nich gegen 0/ D 1 konvergier Der graische Verlau der Funkion is in Abbildung 26 dargesell 222 Seigkeisaussagen In diesem Abschni wird der Frage nachgegangen, inwiewei sich die Seigkei von Funkionen au andere Funkionen überräg Saz 224 a) Seien W D! R und g W D! R zwei Funkionen mi Deiniionsbereich D R Sind und g beide seig im Punk 2 D, so sind die drei Funkionen C g W D!R; g W D!R; g W D!R jeweils seig im Punk o b) Gil g o / 0, so is auch die Funkion seig in o g W ¹ 2 D j g/ 0º!R Beweis Is einach, enäll aber Saz 225 Polynome sind seige Funkionen aur Beweis Das olg soor aus Beispiel 222 und Saz 224 Saz 226 Die durch eine Poenzreihe gegebene Funkion / D P 1 a n o / n mi Konvergenzradius r > 0, reellem Enwicklungspunk o und reellen Koeizienen a n is in jedem Punk 1 2R mi j 1 o j < r seig Beweis Enäll Beispiel Die Funkionen ep; sin und cos sind aur seig Saz 227 Seien W D! R und g W E! R zwei Funkionen, wobei D R; E R sowie D/ E gele Is die Funkion seig im Punk o 2 D und is die Funkion g seig im Punk y o D o / 2 E, so is die Hinereinanderausührung 1 g ı W D!R / seig in o Beweis Enäll Abb 26: Beispiel ür eine unseige Funkion Beispiel Die Funkionen / D ep sin /; 2 R, und g/ D cos 2 /; 2R, sind beide aurseig

2 48 R Plao Teil II Analysis 1 Saz 228 Sei W I! R eine sreng monoone Funkion, wobei I R ein Inervall sei Is die Funkion seig au dem Inervall I, so is die Umkehrunkion 1 W J!R seig au dem Inervall J D I/ Beweis Enäll Beispiel Der naürliche Logarihmus ln W R C! R is Umkehrunkion der reellen Eponenialunkion ep W R!R C und als solche nach Saz 228 seig 223 Zwischenwersaz Der olgende Saz ermöglich eine Aussage über die Eisenz von Lösungen von Gleichungen der Form / D y Anwendungen werden im Anschluss sowie in Abschni 255 au Seie 65 vorgesell Saz 229 (Zwischenwersaz) Es sei die Funkion W Œc; d!r mi c; d 2Rund c < d seig Dann nimm jeden Wer zwischen c/ und d/ an Beweis Enäll Bemerkung Die Aussage in Saz 229 bedeue, dass im Fall c/ < d/ zu jedem y 2 R mi c/ < y < d/ ein 2 Œc; d mi / D y eisier Das Gleiche gil im Fall d/ < c/ ür jedes y 2 R mi d/ < y < c/ Eine mögliche Siuaion is in Abbildung 27 dargesell Dabei sind die ür y und in Frage kommende Bereiche jeweils e gekennzeichne Der Zwischenwersaz ermöglich eine Aussage über die Eisenz von Nullsellen seiger Funkionen: Korollar 2210 Es sei die Funkion W Œc; d!rmi c; d 2R und c < d seig au dem Inervall Œc; d Besizen die Were c/ und d/ verschiedene Vorzeichen, so gib es ein c < < d mi / D 0 Beweis Folg direk aus Saz 229 Dabei bedeue in Saz 2210 die Annahme verschiedener Vorzeichen, dass enweder c/ < 0 < d/ oder d/ < 0 < c/ gil Die globale inimierung beziehungsweise aimierung von skalarwerigen Funkionen is eine häuig aureende Fragesellung (inimierung von Kosen oder Energie) Deiniion 2211 Sei W D! R eine Funkion mi Deiniionsbereich D, und weier sei 2 D a) Es heiß o globaler aimierer oder globale aimalselle von, alls / o / ür 2 D (221) erüll is an nenn dann den Funkionswer y o D o / ein globales aimum von b) Es heiß o globaler inimierer von oder globale