Diplomarbeit. Stochastische Modelle für Schadenabwicklungsschemata unter Berücksichtigung von Reservenbildung

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1 - - Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Uiversität Hamburg Fachbereich Mathematik Istitut für Mathematische Stochastik Diplomarbeit Stochastische Modelle für Schadeabwicklugsschemata uter Berücksichtigug vo Reservebildug eigereicht vo: Iria Kaiser 0. Sem. Dipl. Mathematik Matr. Nr.: Ruststr Hamburg Tel.: 040 / Hamburg, de 5. Juli 000

2 - - Ihaltsverzeichis Eiführug Ursache lag adauerder Schadeabwicklug Das Abwicklugsdreieck ud das Schadereservierugsproblem Datearte... 5 Verfahre Chai-Ladder Das Modell Numerische Berechug Robuste Faktore Chai-Ladder ud der KQ-Schätzer Begriff der Robustheit M-Schätzug Lösug der Gleichuge (5) ud (6) Numerische Berechug Stochastische Faktore Das Modell Edschade im Log-Normal-Modell Edschade im Log-Gamma-Modell Edschade im Log-iverse gaußsche Modell Numerische Berechug Kolmogorov-Test Die Kleiste-Quadrate-Regressio Modellierug für die KQ Methode ud Modellaahme Schätze im lieare Regressiosmodell Schätzeigeschafte der KQ-Methode Agepasste Werte, Residue ud Stadardabweichug Das Bestimmtheitsmaß Sigifikaztest für die Regressioskoeffiziete Sigifikaz des Gesamtzusammehags Numerische Berechug Zusammefassug Vergleich der Verfahre Progosefehlermaße Numerische Ergebisse Literaturverzeichis Ahag A: Hilfssätze... 75

3 - 3 - Eiführug. Ursache lag adauerder Schadeabwicklug Ei versicherter Schade durchläuft bis seie Regulierug mehrere Stadie: die Verursachug des Schades, de Eitritt des Schadeereigisses, die Etdeckug des Schades ud seie Meldug beim Versicherer. Währed i der Sachversicherug die Zeitspae zwische dem Schadeeitritt ud der Schaderegulierug i der Regel och i der Versicherugsperiode stattfidet, ist dies i der Haftpflichtversicherug oft icht der Fall. Es köe Jahre oder sogar Jahrzehte vergehe, bis die edgültige Schadehöhe feststeht. Der Versicherer muss also damit reche, dass er och lage Zeit ach Ablauf des Versicherugsvertrages i Aspruch geomme werde ka. Solche Schäde, dere Abwicklug so lage dauert, werde Spät- oder IBNR-Schäde ( icurred but ot reported ) geat. Dies sid die Schäde, die bereits eigetrete, dem Versicherer edoch och icht gemeldet sid. Als Soderfall der IBNR-Schäde sid IBNER-Schäde ( icurred but ot eough reported ) 3. Der Versicherer ket zwar de Eitritt des Schadeereigisses, ket aber icht das vollstädige Ausmaß des Schades. Für de Versicherer ist es wesetlich, die Höhe der och ausstehede Zahluge zu schätze. Dieser Betrag, der uter aderem wichtig für die Prämiekalkulatio ist, wird als Spätschadereserve oder kurz Reserve bezeichet.. Das Abwicklugsdreieck ud das Schadereservierugsproblem Das Ziel ist also die Progose der zuküftige Auszahluge für bereits etstadee Schäde. Dem Versicherugsuterehme liege die Date vor, die für diese Progose beutzt werde köe. Es sid ämlich zu edem Schade der Zeitpukt der Etstehug sowie die Zeitpukte ud die Höhe der bereits geleistete Zahluge bekat. I dieser Arbeit werde ur die Verfahre utersucht, die icht die Zahlugsabwicklug eies eizele Schades Die Haftpflichtversicherug gehört wege der lage Regulierugsdauer der Großschäde zum sogeate log tail busiess. Die lage Regulierugsdauer der große Persoeschäde i der Kfz-Haftpflichtversicherug ergibt sich daraus, dass oft lebeslag Heil- ud Pflegekoste erstattet ud Retezahluge geleistet werde müsse. 3 I der Praxis wird meistes zwische de beide Schadearte icht uterschiede; sie werde da zusamme betrachtet.

4 - 4 - utersuche, soder die Zahlugsabwicklug für die Summe eier Gruppe vo Schäde, die i dem gleiche Jahr eigetrete sid. Die Zahluge uterscheide sich ach zwei zeitliche Merkmale: Afallahr: das Jahr, i dem der Schade eigetrete ist, ud Abwicklugsahr: gibt de Abstad zwische dem Afallahr ud dem Jahr, i dem die Auszahlug stattgefude hat, a. Durch das Afallahr (Accidet Year) ud das Abwicklugsahr (Developmet Year) wird das Kalederahr (Paymet Year) bestimmt. Das ist das Jahr, i dem die Auszahlug geleistet wurde. Die Date liege meist i folgeder Dreiecksform vor: AbwJahr Das Abwicklugsdreieck AfJahr +-i P, P, P, + i P, P, P,, P + i i P i, i, - P, P, P i, P + i P, P i, ist also die Auszahlug im Abwicklugsahr für de Schade, der im Afallahr i etstade ist. Das erste Abwicklugsahr etspricht dem Afallahr. ist die Azahl der Afall- ud Abwicklugsahre. Es wird ageomme, dass ach Jahre der Schade vollstädig reguliert ist. Damit ist die vollstädige Abwicklug für das erste Afallahr bekat, ud die Beträge P i, +, P i, +,..., i =,.., sid alle gleich ull. Der Betrag U = P + P P i i, i, i, ist der Gesamtschade für das Afallahr i, der für die Zwecke der Prämiekalkulatio ud für die itere Rechug beötigt wird. Vo U i ist aber für i =,.., ur der Betrag P + P P + i, i, i, i

5 - 5 - bekat. Ziel der mathematische Verfahre ist, de och ubekate Teil zu schätze. bezeichet. R = P P i i, + i i, R i wird als Spätschadereserve oder kurz Reserve für das Afallahr i Für eiige Verfahre werde die Date i kumulierter Form verwedet, d. h. a der Stelle (i, k) des Dreiecks steht icht der Zuwachs P ik,, soder der kumulierte Schadestad C = P + P P. ik, i, i, ik, Aus eiem kumulierte Abwicklugsdreieck werde die Zuwächse mittels Pik, = Cik, Cik, ermittelt, wobei C i,0 = 0..3 Datearte Ei Abwicklugsdreieck ka aus zwei verschiedee Arte vo Date bezahlt oder agefalle gebildet werde. Beide Type vo Dreiecke der bezahlte ud der agefallee Schäde werde i dieser Arbeit utersucht. C ik, stellt etweder alle Zahluge bis eischließlich des Abwicklugsahres k dar, oder C ik, beihaltet zusätzlich die zu diesem Zeitpukt bestehede Eizelfallreserve. Im erste Fall hat ma bezahlte Zahluge ud im zweite agefallee Zahluge. Die Eizelfallreserve sid scho Schätzwerte, die z. B. vom Sachbearbeiter aufgrud der Erfahruge für de bestimmte Fall festgesetzt werde köe. Meist falle die Reserve, berechete auf der Basis bezahlter Schäde, höher aus. Die Frage ist, für welche der beide Reserve, der Versicherer sich etscheide soll. Da die bezahlte Schäde keie Schätzuge beihalte, erscheie sie auf de erste Blick zuverlässiger. Sid aber die Schätzuge für die Eizelfallreserve vo erfahree Sachbearbeiter festgesetzt, so lässt sich die Höhe des Edschades pro Afallahr viel früher erkee, was wiederum für agefallee Schäde spricht. Es ist also die Erfahrug des Versicherers gefragt, welche vo de beide Reserve er letztedlich verwedet. L. Halliwell hat i seiem Artikel Cooit Predictio of Paid ad Icurred Losses i PCAS, 998(?) ei Verfahre vorgeschlage, das die Reserve simulta mit beide Datearte schätzt. Dieses Verfahre wird i dieser Arbeit icht behadelt. I der Praxis werde die Reserve immer für beide Datearte geschätzt ud aschließed wird die Etscheidug getroffe.

