Grundlagen des Maschinellen Lernens Kap. 4: Lernmodelle Teil II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundlagen des Maschinellen Lernens Kap. 4: Lernmodelle Teil II"

Transkript

1 1. Motivation 2. Lernmodelle Teil I 2.1. Lernen im Limes 2.2. Fallstudie: Lernen von Patternsprachen 3. Lernverfahren in anderen Domänen 3.1. Automatensynthese 3.2. Entscheidungsbäume 3.3. Entscheidungsbäume über regulären Patterns 4. Lernmodelle Teil II PAC-Lernen 5. Spezielle Lernverfahren 5.1. unüberwachtes Lernen 5.2 überwachtes Lernen 10/1 Offline-Lernen dem Lerner wird ein Sample B mit klassifizierten Beispielen vorgelegt der Student soll anhand der Beispielmenge B eine Klassifikator h bilden, der ein möglichst gutes Klassifikationsverhalten auf realen Daten hat der Student bekommt unklassifizierte Beispiele einzeln angeboten der Student hat stets eine Hypothese, mit der der Lerner ein solches Beispiel klassifiziert der Student erhält als Feedback die Information, ob er das Beispiel richtig klassifiziert hat und kann seine Hypothese ggf. modifizieren Hinweis: Einschränkung auf das Lernen von Klassifikatoren 10/2

2 von Monomen (ein einführendes Beispiel) es sei X = { 0,1 } n der zugrunde liegende Lernbereich es seien x 1,...,x n aussagenlogische Variablen jede Variable x z bzw. ihre Negation x z heißt Literal ein Monom m ist eine Konjunktion von Literalen jedes Monom m beschreibt eine boolesche Funktion von X { 0,1 } Es seien b = b[1],...,b[n] ein Element aus X und m ein Monom. b erfüllt das Literal x z (bzw. x z ), falls b[z] = 1 (bzw. b[z] = 0). b erfüllt das Monom m, falls b jedes Literal in m erfüllt. wir setzen m(b) = 1, falls b das Monom m erfüllt; sonst m(b) = 0!!! 10/3 Lernszenario der Lernprozeß findet in Schritten statt in jedem Lernschritt i hat der Student eine aktuelle Hypothese h i-1 Lernschritt i (i = 1,2,... ): der Lehrer präsentiert dem Studenten ein b i aus X der Student bestimmt h i-1 (b i ) der Lehrer teilt dem Student mit, ob m(b i ) = h i-1 (b i ) gilt der Student bestimmt seine neue Hypothese h i... falls m(b i ) h i-1 (b i ), so hat der Student einen Vorhersagefehler gemacht... der Student soll möglichst wenige Vorhersagefehler machen!!! Hinweis: es sei m das zu lernende Monom 10/4

3 Lernverfahren (schlecht) das Lernverfahren speichert in einer Tabelle alle bisher gesehenen Beispiele b mit der zugehörigen Wert m(b) ab initial ist die Tabelle leer Lernschritt i (i = 1,2,... ): es sei b i das aktuelle unklassifizierte Beispiel falls das Beispiel b i in der Tabelle gespeichert ist, so gibt das Lernverfahren den gespeicherten Wert m(b i ) aus; sonst den Wert 0 falls das Lernverfahren einen Fehler gemacht hat, wird die Tabelle entsprechend modifiziert... das Lernverfahren macht im schlimmsten Fall 2 n Fehler Hinweis: es sei m das zu lernende Monom 10/5 Lernverfahren (besser) das Lernverfahren verwendet Monome als Hypothesen h 0 = x 1 x 1... x n x n Lernschritt i (i = 1,2,... ): es sei b i das aktuelle unklassifizierte Beispiel das Lernverfahren bestimmt h i-1 (b i ) falls h i-1 (b i ) = m(b i ), so setze h i = h i-1 falls h i-1 (b i ) m(b i ), so bestimme alle Literale in h i-1, die das unklassifizierte Beispiel b i nicht erfüllt; h i entsteht aus h i-1 dadurch, daß alle diese Literale aus h i-1 gestrichen werden... das Lernverfahren macht im schlimmsten Fall n+1 Fehler!!! Hinweis: es sei m das zu lernende Monom 10/6

