Einführung in Mathcad H.

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1 Einführung in Mthc. H. Glvnik Eitieren von Termen Tet schreiben mit Shift " + + Nvigtion mit Leertste un Cursor + Löschen mit Shift + Entf sin( ) + Arten von Gleichheitszeichen Definition eines Terms bzw. einer Funktion lokle y: Vrible Tste : Auswertung eines Ausrucks Tste Die Berechnung es Arbeitsblttes erfolgt von oben nch unten un von links nch rechts y 8 y knn usgewertet weren, zuvor er Wert zugewiesen wure Die globle Definition Tste AltGr ~ z 6 z uch oberhlb er globlen Definition beknnt! z 5 globle Definition z 5 z: lokle Reefinition... z... setzt globle Definition ußer Krft! z 6... setzt ie letzte globle Definition ußer Krft! z 6 Definition einer mthemtischen Gleichung + b c Tste Strg + Cursor zu setzen un Symbolik / Vrible / uflösen liefert: ( b c)

2 Symbolisches Lösen von Gleichungen mit Keywor solve (View/Toolbr/symbolic) + b c uflösen, ( b c) Übung: : b: c: 5 + b + c Qurtische Gleichung ufgelöst nch... ( ) ( ) b b + c b b c un mit usgewertet. ODER: (, b, c) : + b + c uflösen, b b + c b b c (, b, c).87.87

3 Wertebereich einer Vriblen mit Tste ; Strtwert, Enwert 5 Schrittweite ist utomtisch Auswertung ergibt: 5,... Dezimlzeichen ist ein Punkt Schrittweite ist Differenz us zweiter minus erster Zhl...6.8

4 Definition von Funktionen f : z: g : + + z Argumentklmmer bechten! Funktionswerte berechnen: f 8 Stückweise efinierte Funktion: g u: 5 h : wenn(, 5, + 5) g( u) Funktionswerte es Wertebereichs von,.9.. f f g h Funktionsgrph (Digrmm) (Zweite Funktion einfügen urch Beistrich hinter er ersten) 5 5 X: 7 9 Y: Drstellung iskreter Dten Mtri einfügen: Strg+M Y 5 X

5 Übung: Die linere Funktion k: : Prmeter er Geren: y : k + : b: N: Intervll er -Werte soll zwischen un b liegen Gewünschte Anzhl er Punkte im Grphen ) Bestimme einen Ausruck für en Wertebereich von! b) Zeichne en Grphen un veränere k un! Fiiere ie Grenzen er y-achse Lösung: b, +.. b N y Symbolisches Lösen von einfchen Gleichungen geg: + b c Strg + ( b c) ges: [STRG] [Umschlt] [.] Symbolik/Auflösen: Symbolische Lösung: Cursor zu ; Symbolik / Vrible / uflösen : s + t v uflösen, t + v s Symbolik/Vereinfchen: + vereinfchen + Symbolik/Erweitern: ( + b) ( b) + entwickeln + 8 Symbolik/Fktorisieren: fktor ( ) ( + )

6 Übung: Beschleunigte Bewegung: s t + v t + s Literline: v Punkt ges: ) Nch welcher Zeit t wir er Weg s zurückgelegt? b) Zeichne s Weg-Zeit Digrmm un zeichne ie gefunene Lösung ein. s: Anfngswerte einsetzen: : v : s : ( ) ( ) v + v + v v + s s s s beie Ausrücke mrkieren; Symbolik / Vereinfchen... v + v + s s.8.8 v + v + s s Physiklisch sinnvolle Lösung t,8 s Beispiel: Die Feerkennlinie... liner; >... progressiv; <... egerssiv : k l F l + l :. k:.5 ) Welche Krft ist notwenig, um eine Längenänerung von 8 zu bewirken? b) Welche Längenänerung wir urch eine Krft von verurscht? c) Stelle ie Feerkennlinie grphisch r!

7 Lösung: zu ) 8 F 9.7 zu b) F k l + l mit F: ges: l ( ) ( ) k k + + F k k + F Physiklisch sinnvoll ist nur ie Lösung l.996! zu c),... 6 y:.. : k l F l + l F y 5 5,,.99 Beispiel: Gleichgewicht zwischen Ere un Mon M E M M 8 Literline: M Punkt. E γ F E M E m E Krft Rkete-Ere γ F E M M m E Krft Rkete-Mon

8 γ M E m γ E M M m E Gleichgewichtsbeingung ges: E ) Ersetze Me urch 8.Mm γ M E m E γ M M m E M M 8 in ie Zwischenblge kopieren γ M E m E γ M M m E M E mrkieren un Symbolik / Vrible / ersetzen... wählen 8γ M M m E γ M M m E Nun nch E uflösen Nur ie Lösung 9/. ist physiklisch sinnvoll! Verhältnis Errius / Monrius: M M 8 m γ r E 6 M M m γ r M 6 r M 6 r M 6.67