inimalselle, alls / o / ür 2 D (222) c/ y d/ a c d b Abb 27: Zwischenwersaz erüll is an nenn dann den Funkionswer y o D o / ein globales inimum von c) an nenn o globale Eremselle von, alls o globaler aimierer oder globaler inimierer von is an nenn dann den Funkionswer y o D o / ein globales Eremum von Der olgende Saz lieer eine Aussage über die Eisenz globaler Eremsellen an beache dabei, dass der Deiniionsbereich von ein abgeschlossenes Inervall is Für oene oder unbeschränke Inervalle is dieser Saz im Allgemeinen nich wahr, ebenso ür unseige Funkionen Beispiel Ein Fahrzeug bewege sich in dem Zeiinervall von 0 bis 1 geradlinig und seig or Zum Zeipunk mi 0 1 sei die Posiion mi / 2Rbezeichne Dann nimm das Fahrzeug jede Posiion zwischen A D 0 / und B D 1 / an Saz 2212 Eine seige Funkion W Œa; b! R besiz eine globale aimal- und eine globale inimalselle Beweis Enäll

3 Abschni 23 Dierenzialrechnung R Plao 49 Beispiel Die Funkion W Œ 1; 1!R; 2, erüll die Voraussezung des Sazes Hier sind o D 1 globale aimalsellen, und o D 0 is globale iimalselle Die Funkion W 1; 1/! R; 2, hingegen besiz keine globale aimalsellen an beache, dass es sich bei dem Deiniionsbereich nich um ein abgeschlossenes Inervall handel und dami die Vorausezung aus Saz 2212 hier nich erüll is 23 Dierenzialrechnung 231 Einührung Ein zenraler Begri der Analysis is der Begri der Ableiung einer Funkion Er ermöglich z B die Beschreibung von Änderungsraen ür zeilich veränderliche Größen wie Posiion oder Geschwindigkei Auch unresringiere Eremweraugaben können dami gelös werden Wir beginnen mi der Deiniion des Begris Ableiung Deiniion 231 Sei W D!Reine Funkion mi Deiniionsbereich D R, und weier gele o 2 D a) Die Funkion is im Punk o 2 D dierenzierbar, alls der Grenzwer / lim o / DW 0! o o / (231) o eisier, wobei o Häuungspunk von D sei an bezeichne 0 o / als Ableiung der Funkion im Punk o Alernaive Noaionen ür 0 o / sind d d o/; d d o/: b) Die Funkion is dierenzierbar, alls sie in jedem Punk o 2 D dierenzierbar is an bezeichne dann 0 W D!Rals Ableiung der Funkion Bemerkung a) Für den Grenzwerprozess! o in (231) wird Deiniion 166 au Seie 34 mi der Funkion Dn¹ o º!R; / o/, verwende o b) Anselle der Schreibweise in (231) verwende man ür den Dierenzenquoienen o die (äquivalene) Noaion lim!0 o C / o / : Anselle von wird dabei häuig auch die Variable h eingesez c) Eine weiere Schreibweise ür die Ableiung erhäl man mi Hile der Funkionsgleichung: y D /; dy d D 0 /: (232) Diese Schreibweise nenn man Leibniz-Noaion i ihr lassen sich einige Dierenziaions- und Inegraionsregeln in einer leich versändlichen Form darsellen d) Neben der Noaion 0 is noch die Noaion P gebräuchlich Diese wird in der Regel ür von der Zei abhängende Funkionen verwende Als unabhängige Variable wird in diesem Zusammenhang üblicherweise die Variable anselle von verwende Beispiel 232 a) Au einem Inervall I R is ür jedes c 2 R die konsane Funkion W I! R; c dierenzierbar, mi 0 0: C / / D c c D 0! 0 ür! 0: b) Au einem Inervall I Ris die idenische Funkion W I!R; dierenzierbar, mi 0 1: C / / D C D 1! 