4 Beispiel es seien n = 7 und m = x 1 x 2 x 4 x 7 h 0 = x 1 x 1... x 7 x 7 b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = m(b 1 ) = 1 0 = h 0 (b 1 ) m(b 2 ) = 0 = 0 = h 1 (b 2 ) m(b 3 ) = 1 0 = h 2 (b 3 ) m(b 4 ) = 1 0 = h 3 (b 4 ) h 1 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 h 2 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 h 3 = x 1 x 2 x 4 x 5 x 7 h 4 = x 1 x 2 x 4 x 7 10/7 zentrale Beobachtungen (1) Jedes Literal, daß in m vorkommt, kommt in jedem h i vor. (2) Der Fall h i-1 (b i ) m(b i ) tritt nur dann ein, wenn m(b i ) = 1 gilt. (3) Wenn h i-1 (b i ) m(b i ) gilt, so wird aus h i-1 mindestens ein Literal gestrichen.... das Lernverfahren macht im schlimmsten Fall n+1 Fehler!!! Hinweis: es sei m das zu lernende Monom 10/8

5 Das allgemeine Lernmodell es sei X ein Lernbereich jedes c X heißt Konzept (/* c(x) = 1, falls x c bzw. c(x) = 0, falls x c */) jedes C 2 X heißt Konzeptklasse Grundannahmen: es gibt einen Lehrer und eine Studenten beide haben sich auf eine Konzeptklasse geeinigt; der Lehrer wählt ein c C aus (/* ohne c zu verraten */) Lehrer präsentiert einzeln unklassifizierte Beispiele; Student bildet Hypothesen Student klassifiziert die Beispiele mit Hilfe seiner aktuellen Hypothese; der Lehrer bewertet die Korrektheit dieser Klassifikation in Bezug auf das aktuell zu lernende Konzept c C 10/9... es sei σ = b 1, b 2,... die vorgelegte Folge von unklassifizierten Beispielen... der Student S lernt schrittweise es sei h i-1 die aktuelle Hypothese von S im Schritt i S erhält das unklassifizierte Beispiel b i S macht eine Vorhersage h i-1 (b i ) S erhält die korrekte Klassifikation c(b i ) S hat einen Vorhersagefehler gemacht, wenn h i-1 (b i ) c(b i ) gilt S hat keinen Vorhersagefehler gemacht, wenn h i-1 (b i ) = c(b i ) gilt S bildet eine neue Hypothese h i und geht zu Schritt i+1 10/10

6 ... es seien c C das zu lernende Konzept und σ = b 1,b 2,... eine Folge von unklassifizierten Beispielen aus X (/* also σ X + */)... der Student lernt erfolgreich wenn er auf jeder Beispielfolge nur endlich viele Vorhersagefehler macht (/* unabhängig davon, welches c C aktuell zu lernen ist */)... die Qualität des Studenten kann beurteilt werden in Bezug auf eine konkrete Beispielfolge σ für ein c C auf alle Beispielfolgen für ein c C auf alle Beispielfolgen für alle c C 10/11... Fehler von S in Bezug auf eine Beispielfolge für ein Konzept c C Error(S,c,σ) bezeichnet die Anzahl der Vorhersagefehler von S auf der Beispielfolge σ.... Fehler von S in Bezug auf ein Konzept c C Error max (S,c) = max { Error(S,c,σ) σ X + } bezeichnet die maximale Anzahl von Vorhersagefehlern von S auf irgendeiner Beispielfolge für c.... Fehler von S in Bezug auf eine Konzeptklasse C Error worst (S,C) = max { Error max (S,c) c C } ist die maximale Anzahl von Vorhersagefehlern von S auf irgendeiner Beispielfolge für irgendein Konzept c C. 10/12

7 Zentrale Fragestellungen es sei C eine Konzeptklasse Wie viele Fehler muß man einem Online-Lernverfahren für C zugestehen? (/* Fokus: untere Schranke */) Wie viele Fehler macht ein Online-Lernverfahren für C? (/* Fokus: obere Schranke */)... mit opt(c) bezeichnet man die optimale Fehlerschranke eines Online- Lernverfahrens für die Klasse C opt(c) = min { Error worst (S,C) S ist ein Online-Lernverfahren für C } 10/13 Der Halving-Algorithmus es sei C eine endliche Konzeptklasse setze initial H = C es sei b das aktuelle unklassifizierte Beispiel - setze H 1 = { c H c(b) = 1 } und H 0 = { c H c(b) = 0 } - falls H 1 H 0, setze h(b) = 1, setze h(b) = 0 (/* das nennt man majority vote */) - falls h(b) c(b), so setze H = H c(b), sonst ändere H nicht... je Vorhersagefehler wird mindestens die Hälfte aller Konzepte aus H gestrichen 10/14