9 Nummerisches Lösen einer Gleichung - Bestimmung er Nullstellen Gegeben: Gesucht: + Lösungen (Nullstellen) er Gleichung ) Grphische Vernschulichung:,.8.. g : + g ) Nummerische Bestimmung er Nullstellen mit er wurzel() Funktion Tolernz: TOL TOL:. Strtwerte: wurzel( g, ).879 wurzel( g, ).7 wurzel( g, ).5 Die nummerischen Lösungen hängen von er Whl es Strtwertes b! Anmerkung: Liegt ie Gleichung in er Form f() h() vor, so muss sie zuerst uf ie Form g() gebrcht weren. Dh. setze g() : f() - h() un löse nn ie Gleichung g()

10 Eponentil- un Logrithmusgleichungen B: 5. 5 Lösung. B: e ( ) Eulersche Zhl ist vorefiniert: e.78 B: 5 [( + ln ) ln ] ( + ln ) [( + ln ) ln ] ( + ln ) Gesucht: ) Symbolische Lösung ) Numerische Lösung mit grphischer Vernschulichung zu ) 5 + zu ) 8 +, ln g : ln g Strtwert: wurzel( g, ).65 TOL 5 TOL:.

11 Übung: Bestimmung es Aibteneponenten bei einer ibtischen Zustnsänerung Gegeben: V : T : 5 V : 8 T : V V κ T T κ Gesucht: K V V κ T T κ ln T T ln T V V T. ln T T κ : κ. ln T V V T

12 Lösen von lineren Gleichungssystemen Gegeben: Lineres Gleichungssystem.5 +. y+ 6.5 z y.6 z y+. z.5 Gesucht: Lösungen für, y un z ) Lösen es lineren Gleichungssystems mit Hilfe er inversen Mtri: gegeben: Gleichungssystem A. c gesucht: Vektor A: c:...5 Determinnte muß <> sein! (A ist regulär) Lösung mit er inversen Mtri berechnen A A c b) Lösen es lineren Gleichungssystems mit Hilfe er Funktion llösen(): llösen( A, c)

13 c) Nummerische Lösung: Strtwerte:. y:. z:. Vorgbe Ds Wort Vorgbe nicht ls Tet eingeben! y+ 6.5 z.. y.6 z y+. z.5 y z : Suchen(, y, z) Probe - Lösungen einsetzen:.69 y. z y+ 6.5 z... y.6 z y+. z.5

14 Rekursionen Aus er Zhl soll mit Hilfe einer rekursiven Formel ihre Qurtwurzel berechnet weren: Zhl us er ie Wurzel zu ziehen ist: Anzhl er Itertionen Zählervrible (Ine) Strtwert: Rekursionsvorschrift zur Berechnung er Qurtwurzel von : 5 N: 9 i:.. N : : i+ Vektorine [ + i i Unterscheie en Vektorine [ vom Literline.!!! i i konvergiert gegen ie Wurzel us!

15 Beispiel: Zinsrechnung Einlgekpitl: Zinsfuß / Jhr: Einlgeuer: K : p:. N: ) Finen Sie eine geeignete Rekursionsvorschrift für K i! ) Stellen Sie K i ls Tbelle r un zeichnen Sie en Grphen K i ls Funktion von i Lösung: i:.. N K : K + K p i+ i i K i Rekursionvorschrift K.7 K i... i K( i) : K ( + p) i Drstellung ls Funktion i von bis N

16 Rechnen mit Einheiten Physiklische Größe Mßzhl ml Mßeinheit Einfügen / Einheit... s: s : m v : m s : m t: s,.5 s.. s s s z.b: Beschleunigte Bewegung: s( t) : t + v t + s Zurückgelegter Weg: s( t) m 6 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung 5 s( t) t

17 Ableitung von Funktionen: Symbolik / Vrible / Differenzieren liefert: Symbolik / Auswerten / symbolisch (shift F9) Symbolik / Vereinfchen r r r Strg + Punkt Symbolik / Auswerten / symbolisch (shift F9) f Vrible mrkieren un f Symbolik / Vrible / Differenzieren liefert: Wert er Ableitung n einer bestimmten Stelle - sei Symbolische Auswertung mit --> Opertor 9 Strg un Punkt, nn Enter 6 oer 6 Wert er Ableitung n mehreren Stellen : mit usgewertet

18 Beispiel: Etremwertufgbe Schiefer Wurf - Unter welchem Winkel muß geworfen weren, mit ie Wurfweite miml ist? tn( α) g v cos( α) Zusmmenhng zwischen Wurfweite un Abschußwinkel α nch uflösen... tn( α) v cos( α) g ( α) ( α) ist tn( α) v cos( α) g nch α ifferenzieren... α α ist gleich + tn( α) cos α v tn( α) v g cos( α) g sin( α) Erste Ableitung null setzen... + tn( α) cos α v tn( α) v g cos( α) g sin( α) nch α uflösen... liefert 9 ls sinnvolle Lösung! π π π π

19 Integrtion von Funktionen: Unbestimmtes Integrl: Symbolik / Vrible / integrieren liefert: Symbolik / Auswerten / symbolisch (shift F9) Symbolik / Vereinfchen Strg un Punkt Bestimmtes Integrl: b Symbolik / Vereinfchen b b Symbolik / Auswerten / symbolisch (shift F9) b Auswerten er Integrtionsgrenzen es bestimmten Integrls: : b: b 7 Stg+Punkt

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