Informatik Teil 7: Von der Vektorgraphik zur Pixelgraphik
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- Pamela Kruse
- vor 8 Jahren
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1 Informatik Teil 7: Von der Vektorgraphik zur Pielgraphik Gymnasium Icking 2011 Jörg D. Becker, Starnberg Es gibt Programme zur Steuerung von virtuellen Robotern. Interessanter als damit zu spielen ist es aber, ein derartiges System selbst zu programmieren. Wir wählen dafür LOGO, ein von Seymour Papert erdachtes System zur Steuerung von Zeichenrobotern. Hier erfahren wir auch etwas über zwei unterschiedliche Graphikmethoden, nämlich Pielgraphik und Vektorgraphik. Das lateinische Wort vector heißt ich reise (eigentlich ist die lateinische Form passiv, also ich werde gereist ); ich reise mit dem Wagen, mit dem Schiff, mit dem Pferd usw. Wollen wir von Bastia (Korsika) nach Livorno (Italien) segeln, so ist unsere Route (unser Vektor ) charakterisiert durch eine Entfernung (82 Seemeilen) und eine Richtung (34 rechts von Norden). Nord Livorno 34 o 82 sm Bastia Dass in der Seefahrt die Nordrichtung als Referenz benutzt wird, liegt einfach daran, dass ein Kompass nach Norden zeigt. Wenn ich also Richtung Livorno fahre, ist der Kompass nach Norden ausgerichtet, aber die Schiffsnase zeigt auf 34. (Ein Schiffskompass hat eine sich mit dem Kurs drehende Scheibe mit einer Gradeinteilung auf dem Rand, sodass der aktuelle Kurs sofort abgelesen werden kann.) In der Mathematik benutzt man als Referenz die -Achse, und ein Winkel wird von dieser Achse aus nach links gemessen. Wir können den Kurs eines imaginären Schiffes benutzen, um zu zeichnen. Alternativ können wir eine dressierte Katze oder einen Roboter benutzen. Die elementaren Befehle sind: Fahre oder gehe eine bestimmte Strecke, und: drehe dich um einen bestimmten Winkel. Um z.b. ein Quadrat zu zeichnen, brauchen wir folgende Anweisungen: Hier bedeutet v(10) vorwärts 10 Schritte, und ld(90) drehe dich um 90 nach links; show bedeutet, zeige das Ergebnis am Bildschirm an. (Übung: Wie könnte man ein gleichseitiges Dreieck zeichnen?) Allerdings müssen wir dem Computer noch erklären, was mit und gemeint ist. Im Fall von ld(90); ist das einfach. Wenn ich in einer Richtung α schaue und mich dann um den Winkel δ nach links drehe, addiere ich die beiden Winkel, sodass ich nun in die Richtung α + δ schaue. 1
2 y delta alpha Dem Computer erkläre ich das an Hand einer Prozedur oder Methode: Die neue Laufrichtung ist also wieder in α gespeichert. (Übung: Wie müsste man eine Prozedur rd für eine Rechtsdrehung formulieren?) Einige in Pascal eingebaute Prozeduren kennen wir schon, z.b. write und readln. Die Erklärung von v(10); und ist aufwändiger. Dies ist ein umfangreicheres Projekt, an Hand dessen auch gezeigt werden soll, wie man ein kompleeres Projekt in einzelne Schritte zerlegen kann. Wir können aber nun schon einmal ein lauffähiges Programmgerippe formulieren: program logo; {$AppType Console} var alpha: integer; {Laufrichtung} var i: integer; {Zaehlvariable} procedure v (s: integer); {noch auszufuellen} procedure {noch auszufuellen} { } {Hauptprogramm} alpha := 0; So wie hier formuliert ist das Programm schon lauffähig, obwohl man natürlich noch nichts sieht, weil in den Prozeduren v und show noch nicht drinsteht, was gemacht werden soll. 2