1 ür! 0 c) Die Funkion W R! R; jj is an der Selle o D 0 nich dierenzierbar Es gil nämlich j0 C j j0j D j j D 1; alls > 0; 1; alls < 0: Bemerkung 233 a) an bezeichne den in (231) aureenden Ausdruck / o/ als Dierenzenquoienen und schreib diesen auch in der o Form o D / o/ o mi D / o /; D o : Es beschreib im Fall > o der Dierenzenquoien eine durchschniliche Änderung der Funkion im Inervall Œ o ; Für immer kleinere Were von D o werden die Dierenzenquoienen die Ableiung 0 o / immer besser approimieren Den Wer lim!0 D 0 o / kann man als lokale Änderungsrae der Funkion im Punk o inerpreieren b) Die Siuaion is in Abbildung 28 dargesell Dor is zum einen die Tangene der Funkion an der Selle o abgeragen, mi der Tangenengleichung y D o /C 0 o / o / mi 2R Für ein es gewähles D o is außerdem die ensprechende Sekane dargesell Je kleiner dabei beragsmäßig gewähl wird, umso besser wird diese Sekane die Tangene approimieren

4 50 R Plao Teil II Analysis 1 C / / C Abb 28: Darsellung der Ableiung einer Funkion c) an beache noch, dass bei einer Funkion W D! R die Were in der Umgebung eines Punkes o 2 D keinen Einluss au den Wer o / haben Der Wer 0 o / hingegen häng von dem Verhalen von in der Nähe des Punkes o ab d) Wir gehen noch kurz au die physikalische Einhei Œ 0 / der Ableiung 0 / ein Oenbar gil ür jeden Dierenzenquoienen Œ C/ / D Œ Œ, und dann muss ür die Ableiung 0 / als Grenzwer von Dierenzenquoienen Gleiches gelen: Œ 0 / D Œ Œ : an beache, dass die Einhei von Œ / einer Funkion von der konkreen Wahl von unabhängig is und man deshalb daür auch kurz Œ schreiben kann Beispiel 234 Ein Fahrzeug bewege sich in dem Zeiinervall von 0 bis 1 geradlinig or Zum Zeipunk mi 0 < < 1 sei die Posiion / 2 R, mi den SI-Einheien Œ D s und Œ / D m Zu einem es gewählem Zeipunk beschreib D C / / den in dem Zeiraum von bis C zurückgelegen Weg, und C / D / (233) gib eine Durchschnisgeschwindigkei ür diesen Zeiraum an, mi der Einhei Œ D m/s Für! 0 konvergier der Dierenzenquoien (233) gegen 0 /, alls die Funkion in dierenzierbar is Es läss sich dann lim!0 D 0 / als die omenangeschwindigkei des Fahrzeugs zum Zeipunk inerpreieren, mi der Einhei Œ 0 / D m/s 232 Dierenziaionsregeln, Teil 1 In diesem Abschni werden erse elemenare Dierenziaionsregeln vorgesell, daruner die Produk- und die Quoienenregel Saz 235 Seien W D!Rund g W D!R zwei Funkionen mi Deiniionsbereich D R, und sei 2 R Weier seien und g beide an der Selle o 2 D dierenzierbar Dann gelen die olgenden Aussagen: a) Es sind die Funkionen C g W D! R und W D!Rjeweils dierenzierbar an der Selle o, mi C g/ 0 o / D 0 o / C g 0 o /; / 0 o / D 0 o /: b) (Produkregel) Es is die Funkion g W D! R dierenzierbar an der Selle o, mi g/ 0 o / D 0 /g o / C o /g 0 o /: c) (Quoienenregel) Gil g o / 0, so is auch die Funkion / W ¹ 2 D j g/ 0º! R; g g/ dierenzierbar an der Selle o, mi g 0 o / D 0 o /g/ o /g 0 o / : g 2 o / Beweis Is einach, enäll aber Beispiel 236 In der kompleen Version einer harmonischen Schwingung / D ce i'/ mi einer Konsanen c und '/ D! C'; 2R (siehe (205) au Seie 44) gib das Argumen '/ 2Rmodulo 2 zur Zei den dazugehörigen Winkel zwischen dem Zeiger / und der -Achse im Bogenmaß an Die Winkelgeschwindigkei is hier konsan gleich ' 0 /! ür 2R Als einache Konsequenz aus der Quoienenregel ergib sich Folgendes: Korollar 237 Seien W D!Reine Funkion mi Deiniionsbereich D R, die an der Selle o 2 D dierenzierbar sei und dor nich verschwinde, d h es gil o / 0 Dann is die Funkion 1 W ¹ 2 D j / 0º!R; 1 / dierenzierbar an der Selle o, mi 1 0 o / D 0 o / 2 o / : Beweis Das olg direk aus Teil c) von Saz 235, angewende mi Zählerunkion 1 und Nennerunkion

5 Abschni 23 Dierenzialrechnung R Plao 51 Als einache Anwendung der Produkregel erhäl man das olgende Resula: Saz 238 Die Funkion / D n ; 2 R n 2 N/ is dierenzierbar aur Sie besiz die Ableiung 0 / D n n 1 ; 2R Beweis Wir ühren vollsändige Indukion über n durch Für n D 1 olg die Aussage unmielbar aus Teil b) von Beispiel 232 au Seie 49 Die Aussage gele nun ür ein n 2 N und wir berachen im Folgenden die Funkion / D nc1 D n ür 2R Indukionsannahme und Produkregel lieern dann die Dierenzierbarkei von, mi 0 / D n n 1 C n 1 D n n C n D n C 1/ n ; 2R: Als unmielbare Konsequenz aus Saz 238 erhäl man das olgende Resula Saz 239 Polynome p/ D a n n C a n 1 n 1 C C a 1 Ca 0 ; 2R; sind dierenzierbare Funkionen aur, mi p 0 / D na n n 1 Cn 1/a n 1 n 2 C C2a 2 Ca 1 ür 2R Beweis Das olg soor aus einer Kombinaion von Teil a) von Saz 235 au der vorherigen Seie sowie Saz Dierenziaion von Poenzreihen Poenzreihen sind im Inneren ihres Konvergenzkreises ür reelle Argmene dierenzierbar, alls der Enwicklungspunk reell is: Saz 2310 Die reelle Poenzreihe p/ D a n 0 / n ür 2R; mi Konvergenzradius r > 0, reellem Enwicklungspunk 0 und reellen Koeizienen a n is an jeder Selle 2Rmi j 0 j < r dierenzierbar, und es gil p 0 / D Der Beweis hierür enäll na n 0 / n 1 ür 2R; j 0 j < r: (234) Bemerkung a) an beache, dass in Saz 2310 lediglich eine reelle Variane von Poenzreihen berache wird Dies is im Zusammenhang mi Dierenziaion erorderlich, da Lezeres hier nur ür reelle Funkionen berache wird b) Die Ideniä (234) bedeue, dass bei Poenzreihen eine gliedweise Dierenziaion zulässig is i Saz 2310 lassen sich leich die Ableiungen von Eponenialunkion, Sinus und Cosinus berechnen Proposiion 2311 Die Funkionen ep WR!R; sin W R!Rund cos WR!Rsind dierenzierbar, mi ep 0 / D ep/; sin 0 / D cos ; cos 0 / D ür 2R sin Beweis a) Für die Eponenialunkion ep/ D P 1 n nš D 1 C C 2 C 3 C 4 C ; 2R; gil ep 0 / D / D n n 1 nš n nš D n 1 n 1/Š D ep/ ür 2R; wobei / aus einer Umindizierung resulier b) Es gil sin D P 1 2nC1 1/n ; 2 R; und dami 2nC1/Š sin 0 / D 1/ n 2n C 1/ 2n X 1 2n C 1/Š D 1/ n 2n 2n/Š D cos ür 2R: c) Für cos D P 1 2n 1/n 2n/Š; 2R; gil cos 0 / D 1/ n 2n 2n 1 D 1/ n 2n 1 2n/Š 2n 1/Š / D 1/ rc1 2rC1/ 1 2r C 1/ 1/Š rd0 D 1/ r 2rC1 D sin ür 2R: 2r C 1/Š rd0 Hierbei ergib sich die Ideniä / durch die Lauvariablensubsiuion n D r C Dierenziaionsregeln, Teil 2 In diesem Abschni werden weiere Dierenziaionsregeln vorgesell, so z B die Keenregel

