Strategien der Schwingungsanalyse

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Strategien der Schwingungsanalyse"

Transkript

1 1 Strategien der Schwingungsanalyse (Grundlagen) 1. Prolog Approximation einer Zeitfunktion Zur Einführung in das Thema soll die Approximation einer Zeitfunktion x( durch einen Satz von Basisfunktionen ψ i ( betrachtet werden. n x( = a i ψ ( Gl. 1.1 i = 1 i Die Approximation soll in einem Intervall der Länge T optimiert werden. Wählt man ein System von Basisfunktionen, das im Approximationsintervall orthogonal ist 1 i = k ψ i ( ψ k ( = δ ik = Gl i k T so erreicht man, dass die einzelnen Terme der Entwicklung bestimmte Eigenschaften exklusiv in sich vereinigen (im konkreten Fall die Eigenschaft Frequenz) das führt zum Begriff der Analyse. Die Einflüsse können getrennt untersucht und modifiziert werden, die Rücktransformation der Reihe mit modifizierten Termen simuliert ein geändertes Zeitsignal. Zur Lösung, d. h. zur Berechnung der Koeffizienten, gibt es verschiedene Ansätze, z. B. setzt man einfach Identität im Mittel an: T n x( ai ψ i ( dt = 0 Gl. 1.3 i = 1 Zur Lösung von Gl. 1.3 ein kurzer Seitenblick auf die lineare Algebra: Die Lösung eines linearen Gleichungssystem, in Matrixform geschrieben Ax = y Gl. 1.4 erhält man für ein reelles System durch Multiplikation mit der Inversen A -1 A A 1 1 Ax = x = A A = E 1 y Gl. 1.5

2 2 In komplexen Systemen tritt an die Stelle der Inversen die adjungierte Matrix A ~ ~ ~ AAx = x = Ay Gl. 1.6 ~ AA = E Der Formalismus wird auf Gl. 1.3 übertragen. Man wählt als Basisfunktionen ein adjungiertes Funktionenpaar ~ 1 i = k ψ i ( ψ k ( = δ ik = Gl i k T Multiplikation im Integral vom Gl. 1.3 ergibt n ~ ψ k ( x( aiψ i ( dt = 0 Gl. 1.8 i = 1 T Aus Gl. 1.7 und Gl. 1.8 erhält man schließlich die gesuchten Koeffizienten 1 ai = x ~ ψ i T T ( t ) ( t ) dt Gl. 1.9 Ein geeignetes adjungiertes Funktionensystem für die Frequenzanalyse ist die Exponentialfunktion ψ i ( = e ~ ψ ( = e ψ i ( ~ ψ k ( dt = δ ik T i jω t i jω t i 2π ω i = i ω 1 = i T Gl Gl. 1.1 und Gl. 1.9 ergeben mit diesem Ansatz schließlich die Fourriertransformation (Fourierreihe); x a ( i = 1 = T n i = 1 T x a i e ( t ) jω t e i jω t i dt Gl Was kann man aus dieser kurzen Ableitung ablesen? - Die Fouriertransformation ergibt sich als Lösung eines einfachen Approximationsansatzes - Da alle Basisfunktionen periodisch sind, ist auch die Summe periodisch mit der Periode 1/T - Jede periodische Funktion mit der Periode 1/T kann als Summe nach Gl. 1.1 dargestellt werden (Theorem von Fourier) Es sind dies die üblicherweise sehr abstrakt präsentierten Ansätze zur Fouriertransformation (ggf. nach dem üblichen Grenzübergang T.

3 3 Ausblick - Ansätze mit anderen Eigenschaften, z. B. die Wavelettransformation, können durch Einsetzen geeigneter Basisfunktionen auf gleichem Wege abgeleitet und interpretiert werden - Die Rolle der Orthogonalität wird sichtbar: o Konsistenz - bei Erweiterung bleiben die ursprünglichen Koeffizienten erhalten o Exklusivität die Eigenschaften sind vollständig von einem einzigen Reihenglied beschrieben - Algorithmen und Eigenschaften für nicht orthogonale Basisfunktionen können abgeleitet werden. 2. Grundlagen der Fourieranalyse 2.1 Zeitbereich und Frequenzbereich die Fourierreihe Ein periodisches Signal mit der Periodizität T kann dargestellt werden als Summe von harmonischen Komponenten x( = x( t + T ) x( = a n f n cos( 2 π t + Θn ) Gl f = T n Abbildung 2.1: Komponentenzerlegung eines periodischen Signals Der Prozess kann dargestellt werden im Zeitbereich als Zeitsignal oder im Frequenzbereich als Spektrum. Zur Schwingungsdiagnose im stationären Fall ist in

4 4 der Regel nur das Amplitudenspektrum von Interesse, die Phase bleibt außer Betracht. Zur messtechnischen Durchführung verwendet man einen Fourieranalysator. Er liefert wahlweise beide Darstellungsarten, Abbildung 2.2. Abbildung 2.2: Darstellung in Zeitbereich und Frequenzbereich Man weiß aus Erfahrung: Ereignisse, die im Inneren einer Maschine mit konstanter Frequenz ablaufen, sind auch von außen akustisch mit gleicher Frequenz vernehmbar. Da Schall über Gehäuseschwingungen abgestrahlt wird, sind die Frequenzkomponenten auch im Schwingungsspektrum zu finden. Kennt man Kinematik und Betriebsdaten, können die Schwingungskomponenten zugeordnet werden, Abbildung 2.3. Im Zeitsignal sind solche Zuordnungen im Allgemeinen nicht möglich. Abbildung 2.3: Identifikation von Schwingungskomponenten

5 5 Es kann jedoch nicht Aufgabe sein, Komponenten lediglich zu identifizieren. Welche Aufgaben hat man zu erfüllen? Hier zwei Beispiele als Repräsentanten. 2.2 Aufgaben der Frequenzanalyse Aufgabe A Schallminderung. Abbildung 2.4: Schallminderung Das Spektrum einer als zu laut beurteilten Maschine wird zur Berücksichtigung der Charakteristik des menschlichen Gehörs mit einer A-Bewertung gewichtet. Im A- Bewerteten Spektrum kann die schädliche Komponente identifiziert werden. Aus einem Standard über zulässige Grenzwerte entnimmt man die erforderliche Reduktion. Die Aufgabe ist von der messtechnischen Seite vollständig gelöst.

6 Aufgabe B Lagerdiagnose Abbildung 2.5: Diagnose eines Wälzlagers Im Spektrum sind die Laufgeräusche eines Wälzlagers zu identifizieren. Die Qualität des Lagers kann jedoch aus der Beurteilung eines Einzelspektrums nicht beurteilt werden Warum kann A lösen und B nicht? Zunächst zu B: Gemessen werden Schwingungen außen an der Maschine. Interessant als Beurteilungsgrundlage sind jedoch nicht die Schwingungen außen, sondern die inneren Kräfte. Diese entziehen sich jedoch einer Messung. Zwischen Kraft und Schwingung liegt die unbekannte Übertragungsfunktion, die überdies stark frequenzabhängig ist. Und nun zu A A hat prinzipiell das gleiche Problem. Jedoch die Übertragungsfunktion zwischen Ursache und Wirkung ist bekannt, ebenso der zulässige Grenzwert. Daher kann A lösen. Bleibt B erfolglos? Nein. B muss eine andere Strategie entwickeln. Zum Beispiel: Trendbeobachtung Die Lagerkomponenten werden über einen längeren Zeitraum beobachtet. Schwingungen werden immer infolge von Imperfektionen erzeugt, sind also bis zu einem gewissen Ausmaß normal. Solange sich die Schwingung stabil verhält, ist das Lager in Ordnung. Erst ein Ansteigen der Komponenten weist auf eine Verschlechterung hin.

7 7 Beurteilung des Laufgeräusches Erfahrene Beobachter können das Lager auf Grund seines Geräusches beurteilen. Man kann versuchen, diese subjektive Empfindung signalanalytisch nachzuempfinden. Es werden dazu verschiedene Analyseverfahren angeboten. Für diese sei hier ein Begriff geprägt: Strategische Analysen Man kennt vielleicht einschlägige Begriffe wie Cepstrumanalyse Hüllkurvenanalyse Hilberttransformation Die Erläuterung solcher Verfahren läuft sehr schnell in aufwändige mathematische Ableitungen. Man kann sie verstehen, wenn man entsprechendes Hintergrundwissen hat oder aufbaut. Offen bleibt jedoch sehr oft der Aspekt über die allgemeine Anwendbarkeit. Man hat eine Lösung und sucht das passende Problem. In diesem Beitrag soll der mathematische Teil im Hintergrund bleiben und durch grundlegende naturwissenschaftliche Betrachtungen ersetzt werden. Auf diesem Weg sind Aspekte wesentlich zielführender zu erarbeiten. 3. Strategie Was ist Strategie? Man verschafft sich Vorteile. Man bildet ein unlösbares Problem ab auf ein einfacheres oder leichter zu interpretierbares Problem. 3.1 Physiologische Strategien Auf die akustische Beurteilung durch den erfahrenen Beobachter wurde bereits hingewiesen. Die menschlichen Sinne haben umfangreiche Strategien zur Erkennung und Beurteilung geliefert: Erkennen von Tönen... von Farben... von Klängen Die ersten haben mit Frequenzen zu tun. 3.2 Strategien der Physik Der Physiker (nicht nur er) beobachtet die Natur und versucht sie zu beschreiben. Die grundsätzlichen Strategien sind Experimentelle Physik Theoretische Physik

8 8 3.3 Mathematische Strategien Die Mathematik dient der Beschreibung und Quantifizierung der Beobachtung. Vordergründig erwartet man vom Mathematiker eine explizite Lösung der Form x = Meist kann er sie nicht liefern. Hat der Mathematiker versagt? Nein! Voraussetzung wäre, dass das Problem auch explizit darstellbar ist! Meist ist dies nicht der Fall. Die Mathematik ist in diesem Zusammenhang als strategisches Instrument zu betrachten. Es werden, angepasst an z. B. Physik oder Physiologie, Strategien entwickelt (s. o.). Die grundlegenden seien hier betrachtet.

9 Zählen Abbildung 3.1: Zählen Das Zählen bedarf keiner näheren Erläuterung. Es ist einfach aber so einfach doch wieder nicht! Man denke an die lange Entwicklung bis zur Erfindung der Null, der Basis für systematisches Zählen Sortieren (Trennen) Abbildung 3.2: Sortieren nach Merkmalen Eine einfache Aufgabe: Wir sortieren Obst in die Kategorien Äpfel Birnen Trauben...

10 10 Abbildung 3.3: Trennung von Sprecher und Sprache Oder: Wir hören ein gesprochenes Wort. Bei entsprechender Hintergrundkenntnis können wir trennen nach Erkennung des Inhaltes Identifizierung des Sprechers Logarithmieren Zur Quantifizierung arbeiten unsere Sinne überwiegend auf logarithmischer Basis. Mathematisch wird durch Logarithmieren die Multiplikation in die einfachere Addition transformiert a * b log a + log b Gl Integraltransformation Integraltransformationen transformieren ein analytisches Problem in ein algebraisches (Differentialrechnung Algebra). Am Beispiel Fouriertransformation jωt X ( f ) = x( e dt Gl. 3.2 Eine Vereinfachung??? Back to the Roots!

11 Newton und Fourier Keine Angst! Isaac Newton Newton gelang mit Hilfe des Differentialkalküls erstmals die geschlossene Beschreibung von Bewegungen mit bewegungsabhängigen Kräften. Am Beispiel des einfachen linearen Schwingers: m x + kx = F( Gl. 3.3 Wegen der Linearität kann die Kraft F( im stationären Fall in eine Fourierreihe zerlegt werden. Die Einzellösungen für die Fourierterme können superponiert werden. mx + kx = F cosωt Zur Vereinfachung des Rechenganges ersetzt man die Winkelfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion. Als schlussendliche Lösung wird nur der Realteil herangezogen. Hier die Formulierung des Lösungsweges mx + kx = F e x = X e jωt jω t 2 ( mω + k) X = F X F 2 k mω = Gl Jean Baptiste Fourier Eine Allegorie was sagt Fourier zu Newton? Die Idee ist zwar genial 1, aber ich kann aus dieser Beschreibung keine Vorstellung über den Prozess ableiten sie entspricht nicht meiner Sinnesempfindung. Eigentlich trifft das schon in den meisten Fällen für die Beschreibung über ein Zeitsignal x( zu. Ich bin Naturwissenschafter. Ich möchte meine Beobachtung beschreiben, das ist mein Ziel. 1 Albert Einstein sagt später einmal: Wahrscheinlich der genialste Geistesblitz, den ein Mensch je hatte.

12 Beschreibung menschlicher Perzeption Was sind die elementarsten Grundlagen menschlicher Wahrnehmung. Es die Erkennung von Tönen Farben Akkorden Figuren Man sieht zumindest drei davon haben mit Frequenzen zu tun Erkennen von Tönen Wie kann das Erkennen von Tönen mathematisch beschrieben werden? Man (das neuronale System) prüft, inwieweit ein bestimmter Ton im Signal enthalten ist. Die Ähnlichkeit zwischen zwei Signalen x( und y( wird durch das Kovarianzintegral beschrieben, Abbildung 3.4. Cov( x, y) = x( y( dt Gl. 3.5 In Worten: Man multipliziert zeitgleiche Funktionswerte und bildet die Summe. Abbildung 3.4: Statistisch unabhängige Prozesse Im Fall statistischer Unabhängigkeit wechselt der Wert des Produktes zwischen positiv negativ groß klein. Die Summe geht gegen Null.

