Einführung in die Kristallographie

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1 Einführung in die Kristallographie Gerhard Heide Institut für Mineralogie Professur für Allgemeine und Angewandte Mineralogie Brennhausgasse oder

2 Kristallphysik Einkristall(!) Festkörperphysik + Kristallsymmetrie richtungsabhängige makroskopische Eigenschaften Anisotropie der Wachstumsgeschwindigkeit (Ag in AgNO 3 )-Lösung v 001 < v 101

3 Kristallphysik Ursache-Wirkungs-Prinzip Wirkung = (Kristall)-Eigenschaft Ursache Beispiel Wärmekapazität c p T = 1 m c p Q mit p = const. Dimension der Wirkung: Zustände (Temperatur T ) Richtungen (elektrische Feldstärke E) Felder (mechanische Spannung 2 σ)

4 Symmetrie von Ursachen (Felder) 7 Kontinuierliche Punktgruppen m homogenes elektrisches Feld

5 Symmetrie von Ursachen (Felder) 7 Kontinuierliche Punktgruppen /m 2 /m mm homogenes einachsige magnetisches Feld Zug-/Druckspannung

6 Symmetrie von Ursachen (Felder) 7 Kontinuierliche Punktgruppen 2 hydrostatischer Druck

7 Neumannsches Symmetrieprinzip Symmetrie Eigenschaft Symmetrie Kristall Beispiel Wachstumsform Pyrit Symmetrie der Wachstumsform Symmetrie der Struktur 4 m 3 2 m P 2 1 a 3 2 m 3

8 Neumannsches Symmetrieprinzip Beispiel Wärmeleitfähigkeit / Brechzahl 3-achsiges 2-achsiges Ellipsoid Ellipsoid Kugel m m m 2 2 m m m m triklin tetragonal kubisch monoklin hexagonal rhombisch trigonal

9 Systematik der Eigenschaften Physikalische Effekte mechanische Effekte (Elastizität) thermische Effekte (Ausdehnung) optische Effekte (Doppelbrechung) elektrische Effekte (Leitfähigkeit) Kombinationen (Piezoelektrischer Effekt)

10 Systematik der Eigenschaften Stufe des Tensors der Eigenschaft 0. Stufe: Skalare (Dichte m = ρ V, Wärmekapazität) 1. Stufe: Vektoren (Pyroelektrizität p = P T ) 2. Stufe: Matrizen (Thermische Ausdehnung, Dielektrizitätskonstante, Leitfähigkeit) 3. Stufe: 3-dimensionale Matrizen (Piezoelektrizität) 4. Stufe: 4-dimensionale Matrizen (Elastische Eigenschaften)

11 Eigenschaftstensoren nullter Stufe (Skalare) Beispiel Massendichte ρ m = ρv geringe Varianz: nur 1 1 / 2 Größenordnung Li: ρ =0.53 g/cm 3, Pb: ρ =11,34 g/cm 3, Pt: 21,45 g/cm 3, Ir: 22,65 g/cm 3 Berechung aus der Struktur ( Röntgendichte ): Halit ρ = m/v = mez /V EZ mez = (4 M Cl + 4 M Na )/N L = 4 (35, , 98)g/mol/(6, /mol) = 233, 72/6, g = g VEZ = a 3 (kubisch!) = (5,6402Å) 3 = 179, cm 3 = 1, cm 3

12 Eigenschaftstensoren nullter Stufe (Skalare) Beispiel Massendichte ρ Berechung aus der Struktur ( Röntgendichte ): Halit ρ = g 1, cm 3 = 2, 1627 g/cm 3 Minerale: 2,1...2,2 g/cm 3 synthetisch: 2,164 g/cm 3 Beispiel Wärmekapazität c p = Q m T Fe: 0,46 J/g/K, Eis: 2,10 J/g/K

13 Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Beispiel Pyroelektrizität Änderung der elektrischen Polarisation ( P) durch Temperaturänderung ( T ) Anziehungs- bzw. Abstoßungsverhalten nach Temperaturänderung: Abkühlung von Turmalin von 120 C Bestäuben mit Schwefel-Mennige-Gemisch aus Baumwollbeutel (Aufladung durch Baumwollbeutel: Mennige positiv, Schwefel negativ) rote und gelbe Spitzen 1756 Franz Ulrich Theodor AEPINUS (Physikprofessor in Berlin u. St. Petersburg)

14 Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Beispiel Pyroelektrizität auf sehr kleinem Raum sehr hohe Spannungen von mehreren V Beispiel Turmalin: T = 1 K, Länge = 1 cm 700V (!) Anwendung: Bewegungsmelder kalte Kernfusion: Beschleunigung und Ionisation von Atomen Mini-Röntgenquelle: Beschleunigung von Elektronen

15 Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Beispiel Pyroelektrizität permanentes elektrisches Dipolmoment Turmalin, Ba x Sr 1 x Nb 2 O (SBN), BaTiO 3 (Perovskit-Struktur), Triglyzinsulfat (TGS) strukturelle Änderung bei Temperaturänderung P = p T P Änderung Polarisation (Vektor) T Temperatur (Skalar) p pyroelektrischer Koeffizient (Vektor) P x1 P x2 P y1 P y2 P z1 P z2 = p x p y p z (T 1 T 2 )

16 Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Beispiel Pyroelektrizität Auftreten: Kristallsystem mit polarer Achse kein Inversionszentrum, keine Spiegelebenen zur Achse, keine zwei gegeneinander geneigte Drehachsen Orientierungsmöglichkeit des pyroelektrischen Vektors p Kristallklasse Orientierung 1 beliebig m in der Spiegelebene 2 2 3, 4, 6, mm2, c 3m, 4mm, 6mm

17 Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Elektrokalorischer Effekt (Umkehrung des pyroelektrischen Effektes) Pyromagnetischer Effekt Magnetokalorischer Effekt

18 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Beispiel Thermische Ausdehnung l l 0 l 0 = α (T T 0 ) Mineral Richtung α [10 6 /K] Korund 3m a 5,85 c 6,23 Calcit 3m a -3,66 c 24,67 Aragonit mmm a 9,87 b 15,88 c 32,40 Quarz 32 a 14 c 9 Brucit 3m a 11 c 33

19 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Beispiel Thermische Ausdehnung kugelförmige Probe bei T 0 erwärmte (und deformierte) Probe bei T Kristallsystem Symmetrie der erwärmten Probe kubisch m (Kugel) 2 2 tetragonal m m m (Rotationsellipsoid) hexagonal trigonal 2 rhombisch monoklin trigonal m 2 2 m m (3-achsiges Ellipsoid)

20 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Beispiel Thermische Ausdehnung 2 ǫ = 2 α T T Temperatur (Skalar) 2 ǫ Deformation (3 3-Matrix) 2 α Thermische Ausdehnung (3 3-Matrix) Beispiel Gips 2 m α ij [10 6 /K]= 12, , , , , 99

21 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Beispiel Thermische Ausdehnung thermische Ausdehnung α in Richtung n? Tensorflächen: α( n) = n 2 α n Beispiel Dielektrizitätskonstante 2 ǫ D = ǫ0 2 ǫ E E Elektrische Feldstärke D dielektrische Verschiebung 2 ǫ Tensor der Dielektrizitätskonstanten s. Polarisationsmikroskopie schwache Absorption: 2 2 n = ǫ (Kristalloptik) Indikatrix: Tensorfläche

22 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Elektrische Leitfähigkeit: E = 2 ρ j E Elektrische Feldstärke j Stromdichte 2 ρ Tensor der elektrischen Leitfähigkeit

23 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Seebeck-Effekt (1822) Temperaturmessung (Thermoelemente) Stromerzeugung

24 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Peltier-Effekt (1834) geräuschlos, platzsparend kühlen

25 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Thermische Leitfähigkeit q = 2 λ T r T Temperaturgradient r q Wärmestrom 2 λ Wärmeleitfähigkeit

26 Eigenschaftstensoren dritter Stufe Piezoelektrizität: P = 3 d : 2 σ 2 σ mechanischer Spannungstensor P dielektrische Polarisation 3 d Tensor piezoelektrischer Moduln (3 3 = 27 Komponenten)

27 Eigenschaftstensoren dritter Stufe Piezoelektrizität 1 / Kristallsymmetrie: 1, 2, m, 222, mm2, 3, 32, 3m, 6, 622, 6m2, 4, 4, 422, 4mm, 42m, 23, 43m

28 Eigenschaftstensoren dritter Stufe Piezoelektrizität Turmalin, Quarz, Topas oder Seignettesalz, BaTiO 3 (Perovskit) Quarzwürfel 1 cm Kantenlänge: 5,8 V/N Feuerzeug, Kraftmessung reziproker piezoelektrischer Effekt: Uhr, Akustik, Medizin, AFM

29 Eigenschaftstensoren vierter Stufe Elastische Eigenschaften: 2 ǫ = 4 S : 2 σ 2 ǫ Spannungstensor 2 σ Verzerrungstensor 4 S Tensor der elastischen Moduln (3 4 = 81 Komponenten)

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