6 52 R Plao Teil II Analysis 1 Saz 2312 (Keenregel) Für Funkionen W D! R und g W E! R gele D/ E Es sei an der Selle o 2 D dierenzierbar, und g sei an der Selle y o D o / dierenzierbar Dann is die Hinereinanderausührung g ı W D!R dierenzierbar an der Selle o, mi g ı / 0 o / D 0 o / g 0 o //: Beweis Wird hier nich geühr Die Ableiung einer Hinereinanderausührung zweier Funkionen ergib sich also aus dem Produk von innerer und äußerer Ableiung i den Leibniz-Noaionen dy y D /; z D gy/; d D 0 dz /; dy D g0 y/; D g ı / 0 / erhäl man ür die Keenregel die erkregel dz d D dz dy dy d : dz d Die Keenregel ermöglich z B ür die allgemeine Poenz die Berechnung der Ableiung nach dem Eponenen Proposiion 2313 Für es gewähles > 0 gil d d D ln/ 2R/: Beweis Anwendung der Keenregel lieer Folgendes: d D d ep ln / D ln/ ep ln / D ln/ : d d Dabei is hier die Noaion d gegenüber dem üblichen d Ableiungssrich vorzuziehen, da nur so deulich wird, nach welcher Größe abgeleie wird Wir berachen noch eine Anwendung von Produkund Keenregel Beispiel 2314 Ein Fahrzeug bewege sich in dem Zeiinervall von 0 bis 1 geradlinig or Zum Zeipunk mi 0 1 sei die Posiion s/ 2 R Es bezeichne v/ D s 0 / die omenangeschwindigkei des Fahrzeugs zum Zeipunk Wir nehmen noch an, dass durchweg s 0 / > 0 gil; das Fahrzeug beweg sich also ses vorwärs Jeder Punk zwischen 0 D s 0 / und 1 D s 1 / wird somi genau einmal durchlauen, und dami is durch Vs// D v/ eine Funkion V W Œ 0 ; 1! R deinier Es handel sich dabei um die Geschwindigkei des assenpunkes als Funkion vom Or an erhäl mi Hile der Produk- und der Keenregel sowie der Noaion D s/ olgenden Zusammenhang zwischen den Ableiungen der Funkionen v und V : v 0 / D s 0 /V 0 / D v/v 0 / D V/V 0 / D 1 2 V 2 / 0 /: Die Zeiableiung der Geschwindigkei zur Zei simm also mi dem Produk aus Orsableiung der Geschwindigkei und Geschwindigkei an dem dazugehörigen Or überein In der angewanden Lieraur wird diese Ideniä o in der Form Pv D vv 0 geschrieben, wobei v au der rechen Seie dieser Gleichung nun als Funkion vom Or augeass wird und die reche Seie ür den speziellen Wer D s/ zu berachen is Das olgende Theorem sell einen Zusammenhang zwischen der Ableiung einer Umkehrunkion und der Ableiung der Ausgangsunkion her Eine wichige Anwendung wird gleich im Anschluss daran gelieer Saz 2315 Sei W I! R eine sreng monoone Funkion, wobei I Rein Inervall sei Die Umkehrunkion 1 W J!Rmi J D I/ is an der Selle y o D o / dierenzierbar, alls die Funkion an der Selle o 2 I dierenzierbar is und 0 o / 0 erüll is Es gil dann 1 / 0 y o / D 1 0 o / : (235) Au einen Beweis wird verziche Wir sellen aber eine kurze Technik vor, mi der man sich diese Regel leich herleien kann Gemäß der Deiniion der Umkehrunkion gil ja 1 ı // D ür 2 I, und die Keenregel lieer dann 1 D 1 ı / 0 o / D 1 / 0 o // 0 o / D 1 / 0 y o / 0 o /: Nach einer Division erhäl man dann die Ideniä (235) Es handel sich hierbei aber um keinen vollsändigen Beweis, da bei der Anwendung der Keenregel die Dienzierbarkei der Umkehrunkion 1 an der Selle y o D o / bereis verwende wird