8 Konsequenzen es sei C eine endliche Konzeptklasse... der Halving-Algorithmus S halving macht im worst case höchstens log 2 ( C ) viele Vorhersagefehler!!!... Error worst (S halving,c) log 2 ( C ) Es sei C eine endliche Konzeptklasse. Dann gilt: opt(c) log 2 ( C ).... das bestmögliche Online Lernverfahren für C macht im worst case höchstens log 2 ( C ) Fehler (/* allgemeine obere Schranke */) Hinweis: mit C wird die Anzahl der Konzepte in C bezeichnet 10/15 Anmerkung Der Halving-Algorithmus ist i.a. nicht sehr effizient.... für bestimmte Konzeptklassen gibt es recht effiziente Verfahren, die im average case nur wenige Vorhersagefehler machen (/* bspw. Winnow nicht Thema dieser Vorlesung */) 10/16

9 zentraler Begriff zum Nachweis einer unteren Schranke... die Vapnik-Chervonenkis-Dimension... Maß für die strukturelle Vielfalt von Konzeptklassen 10/17 Beispiel X = R 2 C ist die Menge aller achsenparallelen Rechtecke Frage Welche Varianten gibt es, diese Punkte auf Konzepte aus C zu verteilen? es gibt kein Konzept, das die beiden äußeren, aber nicht den mittleren Punkt enthält... 10/18

10 Beispiel X = R 2 C ist die Menge aller achsenparallelen Rechtecke Frage Welche Varianten gibt es, diese Punkte auf Konzepte aus C zu verteilen? 10/19 Beispiel X = R 2 C ist die Menge aller achsenparallelen Rechtecke Frage Welche Varianten gibt es, diese Punkte auf Konzepte aus C zu verteilen? 10/20

11 Beispiel X = R 2 C ist die Menge aller achsenparallelen Rechtecke Frage Welche Varianten gibt es, diese Punkte auf Konzepte aus C zu verteilen? 10/21 Beispiel X = R 2 C ist die Menge aller achsenparallelen Rechtecke Frage Welche Varianten gibt es, diese Punkte auf Konzepte aus C zu verteilen? es gibt kein Konzept, das die beiden äußeren, aber nicht einen der mittleren Punkte enthält... 10/22

12 Beispiel X = R 2 C ist die Menge aller achsenparallelen Rechtecke Frage Welche Varianten gibt es, diese Punkte auf Konzepte aus C zu verteilen?... jede Variante ist möglich 10/23 Beispiel X = R 2 C ist die Menge aller achsenparallelen Rechtecke Frage Welche Varianten gibt es, diese Punkte auf Konzepte aus C zu verteilen?... nicht jede Variante ist möglich 10/24

13 Hilfsbegriff es seien X ein Lernbereich und C eine Konzeptklasse über X Eine endliche Teilmenge von E X ist zerlegbar durch die Konzeptklasse C, falls es zu jeder Zerlegung E = E 1 E 2 mit E 1 E 2 = ein Konzept c C gibt, so daß gilt: E 1 c und E 2 co-c. mit anderen Worten... für alle b E gilt: E 1 (b) = 1 oder E 2 (b) = 1 wenn E 1 (b) = 1, so ist E 2 (b) = 0 wenn E 1 (b) = 0, so ist E 2 (b) = 1 wenn E 1 (b) = 1, so ist c(b) = 1 wenn E 2 (b) = 1, so ist c(b) = 0 10/25 Hilfsbegriff es seien X ein Lernbereich und C eine Konzeptklasse über X Eine endliche Teilmenge von E X ist zerlegbar durch die Konzeptklasse C, falls es zu jeder Zerlegung E = E 1 E 2 mit E 1 E 2 = ein Konzept c C gibt, so daß gilt: E 1 c und E 2 co-c. C: achsenparallele Rechtecke E = { b 1,b 2,b 3 } b 1 b 3 E 1 = { b 1,b 2 } E 2 = { b 3 } b 2... E is shattered by C 10/26

14 Begriff: Vapnik-Chervonenkis-Dimension es seien X ein Lernbereich und C eine Konzeptklasse über X Die VC-Dimension von C ist die Kardinalität der größten endlichen Teilmenge E von X, die durch C zerlegbar ist. Falls beliebig große endliche Teilmengen E von X durch C zerlegbar sind, so ist die VC-Dimension der Konzeptklasse C unendlich. 10/27 Grundlegendes Resultat Es sei C eine endliche Konzeptklasse mit VC-Dimension d. Dann gilt: d opt(c) log 2 ( C ).... das best mögliche Online-Lernverfahren für C macht im worst case mindestens d und höchstens log 2 ( C ) Fehler 10/28