6 - 6 - Verfahre Die Schätzug der Reserve ist i de Brache mit lager Abwicklugsdauer vo etscheideder Bedeutug für die Rechugslegug ud die Prämiekalkulatio. Eie Reihe vo mathematische ud weiger mathematische Schätzverfahre wurde dafür etwickelt. Alle diese Verfahre versuche, die Erfahruge früherer Afallahre auf spätere Afallahre zu übertrage. Daher muss für alle diese Verfahre, damit sie richtig fuktioiere, vorausgesetzt werde, dass die betrachtete Jahre keie Tred- ud Strukturbrüche ethalte. I dieser Arbeit werde sechs uterschiedliche Verfahre zur Schätzug der Reserve bzw. des Edschades auf vorgegebee Dreiecke der bezahlte bzw. agefallee Schäde agewadt. Als eiführedes Verfahre wird das Chai-Ladder-Verfahre betrachtet. Das ist das eifachste ud älteste Verfahre zur Schätzug der Schadereserve ud ist das Verfahre, das i der Praxis immer och am häufigste agewedet wird. Das Verfahre der robuste Faktore wird als eie Modifizierug des Chai-Ladder-Verfahres betrachtet ud ist besoders gut für Date mit Ausreißer geeiget. Drei weitere Verfahre lege uterschiedliche Verteilugsaahme der Abwicklugsfaktore zugrude. Es werde die Log-Normal-, Log-Gamma- ud Log-iverse Gaußverteilug behadelt. Aufgrud der Modellaahme ka der Edschade geschätzt werde. Die Verteilugsaahme ermögliche auch die Durchführug vo Simulatioe, mit dere Hilfe ma de Edschade ud die Stadardabweichug des Edschades ermittel ka. Als letztes Verfahre wird die Kleiste-Quadrate-Regressio, die z.b. aus dem Bereich der Ökoometrie bekat ist, dargestellt. Zum Schluss werde alle Verfahre mittels Progosefehlermaße miteiader vergliche. Es reicht die Schätzug eier der beide Größe, des Edschades oder der Reserve, da aufgrud der eie die adere immer berechet werde ka.

7 Chai-Ladder.. Das Modell Es werde folgede Aahme getroffe: Jedes Afallahr besitzt sei eigees Afallahr-Niveau. Die Aufteilug des Edschades auf die Abwicklugsahre ist im Schitt für alle Afallahre gleich. Der Edschade für das Afallahr i beträgt C = P P. i, i, i, Der additiv zerlegte Edschade ka ach dem Modell multiplikativ dargestellt werde i der Form C = C F F... F, i, i, i, i,3 i, wobei F ik, C = C ik, ik, die multiplikative Zuahme des Schades vo Abwicklugsahr k- zu Abwicklugsahr k ist. Nach der zweite Aahme ist der Erwartugswert der Zufallsvariable F ik, uabhägig vom Afallahr i : Der Schätzer für die EF ( ) = f, i =,..,, k =,..,. k ik, k f werde mittels des C, - gewichtete arithmetische Mittels ik ermittelt durch: k. k+ k+ k+ k+ fˆ = C F C = C C k ik, ik, ik, ik, ik, i= i= i= i= Die f ˆk gebe damit die durchschittliche Steigerug des Schadestads vo Abwicklugsahr k- auf Abwicklugsahr k ud werde als Chai-Ladder-Faktore oder Abwicklugsfaktore bezeichet. Mit de ermittelte Faktore lässt sich der Edschade für die Afallahre i =,.., leicht bereche: Daraus ergibt sich für die Reserve Cˆ = C fˆ... fˆ, i. i, i, + i + i Rˆ = Cˆ C = C ( fˆ... fˆ -), i. i i, i, + i i, + i + i

8 - 8 - Das heißt, für die Progose vo R i wird ur der aktuelle Schade C i, i + des Afallahres i gebraucht, währed die frühere Städe Ci,,..., Cii, icht berücksichtigt werde... Numerische Berechug Mit dem Dreieck der agefallee kumulierte Schadestäde : berechet ma die Faktore: ˆf =,5395 ˆf =,996 3 ˆf =,058 4 ˆf =, ˆf =, ˆf =,033 7 Aalog mit dem Dreieck der bezahlte kumulierte Schadestäde: berechet ma die Faktore: f ˆ =, f ˆ 3 =,549 f ˆ 4 =,77908 f ˆ 5 =,63606 f ˆ 6 =,3888 f ˆ =, Für alle Verfahre werde zur umerische Berechug immer die hier defiierte 7x7 Dreiecke der bezahlte ud der agefallee Schäde verwedet.

9 - 9 - Daraus ergibt sich für die Reserve für die Afallahre i =,.., 7 etspreched für die bezahlte ud agefalle Schäde: Afallahr Reserve_ag Reserve_bez Gesamt: Die Reserve, berechet auf Basis der bezahlte Schäde, ist beträchtlich höher als die Reserve für die agefallee Schäde.

10 Robuste Faktore.. Chai-Ladder ud der KQ-Schätzer Es lässt sich leicht erkee, dass der CL-Schätzer ichts aderes als der KQ-Schätzer der gewöhliche lieare Regressiosgleichug der Form: C, = fc, + u,,, i, () i i i ist, wobei u i, ei stochastischer Störterm mit folgede Eigeschafte ist: Eu [ ] = 0 i, i, σ i, Var[ u ] = C, für alle i =,..,. Also ist die Variaz des Störterms icht kostat über alle Beobachtuge Ci,, i=,..,. Es hadelt sich also um eie gewichtete lieare Regressio. Nach der Methode der kleiste Quadrate wird daher der Regressioskoeffiziet f durch Miimiere vo: bestimmt. + = i, i, i, i= Q( f ) ( C fc ) / C () Tatsächlich führt die Lösug dieser Miimierugsaufgabe ebefalls zum Chai-Ladder- Schätzer: Beweis: Q.E.D. fˆ + i= = + i= C C i, i, d( Q( f )) + Ci, = ( Ci, fc i, ) = 0 d( f) i= C i, + + C = f C i, i, i= i= fˆ = + i= + i= C C i, i, (3)

11 - -.. Begriff der Robustheit Dieser Schätzer reagiert sehr empfidlich auf Ausreißer i de Date. Eie Schätzug wird dadurch i die Richtug eies oder mehrerer Ausreißer verzerrt, so dass sie icht mehr die Struktur der Masse der Beobachtugswerte wiedergibt. We ma aus der Stichprobe die Ausreißer etfere würde, köte sich ei völlig uterschiedliches Bild ergebe. Ei robustes Verfahre zielt dagege darauf ab, atypische Beobachtugswerte bei eier Parameterschätzug i dem Sie uter Kotrolle zu halte, dass die Ergebisse durch sie icht beliebig verzerrt werde köe. Robuste Schätzer besitze i solcher Situatioe im allgemeie eie höhere Effiziez, was eie größere Zuverlässigkeit der Schätzug bedeutet. Die Aufgabe dieses Kapitels ist die Robustifizierug der Chai-Ladder-Schätzug...3 M-Schätzug Um eie robuste M-Schätzer für das gegebee Regressiosmodell () zu etwickel, wird die obige Miimierugsaufgabe () verädert, idem ma astelle der quadratische Abweichuge alterative Fuktioe ρ der stadardisierte Residue betrachtet, die weiger empfidlich gegeüber Ausreißer sid. Die modifizierte KQ-Fuktio immt damit die Form a, aus der zwei robuste Schätzer für + Ci, fc i, Q ( f, σ ) = ρ σ (4) i= σ f ud σ gewoe werde köe. Der Faktor wurde aus techische Grüde hizugefügt. Sofer die Fuktio ρ differezierbar ist, erhält ma mit ρ ( x) = ψ( x) ud χ( x) = x ψ( x) ρ( x) durch Differeziere vo (4) ach f ud σ die zwei Gleichuge: C fc + i, i, ψ Ci, = 0 (5) i= σ C fc + i, i, χ = 0 (6) i= σ Die simultae Lösug beider Gleichuge liefert robuste Schätzer für σ f ud σ, =,..,. Der Begriff der M-Schätzug ist eie Abkürzug für verallgemeierte Maximum-Likelihood-Schätzug, vgl. H. Eckey, R. Kosfeld, C. Dreger, Ökoometrie (995), Gabler Verlag, S. 4 f Siehe P. Huber, Robust Statistics (98), Wiley series i probability ad mathematical statistics, S. 76.