3 Von der Vektorgraphik zur Pielgraphik In der Vektorgraphik kennen wir Vektoren, also Strecken einer bestimmten Länge und Richtung. In der Pielgraphik kennen wir Piel, deren Lage durch die Zeile und die Spalte gekennzeichnet ist, in der das Piel sich befindet. Die folgende Graphik zeigt, wie man von der Vektorgraphik zur Pielgraphik kommt. Vektorgraphik Schritte in (,y) Weg gerundet Bildmatri Pielgraphik y y r phi Spalte und Zeile sind diskrete Werte im (, y) Koordinatensystem. Unser erster Schritt besteht darin, dass wir den Reiseweg in diesem (, y) System protokollieren (so als wollten wir den Weg eines Schiffes im Abstand einer Seemeile in Längen- und Breitengraden angeben). Da Zeilen und Spalten in der Pielgraphik diskret sind, diskretisieren wir sodann den Weg, indem wir auf ganze Zahlen runden. Anschließend wird die Bildmatri ausgefüllt, die Einträge an den Stellen hat, an denen später die Piel gefärbt werden sollen. Der letzte Schritt besteht in der Darstellung der Piel im Graphikfenster. Die Implementierung von v(s) Wir wollen die einzelnen Schritte protokollieren, die unser Zeichenroboter macht. Dazu brauchen wir eine neue Datenstruktur. -Straße 3.14 Hausnummer Die Häuser in der -Straße sind also fortlaufen numeriert. Eine solche Struktur nennt man Feld oder Array. Wenn in das Haus Nr. 3 jemand einzieht, z.b. der Herr 3.14, schreiben wir dafür [3]:=3.14; Die Straße ist das Array, und die Hausnummer 3 wird hier als Inde bezeichnet. In der Zutatenliste erklärt man ein Array so: array [1..5] : real; Das heißt, dass die Hausnummern in der -Straße von 1 bis 5 gehen und die Hausbewohner Zahlen vom Typ real sind, also Kommazahlen. Um den Weg des Zeichenroboters zu protokollieren, brauchen wir zwei Arrays, nämlich für und y. In [0],y[0] stehen die Koordinaten des Startpunktes, in [1],y[1] die Koordinaten nach dem ersten Schritt usw. Die Frage ist nun, wie man vom Vektor mit Länge r und Winkel ϕ zu und y kommt; oder wie man von den roten Koordinaten (die auch Polarkoordinaten heißen) zu den blauen (kartesischen) Koordinaten kommt. 3
4 r y alpha Hier verrate ich Euch ein Geheimnis (aber nicht weitersagen!): = r cos(α) y = r sin(α) Für einen Schritt des Zeichenroboters ist dabei r = 1. Was Sinus und Kosinus ist, wollen wir hier nicht definieren; es genügt zu wissen, dass diese Funktionen sowohl auf dem Tascherechner als auch in praktisch allen Programmiersprachen vorhanden sind. Es gibt aber noch ein kleines Problem. So wie man Energie in Kilokalorien oder in Joule ausdrücken kann, kann man Winkel in Grad oder Radian messen. Auf dem Taschenrechner können wir das einstellen, aber der Computer arbeitet in der Regel in Radian. Wir kümmern uns auch hier nicht um die genaue Definition, sondern begnügen uns damit, dass es einen Umrechnungsfaktor gibt, der Grad in Radian umrechnet. Wir nennen ihn rad. Es ist rad = 2 π/360 Im Zutatenteil definieren wir ihn als Konstante, const rad=2*pi/360; wobei wir auch lernen, dass pi (also π) als Konstante vordefiniert ist. Im Anweisungsteil schreiben wir dann z.b. :=cos(rad*alpha); Wir können nun die Arrays und y in der Zutatenliste definieren und die Prozedur v formulieren. Die Konstante maweg ist die maimale Anzahl der Schritte, die natürlich bei Bedarf auch vergrößert werden kann. Die neuen Teile des Programms sind rot geschrieben, wobei wir auch ein paar neue Variable eingefügt haben (siehe S. 5). Die Implementierung von show Dieser Teil besteht aus drei Schritten: erstens, der Diskretisierung des Wegprotokolls durch Rundung - die Funktion round ist schon