15 opt(c) log 2 ( C ): siehe Analyse von S halving d opt(c): wähle unklassifizierte Beispiele b 1,..., b d, so daß die Menge E = { b 1,...,b d } durch C zerlegbar ist wähle c mit: Beispiel b 1 h 0 (b 1 ) Beispiel b 2 Online h 1 (b 2 ) Lernverfahren Beispiel b d b d-1 (b d ) c(b 1 )=1-h 0 (b 1 ) c(b 2 )=1-h 1 (b 2 )... c(b d )=1-h d-1 (b d )... es gibt ein solches c C; der Student macht mindestens d Vorhersagefehler beim Lernen von c auf der Beispielfolge σ = b 1,..., b d,... 10/29

2. Lernen von Entscheidungsbäumen

2. Lernen von Entscheidungsbäumen 2. Lernen von Entscheidungsbäumen Entscheidungsbäume 2. Lernen von Entscheidungsbäumen Gegeben sei eine Menge von Objekten, die durch Attribut/Wert- Paare beschrieben sind. Jedes Objekt kann einer Klasse

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Kapitel 5: Dynamisches Programmieren Gliederung

Kapitel 5: Dynamisches Programmieren Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen

Mehr

Algorithms for Regression and Classification

Algorithms for Regression and Classification Fakultät für Informatik Effiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie Algorithms for Regression and Classification Robust Regression and Genetic Association Studies Robin Nunkesser Fakultät für Informatik

Mehr

Vorlesung Maschinelles Lernen

Vorlesung Maschinelles Lernen Vorlesung Maschinelles Lernen Additive Modelle Katharina Morik Informatik LS 8 Technische Universität Dortmund 7.1.2014 1 von 34 Gliederung 1 Merkmalsauswahl Gütemaße und Fehlerabschätzung 2 von 34 Ausgangspunkt:

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen

Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen Stephan Schwiebert Sommersemester 2009 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Maschinelles Lernen Überwachtes Lernen

Mehr

4. Lernen von Entscheidungsbäumen. Klassifikation mit Entscheidungsbäumen. Entscheidungsbaum

4. Lernen von Entscheidungsbäumen. Klassifikation mit Entscheidungsbäumen. Entscheidungsbaum 4. Lernen von Entscheidungsbäumen Klassifikation mit Entscheidungsbäumen Gegeben sei eine Menge von Objekten, die durch /Wert- Paare beschrieben sind. Jedes Objekt kann einer Klasse zugeordnet werden.

Mehr

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ

Mehr

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 1 Wir betrachten die folgende Signatur

Mehr

Moderne Methoden der KI: Maschinelles Lernen

Moderne Methoden der KI: Maschinelles Lernen Moderne Methoden der KI: Maschinelles Lernen Prof. Dr.Hans-Dieter Burkhard Vorlesung Entscheidungsbäume Darstellung durch Regeln ID3 / C4.5 Bevorzugung kleiner Hypothesen Overfitting Entscheidungsbäume

Mehr

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30 Formale Methoden II SS 2008 Universität Bielefeld Teil 8, 11. Juni 2008 Gerhard Jäger Formale Methoden II p.1/30 Beispiele Anmerkung: wenn der Wahrheitswert einer Formel in einem Modell nicht von der Belegungsfunktion

Mehr

Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren)

Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren) Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken klassische Aussagenlogik klassische Prädikatenlogik: Wiederholung Syntax, Semantik Normalformen: bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung)

Mehr

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Zuerst einige Bemerkungen zum Punkteschema. Eine vollständige und korrekte Lösung einer Aufgabe ist jeweils 7 Punkte wert. Für komplette Lösungen mit kleineren Fehlern

Mehr

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe

Mehr

Seminar über Software Model Checking Vortrag zum Thema Predicate Abstraction

Seminar über Software Model Checking Vortrag zum Thema Predicate Abstraction Seminar über Software Model Checking Vortrag zum Thema Predicate Abstraction Robert Mattmüller Betreuer: Prof. Dr. Stefan Leue Wintersemester 2003/2004 1. Dezember 2003 1 Software Model Checking Predicate

Mehr

Kapitel ML: I. I. Einführung. Beispiele für Lernaufgaben Spezifikation von Lernproblemen

Kapitel ML: I. I. Einführung. Beispiele für Lernaufgaben Spezifikation von Lernproblemen Kapitel ML: I I. Einführung Beispiele für Lernaufgaben Spezifikation von Lernproblemen ML: I-8 Introduction c STEIN/LETTMANN 2005-2010 Beispiele für Lernaufgaben Autoeinkaufsberater Welche Kriterien liegen