12 - - Für x ρ( x) = ist C i, x ψ ( x) = C, so dass durch (5) der KQ-Schätzer f ˆ defiiert ist, der i, mit dem Maximum-Likelihood-Schätzer übereistimmt, we die Störgröße eier Normalverteilug folge. Eie solche Wahl der ψ -Fuktio erfolgt edoch im Rahme eier robuste Schätzug für die gute Date. Für eie robuste M-Schätzer ist daher eie adere, geeigetere Form der ψ -Fuktio zu wähle. Um de Eifluss vo Ausreißer auf die Schätzug zu begreze, hat Kremer die Verwedug folgeder Fuktio für ρ vorgeschlage: ρ ( x) = cx, für x c = x / + c /, für x c (7) Daraus ergibt sich für ψ : ψ ( x) = c, für x c = x, für x c = c, für x c (8) ud für χ : χ( x) = [ ψ( x) c ] (9) wobei c das 95% -Quatil eier Stadardormalverteilug ist, also: c =,645. (0) Damit liefer die Gleichuge (5) bis (0) zwei robuste Schätzer f ˆ ud σ ˆ für ˆ f bzw. f, =,.., sid damit die robuste Abwicklugsfaktore, die auf das Dreieck der kumulierte Schäde agewedet werde köe. σ. E. Kremer, Robust Lagfactors (997), Blätter der deutsche Gesellschaft für Versicherugsmathematik.

13 Lösug der Gleichuge (5) ud (6) Die Gleichuge (5) ud (6) köe icht aalytisch gelöst werde. Es biete sich umerische Iteratiosalgorithme a, wie zum Beispiel das Newto-Verfahre, das auf die Gleichug (5) agewadt folgede iterative Gleichug für f ˆ liefert: fˆ + ( m) Ci, f Ci, Ci, ψ ( m ) ˆ( m) i S + = = f + + ˆ ( m) Ci, f Ci, Ci, ψ i= S ˆ S () wobei S =,483 MAD ei robuster Skaleschätzer für ach eier Adustierug darstellt: σ ist ud ( o) i, i, MAD de Media der absolute Abweichuge MAD = media{ C fˆ C, i=,.., + }. ˆ ( o) f ist der Startwert für die Iteratio (), bestimmt durch die Gleichug: = C = +. ˆ ( o) i, f media{, i,.., } Ci, Die Iteratio () liefert eie gute Lösug scho ach eiem Schritt, was eie robuste Ei- Schritt-Schätzer für f bestimmt: fˆ R = fˆ + (0) + i= + i= C i, C (0) C ˆ i, f C i, ψ S S ˆ (0) Ci, f C i, ψ S i,. () Die Nullstelle eier differezierbarer Fuktio f( x) lässt sich durch die Iteratiosvorschrift: ( ) f x + x = x, = 0,,,... bestimme. f ( x ) Die Kostate.483 wurde bei E. Kremer (997): a. a. O. vorgeschlage, um die Verzerrug zu reduziere.

14 - 4 - ψ ( x) = 0, für x > c =, für x c, etspreched der Defiitio (8)...5 Numerische Berechug Mit dem Abwicklugsdreieck der agefallee Schäde ergebe sich folgede Reserve für die Afallahre i =,.., 7: Af.Jahr Reserve_CL Reserve_Robust Solage die Date gutartig sid, sollte sich die Reserve ach beide Verfahre kaum uterscheide, was die obige Tabelle auch bestätigt. Für die Abwicklugsfaktore ergebe sich folgede Werte: Abw. Periode CL-Faktore Robuste Faktore -,5395,395-3,996, ,058, ,0644, ,0378, ,033,033 Aalog mit dem Dreieck der bezahlte Schäde, sid die Reserve für Afallahre i =,.., 7: Af.Jahr Reserve_CL Reserve_Robust

15 - 5 - Für die Faktore habe sich folgede Werte ergebe: Abw. Periode CL-Faktore Robuste Faktore -,509983, ,549, ,77908, ,63606, ,3888, ,06477,06477 Da beide Dreiecke keie Ausreißer-Werte erhielte, ka ma a de Ergebisse die Vorteile der robuste Faktore icht erkee. Um die Wirkug der robuste Faktore zu zeige, führe wir i das Dreieck der bezahlte Schäde eie Ausreißer ei ud beobachte die Reaktio beider Verfahre. I Dreieck der bezahlte Schäde wurde astelle vo im Afallahr ud Abwicklugsahr der viel höhere Betrag vo im Vergleich zu alle adere Werte eigefügt. Die Verfahre wurde mit diese eue Date och eimal durchgeführt. Für die Reserve ergebe sich damit folgede Werte: Af.Jahr Reserve_CL Reserve_Robust Mit folgede Faktore für die Berechug: Abw. Periode CL-Faktore Robuste Faktore - 3,475580, , , ,77908, ,63606, ,3888, ,06477,06477

16 - 6 - Währed die Faktore vo Chai-Ladder auf die Veräderug extrem reagiere, verhalte sich die robuste Faktore eher etspreched dem allgemeie Tred der Maße der Beobachtuge ud werde vom Ausreißer ur weig beeiflusst. Die Auswirkuge des Ausreißers sid besoders a der Reserve für das Afallahr 6 deutlich zu erkee, welche sogar egativ ist. Es empfiehlt sich also i der Praxis beide Verfahre auf die Date azuwede, weil dadurch die Uregelmäßigkeite i der Struktur der Date erkat werde köe, ähliche Ergebisse lasse auf gutartige Struktur der Date schließe.

17 Stochastische Faktore Dieses Verfahre basiert auf der Aahme eier Wahrscheilichkeitsverteilug der Abwicklugsfaktore. Mit dieser Aahme ka da die Verteilug für de Edschade ermittelt werde. Mit Hilfe vo Simulatioe erhält ma daraus de empirische Erwartugswert als Schätzer für de Edschade ud weitere Eigeschafte wie die empirische Variaz. Wir werde hier drei Verteilugsaahme utersuche: Log-Normal-, Log-Gamma- ud Log-iverse Gaußverteilug. Mit Hilfe vo Simulatioe werde aschließed die p-quatile für de Edschade S über alle Afallahre ermittelt. p gibt da die Wahrscheilichkeit a, dass der Edschade die Größe S icht überschreitet. Die Verteilugsaahme werde aschließed mit dem Kolmogorov-Smirov-Test überprüft, um das beste Verteilugsmodell für gegebee Dreiecke zu wähle. Zur umerische Berechug werde das Tabellekalkulatiosprogramm-Excel ud eie vo der Firma Averill M. Law & Associates etwickelte statistische Software ExpertFit verwedet..3. Das Modell Gegebe sei das Dreieck der kumulierte bezahlte oder agefallee Schäde: AbwJahr AfJahr +-i C, C, C, + i C, C, C, C, + i i C i, i, - C, C, C i, C + i C, Wir ehme a, dass mit dem Abwicklugsahr die Schadeabwicklug abgeschlosse ist. Diese Software wurde mir für die Berechug vo der Firma AON Jauch & Hübeer, Hamburg zur Verfügug gestellt.

18 - 8 - Durch Dividiere der Spalte k durch die Elemete der Spalte k- erhalte wir das Dreieck der beobachtete Abwicklugsfaktore: AbwJahr AfJahr -> ->3 - -> d, d,3 d, d, d,3 - d, Uter dem Modell der stochastische Abwicklugsfaktore wird das Abwicklugsdreieck folgedermaße volledet: AbwJahr AfJahr I ID, I D, k k = I ID, I D, k k = I, ID I D, k= k wobei U = I D, i i ik k = der Edschade vom Afallahr i ist. Der gesamte Schade über alle Afallahre ist da S = U i= i, ud die gesamte Reserve über alle Afallahre beträgt: R S C + =. i k, k k = i, i =,.., darstellt. I ist eie Zufallsvariable, die de Afagsschade für das Afallahr D i, ist eie Zufallsvariable, die dem Schadezuwachs für das Afallahr i vom Abwicklugsahr - zum Abwicklugsahr darstellt. D I i ud { i,, =,.., } sid stochastisch uabhägig.

19 - 9 - Seie D i, i =,..,, fest, uabhägig idetisch verteilt mit der Verteilugsfuktio Fdθ (, ) ud uabhägig für =,..,. Die Aahme der Uabhägigkeit vo D i, ud D mit k, ermöglicht eie ziemlich eifache Berechug der bedigte Verteilug vom ik, Edschade i i U : P. i U I Lemma: Seie I i ud i, D i =,..,, =,.., zwei reellwertige Zufallsvariable auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ( Ω, A, P ). Es gelte für festes i: I i ud { D, Da gilt: a) EU ( I ) = I { D, }, i=,.., P- f.s. i i i ik k = i b) i i i, i, ik, k=, =,.., } sid stochastisch uabhägig. EU ( I = C ) = C { D }, i=,.., P- f.s. Beweis: EU ( I ) = EI ( { D } I ) a) Satz, c) i i i ik, i k= I E D I I E D ({ } ) Satz, e) ({ }) i ik, i i ik, k= k= b) Folgt aus Ersetzugslemma (). Q.E.D. Für ede Spalte wird der Parameter θ ˆ (,..., ) +, =,.., als θ geschätzt durch d, d, Fuktio der beobachtete Abwicklugsfaktore. Vergleicht ma die durch das Modell agepasste Werte mit de beobachtete, wird so eie Aussage über die Güte der Apassug möglich. Die Hilfssätze, die hier erwäht sid, fidet ma im Ahag A.

20 - 0 - Der gesamte Schade S = U ist auch eie Zufallsvariable, dere bedigter k = k Erwartugswert ES ( ( I,..., I )) gleich EU ( k Ik) ud ach Lemma a) gleich k = ({ }) Ik E Dkl, ist. Die Eigeschafte vo i k = l= Simulatioe ermittelt. U für edes Afallahr werde mit Hilfe vo.3. Edschade im Log-Normal-Modell. Ist eie Zufallsvariable X ormalverteilt mit Erwartugswert µ ud Variaz σ, da ist Y X = e Log-ormalverteilt mit Dichte: (l y µ ) f( y) = exp, y 0. πσy > σ (3) Für eie Log-ormalverteilte Zufallsvariable ist das Momet r-ter Ordug: r X r EY ( ) = E(( e )) = MX () r = exp( rµ + r σ ) mit M () r als mometerzeugeder Fuktio eier ormalverteilte Zufallsvariable. X (4) Die Log-Normalverteilug hat folgede ützliche Eigeschaft: Sid Y,..., Y uabhägige Log-ormalverteilte Variable, so dass P = ( α Y ) für α 0 wieder Logormalverteilt mit Parameter: Yi X i = e, so ist = ( l( )) ud = = (5) µ = µ + α σ = σ Daraus folgt für de Erwartugswert EY ( ) M X () exp = = µ + σ ud für die Variaz Var( Y) = EY ( ) EY ( ) = MX () EY ( ) = exp µ + σ exp( σ ) ( )( ) folgt aus der bekate Eigeschaft eier ormalverteilte Variable: Die Summe uabhägiger ormalverteilte Variable ist wieder ormalverteilt ud der Expoet eier ormalverteilte Variable ist Logormalverteilt.

21 - - Wir ehme a, dass alle Spalte vo Abwicklugsfaktore Di, i =,.., uabhägig Logormalverteilt mit Parameter µ ud σ sid. Aus (5) folgt, dass der Edschade U = I D Log-ormalverteilt ist mit de Parameter: µ () = l( I ) + µ ud σ i i i = σ = i i = =. Nach (3) hat da die Verteilugsfuktio des Edschades folgede Gestalt: (l ui µ ()) i gi( ui) = exp, u 0 i >. (6) πσu i σ Aus (4) folgt für de bedigte Erwartugswert des Edschades für Afallahr i: i i = i + = = EU ( I ) I exp( µ σ ). Uter usere Modellaahme sid da d i, i =,.., +-, =,.., Stichprobe vo Log-ormalverteilte Variable mit Parameter µ ud σ mit dem Maximum-Likelihood- Schätzer für µ : + µ ˆ = l( di ) + (7) i= ud für σ : σˆ + i= = (l( d ) µ ˆ ) i + (8) Der Schätzer µ ˆ ist uverzerrt, ud der Schätzer σ ˆ ist asymptotisch uverzerrt. Satz : Der erwartugstreue ud variazmiimale Schätzer vo EU ( I ) ist wobei ( ) ( ) µ ˆ() i = Ii exp( µ ˆ) 0F ; SS = = 4( + ) + t z = (l( i) µ ˆ ) ud 0 ( η; ) = i= t= 0 t SS d F z Γ( η) (eie verallgemeierte Hypergeometrische Fuktio) sid.! Γ ( η + t) i i

22 - - Beweis: Diese Schätzer ist variazmiimal aufgrud der Eigeschafte eies ML-Schätzers. Es bleibt die Erwartugstreue zu zeige, d. h. E[ µ ˆ() i ] = µ () i = i + = = (9) I exp( µ σ ). Es gilt: σ µ ˆ µ ˆ Ν( µ, ) e LN mit + σ µ ˆ + µ ( + ) Ee [ ] = e, ud daraus folgt: 0F = Sei h( SS ) = σ σ µ + µ ˆ ˆ + µ ( ) ( ) µ = + +. E[ e ] = Ee [ ] = e = e = = = ( ) ( ) ; SS 4( + ), da gilt σ µ ˆ µ = = = ( + ) [ ] [ ( )] [ ( )] ; E µ = EIe h SS = Ie e Eh SS ˆ( i) i i ud ach (9) bleibt ur och zu zeige, dass σ ( ) ( + ) = : (0) Eh [ ( SS )] e t t Γ SS ( ) Eh [ ( SS )] = E = t t = t= 0 4( + ) t! Γ t + Wege SS c ( ) folgt σ t t Γ ESS [ ]( ) = () t t t 0 4( ) t! = = + Γ t + Nach de Aussage der statistische Theorie ist der Maximum-Likelihood-Schätzer ei effizieter Schätzer, edoch icht otwedigerweise ei erwartugstreuer.

23 - 3 - k ss ss ss σ k e σ σ ss d o σ SS E = [ ] = σ Γ( ) k+ ss σ ss k+ ( ) e Γ k + σ ss = d[ ] = σ k+ o k + Γ( ) Γ( ) Eisetze i () k = Γ ( k + ) Γ( ) k k k σ ESS [ ] = Γ ( k + ). Γ( ) Q.E.D = t= 0 t t t Γ Γ t + σ ( ) t t = 4( + ) t! Γ t + Γ t σ ( ) ( ) ( + ) σ ( + ) = t= 0 = / t! = e = e = σ ( ) ( + ) I der Praxis ist die Summatio bis zum füfte oder sechste Term hireiched geau. Mit geschätzte µ ˆ(),..., µ ˆ( ) lässt sich der gesamte Edschade leicht ausreche: LN µ ˆ = µ ˆ k = ( k). Mit Hilfe der Simulatio (s. ute), lasse sich weitere Größe wie die empirische Variaz ud Quatile vo µ () i schätze.

24 - 4 - Simulatiosalgorithmus zum Log-Normal-Modell:. Geeriere rechteckverteilte Variable: U, U R(0,). Mit Box-Muller Trasformatio erhalte uabhägige stadardormalverteilte Variable: Z= l( U)cos( πu) ud Z = l( U)si( πu) 3. Mit Trasformatio erhalte Log-ormalverteilte Variable mit Parameter µ ˆ ud σ ˆ : Y = exp( µ ˆ + σˆz) ud Y = exp( µ ˆ + σˆz), wobei k, = = µ ˆ = l C + µ ˆ ud σˆ = σˆ mit µ ˆ ud σ ˆ aus (7) ud (8) etspreched. 4. Für edes Afallahr wiederhole Schritte mal ud erhalte Logormalverteilte Zufallsvariable Uk, Uk,..., Uk, Mit diese Werte köe Erwartugswert, Stadardabweichug ud Quatile vom Edschade für edes Afallahr geschätzt werde..3.3 Edschade im Log-Gamma-Modell Dieses Modell setzt voraus, dass die Abwicklugsfaktore eier Log-Gammaverteilug uterliege. Aufgrud der Eigeschafte dieser Verteilug gelte im Vergleich zum Log-Normal-Modell folgede Eischräkuge: Die Abwicklugsfaktore solle größer als, also ur auf kumulierte Date awedbar sei. Die Schätzug der Parameter geschieht hier simulta für das gaze Abwicklugsdreieck. Beim Log-Normal-Modell wurde die Parameter getret für ede Spalte berechet. Die Log-Gammaverteilug wird vo der Gammaverteilug abgeleitet. Die Dichtefuktio eier gammaverteilte Variable mit Parameter Gestalt: α ud λ hat folgede

25 - 5 - mit mometerzeugeder Fuktio: α λx α x e λ f( x) =, x 0 Γ( α) () tx λ α MX () t = Ee [ ] = [ ], t < λ. (3) λ t Die Gammaverteilug hat folgede wichtige Eigeschafte:. Sid X, X,..., X uabhägige Zufallsvariable mit X Gamma( α, λ), i,..,, so ist X Gamma( αλ, ) mit α= α. = i i i i i= i=. Ist X Gamma( αλ, ) verteilt, so ist Z = X + δ verschobe gammaverteilt mit Lageparameter δ ud Dichtefuktio gemäß: α λ( z δ) α ( z δ) e λ hz ( ) =, z δ Γ( α) ud mometerzeugeder Fuktio: tz t δ λ α MZ () t = Ee [ ] = e [ ], t < λ λ t (4) (5) 3. Ist X Gamma( αλ, ) verteilt, so ist Y = e ach dem Trasformatiossatz für Lebesgue-Dichte Log-gammaverteilt mit Dichte: X α λ α (l y) y λ g y f y y ( ) = (l ) =, y Γ( α) (6) Für user Abwicklugsdreieck ehme wir a, dass ede Spalte D,, i=,..,, =,.., vo Abwicklugsfaktore uabhägig ud idetisch Log-gammaverteilt sid mit Idexparameter α ud Skaleparameter λ. i Aus (4) ud (6) folgt da, dass der Edschade vom Afallahr i: i i i = U = I D Loggammaverteilt ist mit der Dichte: α (lui l Ii) u λ λ α i Ii λ i( i) =, i i g u u I Γ( α) (7) wobei α = α. =

26 - 6 - Beweis: lu = li + l D = δ + X verschobe gammaverteilt ach (3), da folgt mit () ud i i i () die Behauptug. Q.E.D. Aus (5) ud (7) gilt für de Erwartugswert des Edschades vom Afallahr i: λ α EU [ i½ Ii] = Ii[ ], λ > (8) λ Bei λ ist der Erwartugswert der Verteilug icht defiiert. Beweis: X t(lii+ l D ) i i ( δ+ X ) δ λ α λ α EU [ i½ii] = Ee [ ] = Ee [ ] = Ee [ ] = e [ ] = Ii[ ], λ >. λ λ Q.E.D. Die Schätzug der Parameter α,.., α, λ erfolgt umerisch. Aus (6) erhält ma die Likelihood-Fuktio: L( α, λ; d ) = { } {,} i ud da die Log-Likelihood-Fuktio: + + = i= (l d ) α i, d λ i, Γ( α ) l L( α, λ; d ) = [ λld l d + ( α )l(l d ) + α lλ l Γ( α )] { } {,} i i, i, i, = i= Maximiere dieser Gleichug, idem ma die Ableituge ach Gleichuge mit Ubekate: λˆ = = ( + ) α d... λ α α ud λ Null setzt, liefert (9) ψα ( ˆ ) = l λˆ + d, =,.., (30) wobei d l Γ( x) ψ ( x) = die Digamma-Fuktio bezeichet, ud dx d. = + i= l(l d ) i, ( + ) ud + d = l d... i, = i=

27 - 7 - Beweis: + d(l L) = l(l di, ) + ( + )l λ ( + ) ψα ( ) dα i= + l(l di, ) ˆ i= ψα ( ) l ˆ = + λ + d(l L) + = α dλ λˆ = Q.E.D. + = λ i= = = ( + ) αˆ Die exakte Werte der Digamma-Fuktio erhält ma z.b. aus Abramowitz ud Stegu (965), Hadbook of Mathematical Fuctios oder ma berechet die Werte approximativ durch: 69 ψ ( x) l x x x 0x 5x 40x 3x 3.760x (3) 4 6 x 8.936x d.. l d i, Das Newto-Verfahre, zum Löse vo (9) ud (30): Sei ei (-)-dimesioaler Vektor mit: F( αˆ) = ( ( αˆ), ( αˆ),..., ( αˆ)) T f f3 f ( + ) αˆ = k( αˆ) = k( αˆ, αˆ3,.., αˆ) = ψα ( ˆk) l[ ]. k d.. f f d für k =,..,. Die Matrix der Ableituge ist gegebe durch: J( αˆ) = ψ ( αˆ) mit ( + ) αˆ =.. R

28 - 8 - ψ ( αˆ ) ψ ( αˆ 3) 0 ψ ( αˆ ) = 0 0 ψ ( αˆ ) ud R = dψ ( x) Die Ableituge ψ ( x) = erhält ma durch eifaches Differeziere vo (3). dx Die m-te Iteratio erzeugt folgede Vektor der Parameter: ( αˆ, αˆ,..., αˆ ) ( αˆ, αˆ,..., αˆ ) F ( αˆ ) ( αˆ ) (3) T T -, m 3, m m, =, m 3, m m, m J m Die Startwerte für die Iteratio (3) werde ach der Mometemethode durch αˆ = + = + 0 l d i i, bestimmt. Nach hireiched viele Iteratiosschritte erhält ma die Parameter αˆ,.., α ˆ, ud durch Eisetze dieser Parameter i (9) ka ma de Parameter ˆλ ausreche. De edgültige Edschade für das Gesamtdreieck erhält ma durch: ˆ LG µ ˆ = [ ] wobei αˆ = αˆ. λ αˆ ˆ Ii λ i= = Da dieser Schätzer verzerrt ist, verwedet ma besser das Stichprobemittel aus der Simulatio. Sid S, S,..., S0.000 mit der Simulatio (s. ute) erzeugte Beobachtuge, so folgt für de Gesamtschade: LG µ ˆ = Sk k=

29 - 9 - Simulatiosalgorithmus im Log-Gamma Fall:. Erzeuge gammaverteilte Zufallsvariable X mit Parameter ˆα ud λ = (s. ute). Uterschiedliche Algorithme solle verwedet werde für α ˆ < ud αˆ (s. ute).. Durch Trasformatio erhalte Log-gammaverteilte Variable Y mit Parameter αλ ˆ, ˆ ud Lageparameter δ : Y = exp( X + δ ). λˆ 3. Für edes Afallahr k =,.., wiederhole Schritte mal ud erhalte Log-gammaverteilte Zufallsvariable Uk, Uk,..., Uk,0.000, wobei = l Ck, ud ˆ = = δ α αˆ mit ˆλ ud α ˆ aus de Ergebisse des Newto-Verfahres. Damit ist der Gesamtedschade: Sk = U k,, k =,..., = 4. Mit diese Werte köe Erwartugswert, Stadardabweichug ud Quatile geschätzt werde. Simulatiosalgorithmus eier gammaverteilte Variable X: Fall : αˆ.. Setze: a = α ; b = α l4; q = α + ; θ = 4,5; d = + l θ. a. Erzeuge rechteckverteilte Variable: U, U R(0,). 3. Defiiere V = a l[ U/( U)] ; Y = α e ; 4. Ist W + d θ Z 0, setze X=Y; Abbruch. Sost gehe zu Ist W l Z, setze X=Y. Sost gehe zu. V Z = UU ; W = b+ qv Y. Der Algorithmus wurde aus A. Law, W. Kelto (99), Simulatio Modellig ud Aalysis, McGraw-Hill, S. 487 f, etomme.

30 Fall : 0< αˆ <.. Setze: e +α b =. e. Geeriere eie rechteckverteilte Variable U R(0,), setze P= bu. Ist P >, gehe zu 4, sost weiter mit Setze Y / P α = ud geeriere U R(0,). Ist U e Y, setze X=Y. Sost gehe zu. 4. Setze Y = l[( b P)/ α] ud geeriere U R(0,). Ist U Y α Sost gehe zu., setze X=Y..3.4 Edschade im Log-iverse gaußsche Modell Dieses Modell setzt voraus, dass die Abwicklugsfaktore eier Log-iverse gaußsche (Log-IG-) Verteilug uterliege. Aufgrud der Eigeschafte dieser Verteilug gelte aalog zum Log-Gamma-Modell folgede Eischräkuge: Die Abwicklugsfaktore solle größer als sei. Die Schätzug der Parameter erfolgt simulta. Die Log-IG-Verteilug wird vo der iverse Gaußverteilug (IG) iduziert. Die Dichtefuktio eier IG-verteilte Variable mit Parameter Gestalt: µ ud β hat folgede β,5 β ( x µ ) f( x) = µ x exp( ), x > 0 (33) π x mit der zugehörige mometerzeugede Fuktio gemäß: tx β MX () t = Ee [ ] = exp[ µβ µβ ( t)], t. (34) β

31 - 3 - Die IG-Verteilugsfuktio hat folgede wichtige Eigeschafte:. Ist X IG ( µβ, ) verteilt, so ist Z = X + δ verschobe IG-verteilt mit Lageparameter δ 0 ud Dichtefuktio gemäß: β,5 β( z δ µ ) hz ( ) = µ ( z δ) exp( ), z > δ π ( z δ) ud mometeerzeugeder Fuktio: (35) tz β MZ () t = Ee [ ] = exp[ µβ + tδ µβ ( t)], t. (36) β. Sid X, X,..., X uabhägige Zufallsvariable mit X IG( µ, β), i=,..,, so ist T = ( X + δ ) IG( µβ, ) mit µ = µ i i i i i i= i= ud Lageparameter δ = δi. i= 3. Ist X IG ( µβ, ), so ist Y X = e Log-IG-verteilt mit Dichte: g,5 ( 0,5 ) ( y ) f (l y β ) (l ) exp( ), y y y + β βµ = = µ µβ π l y y > (37) Für user Abwicklugsdreieck ehme wir a, dass alle Spalte D,, i=,.., vo i Abwicklugsfaktore uabhägig ud idetisch Log-IG-verteilt sid mit Parameter β. µ ud Aus (35) ud (37) folgt da, dass der Edschade vom Afallahr i: U = I D Log-IG-verteilt ist mit Lageparameter l I i ud Dichte i i i = β 0,5 β,5 (+ 0,5 β) βµ i( i) = µ i (l i l i) i exp µβ, i i π > (lui l Ii) g u I u I u u I (38) mit µ = µ =. Mit (36) ud (38) gilt für de Erwartugswert des Edschades vom Afallahr i: 0,5 i i i k β k= EU [ ½ I ] = I exp[ β ( ( ) ) µ ], β (39) Bei β < ist der Erwartugswert der Verteilug icht defiiert.

32 - 3 - Wie im Log-Gamma-Modell erfolgt die Schätzug der Parameter µ,.., µ, β umerisch. Aus (37) erhält ma die Log-Likelihood-Fuktio: + (l di, µ ) l L( µ, β ; d ) = [lµ + l β β ] l d { } {,} i = i= i, Maximiere dieser Gleichug, i dem ma die Ableituge ach µ ud β zur 0 setzt, liefert Gleichuge mit Ubekate: + i µ ˆ di [(l d ) /l ] = i= = ˆ β 0,5 ( ) (40) + i= + µ ˆ ( + ) µ ˆ =, =,.., (4) l d βˆ i Beweis: + dlogl ( ) = ( + ) + dµ µ β (l d µ ) i, l d i= i, ( + ) µ µ ( + ) = i l d β i, + dlogl ( ) (l di, µ ) = dβ i β l d = β = i= i (l d µ ) i, l d 0,5 ( ) i, i, Q.E.D. Diese Gleichuge köe folgedermaße iterativ gelöst werde: Setze als Startwert für µ = ( µ,..., µ ): µ ˆ 0 + = l di, =,..,. ( + ) Führe für m =,.., N (mit N - Azahl der Iteratioe) folgede Iteratiosschritte durch: i=. Mit (40) bereche β ˆm als Fuktio vo ( µ ˆ, m,..., µ ˆm, ) ˆ m. Setze β ˆm i (4) ei ud bereche µ, gemäß:. µ ˆ ( [( )( 4 βˆ (l ) )] )( (l ) ). 0,5 m, + m d + d i= i, i= i, =

33 De edgültige Edschade für das Gesamtdreieck erhält ma durch: LIG ˆ 0,5 Ii ˆ i= β = µ ˆ = exp[ µβ ˆ ( ( ) )] wobei µ ˆ = µ ˆ. Da dieser Schätzer verzerrt ist, empfiehlt sich das Stichprobemittel aus der Simulatio. Sid,,..., S S S Gesamtschade: mit der Simulatio (s. ute) erzeugte Beobachtuge, so folgt für de LIG µ ˆ = Sk k = Simulatiosalgorithmus im Log-IG Fall:. Geeriere rechteckverteilte Variable: U, U R(0,). Mit Box-Muller Trasformatio erhalte uabhägige c () -verteilte Variable: Z = [ l( U )cos( πu )] ud Z = [ l( U )si( πu )] 3. Für edes Z i bereche X i ( 4 ˆ ˆ ) 0,5 Zi Zi + βµ Zi = µ ˆ +. βˆ 4. Für edes X i simuliere Vi R(0,). 5. Ist V i i µ ˆ µ ˆ + X i i, da setze: Y = exp( δ + X ), sost Y Ei so kostruiertes Lageparameter δ. i µ ˆ = exp( δ + ). X i Y i ist da Log-IG verteilt mit Parameter µβ ˆ, ˆ ud 6. Für edes Afallahr k =,.., wiederhole Schritte mal ud erhalte Log-IG verteilte Zufallsvariable Uk, Uk,..., Uk,0.000, wobei = l Ck, ud ˆ = = δ µ µ ˆ mit µ ˆ ud ˆβ aus der Iteratio. Damit ist der Gesamtedschade: k k,,,..., = S = U k = 7. Mit diese Werte köe Erwartugswert, Stadardabweichug ud Quatile des Edschades für edes Afallahr geschätzt werde.