eingebaut; zweitens, dem Ausfüllen der Bildmatri; drittens, der Darstellung der Pielgraphik auf dem Bildschirm. Für das diskretisierte Wegprotokoll führen wir neue Felder i, iy vom Typ integer ein. Die Bildmatri ist ein zweidimensionales Array Bild [spalte, zeile], entsprechend den Spalten und Zeilen der Pielgraphik. Anfangs werden alle Elemente auf 0 gesetzt. Für jedes Paar i[i], iy[i] wird an der entsprechenden Stelle der Bildmatri eine 1 eingetragen; dabei wird geprüft, ob die Punkte innerhalb des Garphikfensters liegen. Es folgt die Bildausgabe, wobei wir die horizontale und vertikale Auflösung va und ha als Konstanten vorgeben. Diese Größen können nach Bedarf angepasst werden. Bei der Ausgabe ist zu beachten, dass die unterste Zeile als erste ausgegeben wird, usw. Die neuen Teile des Programms stellen wir blau dar (siehe S. 6-7). 4
5 program logo; {$AppType Console} const rad=2*pi/360; const maweg=10000; var alpha: integer; {Laufrichtung} var i: integer; {Zählvariable} var saktuell: integer; {Anzahl der zurückgelegten Schritte} var aktuell, yaktuell: real; {Aktuelle Position} var, y: array [1..maweg]: real; {Wegprotokoll} procedure v (s: integer); var i: integer; for i:=1 to s do {Fuer jeden neuen Schritt berechnen wir die neue Position...} saktuell:=saktuell+1; aktuell:=aktuell + cos(rad*alpha); yaktuell:=yaktuell + sin(rad*alpha); {... und tragen sie in die Protokolllisten ein:} [saktuell]:=aktuell; y[saktuell]:=yaktuell; procedure {noch auszufuellen} { } {Hauptprogramm} saktuell := 0; aktuell := 5; yaktuell := 5; [0]:=aktuell; y[0]:=yaktuell; {wir nen 5 Schritte von beiden Achsen entfernt, damit die gewünschte Figur nicht am Rand der Pielgraphik nt} alpha := 0; Damit ist der Weg des Roboters Schritt für Schritt protokolliert. 5
6 program logo; {$AppType Console} const rad=2*pi/360; const maweg=10000; const ha=40, va=40; {horizontale und vertikale Auflösung} var alpha: integer; {Laufrichtung} var i,k: integer; {Zählvariable} var saktuell: integer; {Anzahl der zurückgelegten Schritte} var aktuell, yaktuell: integer; {Aktuelle Position} var, y: array [1..maweg]: real; {Wegprotokoll} var i, iy: array [1..maweg]: integer; {gerundetes Wegprotokoll} var Bild: array [1..ha, 1..va]: integer; {Bildmatri} procedure v (s: integer); var i: integer; for i:=1 to s do {Fuer jeden neuen Schritt berechnen wir die neue Position...} saktuell:=saktuell+1; aktuell:=aktuell + cos(rad*alpha); yaktuell:=yaktuell + sin(rad*alpha); {... und tragen sie in die Protokolllisten ein:} [saktuell]:=aktuell; y[saktuell]:=yaktuell; procedure var i, k: integer; {Rundung des Wegprotokolls:} for i:=1 to saktuell do i[i]:=round ([i]); iy[i]:=round (y[i]); {Ausfuellen der Bildmatri:} for i:=1 to saktuell do if i[i]>0 and iy[i] >0 and i[i]<=va and iy[i]<=ha then Bild [i[i], iy[i]]:=1; {Ausgabe des Bildes} for i:=1 to va do for k:=1 to ha do if Bild [k,i] = 1 then write ( * ) else write ( ); writeln; 6
7 {Hauptprogramm} {wir nen 3 Schritte von beiden Achsen entfernt, damit die gewuenschte Figur nicht am Rand der Pielgraphik nt} saktuell := 0; aktuell := 3; yaktuell := 3; [0]:=aktuell; y[0]:=yaktuell; {Die Bildmatri wird auf 0 (=leer) initialisiert} for i:=1 to ha do for k:=1 to va do Bild [i,k] := 0; alpha := 0; Anmerkung: Die hier präsentierte Version ist nicht getestet. Das vollständige und getestete Programm liegt unter Akadamie als logorilke.tt vor. 7
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