Mehr

Grammatiken. Einführung

Grammatiken. Einführung Einführung Beispiel: Die arithmetischen Ausdrücke über der Variablen a und den Operationen + und können wie folgt definiert werden: a, a + a und a a sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische

Mehr

LÖSUNG ZUR VORLESUNG MAKROÖKONOMIK I (SoSe 14) Aufgabenblatt 4

LÖSUNG ZUR VORLESUNG MAKROÖKONOMIK I (SoSe 14) Aufgabenblatt 4 Fakultät Wirtschafts- und Sozialwissenschaften Jun.-Prof. Dr. Philipp Engler, Michael Paetz LÖSUNG ZUR VORLESUNG MAKROÖKONOMIK I (SoSe 14) Aufgabenblatt 4 Aufgabe 1: IS-Kurve Leiten Sie graphisch mit Hilfe

Mehr

Klausur für Studiengänge INF und IST

Klausur für Studiengänge INF und IST Familienname: Matrikelnummer: Studiengang: (bitte ankreuzen) INF IST MED Vorname: Email-Adresse: Immatrikulationsjahr: Klausur für Studiengänge INF und IST sowie Leistungsschein für Studiengang Medieninformatik

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20.

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20. Übersicht Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: (K4) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/i2/dsal12/ 20.

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion Was bisher geschah Daten, Information, Wissen explizites und implizites Wissen Wissensrepräsentation und -verarbeitung: Wissensbasis Kontextwissen Problemdarstellung fallspezifisches Wissen repräsentiert

Mehr

Branch-and-Bound. Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir

Branch-and-Bound. Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 289 Branch-and-Bound Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir 1.

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 3. Endliche Automaten (V) 21.05.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Determinierte endliche Automaten (DEAs) Indeterminierte

Mehr

Wissensbasierte Systeme

Wissensbasierte Systeme WBS4 Slide 1 Wissensbasierte Systeme Vorlesung 4 vom 03.11.2004 Sebastian Iwanowski FH Wedel WBS4 Slide 2 Wissensbasierte Systeme 1. Motivation 2. Prinzipien und Anwendungen 3. Logische Grundlagen 4. Suchstrategien

Mehr

Einführung in Petri-Netze

Einführung in Petri-Netze Einführung in Petri-Netze Modellierung und Analysen von Workflows Vertretung: Stephan Mennicke, Reaktive Systeme SS 2012 Organisatorisches In der 24. KW (11.06. 17.06.): Vorlesung am Dienstag, 15:00 Uhr

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Lehrstuhl für Softwaretechnik und Programmiersprachen Professor Dr. Michael Leuschel Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012 Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Disclaimer: Bei Folgendem

Mehr

Vorlesung Wissensentdeckung

Vorlesung Wissensentdeckung Gliederung Vorlesung Wissensentdeckung Additive Modelle Katharina Morik, Weihs 1 Merkmalsauswahl Gütemaße und Fehlerabschätzung.6.015 1 von 33 von 33 Ausgangspunkt: Funktionsapproximation Aufteilen der

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Mathematische Grundlagen der Informatik

Mathematische Grundlagen der Informatik Skriptum zur Vorlesung Mathematische Grundlagen der Informatik gehalten in WS 2015/16 von Sven Kosub 4. Februar 2016 Version v4.20 Inhaltsverzeichnis Prolog 1 1 Logik 5 1.1 Aussagen.....................................

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n

Mehr

Die Klassen P und NP. Dr. Eva Richter. 29. Juni 2012

Die Klassen P und NP. Dr. Eva Richter. 29. Juni 2012 Die Klassen P und NP Dr. Eva Richter 29. Juni 2012 1 / 35 Die Klasse P P = DTIME(Pol) Klasse der Probleme, die sich von DTM in polynomieller Zeit lösen lassen nach Dogma die praktikablen Probleme beim

Mehr

Timed Automata (Zeitbeschriftete Automaten) [R. Alur: Timed Automata]

Timed Automata (Zeitbeschriftete Automaten) [R. Alur: Timed Automata] Timed Automata (Zeitbeschriftete Automaten) [R. Alur: Timed Automata] Formalismus zur Behandlung von Dense Time unterstützt durch Verifikationstools, z.b. UPPAAL Transitionssysteme (Automaten) mit Zeitbeschriftungen

