Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008 Aufgabe 1 Ihnen liegt folgende Aufstellung der Erwerbstätigen nach Einkommen (Merkmal X) in Tausend Euro für eine deutsche Kleinstadt vor: Einkommen (X) von... bis unter... Anzahl Erwerbstätige Tabelle 1: Einkommenstabelle a) Welches Skalenniveau hat das Merkmal Einkommen (kurze Begründung)? b) Stellen Sie die Verteilungsfunktion des Merkmals Einkommen geeignet graphisch dar und geben Sie an, welche Annahme Sie hierbei treffen. c) Bestimmen und interpretieren Sie den Median des Merkmals X. d) Bestimmen Sie rechnerisch den Anteil der Erwerbstätigen, die zwischen und Euro verdienen. e) Die geeignete Darstellungsform der relativen Häufigkeiten für den vorliegenden Datensatz ist das Histogramm. Erläutern Sie kurz die Idee, die dieser Darstellungsform zu Grunde liegt. f) Zeichnen Sie die Lorenzkurve für die Konzentration des Einkommens der Erwerbstätigen und interpretieren Sie den Punkt (F 2 ; G 2 ). g) Berechnen Sie das einfache Gini-Maß für die Konzentration des Einkommens und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.

2 Aufgabe 2 Ein Düngemittelhersteller überprüft die Wirkung eines speziell für Mais entwickelten Produkts. Auf seinem Versuchsgelände werden auf sechs Feldern verschiedene Mengen des Mittels ausgebracht. Die Felder unterscheiden sich hinsichtlich Fläche und Bodenqualität nicht. Die folgende Tabelle zeigt die Erträge mit den jeweiligen eingesetzten Mengen an Düngemittel. Feld Ertrag (in Tonnen) 2,9 3,2 3,3 3,5 3,7 3,8 Düngemittel (in Kilogramm) Hinweis: Die Varianz des Ertrags beträgt 0,0933t 2 und die Varianz der Menge des eingesetzten Düngemittels beträgt 75,1389kg 2. a) Bestimmen und interpretieren Sie die Parameter einer ausgleichenden Regressionsgerade für die abhängige Variable Ertrag und die unabhängige Variable Düngemittel. b) Zeichnen Sie das Streudiagramm und tragen Sie die Regressionsgerade ein. Hinweis: Sollten Sie in Teilaufgabe a) keine Schätzer für α 0 und α 1 bestimmen können, dann, und nur dann verwenden Sie ˆα 0 = 4 und ˆα 1 = 1. c) Erklären Sie anhand der Zeichnung das Vorgehen bei der KQ-Methode. d) Bestimmen und interpretieren Sie die Güte der Regression. e) Auf einem 7. Feld sollen 15 kg Düngemittel eingesetzt werden. Welchen Ertrag an Mais kann der Hersteller erwarten?

3 Aufgabe 3 90 Studenten der Universität Bamberg wurden nach ihrer Einschätzung ihrer eigenen Computerkenntnisse (U) sowie ihrer eigenen Mathematikkenntnisse (V ) befragt. Es ergab sich folgendes Ergebnis: U: Computerkenntnisse V : Mathematikkenntnisse u 1 : gering u 2 : mittel u 3 : gut v 1 : gering v 2 : mittel v 3 : gut a) Um welchen Merkmalstyp und welchen Skalentyp handelt es sich bei den beiden vorliegenden Merkmalen U und V? b) Wie viele der Befragten haben höchstens mittelmäßige Computerkenntnisse und ihre Mathematikkenntnisse höchstens als gut eingeschätzt? c) Berechnen Sie den Anteil der Befragten, die geringe Mathematikkenntnisse angeben. d) Geben Sie die relative Häufigkeitsverteilung des Merkmals U an. e) Prüfen Sie, ob die beiden Merkmale U und V statistisch unabhängig sind. f) Berechnen Sie das Konkordanzmaß γ von Goodman und Kruskal, und interpretieren Sie das Ergebnis.

4 Aufgabe 4 I) In der Bevölkerung der Bundesrepublik seien 0,05% der Bevölkerung mit einem bestimmten Virus infiziert. Es gebe einen klinischen Test, mit dem man die Infektion feststellen kann. Das Ergebnis dieses Tests ist allerdings nicht in jedem Fall korrekt. Es werden nur 98% der tatsächlich infizierten Personen im Test als positiv erkannt (sog. Sensitivität), und genauso sind nur 99% der nicht infizierten Personen im Test negativ (sog. Spezifität). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bundesbürger, dessen Testergebnis positiv ist, tatsächlich infiziert ist? (II) Die diskrete Zufallsvariable X besitzt folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: Bestimmen Sie a) P (X > 0), b) E(X), c) Var(X). x i P (X = x i ) 0,1 0,15 0,1 0,25 0,4

5 Aufgabe 5 (R-Aufgabe) I) Aus einer Umfrage unter 531 Studenten in Bamberg werden folgende Daten in R eingelesen: > status<-read.table("c:\\fragebogen_anonym.txt") > U<-status[,8] > V<-status[,9] Die beiden Merkmale U und V enthalten die Einschätzung der Computerkenntnisse (U) sowie die Einschätzung der Programmierkenntnisse (V) jeweils auf einer 6er Skala gemessen. a) Erklären Sie folgenden Befehl und interpretieren Sie das Ergebnis: > cor(u,v,method="spearman") [1] b) Erstellen Sie in R die absoluten Randhäufigkeiten des Merkmals Computerkenntnisse. c) Erstellen Sie in R die Kontingenztabelle der gemeinsamen relativen Häufigkeiten von U und V. d) Wie können Sie in R den Median des Merkmals V berechnen? II) Für das Jahr 2007 liegen Ihnen folgende Zahlen der Aboverkäufe verschiedener Uni- Zeitschriften und Magazine vor. Zeitschrift Abos Unicum 440 StudiLife 380 Campus 567 Los! 912 Was wird mit folgenden Befehlszeilen berechnet? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. > Abo=sort(c(440,380,567,912)) > n=length(abo) > S=sum(Abo) > G=cumsum(Abo/S) > Mg=1-2/(n-1)*sum(G[1:(n-1)]) > Mg [1]

6 Lösung zu Aufgabe 1 a) Skalenniveau: Das Merkmal X Einkommen (in Tausend Euro) ist verhältnisskaliert Erklärung: Es besitzt einen natürlichen Nullpunkt, aber keine natürliche Einheit. b) approximierende empirische Verteilungsfunktion Annahme: Gleichverteilung innerhalb der Klassen Abbildung 1: Approximierende Verteilungsfunktion c) x (0.5) = 40622, 8114 Interpretation: mind. 50% der Erwerbstätigen erzielen ein geringeres Einkommen als 40622,81 Euro und mind. 50% ein höheres. d) F (35) F (18) = 0, 3502 Interpretation: ca. 35% der Erwerbstätigen verdienen zwischen und Euro. e) Histogramm: Flächenmäßige Betrachtung der relativen Häufigkeiten (Fläche ist Häufigkeit), Bestimmung der Häufigkeitsdichte fi = f i / x i und Verwendung dieser sowie der Klassengrenzen für die Zeichnung.

7 f) Zeichnung der Lorenzkurve Abbildung 2: Lorenzkurve Anmerkung: F= kumulierter Anteil der Erwerbstätigen, G= Anteil am Gesamteinkommen (F 2, G 2 ): Auf die kleinsten 48% der Erwerbstätigen entfallen 35% des Gesamteinkommens. g) M G = 0, 1518 Interpretation: Konzentration des Einkommens ist sehr schwach.

8 Lösung zu Aufgabe 2 Merkmale: Y i : Ertrag an Mais in Tonnen (metrisch) X i : eingesetzte Menge an Düngemittel in Kilogramm (metrisch) Merkmalsträger: 6 Felder a) Mittelwerte: x = 21, 8333 y = 3, 4 Kovarianz: s XY = 2, 6001 Parameter: â 1 = 0, 0346 â 0 = 2, 6446 Somit ergibt sich die Regressionsgerade: ŷ i = 2, , 0346 x i. Interpretation der Parameter: â 0 : Achsenabschnitt (Interpretation) â 1 : Steigungsparameter (Interpretation)

9 b) Zeichnen des Streudiagramms und eintragen der Regressionsgerade Abbildung 3: Streudiagramm c) Vorgehen bei der KQ-Methode: Minimierung der quadrierten Abstände zwischen den beobachteten und geschätzten Werten. d) Eine geeignete Maßzahl zur Beurteilung der Güte einer linearen Regression ist das Bestimmtheitsmaß R 2. R 2 = r 2 XY = 0, Interpretation: Hier nimmt R 2 den Wert von ca. 0,96 an, d.h. 96% der Varianz des abhängigen Merkmals werden durch das Modell erklärt. Das Modell ist somit sehr gut geeignet, um den linearen Zusammenhang zu erklären. e) ŷ(15) = 3, 1636

10 Lösung zu Aufgabe 3 V:Mathematikkenntnisse u1 u2 u3 Σ v v v Σ a) Merkmalstyp: komparative Merkmale Skalentyp: Ordinalskalen b) 57 c) = 0, 244 d) f(u 1 ) = = 0, 2445 f(u 2 ) = = 0, 3889 f(u 3 ) = = 0, 3667 e) Die beiden Merkmale sind statistisch nicht unabhängig, da z.b. n(u 1, v 1 ) = 13 n(u 1) n(v 1 ) n = 5, 3778 f) γ UV = 0, 718 Interpretation: Es gibt einen hohen Zusammenhang zwischen den beiden interessierenden Merkmalen.

11 Lösung zu Aufgabe 4 (I) Die Ereignisse K und T seien wie folgt definiert: K = Eine zufällig ausgewahlte Person ist infiziert. T = Eine zufällig ausgewahlte Person wird positiv getestet. Damit ergibt sich: P (K T ) = 0, 047 Die Wahrscheinlichkeit, das eine (zufällig ausgewählte) Person, die positiv getestet wurde, tatsächlich infiziert ist, beträgt nur knapp 5%. (II) a) P (X > 0) = 0, 75. b) E(X) = 1, 5. c) E(X 2 ) = 5, 6. Somit ergibt sich Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 3, 35.

12 Lösung zu Aufgabe 5 Teilaufgabe I a) O.g. Befehl fordert Spearmans Korrelationskoeffizienten ρ UV (Rangkorrelationskoeffizient) für die Merkmale U und V an. Erklärung: Zuordnung von Platzzahlen als Ränge, welche die Werte bei größenmäßiger Anordnung aller Werte erhalten. Ergibt sich als der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient angewandt auf die gebildeten Rangpaare. Bereits ab Ordinalskalenniveau anwendbar. Interpretation: Es besteht ein mittlerer (bis starker) gleichsinniger monotoner Zusammenhang zwischen U und V. b) > computer.programmier=table(u,v) > margin.table(computer.programmier, 1) c) > computer.programmier/sum(computer.programmier) > computer.programmier/length(u) d) > median(v) > quantile(v) Teilaufgabe II Die vorliegende Befehlszeile berechnet das Lorenz-Münzner-Maß oder normiertes Gini- Maß (exakt). Interpretation: Aboverkäufe sind relativ gleich auf die 4 Anbieter verteilt.

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