34 Numerische Berechug Die obe beschriebee Algorithme werde wie immer zuerst auf das Dreieck agefalleer ud aschließed auf das Dreieck bezahlter Schäde agewedet. Ergebisse: Aus dem Dreieck der kumulierte Schäde erhält ma das Dreieck der Faktore. Für agefallee Schäde: ,53,445,7,0494,007,0,389,563,0533,0660,0454 3,036,0635,0965,0730 4,479,44,57 5,488,0968 6,46 Ud etspreched für bezahlte Schäde: ,595,65,49,760,456,065,5895,48,794,86,69 3,5363,0984,60,34 4,4359,644,734 5,634,093 6,453 Mit de obe beschriebee Algorithme erhält ma folgede Schätzer für die Parameter. Für agefallee Schäde: Abw. Periode LogNormal LogGamma Log IG mu sigma alpha lamda mu beta - 0,3098 0,00 0,3957,5556 0,36 7, ,378 0,000 0,0438,5556 0,0980 7, ,0939 0, ,6889,5556 0,094 7, , , ,05,5556 0,0663 7, ,034 0,0004 0,05935,5556 0, , ,099 0,0004 0,0409,5556 0,08 7,809

35 Für bezahlte Schäde: Abw. Periode LogNormal LogGamma Log IG mu sigma alpha lamda mu beta - 0,4085 0,008,9545 3, ,4483 7, ,505 0,0037 0,3959 3, ,390 7, ,6505 0,00 0,3959 3, ,6585 7, ,588 0, ,3959 3, ,589 7, ,34 0,0006 0,3959 3, ,995 7, , ,0006 0,3959 3, ,0688 7,4370 Da für das letzte Abwicklugsahr ur eie Beobachtug vorliegt, ist es icht möglich die Variaz zu bereche, dafür wird die Variaz aus dem vorletztem Jahr überomme. Die Parameter für Log-Gamma- ud Log-IG-Modelle werde durch Iteratios-Algorithme erzeugt, die mit Matlab programmiert wurde. Beim Log-Gamma-Modell köte die Matrix J, mit zu große Werte auf der Diagoale ud zu kleie außerhalb, beim Ivertiere Probleme bereite. Mit de geschätzte Parameter ka ma de erwartete Edschade für edes Afallahr bereche. Zum Vergleich werde och mal die Chai-Ladder-Ergebisse aufgelistet. Die Ergebisse für agefallee Schäde: AfallJahr Chai-Ladder LogNormal LogGamma Log IG gesamt: Die Ergebisse mit dem Log-Gamma-Modell sid weiger zuverlässig als mit adere Verteiluge, da die Matrix J mit agefallee Schäde fast sigulär ist, was die Ergebisse sichtlich beeiträchtigt. Die Ergebisse mit stochastische Faktore sid meist höher als beim D. h. die Determiate vo J ist ahe bei ull.

36 Chai-Ladder Verfahre. Nur die Afallahre,, 4 bei Log-Normal ud bei Log-IG weise iedrigere Ergebisse aus. Die etsprechede Ergebisse mit bezahlte Schäde: AfallJahr Chai-Ladder LogNormal LogGamma Log IG gesamt: Hier ist beim Log-Gamma-Modell die Matrix J gut ivertierbar, was auch bessere Ergebisse liefert. Asoste ka ma beobachte, dass die Ergebisse mit stochastische Faktore meist höher sid als die vom determiistische Chai-Ladder-Verfahre. Nur bei de erste Afallahre falle die Ergebisse iedriger aus. Die geschätzte Parameter ud die Ketis der Verteilug des Edschades ermögliche die Simulatio des Edschades, der Stadardabweichug ud der Quatile. Mit Hilfe vo Matlab wurde Simulatioe für edes Verteilugsmodell durchgeführt. Die Ergebisse mit agefallee Schäde: Af. LogNormal LogGamma Log IG Jahr Edschade St. Abweichug Edschade St. Abweichug Edschade St. Abweichug ges:

37 Mit bezahlte Schäde: Af. LogNormal LogGamma Log IG Jahr Edschade St. Abweichug Edschade St. Abweichug Edschade St. Abweichug ges: Die 90%-, 95%-, 98%- ud 99%-Quatile für Edschäde aus de Simulatioe ermögliche eie risikogerechte Eischätzug der Reserve. Die Ergebisse mit agefallee Schäde (hier ur 90 ud 99%): Af. Jahr Log-Normal Log-Gamma Log-IG 90% 99% 90% 99% 90% 99% ges:

38 Die Ergebisse mit bezahlte Schäde: Af. Jahr Log-Normal Log-Gamma Log-IG 90% 99% 90% 99% 90% 99% ges: Kolmogorov-Test Um die Etscheidug zu treffe, welches Verteilugsmodell zu de gegebee Date besser passt, sollte ma zuerst de Kolmogorov-Test durchführe, der die Verteilugsaahme überprüft. Es wird die Nullhypothese H : F( x) = F ( x) für alle x (dass die Verteilugsfuktio eier o o Zufallsvariable X gleich eier bestimmte vorgegebee stetige Verteilugsfuktio Fo ist) gege die Alterativhypothese H : F ( x ) F ( x ) für midestes ei x geprüft. Als Testvariable wird D = sup F ( x) F ( x) o o verwedet. Dabei bezeichet F die Verteilugsfuktio der Stichprobe ( X,..., X ) vom Umfag. Uter der Nullhypothese hägt die Verteilugsfuktio vo D ur vo ab. Für kovergiert die Verteilugsfuktio vo D gege die Kolmogorov- Verteilug. Ist D > d; α, so wird H o abgeleht. Dabei sid d; α das Quatil der Ordug α der Verteilug vo D ud α das Sigifikaziveau. Im Gegesatz zum Chi-Quadrat-Apassugs-Test, der eie Klasseteilug mit Midestzahle der Besetzug voraussetzt, ist der Kolmogorov-Test auch für kleie Stichprobe awedbar, was bei diesem Problem meistes der Fall ist. Die Quatile d; α wurde dem Lexiko Statistik, Seite 86, etomme.

39 Es ist sivoll, diese Test ur für die Spalte ud durchzuführe, die für user Dreieck 6 bzw. 5 Elemete ethalte. Die empirische Verteilugsfuktio etsteht als Treppefuktio durch Summatio der relative Häufigkeit der Eizelwerte vo 6 bzw.. Die Werte vo 5 F ( ) 0 x erhält ma durch die i Excel defiierte statistische Fuktioe. So gilt für die Log- Normalverteilug: F0( x ) = Logormvert( xµσ ; ; ). Die Werte vo F ( ) 0 x für die Log-Gamma- Verteilug erhält ma durch die Trasformatio der Gammaverteilug: wobei hier X Y F( x) = PX ( x) = Pe ( x) = PY ( l( x)), LogGamma ud Y Gamma( αλ, ) verteilt sid. Also erhält ma die Log- Gamma-Verteilugsfuktio mit Excel als F ( ) 0 x = Gamma (l( x ); αλ. ; ) Die Werte der Log-IG-Verteilug wurde mit Hilfe vo ExpertFit durch die Optio Distributio Viewer berechet. Ma erhält somit folgede Teststatistike für die Spalte ud bei de agefallee Schäde: Abw.-Periode Log-Normal Log-Gamma Log-IG 95%-Quatil - 6 0,3795 0, ,744 0, ,4969 0, , ,5638 ud etspreched bei bezahlte Schäde: Abw.-Periode Log-Normal Log-Gamma Log-IG 95%-Quatil - 6 0,9858 0, ,7958 0, ,4965 0, ,6858 0,5638 Im Falle der agefallee Schäde sid die Teststatistike für Log-Normal ud Log-Gamma immer kleier als die Tafelwerte 0,596 ud etspreched für die zweite Spalte 0,5638. Damit köe bei eier Irrtumswahrscheilichkeit vo 5% die Behauptuge, dass die Faktore eier Log-Normal- ud Log-Gammaverteilug folge, icht abgeleht werde. Im Falle der bezahlte Schäde sid die Teststatistike im Log-Normal-Modell für beide Spalte kleier als die Tafelwerte ud im Log-Gamma- ud Log-IG-Modell sid die Teststatistike für beide Spalte größer als die Tafelwerte. Damit wird bei eier Irrtumswahrscheilichkeit vo 5% die Behauptug, dass die Faktore eier Log- Normalverteilug folge, ageomme, währed die Aahme der Log-Gamma-ud Log- IG-Verteilug verworfe werde.

40 Was sollte ma tu, we der Kolmogorov-Test beide Verteiluge für richtig hält? Um eie optimale Lösug zu fide, köte ma für ede Spalte die Summe ( ( ) o( )) der quadratische Abweichuge zwische theoretische ud x S = F x F x empirische Werte der Verteilugsfuktio bereche, ud sich für die Verteilug mit miimalem S etscheide. Die Tabelle ute listet folgede Werte S für die. ud. Spalte, im Falle der agefallee Schäde: Abw.-Period Log-Normal Log-Gamma Log-IG - 0,533 0,47870, , ,8045,740 Die Werte für die Log-Normalverteilug sid deutlich iedriger, was die Etscheidug für das Log-Normal-Modell begüstigt. Im Falle der bezahlte Schäde wird auch die Richtigkeit der Log-Normalverteilugs- Aahme ochmal bestätigt. Es ergebe sich i diesem Falle folgede Werte für S: Abw.-Period Log-Normal Log-Gamma Log-IG - 0,05588,4095, , ,67404,0507

41 Die Kleiste-Quadrate-Regressio Es wird ei lieares Regressiosmodell betrachtet, bei dem zusätzlich zu de Abwicklugsparameter die Afallahrparameter eigeführt werde. Zuerst wird die Regressiosgleichug aufgestellt, da die KQ-Methode erklärt ud mögliche vorhadee Hilfsmittel zum Teste der Modellaahme erläutert. Aschließed wird die Methode auf beide Dreiecke der Zahlugszuwächse (bezahlt ud agefalle) agewadt. Mit geschätzte Parameter werde die Progose (Werte im utere Dreieck) erstellt ud Reserve für edes Afallahr gebildet. Zum Schluss wird mit bekate statistische Tests t-test, F-Test, Bestimmtheitsmaß, Residueaalyse die Richtigkeit des Modells überprüft..4. Modellierug für die KQ Methode ud Modellaahme Für das Modell wird ageomme, dass edes Afallahr sei eigees Afallahr-Niveau besitzt ud die Aufteilug des Edschades auf die Abwicklugsahre im Schitt für alle Afallahre gleich ist. Mit de Bezeichuge U i Edschade für das Afallahr i, B Ateil des Abwicklugsahres am Edschade, P i, Schadezuwächse (agefallee oder bezahlte) aus dem Afallahr i im Abwicklugsahr ka ma das Modell durch folgede Gleichug darstelle: P i, = U i B i, =,.., uter der Bedigug: B =, wobei für die Azahl der Afall- ud Abwicklugsahre steht. = Durch Logarithmiere erhält ma ei lieares Modell, zu dem ei Störterm u i, zusätzlich eigeführt wird: l(p i, ) = l(u i ) + l(b ) + u i, i, =.. l(p i, ) = Y i, = a i + b + u i, i, =.. Dieses Modell wurde aus dem Artikel Regressio Modells based o Log-Icremetal Paymets, S. Christofides i Claims Reservig Maual, Vol., More Advaced Methods, 990, S , etomme.

42 - 4 - ( b wird auf Null gesetzt, um Sigularitätsprobleme zu umgehe ). oder i Matrixschreibweise: y = X + â u (4) mit â = ( a,..., a, b,, b ). Der Vektor y ethält somit die logarithmierte Beobachtuge: Die y ' = ( Y,,.., Y,, Y,,.., Y,,..., Y,). ( + ) ( ) -Matrix X wird Desigmatrix geat, dere geaue Struktur später erläutert wird ud für die gilt: X ist icht stochastisch mit Rag(X) = - =: p (= Azahl der zu schätzede Parameter). Die Restgröße u stellt eie icht beobachtbare stochastische Störterm dar, für de folgede Aahme getroffe werde:. E[u] = 0. E[uu ] = σ I mit Var(u i, ) = σ für alle i, 3. u uterliegt eier mehrdimesioale Normalverteilug E[uu ] ist die Variaz-Kovariaz-Matrix der Störvariable, die uter der Aahme eie Diagoalmatrix ist. Aahme besagt damit, dass die Störterme zweier uterschiedlicher Beobachtuge ukorreliert sid ud die Variaz der Störterme kostat gleich σ ist. Ma bezeichet Eigeschaft eis als fehlede Autokorrelatio ud Eigeschaft zwei als Homoskedastizität..4. Schätze im lieare Regressiosmodell Die Methode der kleiste Quadrate verlagt, dass die Parameter im Vektor â so festzulege sid, das die Residuequadratsumme RSS = u u miimiert wird. Durch Eisetze vo (4) erhält ma RSS = ( y X )'( â y Xâ ) = ' yy ' yxâ ' âxy ' + ' âxxâ '. ud ach dem Differeziere der Quadratsumme ach â drss ( ) = Xy ' + ( XXâ ' ). dâ

43 Notwedige Bedigug für ei Miimum ist, dass diese Gleichug gleich 0 ist. Damit ergibt sich für die Lösug: ˆ ( ) â = XX ' Xy ' (43) Die Iverse der symmetrische p p-matrix XX ' existiert ach der Aahme Rag(X)=p..4.3 Schätzeigeschafte der KQ-Methode Die Eigug der KQ-Methode zur Schätzug vo Parameter für das vorliegede Modell hägt vo de Eigeschafte ihrer Schätzfuktioe ab. Ihre Awedug ist daher durch die Qualität der Schätzug zu begrüde. Bei der Beurteilug der Güte der Schätzug uterscheidet ma Schätzeigeschafte, die vom Stichprobeumfag uabhägig sid ud solche, die ausschließlich bei großem Stichprobeumfag gelte. Isbesodere sid die Eigeschafte im erste Fall vom Iteresse, die auch bei kleiem Stichprobeumfag gelte. Das sid die Erwartugstreue ud Effiziez des KQ-Schätzers ˆâ. Erwartugstreue besagt, dass der Erwartugswert des Schätzers gleich dem wahre Parameter ist. Diese Eigeschaft ka leicht gezeigt werde, idem die Schätzug i die Regressiosgleichug (4) eigesetzt wird: [ ] ˆ E( â ) = E ( ' ) ' â + XX Xu = â + ( XX ' ) X ' E u = â Damit ist edoch och ichts über die Geauigkeit der Schätzug ausgesagt. Je kleier die Variaze der geschätzte Regressioskoeffiziete sid, um so präziser ka â geschätzt werde. Ei Schätzer mit kleistmöglicher Variaz heißt effiziet. Diese beide Eigeschafte sid Aussage des Gauß-Markov-Theorems. Außerdem gilt uter der Aahme 3 für Normalität der Residue, dass der KQ-Schätzer (43) mit dem Maximum-Likelihood-Schätzer übereistimmt. Die Variaz - Kovariazmatrix vo ˆâ lautet: Cov( ˆâ ) = σ (X X) - Beweis: ˆ ˆ ˆ Cov( â) = E[( â â)( â â)'] = E[(( XX ' ) Xu ' )(( XX ' ) Xu ' )'] = E[( XX ' ) Xuu ' ' XXX ( ' ) ] = ( XX ' ) X' E[ uu'] XXX ( ' ) = Zum Beweis siehe i H. Eckey, R. Kosfeld, C. Dreger (995), a. a. O. : S. 57 f