13 13 Der Fall statistischer Abhängigkeit ist in Abbildung 3.5 am Beispiel identischer Funktionen demonstriert: Das Produkt ist immer positiv, die Summe wird groß. Abbildung 3.5: Kovarianz identischer Funktionen Zur Analyse wird ein zu analysierendes Signal x( mit einer Testfunktion y( verglichen. Für Zwecke der Tonerkennung wählt man y( = cosωt Das Kovarianzintegral nimmt die Form an Cov( x, ω) = x( cosωtdt In Abbildung 3.6 bis Abbildung 3.8 sind die Grenzfälle hinsichtlich der Phasenlage zu sehen. Demnach verfehlt man die Erkennung bei einer Phasenverschiebung von 90 - das Kovarianzintegral geht gegen Null.

14 14 Abbildung 3.6: Tonerkennung Phasengleichheit Abbildung 3.7: Tonerkennung Gegenphasigkeit

15 15 Abbildung 3.8: Tonerkennung Phasenlage 90 Das Phasenproblem löst man durch die komplexe Exponentialfunktion als Testfunktion e j ω t = cos ωt + j sin ωt Gl. 3.6 Das Kovarianzintgral wird zum Fourierintegral jωt X ( ω) = x( e dt Gl. 3.7 Das Ergebnis, die Spektralfunktion X(ω) wird zwar komplex, das Phasenproblem ist jedoch beseitigt, Abbildung 3.9. Handlicher ist oftmals die symbolische Schreibweise jωt { x( } = X( ω) = x( e dt Gl. 3.8

16 16 Abbildung 3.9: Zum Fourierintegral Fouriertransformation eines Prozesses Die Zeitfunktion x( beschreibt einen Prozess im Zeitbereich. Gleiches leistet eine Differentialgleichung. Ist der Prozess linear, kann die Fouriertransformation Gl. 2.7 auch auf den gesamten Prozess angewendet werden, demonstriert am linearen Schwinger Gl. 2.3 m x + kx = F( Die Fouriertransformation einer abgeleiteten Funktion kann leicht abgeleitet werden 2 Man erhält { x( } = X ( ω) { x ( } = jω X ( ω) { x ( } = 2 ( mω + k) F( ω) X( ω) = 2 k mω 2 ( jω ) X ( ω) { mx + kx} = { F( } X ( ω) = F( ω) 2 Auf den Beweis der Vertauschbarkeit von Differentiation und Integration für uneigentliche Integrale soll hier verzichtet werden.

17 17 Der Vergleich mit Gl. 2.4 zeigt unmittelbar: Der Exponentialansatz für die lineare Differentialgleichung ist eine Fouriertransformation des Prozesses Die Fouriertransformation ist die Beschreibung einfachster menschlicher Perzeption 3.5 Die Grundrechenarten der Signalanalyse Auf Basis der in den letzten Abschnitten vorgestellten Strategien sind praktisch alle Schwingungsanalysen für stationäre Signale aufgebaut. Man wird ihnen im Folgenden immer wieder begegnen. Sie seien daher hier noch einmal zusammengefasst. Die drei Grundrechenarten der Signalanalyse Sortieren Logarithmieren Fouriertransformation 4. Die Fouriertransformation 4.1 Definition Mathematisch akribische Formulierungen sind nicht Gegenstand dieses Beitrages. Wenn hier einige Formulierungen notiert sind, so dienen sie mehr allgemeinen Betrachtungen. Die Fouriertransfomation Vorwärts und Rückwärtstransformation in allgemeiner Schreibweise: X ( f ) = { x( } x( = - 1 = + x( e + { X( f )} = j2πft X ( f ) e dt + j2πft df Gl. 4.1 Es fällt zunächst auf: Als unabhängige Variable im Frequenzbereich wurde die Frequenz f an Stelle der überwiegend verwendeten Kreisfrequenz ω eingeführt mit folgenden Vorteilen: Die Frequenz liegt der ingenieurmäßigen Betrachtung näher Der konstante Faktor vor dem Integral verschwindet Die Symmetrie der Fouriertransformation wird sichtbar.

18 Eigenschaften Umkehrbarkeit Die Fouriertransformation ist eindeutig umkehrbar. Daraus folgt: Der Informationsgehalt ist in Zeit- und Frequenzbereich gleich. Linearität Die Fouriertransformation ist eine lineare Funktion, d. h. Symmetrie + { x ( + a x ( } = a{ x ( } a { x ( } a Bis auf das Vorzeichen im Transformationskern sind Vorwärts- und Rückwärtstransformation symmetrisch. Da dieses Vorzeichen qualitativ und quantitativ ohne Bedeutung ist, gilt Jede Eigenschaft der Transformation gilt gleichermaßen für Vorwärts- und Rückwärtstransformation. Komplexe Spektren Setzt man die Eulersche Beziehung Gl. 2.6 in die Transformation Gl. 2.7 ein, so sieht man unmittelbar die in Tabelle 4.1 zusammengefassten Eigenschaften von Spektren reeller Zeitsignale Zeitsignal Spektrum beliebig hermitisch 3 reell gerade ungerade Reell, gerade Imaginär, ungerade Tabelle 4.1: Spektrale Eigenschaften reeller Zeitsignale Die Spektren der wichtigsten Elementarfunktionen sind in Abbildung 4.1 zu sehen. 3 Die hermitische Eigenschaft heißt gerader Realteil und ungerader Imaginärteil

19 19 Zeitbereich Frequenzbereich f f Abbildung 4.1: Spektren harmonischer Zeitsignale 4.3 Fast Fourier Transformation (FFT) Zur praktischen Durchführung wir aus dem Zeitsignal ein Abschnitt der Länge T ausgeschnitten und nach beiden Seiten periodisch fortgesetzt. Die Fourierreihe dieses periodischen Ersatzsignals wird als Repräsentant des Spektrums gebildet. Daraus ergeben sich Einschränkungen bzw. Grenzen. Abbildung 4.2: Ersatzsignal zur Berechnung des Spektrums Unschärfe Das so berechnete Spektrum ist ein Linienspektrum, Abbildung 4.3, mit der Frequenzauflösung 1/T. Dieser Zusammenhang zwischen Blocklänge T und Bandbreite B ist Ausdruck der Unschärferelation der Frequenzanalyse B = 1 Gl. 4.2 T

20 20 Abbildung 4.3: Linienspektrum Leakage Die periodische Fortsetzung erzeugt Sprungstellen an der Nahtstelle, die zu Nebenlinien im Spektrum führen, Abbildung 4.4. Man nennt diesen Effekt Leakage, da sozusagen die Signalenergie zerfließt. Durch Hanningbewertung Multiplikation des Zeitsignals mit einem cos²-fenster werden die Nahtstellen beseitigt. Abbildung 4.4: Leakage durch Nahtstellen Hanningbewertung

21 21 Diskrete Fouriertransformation Abbildung 4.5 zeigt den Weg vom Fourierintegral zur Diskreten Fouriertransformation (DFT). Ausgehend vom kontinuierlichen und unendlichen Fourerintegral, obere Reihe 4, wird durch Fensterung wie beschrieben, ein diskretes Spektrum gebildet, Reihe 2. Zur Berechnung werden aus dem kontinuierlichen Spektrum äquidistante Stützstellen des Zeitsignals herangezogen. Aus Symmetriebetrachtungen ergibt sich: Die Diskretisierung des Zeitsignals führt zu einem periodischen Spektrum, Reihe 3. In Reihe 4, der letzten Reihe von Abbildung 4.5, sieht man schließlich das Endergebnis, das diskrete Spektrum des gefensterten, diskretisierten Zeitsignals. Man erhält ein periodisches Linienspektrum. Aus Symmetriegründen enthält wegen der Symmetrie des Amplitudenspektrums der im Bild indizierte Teil des Spektrums die gesamte Information. Er wird im Analysator angezeigt. Aliasing Wegen der Periodizität des Spektrums werden Frequenzkomponenten im periodischen Spektrum gespiegelt, sie treten mehrfach auf. Aus diesem Grund muss Sorge getragen werden, dass im analysierten Signal keine hochfrequenten Komponenten oberhalb der halben Abtastfrequenz enthalten sind (Antialiasingfilter). Solche Komponenten würden die Eindeutigkeit stören. 4 Im Bild wurde wegen der besseren Darstellbarkeit ein gerades Zeitsignal mit reellem Spektrum als Beispiel herangezogen

22 22 Zeitbereich Frequenzbereich x( X(f) kontinuierlich t kontinuierlich f x( X(f) f = 1_ T periodisch T x( t t diskret (Linienspektrum) X(f) Aliasing f diskret (gesampel t periodisch x( t X(f) f = 1_ T diskret (periodisch) t Linienspektrum (periodisch) f T F = 1 t Abbildung 4.5: Die diskrete Fouriertransformation (DFT).

23 23 5. Strategische Analysen Die Frequenzanalyse bildet zunächst eine Basis für die Fehlerdiagnose. Aufbauend auf diesem Konzept sind Strategien zur weiteren Interpretation einzusetzen. Genannt wurde schon die Trendbeobachtung. In diesem Abschnitt werden aufbauende Analysen vorgestellt. Der erfahrene Beobachter hört mechanische Fehler oft am Klang einer Maschine. Was heißt Klang? Das Laufgeräusch klingt einfach verändert. Unregelmäßigkeiten wie Eiern oder Klicken. Effekte dieser Art zeigen sich als regelmäßige Strukturen im Spektrum. Verstärktes Auftreten von Harmonischen bei Klangveränderung. Modulationen im anderen Fall. Ziel der strategischen Analysen soll das Aufspüren solcher Strukturen sein. Dabei wird die Interpretation nach Gesichtspunkten menschlicher Wahrnehmung wieder im Vordergrund stehen. 5.1 Cepstrumanalyse Der Begriff Cepstrum ist gebildet aus der Umdrehung des Wortes Spektrum, assoziiert vom dahinterliegenden Algorithmus. Man führt letztendlich eine Fourier- Rückwärtstransformation vom Frequenzbereich in den Zeitbereich aus. Zur verbalen Unterscheidung vom ursprünglichen Zeitbereich hat man eine entsprechende Nomenklatur eingeführt. So wird z. B. die unabhängige Variable mit der Dimension Zeit hier Quefrenz genannt Harmonische das Leistungscepstrum Abbildung 5.1: Spektrum einer Motor/Lüfter Kombination (linearer Amplitudenmaßstab)

24 24 Abbildung 5.2: Harmonische in Spektrum und Cepstrum Abbildung 5.1 zeigt ein Spektrum gemessen an einer Motor/Lüfter Kombination. Zu sehen ist im wesentlichen eine einzige Drehzahlkomponente. In Abbildung 5.2 zunächst wird nur das große Teilbild betrachtet ist im logarithmischem Amplitudenmaßstab eine Familie von Harmonischen (mit Cursoren indizier ist deutlich zu erkennen. Ein Zeitsignal mit solchen regelmäßigen Strukturen im Zeitbereich also Periodizitäten würde im Spektrum Linien bei den entsprechenden Frequenzen zeigen. Entsprechendes ist in Anwendung des Symmetrieprinzips nach der Fourier- Rücktransformation im Cepstrum zu erwarten (kleines Teilbild). Die im Cepstrum entsprechend den Harmonischen indizierte Linie ist der erste Repräsentant des Klanges. Als Gedankenexperiment wird das gleiche Spektrum betrachtet, aus dem die Grundfrequenz hier künstlich entfernt wurde, Abbildung 5.3.

25 25 Abbildung 5.3:... fehlende Grundfrequenz Obwohl die Grundfrequenz fehlt, ist die Harmonischenfamilie im Cepstrum nach wie vor scharf indiziert. Aus dem Spektrum allein wäre das Auffinden jetzt schon problematisch. Die erste Eigenschaft des Cepstrums ist als die Möglichkeit, die fehlende Grundfrequenz aus dem Spektrum zu rekonstruieren. Dies Fähigkeit hat auch das menschliche Gehör: So kann man z. B. auch am klassischen analogen Telefon unterscheiden, ob man mit einem Mann oder einer Frau spricht was vom Frequenzgang her eigentlich nicht möglich sein sollte. Da das hier eingeführte Cepstrum aus der Fourier-Rücktransformation des Leistungsspektrums (ohne Phaseninformation) abgeleitet wird, bezeichnet man es als Leistungscepstrum. Abbildung 5.4 zeigt noch einmal schematisch die Definition.

26 26 Zeitbereich Frequenzbereich C ( τ ) P log(f (f)) xx f 1 2 f f Leistungscepstrum τ f 0 Leistungsspektrum mit regelmäßiger Struktur f Abbildung 5.4: Das Leistungscepstrum Definition Abbildung 5.5: Spektren und Cepstren an 2 Messpunkten Einen interessanten Aspekt zeigt Abbildung 5.5: An einer Maschine wurden Spektren und Cepstren simultan an zwei Messpunkten erfasst sie repräsentieren also den selben Betriebszustand. Man sieht: Die Spektren weisen zwar eine gewisse Verwandtschaft, aber doch deutliche Unterschiede auf. Die Linien in den Cepstren typisch für Zahnradgetriebe sind für beide Messpunkte praktisch identisch. Die Verwandtschaft kommt im Cepstrum weit besser zum Ausdruck.

27 Entfaltung das komplexe Cepstrum Für den allgemeinen Fall des komplexen Cepstrums sind die Verhältnisse im Flussdiagramm Abbildung 5.6 veranschaulicht. Abbildung 5.6: Berechnung des Cepstrums Im ursprünglichen Zeitbereich sind Kraft und Schnelle, mathematisch gesehen, über die sogenannte Faltung verknüpft, Abbildung 5.7. Denkt man sich das Eingangssignal (Kraf als Folge von Einzelimpulsen zu den Zeitpunkten t 1, t 2, t 3... so kann man die Reaktion (Schwingung) als Folge von entsprechend zeitverschobenen Impulsantworten konstruieren. Demnach ist die Schwingung zu jedem Zeitpunkt beeinflusst durch (theoretisch) alle vergangenen Einzelimpulse. Faltungssatz Aus der Faltung im Zeitbereich wird durch die Fouriertransformation eine Multiplikation im Frequenzbereich.

28 28 Abbildung 5.7: Die Faltung von Kraft und Impulsantwort t y( = x( h( = x( τ ) h( t τ ) dτ Gl. 5.1 Y( f ) = y( e j 2π ft dt e j 2π = ft x( τ ) h( t τ ) dτ dt j 2πfτ j 2πfu Y( f ) = e x( τ ) dτ e h( u) du { x( h( } = { x( }. { h( } { x( h( } = { x( } { h( } Gl. 5.2

29 29 Daraus resultiert auch eine mathematische Erklärung der besseren Trennbarkeit im Frequenzbereich. Man rufe sich jetzt das Strategische Konzept in Erinnerung, die Grundrechenarten der Signalanalyse (Abschnitt 3.5)! Die Fouriertransformation wurde schon durchgeführt. Durch Logarithmieren wird die Multiplikation zur Addition Die Addition bleibt bei der Fourier-Rückwärtstransformation wegen der Linearität erhalten. Das Cepstrum C y des Ausganges wird getrennt in die Cepstren C x von Kraft und C h von Impulsantwort. Das Schema beschreibt exakt die Möglichkeit der Trennung von Sprecher und Sprache, Abbildung 3.3. Auf dieser Basis lässt sich auch die Ähnlichkeit der Cepstren in Abbildung 5.5 interpretieren: Die Linien sind der kraftbasierte Anteil, die Kraft ist für beide Messpunkte die gleiche. Die Übertragungsfunktionen repräsentiert durch die Cepstren im Bereich niedriger Quefrenzen sind durchaus unterschiedlich. Können wir auf diesem Weg die Erregerkraft messen? Der Gedanke ist reizvoll, wäre die Kraft doch unsere eigentliche Zielgröße. Die Messung scheitert jedoch an der Kalibrierbarkeit. Wieder die perzeptive Entsprechung: Aus der Lautstärke kann nicht unterschieden werden zwischen einem lauten Geräusch hinter einer dicken Wand oder einem leisen hinter einer dünnen.

30 Hüllkurvenanalyse Bei vielen Geräuschen steckt die Information in einer Hüllkurve. Läuft ein Getriebe gleichmäßig, empfindet man das (laute) Geräusch normal. Ein Eiern oder Knacken wird als unnormal interpretiert man sagt, es eiert, knackt. Man hat damit das Knacken vom Gesamtgeräusch getrennt man hat demoduliert. Wieder die Aufgabe der Trennung Modulation Abbildung 5.8: Amplitudenmodulation Abbildung 5.8 zeigt als einfachsten Repräsentanten eine amplitudenmodulierte Sinusfunktion, also Sinus (Träger) mit zeitveränderlicher Amplitude (Modulation). Im Zeitbereich mathematisch zu beschreiben durch eine Multiplikation: A m x( = 1 + cosωmt AT cosωt t = A T = A cosω t + A cosω t cosω t = T T m m T Am Am = AT cosωtt + cos ( ωt + ωm ) t + cos ( ωt ωm) t 2 2 Gl. 5.3 Die kurze mathematische Beschreibung Gl. 4.3 liefert zusammen mit dem Bild alle grundlegenden Informationen: Im Zeitbereich sind Träger und Modulation durch Multiplikation verknüpft Im Frequenzbereich wird das Spektrum der Modulation mit seinem Ursprung and die Stelle der Trägerfrequenz verschoben

31 31 Die Multiplikation im Zeitbereich wird zur Faltung im Frequenzbereiches (Symmetrie Faltungssatz, Abschnitt 5.1.2) Im allgemeinen Fall wird die Modulation eine periodische Funktion mit mehren Harmonischen sein, entsprechend wird im Spektrum um die Trägerfrequenz f T eine Familie von Linien im Abstand von Vielfachen der Modulationsfrequenz eine Seitenbandfamilie auftreten. Zwei Aufgaben sind gespiegelt am Muster des schadhaften Zahnradgetriebes zu sehen, Auffinden der Seitenbandfamilie Extraktion der Modulation = Demodulation Detektion von Seitenbändern Die Detektion von Seitenbändern erfolgt mit der Cepstrumanalyse wie schon beschrieben Der Ansatz von Hilbert Hilberts Gedanke hat eigentlich einen ganz anderen Ansatzpunkt: Ein lineares System ist charakterisiert durch seine Impulsantwort im Zeitbereich. Die Fouriertransformation der Impulsantwort ist die komplexe Übertragungsfunktion im Frequenzbereich. Im Unterschied zum Signal ist die Impulsantwort auf Grund des Kausalitätsprinzips immer einseitig. Hilbert hat die Konsequenzen für die Übertragungsfunktion untersucht und formuliert: Realteil und Imaginärteil hängen über die Hilberttransformation zusammen Demodulation - Hiberttransformation Symmetriebetrachtung des Hilbertschen Ansatzes: Die Fouriertransformation liefert positive und negative Frequenzen Das Spektrum reeller Zeitsignale ist hermitisch Wir hören nur Frequenzen Perzeptiv sind negative Frequenzen nicht zu interpretieren Wie sieht ein Zeitsignal mit einseitigem Spektrum aus? Zunächst: Das gesuchte Zeitsignal ist komplex. Man nennt es das Analytische Zeitsignal. Ableitung und Zusammenhänge kann man an Hand von Abbildung 5.9 nachvollziehen. Im linken Teilbild ist gezeigt an einer Einzelkomponente das zweiseitige komplexe Spektrum mit der hermitischen Eigenschaft zu sehen. Das rechte Spektrum zeigt das Spektrum entsprechend dem Höreindruck: Die gesamte Energie auf einer Komponente, der mit positiver Frequenz. Dazwischen der spektrale Anteil der zum gewünschten Ergebnis führt.

32 32 Abbildung 5.9: Analytisches Zeitsignal Hilberttransformation Die Prozedur lässt sich aus der Bildfolge ablesen. Schreibt man für das analytische Zeitsignal so sieht man xˆ ( = x( + j x ~ ( Der Realteil des analytischen Zeitsignals ist gleich dem klassischen reellen Zeitsignal x( Das Spektrum des Imaginärteils x ~ ( t ) entsteht daraus durch Drehung des Realteils um 90 und des Imaginärteils um + 90 Abbildung 5.10: Zur Bildung der Hilberttransformation

33 33 Der Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil des Zeitsignals wird Hiberttransformation genannt. Ihre explizite (komplizierte) mathematische Formulierung kann an dieser Stelle unterbleiben. Sie nach dem Schema von Abbildung 5.10 nur mit den Grundrechenarten der Signalanalyse zu ermitteln. Beispiel: Hilberttransformation des Cosinus Aus Abbildung 4.1 und Abbildung 5.10 kann man direkt ablesen Die Hilberttransformierte von cosωt ist sinωt Das analytische Zeitsignal ist die Exponentialfunktion x( = Acosω t x ~ ( = Asin ω t xˆ( = Ae jω t Gl. 5.4 Man erinnert sich an Newton (Abschnitt 3.4.1): Die Einführung der Exponentialfunktion als Notierung, ursprünglich argumentiert als eine Art Bequemlichkeit, war bereits die Hilberttransformation. Neu wird lediglich die Interpretation des Imaginärteiles. Der Betrag des analytischen Zeitsignals Gl. 4.4 ist die Amplitude A, die Hüllkurve. Beispiel: Amplitudenmodulation x( = A( cosω t x ~ ( = A( sin ω t xˆ( = A( e jω t Gl. 5.5 Die Relation Gl. 4.5 ist gültig, so lange der Frequenzbereich der zeitabhängigen Amplitude A( unterhalb der Trägerfrequenz liegt. Die Hilberttransformation ist ein Mittel zur Demodulation. Die Ausführung erfolgt mit den Grundrechenarten der Signalanalyse.

34 34 6. Zusammenfassung Sortieren Cepstrum Demodulation Kraft Impedanz Schwingung Schwingung Signal Struktur Signal Signal Sprache Sprecher Äpfel Birnen Tabelle 6.1: Eigenschaften strategischer Analysen 7. Schrifttum Papoulis, A.: Signal Analysis.McGraw-Hill 1977 Bendat, J.S.: The Hilbert Transform and Applications to Correlation Measurements. Bruel&Kjaer Application Note BT Randall, R. B.: Frequency Analysis. Bruel&Kjaer 1987 Kolerus, J.: Zustandsüberwachung von Maschinen. 3. Auflage, Expert Verlag 2000

Technik der Fourier-Transformation

Technik der Fourier-Transformation Was ist Fourier-Transformation? Fourier- Transformation Zeitabhängiges Signal in s Frequenzabhängiges Signal in 1/s Wozu braucht man das? Wie macht man das? k = 0 Fourier- Reihe f ( t) = Ak cos( ωkt) +

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

DFT / FFT der Titel der Präsentation wiederholt (Ansicht >Folienmaster) Dipl.-Ing. Armin Rohnen, Fakultät 03, rohnen@hm.edu

DFT / FFT der Titel der Präsentation wiederholt (Ansicht >Folienmaster) Dipl.-Ing. Armin Rohnen, Fakultät 03, rohnen@hm.edu 1 Grundlagen Abtasttheorem Fenster Zeit - Frequenzauflösung Pegelgenauigkeit Overlap Mittelung 2 2 volle Schwingungen 32 Abtastwerte Amplitude = 1 Pascal Signallänge = 1 Sekunde Eine Frequenzline bei 2

Mehr

Argumente für die diskrete Realisierung der Fourierintegrale

Argumente für die diskrete Realisierung der Fourierintegrale Argumente für die diskrete Realisierung der Fourierintegrale Die Fouriertransformation gemäß der Beschreibung in Kapitel 3.1 weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT)

Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Ziele In diesem Versuch lernen Sie zwei Anwendungen der Diskreten Fourier-Transformation in der Realisierung als recheneffiziente schnelle

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Fourier-Transformation

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Fourier-Transformation Bildverarbeitung Herbstsemester 2012 Fourier-Transformation 1 Inhalt Fourierreihe Fouriertransformation (FT) Diskrete Fouriertransformation (DFT) DFT in 2D Fourierspektrum interpretieren 2 Lernziele Sie

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich

Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich André Grüneberg Janko Lötzsch Mario Apitz Friedemar Blohm Versuch: 19. Dezember 2001 Protokoll: 6. Januar

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Messtechnik-Praktikum. Spektrumanalyse. Silvio Fuchs & Simon Stützer. c) Berechnen Sie mit FFT (z.b. ORIGIN) das entsprechende Frequenzspektrum.

Messtechnik-Praktikum. Spektrumanalyse. Silvio Fuchs & Simon Stützer. c) Berechnen Sie mit FFT (z.b. ORIGIN) das entsprechende Frequenzspektrum. Messtechnik-Praktikum 10.06.08 Spektrumanalyse Silvio Fuchs & Simon Stützer 1 Augabenstellung 1. a) Bauen Sie die Schaltung für eine Einweggleichrichtung entsprechend Abbildung 1 auf. Benutzen Sie dazu

Mehr

Versuch 3. Frequenzgang eines Verstärkers

Versuch 3. Frequenzgang eines Verstärkers Versuch 3 Frequenzgang eines Verstärkers 1. Grundlagen Ein Verstärker ist eine aktive Schaltung, mit der die Amplitude eines Signals vergößert werden kann. Man spricht hier von Verstärkung v und definiert

Mehr

Signale und Systeme. A1 A2 A3 Summe

Signale und Systeme. A1 A2 A3 Summe Signale und Systeme - Prof. Dr.-Ing. Thomas Sikora - Name:............................... Vorname:.......................... Matr.Nr:.............................. Ergebnis im Web mit verkürzter Matr.Nr?

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr

Grundlagen der Videotechnik. Redundanz

Grundlagen der Videotechnik. Redundanz Grundlagen der Videotechnik Redundanz Redundanz beruht auf: - statistischen Abhängigkeiten im Signal, - Information, die vorher schon gesendet wurde - generell eine Art Gedächtnis im Signal Beispiel: Ein

Mehr

Einführung in. Logische Schaltungen

Einführung in. Logische Schaltungen Einführung in Logische Schaltungen 1/7 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1. Was sind logische Schaltungen 2. Grundlegende Elemente 3. Weitere Elemente 4. Beispiel einer logischen Schaltung 2. Notation von

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik Abitur 8 II. Insektenpopulation LA/AG In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 9 Eier und sterben bald darauf.

