Zusammenfassung Wirtschaftsinformatik Stefan Käßmann

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1 I. Iformatio ud Nachricht 1. Iformatio ud Nachricht - Nachricht (Sytax), Sigale, Zeiche - Iformatio (Sematik), bit - Rausche 2. digitale Nachrichte - digitale Sigale (Sigalparameter aus edlicher Zeichevorrat) - Alphabet (geordeter Zeichevorrat) - Teilzeichefolge (so geate Worte, Codeworte oder Codes) - Codierug ist eie ijektiv Abbildug - Blockcode: alle Codeworte habe gleiche Läge - Baud- Rate, Bit- Rate (Baud- Rate <= Bit-Rate) 3. aaloge Nachrichte - diskretisiere ( abzählbar mache ) Iformatiosverlust - Rasterug: Diskretisierug des Defiitiosbereichs der Fuktio (Aufteilug i edlich viele Teilitervalle) - Abtastug: I jedem Teilitervall wird eifach ei dort gefudeer Wert geomme. - Quatelug: Wertebereich der Fuktio wird i eie Mege vo Zahle abgebildet. ka weiterer Iformatiosverlust auftrete. - Zeit: Die Übertragug vo Nachrichte erfolgt grudsätzlich i der Zeit II. Iformatiosgehalt ud Etropie 1. Nachrichtequelle: - alle Nachrichte sid Zeiche aus eiem bekatem Alphabet - die Wahrscheilichkeit des Auftretes eies Zeiches ist gleich der relative Häufigkeit des Zeiches. Somit also zeituabhägig (DMS) 2. Etscheidugsiformatio - Etscheidugsschritte für ei Alphabet mit - Symbole: ceil(log 2 ()) (Iformatiosgehalt dieses Zeiches) - Etscheidugsgehalt eier Nachrichtequelle: H o = log 2 () - Fao- Bedigug (Präfixfrei) - Iformatiosgehalt eies Zeiches: k i = log 2 (1/p i ) [bit] p i i= 1 - Etropie H (mittlerer Iformatiosgehalt): H = - mittlere Wortläge: L = p i * k i [bit] i= 1 * log (1/pi) [bit] - dabei gilt stets: 0 <= H <= L - Redudaz: R = L H [bit/zeiche] - Codierugstheorem (Shao): Die Redudaz ka durch geeigete Codierug möglichst klei gemacht werde. (z.b. Paarcodierug) - Hemmig- Abstad bei Blockcode III. Huffma- Codierug 1. Vorgehesweise: - Orde: ach fallede Wahrscheilichkeite - Reduziere: Kombiatio der kleiste Wahrscheilichkeite - Codiere 2 2. Vorteile: 1

2 - miimale Codierug eier große Datemege - FANO- Bedigug erfüllt 3. Nachteile: - es werde Iformatioe aus der Nachricht verwedet (Wahrscheilichkeite) - zu weig Sicherheit bei Störug des Übertragugskaals IV. Abtasttheorem Jede i der Praxis auftretede zeitliche Fuktio ka als Überlagerug trigoometrischer Fuktioe betrachtet werde. t <= 1 / (2*Vg) Bei Aalog / Digital Wadlug muss die Abtastfrequez mid. doppelt so hoch sei, wie die Frequez des zu digitalisierede aaloge Sigals. V. Codierug vo Zahle 1. Positive Zahle - Positiosschreibweise = zi * b - Häufigverwedete Systeme: i i>= 0,( b > 1) 2

3 BSP: - Kovertierugsverfahre: i. Horer- Schema 2. Negative gaze Zahle ii. sukzessive Divisio egativ hat de Iformatioswert vo geau eiem Bit Bildug des b-komplemets bei -Stelle b 1 Z + 1 Beispiel: b=8, =5: Komplemet Zahle mit Nachkommastelle (Festpuktzahle) Beschräkug auf feste Stellezahl sehr kleie oder sehr große Zahle köe icht dargestellt werde ka zu Abbruch Fehler führe(deswege gibt es dafür Gleitpuktzahle(siehe ute)) i. Divisio im Zielsystem Der Divisiosalgorithmus im Biärsystem erfordert die Subtraktio des Divisors, also die Additio des Zweierkomplemets ii. Herausmultipliziere der höchstwertige Nachkommastelle sukzessive Multiplikatio im Quellsystem mit Basis des Zielsystems iii. Horer Schema 3

4 4. Gleitpuktzahle Mit Gleitpuktzahle köe bei fester Läge große Wertebereiche mit kostater Geauigkeit dargestellt werde. 1. höchstwertige Positio steht Vorzeiche 2. Darstellug der Zahl i halblogarithmische Form - z = b e * m b: Basis; e: Expoet; m: Matisse 3. Normalisierug: 1 <= m < b für b = 2 ist m = 1.mmmmm (da 1 ist das hidde bit, muss icht dargestellt werde) 4. Verschiebugskostate bestimme c = e + K (K = 2 S Geauigkeit der Codierug bei Gleitkommazahle - fester Wortläge edlich viele Zahle evtl. Darstellugsfehler - Gaze Zahle solage exakt darstellbar, als ihr Wert mit vorhadee Zahlesystem i de verfügbare Stelle darstellbar ist. - Bei Gleitkommazahle immt die Geauigkeit ach auße hi ab (sehr, sehr kleie ud besoders große Zahle sid vo der Darstellug ausgeschlosse (Uderflow, Overflow) absoluter Fehler: relativer Fehler: z = gl / z) z allg. gilt: z z allg. gilt: z z m z m 1 z * 2

5 6. Reche mit Gleitkommazahle a) Additio. - Normierug durch Ahebug der Charakteristika des kleiere Wertes - Additio der Matisse - Normalform wieder herstelle dabei köe folgede Abscheide Fehler auftrete: - rechts über de Rad verschobee Ziffer gehe verlore - we ereute Normierug ötig (Basiswert wird erreicht), wird weitere Stelle ach rechts verschobe 7. Rudug vo Gleitkommazahle Rude ka Fehlerabschätzug verkleier Methode: a) kaufmäisches Rude z.b. 19,565 19,57 b) alterative Rude (roud to eve) Bei eier ächste Ziffer 5 wird zur ächste gerade Zahl gerudet 8. Biär codierte Dezimalzahle BCD steht für Biary Coded Dezimals ud bedeutet, dass die Zahle icht biär, soder als Zeiche gespeichert werde. Es gibt keie Geauigkeitsverlust. Wird vor allem i kommerzielle Aweduge eigesetzt. Dabei wird für jede Ziffer ei Byte bzw. Halbbyte beötigt. VI. Aussagelogik Defiitio: Jede atomare Aussage ist eie Formel. z.b. B er trikt Bier Beispiele für Juktore:,,,, Darstellugsforme: fuktiosmäßig: A ( F ) = } falls A( F ) = F W F falls A( F ) = W Wahrheitstabelle: F G W W F W F F F W W F F W Sematische Äquivalez Zwei Formel F ud G heiße sematisch äquivalet, falls für alle passede Beleguge A gilt: A(F) = A(G) i Zeiche: F G 5

6 BSP: Wahrheitstafel: A B A B B A A B W W W W W W F F W F F W W F F F F W W W Ve Diagramm: Beispiel A A C A B C B - atomare Formel & Operatioe, Juktore sid Formel. - Tautologie A A - Lösug vo Logik Aufgabe ist auch durch das logische Schließe möglich (dabei muss eie vollstädige Falluterscheidug gemacht werde. Bei jeder Falluterscheidug muss eie Aahme getroffe werde. Zum Beispiel: F ist wahr) 6

7 Logisches Kalkül: - Hierfür sid Tautologie erforderlich. (z.b. A A F ) - Distributivgesetz: A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) - de Morgasche Formel: B C B C ( ) ( B C) B C - Kojuktive Normalform - Disjuktive Normalform VII. Prädikatelogik ud Mege - All- Quator Für alle.. gilt - Existez- Quator Es existiert ei - Potezmege: M = N Ρ( M ) = 2 - Kartesisches Produkt: M N VIII. Relatioe Übersicht: fuktioale Relatioe Abbilduge, Fuktioe, Operatioe algebraische Struktur Ordugsrelatioe Reihefolge, Ugleichuge Sortiere Äquivalezrelatioe Vereifache, Klassebildug Gleichuge 7

8 Teilmege eies kartesische Produktes ist eie Relatio. Sid M, N zwei Mege, da ist ρ M N eie zweistellige Relatio. (bei edlich viele Mege - stellige Relatio) 8

9 Ei Relatio ρ M M heißt Halbordug, we ρ reflexiv, trasitiv ud atisymmetrisch ist. Ei Halbordug heißt totale Ordug, we ρ zusätzlich alterativ ist. 1 Zwei Elemete x,y M heiße ρ - vergleichbar, we (x,y) ρ ρ ist. Eie Relatio ρ M M heißt Äquivalezrelatio, we ρ reflexiv, symmetrisch ud trasitiv ist. Äquivalezklasse bilde eie Partitio vo M Mege der Äquivalezklasse: M/ ρ Eie kaoische Abbildug ist eie sujektive Abbildug auf kleier Satz vo Fermat: sehr oft gilt: Ν z Ζ : z = z ( ) Teilbarkeit durch k: a f ( a) = 0 k k Bei Zahle im Dezimalsystem otiert: a) Ikorrektheit bei falsche letzte Ziffer b) Neuerprobe Quersummetest c) Teilbarkeit durch 9, 3 d) Teilbarkeit durch 2 e) Teilbarkeit durch 5 hoch f) Teilbarkeit durch 11 g) ISBN Prüfug (10 stellig) f) ISBN Prüfug (13 stellig) ggt(k,) mit euklidischem Algorithmus 9

10 Relatioe- Algebra Relatioe aus edliche Mege (Domäe) mit eideutige Attributame. relatioales Schema. edliche Mege relatioaler Schemata Datebakschema zugehörige edliche Mege vo Relatioe als eie Datebak Ihalt der Datebak ist die Datebasis. We die Domäe bis auf die Reihefolge gleich sid, da spricht ma vo kompatible Schemata. Eie Schlüsselmege ist gegebe, we es zu beliebe Werte höchstes ei Elemet gibt. (Bijektio) Projektio Vorgag, bei dem aus eier Tabelle ur gewisse Felder (Spalte) vo alle Datesätze agezeigt werde. Die uerwüschte Datefelder werde ausgebledet. Selektio Vorgag, bei dem aus eier Tabelle die Datesätze (Zeile) mit alle Felder ausgewählt ud agezeigt werde, die i eiem oder mehrere Felder bestimmte Bediguge oder Eigeschafte erfülle. atürlicher Verbud, ist ei Gleichheitsverbud mit aschließeder Beseitigug doppelter Attribute. 10

11 11

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