Mehr

2. Vorlesung. Slide 40

2. Vorlesung. Slide 40 2. Vorlesung Slide 40 Knobelaufgabe Was tut dieses Programm? Informell Formal Wie stellt man dies sicher? knobel(a,b) { Wenn a = 0 dann return b sonst { solange b 0 wenn a > b dann { a := a - b sonst b

Mehr

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes

Mehr

WS 2002/03. Prof. Dr. Rainer Manthey. Institut für Informatik III Universität Bonn. Informationssysteme. Kapitel 1. Informationssysteme

WS 2002/03. Prof. Dr. Rainer Manthey. Institut für Informatik III Universität Bonn. Informationssysteme. Kapitel 1. Informationssysteme Informationssysteme Informationssysteme WS 2002/03 Prof. Dr. Rainer Manthey Institut für Informatik III Universität Bonn 2002 Prof. Dr. Rainer Manthey Informationssysteme 1 DB und/oder IS: terminologischer

Mehr

6. Sichten, Integrität und Zugriffskontrolle. Vorlesung "Informa=onssysteme" Sommersemester 2015

6. Sichten, Integrität und Zugriffskontrolle. Vorlesung Informa=onssysteme Sommersemester 2015 6. Sichten, Integrität und Zugriffskontrolle Vorlesung "Informa=onssysteme" Sommersemester 2015 Überblick Sichten Integritätsbedingungen Zugriffsrechte SQL- Schema und SQL- Katalog Das Informa=onsschema

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/2, Folie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

ARBEITSPAPIERE DER NORDAKADEMIE

ARBEITSPAPIERE DER NORDAKADEMIE ARBEITSPAPIERE DER NORDAKADEMIE ISSN 1860-0360 Nr. 2008-05 Ausbildungscontrolling: Zur Effizienz dualer Studiengänge Dietger Mainz September 2008 Eine elektronische Version dieses Arbeitspapiers ist verfügbar

Mehr

x 2 x 1 x 3 5.1 Lernen mit Entscheidungsbäumen

x 2 x 1 x 3 5.1 Lernen mit Entscheidungsbäumen 5.1 Lernen mit Entscheidungsbäumen Falls zum Beispiel A = {gelb, rot, blau} R 2 und B = {0, 1}, so definiert der folgende Entscheidungsbaum eine Hypothese H : A B (wobei der Attributvektor aus A mit x

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Datenbankanwendung. Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern. Wintersemester 2014/15. smichel@cs.uni-kl.de

Datenbankanwendung. Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern. Wintersemester 2014/15. smichel@cs.uni-kl.de Datenbankanwendung Wintersemester 2014/15 Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern smichel@cs.uni-kl.de Wiederholung: Anfragegraph Anfragen dieses Typs können als Graph dargestellt werden: Der

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

Logik-Grundlagen. Syntax der Prädikatenlogik

Logik-Grundlagen. Syntax der Prädikatenlogik Logik-Grundlagen X 1 :...: X k : ( A 1 A 2... A m B 1 B 2... B n ) Logische und funktionale Programmierung - Universität Potsdam - M. Thomas - Prädikatenlogik III.1 Syntax der Prädikatenlogik Prädikat:

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Lernalgorithmen SoSe 2008 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Lernalgorithmen SoSe 2008 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Lernalgorithmen SoSe 2008 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Lernalgorithmen Gesamtübersicht 0. Einführung 1. Identifikation (aus positiven Beispielen) 2. Zur Identifikation

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

Grundlagen der Programmierung

Grundlagen der Programmierung GdP2 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 2 Sebastian Ianoski FH Wedel GdP2 Slide 2 Beispiel ür eine Programmveriikation Gegeben sei olgender Algorithmus: i (x>0) ((y+x) 0) then z := x y else

Mehr

Tableaukalkül für Aussagenlogik

Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird

Mehr

II. Grundlagen der Programmierung

II. Grundlagen der Programmierung II. Grundlagen der Programmierung II.1. Zahlenssteme und elementare Logik 1.1. Zahlenssteme 1.1.1. Ganze Zahlen Ganze Zahlen werden im Dezimalsstem als Folge von Ziffern 0, 1,..., 9 dargestellt, z.b. 123

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie Theorie der Informatik 17. März 2014 6. Formale Sprachen und Grammatiken Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 6.1 Einführung

Mehr

Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken

Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken Alphabet A: endliche Menge von Zeichen Wort über A: endliche Folge von Zeichen aus A A : volle Sprache über A: Menge der A-Worte formale Sprache

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

Info zum Junk-Mail-Filter in Thunderbird:

Info zum Junk-Mail-Filter in Thunderbird: Datenverarbeitungszentrale Datenverarbeitungszentrale dvz@fh-muenster.de www.fh-muenster.de/dvz Info zum Junk-Mail-Filter in Thunderbird: Der Grossteil der Benutzer verwendet zusätzlich zum zentralen Mail-Filter

Mehr

Mit KI gegen SPAM. Proseminar Künstliche Intelligenz

Mit KI gegen SPAM. Proseminar Künstliche Intelligenz Mit KI gegen SPAM Proseminar Künstliche Intelligenz SS 2006 Florian Laib Ausblick Was ist SPAM? Warum SPAM-Filter? Naive Bayes-Verfahren Fallbasiertes Schließen Fallbasierte Filter TiMBL Vergleich der

Mehr

Intelligente Agenten

Intelligente Agenten Intelligente Agenten Einige einfache Überlegungen zu Agenten und deren Interaktionsmöglichkeiten mit ihrer Umgebung. Agent benutzt: Sensoren Aktuatoren (Aktoren; Effektoren) zum Beobachten/Mess seiner

Mehr

Felix Klug SS 2011. 2. Tutorium Deskriptive Statistik

Felix Klug SS 2011. 2. Tutorium Deskriptive Statistik 2. Tutorium Deskriptive Statistik Felix Klug SS 2011 Skalenniveus Weitere Beispiele für Skalenniveus (Entnommen aus Wiederholungsblatt 1.): Skalenniveu Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

Reflexive Induktive Inferenz rekursiver Funktionen

Reflexive Induktive Inferenz rekursiver Funktionen G H T Reflexive Induktive Inferenz rekursiver Funktionen Gunter Grieser TU Darmstadt Beispiel: automatisches Übersetzen Beispiel: automatisches Übersetzen Beispiel: automatisches Übersetzen Ich kann das

Mehr

9. Einführung in Datenbanken

9. Einführung in Datenbanken 9. Einführung in Datenbanken 9.1 Motivation und einführendes Beispiel 9.2 Modellierungskonzepte der realen Welt 9.3 Anfragesprachen (Query Languages) 9.1 Motivation und einführendes Beispiel Datenbanken

Mehr

Haskell zur Constraint-Programmierung HaL8

Haskell zur Constraint-Programmierung HaL8 Haskell zur Constraint-Programmierung HaL8 Alexander Bau 2. Mai 2013 Wir benutzen eine Teilmenge von Haskell zur Spezifikation von Constraint- Systemen über Haskell-Datentypen. Ein Constraint-Compiler

Mehr

1 Part-of-Speech Tagging

1 Part-of-Speech Tagging 2. Übung zur Vorlesung NLP Analyse des Wissensrohstoes Text im Sommersemester 2008 Dr. Andreas Hotho, Dipl.-Inform. Dominik Benz, Wi.-Inf. Beate Krause 28. Mai 2008 1 Part-of-Speech Tagging 1.1 Grundlagen

Mehr

Dateiorganisation und Zugriffsstrukturen

Dateiorganisation und Zugriffsstrukturen Dateiorganisation und Zugriffsstrukturen Prof. Dr. T. Kudraß 1 Mögliche Dateiorganisationen Viele Alternativen existieren, jede geeignet für bestimmte Situation (oder auch nicht) Heap-Dateien: Geeignet

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur

Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur 7. Juli 2010 Name Matrikelnummer Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte 1 35 2 30 3 30 4 15 5 40 6 30 Gesamt 180 1 Seite 2 von 14 Aufgabe 1) Programm Analyse

Mehr

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke 1 Zuerst zum Gebrauch des Wortes unendlich Es wird in der Mathematik in zwei unterschiedlichen Bedeutungen benutzt Erstens im Zusammenhang mit Funktionen

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

SUDOKU - Strategien zur Lösung

SUDOKU - Strategien zur Lösung SUDOKU Strategien v. /00 SUDOKU - Strategien zur Lösung. Naked Single (Eindeutiger Wert)? "Es gibt nur einen einzigen Wert, der hier stehen kann". Sind alle anderen Werte bis auf einen für eine Zelle unmöglich,

Mehr

Semestralklausur zur Vorlesung. Web Mining. Prof. J. Fürnkranz Technische Universität Darmstadt Sommersemester 2004 Termin: 22. 7.

Semestralklausur zur Vorlesung. Web Mining. Prof. J. Fürnkranz Technische Universität Darmstadt Sommersemester 2004 Termin: 22. 7. Semestralklausur zur Vorlesung Web Mining Prof. J. Fürnkranz Technische Universität Darmstadt Sommersemester 2004 Termin: 22. 7. 2004 Name: Vorname: Matrikelnummer: Fachrichtung: Punkte: (1).... (2)....