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Analogmultiplexer als Amplitudenmodulatoren

Analogmultiplexer als Amplitudenmodulatoren Analogmultiplexer als Amplitudenmodulatoren Dipl.-Phys. Jochen Bauer 09.11.014 Einführung und Motivation Mit dem zunehmenden Verschwinden von Mittel- und Langwellensendern ergibt sich die Notwendigkeit

Mehr

Aufgaben. 2.1. Leiten Sie die Formeln (9) und (10) her! Vorbetrachtungen. Der High-Fall

Aufgaben. 2.1. Leiten Sie die Formeln (9) und (10) her! Vorbetrachtungen. Der High-Fall Aufgaben 2.1. Leiten Sie die Formeln (9) und (10) her! Vorbetrachtungen I. Die open-collector-gatter auf der "in"-seite dürfen erst einen High erkennen, wenn alle open-collector-gatter der "out"-seite

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören:

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: david vajda 3. Februar 2016 Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: Elektrische Stromstärke I Elektrische Spannung U Elektrischer Widerstand R Ladung Q Probeladung q Zeit t Arbeit

Mehr

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.) Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

1.1 Auflösungsvermögen von Spektralapparaten

1.1 Auflösungsvermögen von Spektralapparaten Physikalisches Praktikum für Anfänger - Teil Gruppe Optik. Auflösungsvermögen von Spektralapparaten Einleitung - Motivation Die Untersuchung der Lichtemission bzw. Lichtabsorption von Molekülen und Atomen

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Skript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!

Skript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten! Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

MTV-Klausurvorbereitung, TFH Berlin, Cornelius Bradter

MTV-Klausurvorbereitung, TFH Berlin, Cornelius Bradter Modulation Die Modulation ist ein technischer Vorgang, bei dem ein oder mehrere Merkmale einer Trägerschwingung entsprechend dem Signal einer zu modulierenden Schwingung verändert werden. Mathematisch

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und

Mehr

Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 )

Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Ac Eine auf dem Bildschirm darzustellende Linie sieht treppenförmig aus, weil der Computer Linien aus einzelnen (meist quadratischen) Bildpunkten, Pixels

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

ONLINE-AKADEMIE. "Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht" Ziele

ONLINE-AKADEMIE. Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht Ziele ONLINE-AKADEMIE Ziele Wenn man von Menschen hört, die etwas Großartiges in ihrem Leben geleistet haben, erfahren wir oft, dass diese ihr Ziel über Jahre verfolgt haben oder diesen Wunsch schon bereits

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Simulation LIF5000. Abbildung 1

Simulation LIF5000. Abbildung 1 Simulation LIF5000 Abbildung 1 Zur Simulation von analogen Schaltungen verwende ich Ltspice/SwitcherCAD III. Dieses Programm ist sehr leistungsfähig und wenn man weis wie, dann kann man damit fast alles

Mehr

Handbuch Fischertechnik-Einzelteiltabelle V3.7.3

Handbuch Fischertechnik-Einzelteiltabelle V3.7.3 Handbuch Fischertechnik-Einzelteiltabelle V3.7.3 von Markus Mack Stand: Samstag, 17. April 2004 Inhaltsverzeichnis 1. Systemvorraussetzungen...3 2. Installation und Start...3 3. Anpassen der Tabelle...3

Mehr

Erstes Nyquistkriterium im Zeitbereich

Erstes Nyquistkriterium im Zeitbereich Erstes Nyquistkriterium im Zeitbereich Für dieses Kapitel wurde vorausgesetzt, dass die Detektion eines Symbols nicht durch Nachbarimpulse beeinträchtigt werden soll. Dies erreicht man durch die Detektion

Mehr

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Zahlenwinkel: Forscherkarte 1. alleine. Zahlenwinkel: Forschertipp 1

Zahlenwinkel: Forscherkarte 1. alleine. Zahlenwinkel: Forschertipp 1 Zahlenwinkel: Forscherkarte 1 alleine Tipp 1 Lege die Ziffern von 1 bis 9 so in den Zahlenwinkel, dass jeder Arm des Zahlenwinkels zusammengezählt das gleiche Ergebnis ergibt! Finde möglichst viele verschiedene

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN

PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS PTV VISWALK TIPPS UND TRICKS: VERWENDUNG DICHTEBASIERTER TEILROUTEN Karlsruhe, April 2015 Verwendung dichte-basierter Teilrouten Stellen Sie sich vor, in einem belebten Gebäude,

Mehr

A2.3: Sinusförmige Kennlinie

A2.3: Sinusförmige Kennlinie A2.3: Sinusförmige Kennlinie Wie betrachten ein System mit Eingang x(t) und Ausgang y(t). Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet. Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal

Mehr

Kreativ visualisieren

Kreativ visualisieren Kreativ visualisieren Haben Sie schon einmal etwas von sogenannten»sich selbst erfüllenden Prophezeiungen«gehört? Damit ist gemeint, dass ein Ereignis mit hoher Wahrscheinlichkeit eintritt, wenn wir uns

Mehr

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)

Mehr

RS-Flip Flop, D-Flip Flop, J-K-Flip Flop, Zählschaltungen

RS-Flip Flop, D-Flip Flop, J-K-Flip Flop, Zählschaltungen Elektronik Praktikum / Digitaler Teil Name: Jens Wiechula, Philipp Fischer Leitung: Prof. Dr. U. Lynen Protokoll: Philipp Fischer Versuch: 3 Datum: 24.06.01 RS-Flip Flop, D-Flip Flop, J-K-Flip Flop, Zählschaltungen

Mehr

Gutes Leben was ist das?

Gutes Leben was ist das? Lukas Bayer Jahrgangsstufe 12 Im Hirschgarten 1 67435 Neustadt Kurfürst-Ruprecht-Gymnasium Landwehrstraße22 67433 Neustadt a. d. Weinstraße Gutes Leben was ist das? Gutes Leben für alle was genau ist das

Mehr

Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese

Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese Periodische Funktionen wiederholen sich nach einer Zeit T, der Periode. Eine periodische Funktion f(t) mit der Periode T genügt der Beziehung: f( t+ n T) = f( t) für

Mehr

DAS PARETO PRINZIP DER SCHLÜSSEL ZUM ERFOLG

DAS PARETO PRINZIP DER SCHLÜSSEL ZUM ERFOLG DAS PARETO PRINZIP DER SCHLÜSSEL ZUM ERFOLG von Urs Schaffer Copyright by Urs Schaffer Schaffer Consulting GmbH Basel www.schaffer-consulting.ch Info@schaffer-consulting.ch Haben Sie gewusst dass... >

Mehr

Beweisbar sichere Verschlüsselung

Beweisbar sichere Verschlüsselung Beweisbar sichere Verschlüsselung ITS-Wahlpflichtvorlesung Dr. Bodo Möller Ruhr-Universität Bochum Horst-Görtz-Institut für IT-Sicherheit Lehrstuhl für Kommunikationssicherheit bmoeller@crypto.rub.de 6

Mehr

Praktikum Physik. Protokoll zum Versuch: Geometrische Optik. Durchgeführt am 24.11.2011

Praktikum Physik. Protokoll zum Versuch: Geometrische Optik. Durchgeführt am 24.11.2011 Praktikum Physik Protokoll zum Versuch: Geometrische Optik Durchgeführt am 24.11.2011 Gruppe X Name1 und Name 2 (abc.xyz@uni-ulm.de) (abc.xyz@uni-ulm.de) Betreuerin: Wir bestätigen hiermit, dass wir das

Mehr

Sonderrundschreiben. Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen

Sonderrundschreiben. Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen Sonderrundschreiben Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen Sonnenstraße 11-80331 München Telefon 089 / 5404133-0 - Fax 089 / 5404133-55 info@haus-und-grund-bayern.de

Mehr

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192.

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192. Binäres und dezimales Zahlensystem Ziel In diesem ersten Schritt geht es darum, die grundlegende Umrechnung aus dem Dezimalsystem in das Binärsystem zu verstehen. Zusätzlich wird auch die andere Richtung,

Mehr

Pädagogik. Melanie Schewtschenko. Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe. Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig?

Pädagogik. Melanie Schewtschenko. Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe. Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig? Pädagogik Melanie Schewtschenko Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig? Studienarbeit Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung.2 2. Warum ist Eingewöhnung

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Charakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert.

Charakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert. Der Gutachtenstil: Charakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert. Das Ergebnis steht am Schluß. Charakteristikum

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

5.8.8 Michelson-Interferometer ******

5.8.8 Michelson-Interferometer ****** 5.8.8 ****** Motiation Ein wird mit Laser- bzw. mit Glühlampenlicht betrieben. Durch Verschieben eines der beiden Spiegel werden Intensitätsmaxima beobachtet. Experiment S 0 L S S G Abbildung : Aufsicht

Mehr

Vermessung und Verständnis von FFT Bildern

Vermessung und Verständnis von FFT Bildern Vermessung und Verständnis von FFT Bildern Viele Auswertungen basieren auf der "Fast Fourier Transformation" FFT um die (ungewünschten) Regelmäßigkeiten im Schliffbild darzustellen. Die Fourier-Transformation

Mehr

Programme im Griff Was bringt Ihnen dieses Kapitel?

Programme im Griff Was bringt Ihnen dieses Kapitel? 3-8272-5838-3 Windows Me 2 Programme im Griff Was bringt Ihnen dieses Kapitel? Wenn Sie unter Windows arbeiten (z.b. einen Brief schreiben, etwas ausdrucken oder ein Fenster öffnen), steckt letztendlich

Mehr

Physik 4, Übung 11, Prof. Förster

Physik 4, Übung 11, Prof. Förster Physik 4, Übung 11, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt ieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls

Mehr

Tutorial: Homogenitätstest

Tutorial: Homogenitätstest Tutorial: Homogenitätstest Eine Bank möchte die Kreditwürdigkeit potenzieller Kreditnehmer abschätzen. Einerseits lebt die Bank ja von der Vergabe von Krediten, andererseits verursachen Problemkredite

Mehr

Wir arbeiten mit Zufallszahlen

Wir arbeiten mit Zufallszahlen Abb. 1: Bei Kartenspielen müssen zu Beginn die Karten zufällig ausgeteilt werden. Wir arbeiten mit Zufallszahlen Jedesmal wenn ein neues Patience-Spiel gestartet wird, muss das Computerprogramm die Karten

Mehr

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten "bedingten Wahrscheinlichkeit".

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten bedingten Wahrscheinlichkeit. Mathematik- Unterrichts- Einheiten- Datei e. V. Klasse 9 12 04/2015 Diabetes-Test Infos: www.mued.de Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, das mit 8 % in der Bevölkerung verbreitet ist. Dabei werden

Mehr

Psychologie im Arbeitsschutz

Psychologie im Arbeitsschutz Fachvortrag zur Arbeitsschutztagung 2014 zum Thema: Psychologie im Arbeitsschutz von Dipl. Ing. Mirco Pretzel 23. Januar 2014 Quelle: Dt. Kaltwalzmuseum Hagen-Hohenlimburg 1. Einleitung Was hat mit moderner

Mehr

Serienbrieferstellung in Word mit Kunden-Datenimport aus Excel

Serienbrieferstellung in Word mit Kunden-Datenimport aus Excel Sehr vielen Mitarbeitern fällt es schwer, Serienbriefe an Kunden zu verschicken, wenn sie die Serienbrieffunktion von Word nicht beherrschen. Wenn die Kunden mit Excel verwaltet werden, genügen nur ein

Mehr

Verband der TÜV e. V. STUDIE ZUM IMAGE DER MPU

Verband der TÜV e. V. STUDIE ZUM IMAGE DER MPU Verband der TÜV e. V. STUDIE ZUM IMAGE DER MPU 2 DIE MEDIZINISCH-PSYCHOLOGISCHE UNTERSUCHUNG (MPU) IST HOCH ANGESEHEN Das Image der Medizinisch-Psychologischen Untersuchung (MPU) ist zwiespältig: Das ist

Mehr

Kulturelle Evolution 12

Kulturelle Evolution 12 3.3 Kulturelle Evolution Kulturelle Evolution Kulturelle Evolution 12 Seit die Menschen Erfindungen machen wie z.b. das Rad oder den Pflug, haben sie sich im Körperbau kaum mehr verändert. Dafür war einfach

Mehr

Was sind Jahres- und Zielvereinbarungsgespräche?

Was sind Jahres- und Zielvereinbarungsgespräche? 6 Was sind Jahres- und Zielvereinbarungsgespräche? Mit dem Jahresgespräch und der Zielvereinbarung stehen Ihnen zwei sehr wirkungsvolle Instrumente zur Verfügung, um Ihre Mitarbeiter zu führen und zu motivieren

Mehr

Gitterherstellung und Polarisation

Gitterherstellung und Polarisation Versuch 1: Gitterherstellung und Polarisation Bei diesem Versuch wollen wir untersuchen wie man durch Überlagerung von zwei ebenen Wellen Gttterstrukturen erzeugen kann. Im zweiten Teil wird die Sichtbarkeit

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Lernerfolge sichern - Ein wichtiger Beitrag zu mehr Motivation

Lernerfolge sichern - Ein wichtiger Beitrag zu mehr Motivation Lernerfolge sichern - Ein wichtiger Beitrag zu mehr Motivation Einführung Mit welchen Erwartungen gehen Jugendliche eigentlich in ihre Ausbildung? Wir haben zu dieser Frage einmal die Meinungen von Auszubildenden

Mehr