OCTAVE E-Learning-Tools für Nichtinformatiker Elementare Funktionen

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1 OCTAVE E-Learning-Tools für Nichtinformatiker Elementare Funktionen Autoren: Adrian Franken Catharina Herchert Studiengang: Angewandte Informatik B. Sc. Modul: Mathematik III Dozent: Frau Dipl. Petra Schuhmann Abgabe: Berlin,

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Arithmetische Operationen Beispielaufgabe 1 Klebeband für Kästen Beispielaufgabe 2 Eintritt Beispielaufgabe 3 Schule Beispielaufgaben 4 - Dividieren Potenzfunktion Wurzel Winkelfunktionen kleinste Zahl und größte Zahl Variablen Beispielaufgabe 1 Klebeband für Kästen Beispielaufgabe 2 Eintritt Beispielaufgabe 3 Schule Beispielaufgaben 4 - Dividieren Beispielaufgaben 5 who/whos Beispielaufgaben 4 - clear Exponentialfunktion, Logarithmus Komplexe Rechnung Fehler beep Einfache Befehle zur Visualisierung Die Funktion plot Titel, Achsenbeschriftungen, Erscheinungsbild Weitere Routinen zur Visualisierung Kurzübersicht der Kommandos Allgemeine Befehle Spezielle Werte Elementare mathematische Funktionen Komplexe Zahlen Visualisierung

3 1 ARITHMETISCHE OPERATIONEN Mit OCTAVE wenden wir die arithmetischen Operationen wie +, -, *, / und ^, wie auf einem Taschenrechner an. Die Regel Punktrechnung geht vor Strichrechnung kennt OCTAVE natürlich auch, wie das folgende Beispiel zeigt Mit runden Klammern kann die Reihenfolge der Berechnung abweichend vorgegeben werden. Anstelle der direkten Eingabe von Zahlen können wir auch Variablen nutzen. Im folgenden Beispiel verwenden wir die Variable, die den Wert 3 beinhaltet, und weisen ihr zum Schluss das Ergebnis der Operation zu. Dazu in Abschnitt 2 mehr BEISPIELAUFGABE 1 KLEBEBAND FÜR KÄSTEN In einer Klasse befinden sich 15 Kinder. Jedes Kind soll einen Kasten mit einem Klebeband zukleben. Dabei wird für das Zukleben von einem Kasten 18 cm Klebeband benötigt. Auf einer Klebebandrolle befinden sich 30 m Klebeband. Wie viel Klebeband bleibt übrig? Antwort: Es gibt 15 Kinder, die je 18 cm Klebeband benötigen. Es werden somit Klebeband benötigt. Auf einer Klebebandrolle befinden sich Klebeband. Von dieser Gesamtlänge von werden nun die für die Kinder abgezogen. Das heißt Klebeband bleibt übrig BEISPIELAUFGABE 2 EINTRITT Eine Gruppe von Menschen möchte ins Schwimmbad. In dieser Gruppe gibt es 7 Erwachsene und 4 Kinder. Der Eintritt für Erwachsene kostet 7 EUR, der Eintritt für Kinder kostet 4 EUR. Die Gruppe hat 100 EUR mitgenommen. Wie viel Geld hat die Gruppe für den Eintritt, wie viel Geld für sonstige Ausgaben? Antwort: 7 Erwachsene bezahlen jeweils 7 EUR. Damit bezahlen die Erwachsenen. Die 4 Kinder bezahlen jeweils 4 EUR Eintritt, macht. Damit beträgt der Gesamteintritt. Von den 100 EUR werden damit 65 EUR für den Eintritt benötigt und EUR verbleiben für andere Ausgaben. 1 Mit i wird die imaginäre Einheit zu dem reellen Ergebnis von 3^3/2 addiert. 3

4 1. 3 BEISPIELAUFGABE 3 SCHULE Nach Schulende verlassen 450 Jungen die Schule sowie 434 Mädchen. Auch verlassen im Anschluss 60 Lehrer die Schule. Wie viele Menschen haben insgesamt die Schule verlassen? Antwort: 1. 4 BEISPIELAUFGABEN 4 - DIVIDIEREN 432 Bleistifte werden in Schachteln zu je 12 Stück verpackt. Wie viele Schachteln erhält man? Herr Schulten fährt eine längere Autobahnstrecke mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 105 km/h. Nach welcher Zeit hat Herr Schulten eine Strecke von 630 km zurückgelegt? Ein schwerer Lastzug, mit dem Betonschwellen transportiert werden sollen, ist für maximal kg Belastung zugelassen. Wie schwer darf eine Betonschwelle höchstens sein, wenn ohne Überlastung 320 Schwellen transportiert werden sollen? 2 POTENZFUNKTION Um eine Zahl zu potenzieren benutzt man das Zeichen ^. Ebenfalls (s. Abschnitt 3) können mit Hilfe der Potenzfunktion Wurzeln dargestellt werden. Bei der Potenzierung unterscheidet man ebenfalls zwischen Matrix- und elementweisen Operationen. In der Matrixoperation ist das Zeichen als der Multiplikation der Matrix mit sich selbst (x-mal) zu verstehen und ist somit nur für quadratische Matrizen definiert. In der elementweisen Potenzierung mit Hilfe des Operators.^ dagegen ist eine Feldoperation zwischen den einzelnen Komponenten der Matrizen. 3 WURZEL Die Funktion sqrt berechnet die Quadratwurzel. Dabei kann das Argument der Funktion auch negativ oder komplex sein. Für höhere Wurzeln arbeiten wir am Einfachsten mit der Potenzfunktion ^. So liefert die dritte Wurzel von 8 als Ergebnis 2. 4

5 4 WINKELFUNKTIONEN Die Winkelfunktionen sin, cos und tan berechnen den Sinus, Kosinus und Tangens des Argumentes in Bogenmaß. Dabei wird das Argument einer Funktion in runden Klammern übergeben. Wenn ein Argument in Grad statt in Bogenmaß bevorzugt wird, sind statt der oben aufgeführten Befehle die Funktionen sind, cosd oder tand zu verwenden. Die zugehörigen Umkehrfunktionen lautet asin, acos und atan für ein Ergebnis in Bogenmaß bzw. asind, acosd und atand für ein Ergebnis in Grad. In dem folgenden Beispiel wird der Arkussinus von 1 bestimmt und in Grad ausgegeben. 2 Die hyperbolischen Funktionen werden über sinh, cosh und tanh aufgerufen. 5 KLEINSTE ZAHL UND GRÖßTE ZAHL realmin zeigt die kleinste darstellbare Gleitkommazahl. Der tatsächliche Wert ist systemabhängig. Auf Maschinen, die 64-Bit IEEE Floating-Point-Arithmetik unterstützen, ist der Wert für realmin: realmax zeigt die größte darstellbare Gleitkommazahl. Der tatsächliche Wert ist systemabhängig. Auf Maschinen, die 64-Bit IEEE Floating-Point-Arithmetik unterstützen, ist der Wert für realmax: 6 VARIABLEN Die Zuweisung erzeugt eine Variable mit dem Namen x und dem Wert 1 als Fließkommazahl in doppelter Genauigkeit. Ohne abschließendes Semikolon wird das Ergebnis zusätzlich im Kommandofenster angezeigt. Jede Variable hat einen Namen, der zwingend mit einem Buchstaben beginnen muss. Danach können weitere Buchstaben (keine Umlaute), Ziffern oder Unterstriche folgen. Die ersten 63 Zeichen dienen zur Identifikation der Variablen. Groß- und Kleinschreibung werden dabei unterschieden. Mit einer zweiten Zuweisung wird der Inhalt der Variablen ohne Warnung überschrieben. Eine Zuweisung kann auch mit einer Berechnung verbunden sein. Die Variablen können im Kommandofenster mit dem Befehl who aufgelistet werden. Der Befehl whos gibt zusätzlich die Dimension (ein Skalar ist eine Matrix mit einer Zeile und einer Spalte), Anzahl der benötigten Bytes und die Typklasse an. 2 Das Ergebnis ist 90 Grad. 5

6 Zum Löschen von Variablen dient der Befehl clear. Die Verwendung ohne weiteren Zusatz löscht alle Variablen unmittelbar. 3 Sollen einzelne Variablen gelöscht werden, so sind die Variablen durch Leerzeichen zu trennen. Mit einem '*' sucht der Interpreter nach passenden Bezeichnern. Das folgende Beispiel generiert die Variablen x, x1, x2 und y und weist ihnen Werte zu. Mit dem Befehl wird die Variable x2 gelöscht. Dies lässt sich im Fenster für den Arbeitsspeicher leicht verfolgen. Wird nun eingegeben, bleibt nur noch die Variable y mit dem Wert 3 erhalten BEISPIELAUFGABE 1 KLEBEBAND FÜR KÄSTEN In einer Klasse befinden sich 15 Kinder. Jedes Kind soll einen Kasten mit einem Klebeband zukleben. Dabei wird für das Zukleben von einem Kasten 18 cm Klebeband benötigt. Auf einer Klebebandrolle befinden sich 30 m Klebeband. Wie viel Klebeband bleibt übrig? Antwort: Es gibt 15 Kinder, die je 18 cm Klebeband benötigen. Es werden somit Klebeband benötigt. Auf einer befinden Klebebandrolle sich Klebeband. Von dieser Gesamtlänge von werden nun die für die Kinder abgezogen. Das heißt Klebeband bleibt übrig BEISPIELAUFGABE 2 EINTRITT Eine Gruppe von Menschen möchte ins Schwimmbad. In dieser Gruppe gibt es 7 Erwachsene und 4 Kinder. Der Eintritt für Erwachsene kostet 7 EUR, der Eintritt für Kinder kostet 4 EUR. Die Gruppe hat 100 EUR mitgenommen. Wie viel Geld hat die Gruppe für den Eintritt, wie viel Geld für sonstige Ausgaben? Antwort: 7 Erwachsene bezahlen jeweils 7 EUR. Damit bezahlen die Erwachsenen. Die 4 Kinder bezahlen jeweils 4 EUR Eintritt, macht. Damit beträgt der Gesamteintritt. Von den 100 EUR werden damit 65 EUR für den Eintritt benötigt und EUR verbleiben für andere Ausgaben. 3 Der Befehl ist also mit Vorsicht zu genießen. 6

7 6. 3 BEISPIELAUFGABE 3 SCHULE Nach Schulende verlassen 450 Jungen die Schule sowie 434 Mädchen. Auch verlassen im Anschluss 60 Lehrer die Schule. Wie viele Menschen haben insgesamt die Schule verlassen? Antwort: 6. 4 BEISPIELAUFGABEN 4 - DIVIDIEREN 432 Bleistifte werden in Schachteln zu je 12 Stück verpackt. Wie viele Schachteln erhält man? Herr Schulten fährt eine längere Autobahnstrecke mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 105 km/h. Nach welcher Zeit hat Herr Schulten eine Strecke von 630 km zurückgelegt? Ein schwerer Lastzug, mit dem Betonschwellen transportiert werden sollen, ist für maximal kg Belastung zugelassen. Wie schwer darf eine Betonschwelle höchstens sein, wenn ohne Überlastung 320 Schwellen transportiert werden sollen? 6. 5 BEISPIELAUFGABEN 5 WHO/WHOS Lassen Sie sich die Variablen der vergangenen Aufgaben anzeigen. 7

8 6. 6 BEISPIELAUFGABEN 4 - CLEAR Die Variablen der vorherigen Aufgabe erwachsenenpreis und kinder_preis werden nicht mehr benötigt. Löschen Sie diese einzeln. Die Variablen aus der Aufgabe 8.3 jungen, maedchen und lehrer werden nicht mehr benötigt. Löschen Sie diese gleichzeitig. Löschen Sie alle Variablen, die mit einem k anfangen. 7 EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUS Die Exponentialfunktion oder kurz -Funktion hat in den Ingenieurwissenschaften eine besondere Bedeutung. Mit der Funktion exp wird sie in OCTAVE angesprochen. Mit exp(1) wird die Eulersche Zahl angezeigt. Das Argument der -Funktion kann auch komplex sein. Das Ergebnis wird dann gemäß ( ( ) ( )) 8

9 bestimmt. Die Umkehrfunktion der Logarithmus zur Basis oder natürlicher Logarithmus, wird über die Funktion log angesprochen. Die auf Taschenrechnern gebräuchliche Bezeichnung existiert nicht als Funktion in OCTAVE. Der Logarithmus zur Basis 10 heißt hier log10 (nicht, wie man vermuten könnte) und der zur Basis 2 entsprechend log2. Im folgenden Beispiel werden zwei dieser drei Funktionen verwendet 8 KOMPLEXE RECHNUNG Den Realteil und den Imaginärteil einer komplexen Zahl erhalten wir über die Funktionen real und imag. Wir definieren die Variable mit der Wurzel aus -2: Nun lassen wir uns den Realteil und den Imaginärteil der Zahl ausgeben. Betrag und Phase einer komplexen Zahl erhalten wir über die Funktionen abs und angle. Die Betragsfunktion kann natürlich auch auf reelle Zahlen angewendet werden und liefert dann ebenfalls den Betrag der Zahl. Der berechnete Winken in Bogenmaß liegt im Bereich von. Den konjugiert komplexen Ausdruck erhalten wir über die Funktion conj: 9 FEHLER OCTAVE weißt mit Fehlern auf verschiedene Dinge hin. So kann eine nicht zugewiesene Variable als Fehler dargestellt werden: Bei den arithmetischen Operation (wie +,-,*,/) ist zu beachten, dass alle diese Operation als Matrixoperationen verstanden werden müssen. Ist eine Matrixoperation nicht definiert, so ergibt der rechte Aufruf eine Fehlermeldung: So ist das Matrixprodukt zwischen A_2x3 und B3x3 definiert: Das Produkt zwischen B_3x3 und A_2x3 aber nicht! Also erhält man eine Fehlermeldung: 9

10 10 BEEP Beim Aufruf der beep-funktion ertönt ein Beep-Ton. >> beep Ebenfalls kann beep als Error-Warnung genutzt werden Wenn man den Wert innerhalb einer Funktion von beep_on_error auf 1 setzt, wird OCTAVE, noch bevor eine Fehlermeldung auf dem Terminal erscheint, eine Glocke erklingeln lassen. 11 EINFACHE BEFEHLE ZUR VISUALISIERUNG DIE FUNKTION PLOT Die grundlegende Funktion zur Darstellung von Funktionsgrafen oder 2D-Daten heißt plot. Die Syntax von plot lautet: plot (x-vektor, y-vektor). plot ([x],[y],[s] [,x,y,s, ]). Die eckigen Klammern sollen andeuten, dass die darin enthaltenen Teile ausgelassen werden können. sei dabei ein Vektor mit -Koordinaten, ist der Datenvektor, ist ein String, der die Kurvendarstellung beschreibt. Ein einfaches Beispiel (rechts): Es stellt die Sinus-Kurve im Intervall [ ] dar. Man beachte, dass auf der -Achse nicht das Intervall dargestellt ist, sondern die Anzahl der Daten im Vektor. Soll auch die -Achse die richtigen Werte tragen, kommt man um eine Eingabe des Vektors nicht herum: Wenn zwei Graphen, die durch verschiedene plot-befehle erzeugt werden, in derselben Abbildung dargestellt werden, muss der Befehl hold verwendet werden. Wir plotten die Sinus- und die Kosinus-Kurve: Zunächst wird die Sinus-Kurve erzeugt. Dann wird mit hold on die Darstellung fixiert, so dass die Kosinus-Kurve darübergelegt werden kann. Nach dem Plotten der Kosinus-Kurve schalten wir mit hold off wieder in den einfachen Darstellungsmodus zurück. 10

11 Um die beiden Kurven unterscheiden zu können, sollen sie unterschiedliche Farben erhalten. Außerdem soll die Kosinus-Kurve als durchgezogene Kurve dargestellt werden: Beliebige Datenpaare können mit dem Befehl plot ebenso einfach dargestellt werden: Hat man mehrere ( )-Datensätze, können sie sogar mit einer plot-anweisung (ohne hold) dargestellt werden: Will man bei diskreten Datensätzen einerseits die Messpunkte darstellen, andererseits aber auch eine Kurve erhalten, dann plottet man die Kurve einfach zweimal mit unterschiedlichen Optionen für die Darstellungsart: Wenn ein komplexwertiger Vektor ist, dann wird der plot-befehl die Elemente des Vektors in der komplexen Zahlenebene darstellen. Dabei wird der Realteil als -Koordinate, der Imaginärteil als - Koordinate TITEL, ACHSENBESCHRIFTUNGEN, ERSCHEINUNGSBILD Um Gitterlinien in die Grafik einzufügen, verwendet man den Befehl grid: Man kann eine OCTAVE-Grafik mit einem Titel versehen (das obige Bsp. wird weiter verwendet): Auch die Achsen können beschriftet werden: Mit dem Befehl axis lässt sich die Achsenskalierung verändern. Dieser Befehl ist recht mächtig und die einzelnen Möglichkeiten sollte man sich mittels der OCTAVE-Online-Hilfe erschließen. Mit dem folgenden Befehl wird aus einer gezackten Kurve fast eine gerade (jedenfalls optisch): Innerhalb der Grafik kann man Texte platzieren. Der Befehl dazu heißt text. Er erwartet die Koordinaten und einen Text-String. Manchmal ist auch der Befehl gtext hilfreich. Er erlaubt die Positionierung eines Textes durch den Benutzer. Um es auszuprobieren, geben wir ein: Im Grafikfenster erscheint (wenn man die Maus hineinbewegt) ein Fadenkreuz, das die Position des Textstrings markiert. Wird nun eine Maustaste gedrückt, erscheint der Text an der markierten Stelle. 11

12 Schließlich kann man auch eine Legende erstellen mit dem Befehl legend: Und so sieht die erstellte Grafik dann aus: WEITERE ROUTINEN ZUR VISUALISIERUNG Logarithmische Achsenskalierungen kann man einfach erzeugen durch den Befehl loglog, semilogx und semilogy. So kann beispielsweise aus der Exponentialfunktion mit dem Befehl eine Gerade erzeugt werden. Der Befehl subplot platziert mehrere kleine Grafiken in einem Fenster. Die Syntax des Befehls ist: subplot(m,n,p) Dabei wird eine ( )-Matrix aus Zeilen und Spalten von Teilgrafiken definiert. wählt die -te Untergrafik aus. Damit lassen sich Grafiken ausdrucken, die mehrere Koordinatensysteme enthalten. Als Beispiel drucken wir die Sinus- und die Kosinus-Kurve in zwei verschiedenen Koordinatensystemen untereinander in ein Fenster: 12

13 KURZÜBERSICHT DER KOMMANDOS ALLGEMEINE BEFEHLE, Trennung von Kommandos ; Unterdrückung der Ausgabe beep Es ertönt ein Beep-Ton clear Löscht alle Variablen des Arbeitsspeichers clear x Löscht die Variable x exit quit Beendet Octave help funcname Dokumentation zu der Funktion who Liste der angelegten Variablen whos Liste der angelegten Variablen mit zusätzlichen Informationen SPEZIELLE WERTE ans Variable ( answer ) -> Gibt das letzte Ergebnis wieder e, E Zehnerpotenz eps (x) Differenz zur nächstgrößeren Zahl zu x Inf Unendlich NaN Nicht als Zahl darstellbar (not a number) pi Zahl realmax größte darstellbare Zahl realmin kleinste darstellbare Zahl sqrtm(a) Wurzel der Matrix A ELEMENTARE MATHEMATISCHE FUNKTIONEN - Subtrahieren * Multiplizieren / Dividieren ^ Potenz + Addieren acos (x) Arkuskosinus von x -> Ergebnis in Bogenmaß acosd (x) Arkuskosinus von x ->Ergebnis in Grad acosh(x) Areakosinus Hyperbolicus von x acot (x) Arkuskotangens von x -> Ergebnis in Bogenmaß acotd (x) Arkuskotangens von x -> Ergebnis in Grad acoth (x) Areakotangens Hyperbolicus von x asin (x) Arkussinus von x -> Ergebnis in Bogenmaß asind (x) Arkussinus von x -> Ergebnis in Grad asinh (x) Areasinus Hyperbolicus von x atan (x) Arkustangens von x -> Ergebnis in Bogenma0 atand (x) Arkustangens von x -> Ergebnis in Grad atanh (x) Areatangens Hyperbolicus von x cos (x) Kosinus von x -> Ergebnis in Bogenmaß cosd (x) Kosinus von x -> Ergebnis in Grad cosh (x) Kosinus Hyperbolicus von x cot (x) Kotangens von x -> Ergebnis in Bogenmaß cotd (x) Kotangens von x -> Ergebnis in Grad coth (x) Kotangens Hyperbolicus von x exp(x) Exponentialfunktion von x log (x) Natürlicher Logarithmus (Basis ) von x log10 (x) Logarithmus zur Basis 10 von x 13

14 log2 (x) sin (x) sind (x) sinh (x) sqrt(x) tan (x) tand (x) tanh (x) Logarithmus zur Basis 2 von x Sinus von x -> Ergebnis in Bogenmaß Sinus von x -> Ergebnis in Grad Sinus Hyperbolicus von x (Quadrat-) Wurzel von x Tangens von x -> Ergebnis in Bogenmaß Tangens von x -> Ergebnis von Grad Tangens Hyperbolicus von x KOMPLEXE ZAHLEN abs (x) Betrag von x angle (x) Phase von x conj (x) Konjugiert komplexer Wert von x i, j Imaginäre Einheit imag (x) Imaginärteil von x real (x) Realteil von x VISUALISIERUNG axis([xa xe ya ye]) Achsenskalierung: Abszisse von xa bis xe, Ordinate von ya bis ye figure Erzeugt ein Grafikfenster grid Versieht das Diagramm mit einem Raster hold Friert das aktuelle Diagramm für weitere Zeichenbefehle ein legend (str) Legende str für das Diagramm plot (x, y, s) Stellt den Vektor y über den Vektor x mit der Stiloption stil dar semilogx (x,y) Stellt den Vektor y über den Vektor x mit logarithmischer Abzisse dar semilogy (x,y) Stellt den Vektor y über den Vektor x mit logarithmischer Ordinate dar text (x,y,str) Schreibt den Text str an die angegebene Position ( ) im Diagramm title (str) Schreibt den Text str über das Diagramm xlabel (str) Beschriftet die Abszisse mit str ylabel (str) Beschriftet die Ordinate mit str 14

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