Mehr

Computational Intelligence 1 / 20. Computational Intelligence Künstliche Neuronale Netze Perzeptron 3 / 20

Computational Intelligence 1 / 20. Computational Intelligence Künstliche Neuronale Netze Perzeptron 3 / 20 Gliederung / Künstliche Neuronale Netze Perzeptron Einschränkungen Netze von Perzeptonen Perzeptron-Lernen Perzeptron Künstliche Neuronale Netze Perzeptron 3 / Der Psychologe und Informatiker Frank Rosenblatt

Mehr

Mining top-k frequent itemsets from data streams

Mining top-k frequent itemsets from data streams Seminar: Maschinelles Lernen Mining top-k frequent itemsets from data streams R.C.-W. Wong A.W.-C. Fu 1 Gliederung 1. Einleitung 2. Chernoff-basierter Algorithmus 3. top-k lossy counting Algorithmus 4.

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung #2 Phillip Keldenich, Arne Schmidt 10.11.2016 Organisatorisches Fragen? Checkliste: Anmeldung kleine Übungen Anmeldung Mailingliste Dies ersetzt nicht die Prüfungsanmeldung!

Mehr

Leseprobe. Wolfgang Ertel. Angewandte Kryptographie. ISBN (Buch): 978-3-446-42756-3. ISBN (E-Book): 978-3-446-43196-6

Leseprobe. Wolfgang Ertel. Angewandte Kryptographie. ISBN (Buch): 978-3-446-42756-3. ISBN (E-Book): 978-3-446-43196-6 Leseprobe Wolfgang Ertel Angewandte Kryptographie ISBN (Buch): 978-3-446-42756-3 ISBN (E-Book): 978-3-446-43196-6 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-42756-3

Mehr

Über Randeffekte bei der Dichteschätzung räumlich verteilter Daten

Über Randeffekte bei der Dichteschätzung räumlich verteilter Daten Über Randeffekte bei der Dichteschätzung räumlich verteilter Daten Andreas Fröhlich, Thomas Selhorst, Christoph Staubach FLI-Wusterhausen DVG Tagung Graz, September 2008 Institut für Epidemiologie Gliederung

Mehr

Brainstorming. Brainstorming gehört zu den assoziativen Methoden. Der Vorteil ist, dass diese meist rasch zu erlernen sind.

Brainstorming. Brainstorming gehört zu den assoziativen Methoden. Der Vorteil ist, dass diese meist rasch zu erlernen sind. Brainstorming Allgemeines Dieses Paper beschreibt die Kreativitätstechnik Brainstorming und verweist zusätzlich auf die relevanten Inhalte des BABOKs V2.0 (Business Analysis Body of Knowledge). Brainstorming

Mehr

Herzlich willkommen!!!

Herzlich willkommen!!! Computational Learning Theory Sommersemester 2017 Prof. Dr. Georg Schnitger AG Theoretische Informatik Goethe-Universität Frankfurt am Main Herzlich willkommen!!! 1 / 159 Einführung Einführung 2 / 159

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das

Mehr

Approximationsalgorithmen

Approximationsalgorithmen Makespan-Scheduling Kapitel 4: Approximationsalgorithmen (dritter Teil) (weitere Beispiele und Illustrationen an der Tafel) Hilfreiche Literatur: Vazarani: Approximation Algorithms, Springer Verlag, 2001.

Mehr

Kapitel 9. Komplexität von Algorithmen und Sortieralgorithmen

Kapitel 9. Komplexität von Algorithmen und Sortieralgorithmen 1 Kapitel 9 Komplexität von Algorithmen und Sortieralgorithmen Ziele 2 Komplexität von Algorithmen bestimmen können (in Bezug auf Laufzeit und auf Speicherplatzbedarf) Sortieralgorithmen kennenlernen:

Mehr

Dokumenten-Clustering. Norbert Fuhr

Dokumenten-Clustering. Norbert Fuhr Dokumenten-Clustering Norbert Fuhr Dokumenten-Clustering (Dokumenten-)Cluster: Menge von ähnlichen Dokumenten Ausgangspunkt Cluster-Hypothese : die Ähnlichkeit der relevanten Dokumente untereinander und

Mehr

Beschreibungslogiken. Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de

Beschreibungslogiken. Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de Beschreibungslogiken Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de Was sind Beschreibungslogiken? Definition: Formalisms that represent knowledge of some problem domain (the world ) by first defining

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/3, Folie 1 2010 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr