V 21 Linsengesetze und Linsenfehler

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1 V 21 Linsengesetze und Linsenfehler A) Stichworte zur Vorbereitung Geometrische Optik, Hauptebenen von Linsen, Brechungsgesetz, Dispersion des Lichts, Farbfehler, Öffnungsfehler, Astigmatismus. B) Literatur Harten: Physik für Mediziner Trautwein, Kreibig, Oberhausen: Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 3: Heinz Niedrig (Hrsg.): Optik. Berlin: de Gruyter, 9. Aufl Gerthsen, Meschede: Gerthsen Physik C) Motivation Der Gesichtssinn ist einer der wichtigsten Sinne des Menschen. Als erster Schritt bei der Verarbeitung der Lichtsignale wird durch das Linsensystem des Auges ein Bild der betrachteten Umgebung auf die Netzhaut geworfen. Auch zur Korrektur von Sehfehlern des Auges durch Brillengläser oder Kontaktlinsen ist die Kenntnis der physikalischen Eigenschaften optischer Linsen entscheidend. Der vorliegende Versuch behandelt neben der geometrisch-optischen Abbildung durch Sammellinsen auch die wichtigsten Fehler, die bei der Abbildung durch Linsen auftreten, nämlich den Öffnungsfehler (sphärische Aberration), den axialen Astigmatismus, der insbesondere beim Auge auftritt, und den Farbfehler (chromatische Aberration). D) Grundlagen Für die Behandlung von Linsen ist es ausreichend, das Licht als Strahlen anzusehen. Man spricht hier von der geometrischen Optik oder Strahlenoptik. Solange die Strahlen sich innerhalb ein und desselben Mediums bewegen, breiten sie sich geradlinig und mit fester Geschwindigkeit aus. Die Grundlage für die Wirkung von Linsen ist die Brechung, welche auftritt, wenn das Licht auf die Grenzfläche zweier Medien trifft. Wir wollen daher zuerst betrachten, was passiert, wenn ein Lichtstrahl auf solch eine Grenzfläche fällt. 1. Reflexion Trifft ein Lichtstrahl auf die Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Medien, so wird wie beim Schall (siehe V 14) ein Teil der Intensität reflektiert, der andere Teil tritt in das angrenzende Medium ein. Wie beim Schall liegen der einfallende und der reflektierte Strahl in einer gemeinsamen, senkrecht auf der Grenzfläche stehenden Ebene, und der Einfallswinkel ist gleich groß wie der Ausfallswinkel. 61

2 Der reflektierte Teil des Lichts bedeutet bei der Abbildung durch Linsen einen unerwünschten Intensitätsverlust. Um den Anteil des reflektierten Lichts zu verringern, werden Linsen vergütet, indem hauchdünne Schichten bestimmter Dicke und mit bestimmtem Brechungsindex auf sie aufgebracht werden. (Die Wirkungsweise der Vergütung beruht auf der Interferenz, einer Eigenschaft des Lichts, die sich in dem hier verwendeten Modell des Lichts als Strahl nicht erklären läßt; siehe V22.) 2. Brechung Wiederum wie beim Schall ändert der durchgehende Anteil des Lichts an der Grenzfläche zweier Medien seine Ausbreitungsrichtung gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz: sin α 1 = c 1 = n 2, (1) sin α 2 c 2 n 1 wobei α 1 bzw. α 2 den Winkel gegen das Einfallslot, c 1 bzw. c 2 die Ausbreitungsgeschwindigkeit und n 1 bzw. n 2 den Brechungsindex der beiden Medien bezeichnen. Die Sinus der Winkel verhalten sich also wie die Ausbreitungsgeschwindigkeiten in den beiden Medien, aber gerade umgekehrt wie die Brechungsindizes in diesen. Dies liegt daran, daß der Brechungsindex definiert ist als Quotient aus der Lichtgeschwindigkeit c 0 im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit c 1 bzw. c 2 im Medium: n := c 0 c. (2) Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt circa km/s, genauer: 2, m s.7 c 1 (n 1 ) c 2 (n 2 ) α 2 α 1 Grenzfläche Abb. 1: Brechung des Lichts an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeiten c 1 und c 2. Medien mit großem Brechungsindex werden als optisch dichter bezeichnet als solche, die einen kleineren Brechungsindex haben. Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz erkennt man, daß Strahlen in optisch dichteren Medien zum Einfallslot hin gebrochen werden. In Luft hat das Licht nahezu die gleiche Geschwindigkeit wie im Vakuum, der Brechungsindex von Luft ist also in sehr guter Näherung gleich 1. Daher vereinfacht 7 Dieser Wert für die Lichtgeschwindigkeit ist exakt, denn das Meter ist seit 1983 gerade als die Länge jener Strecke definiert, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1/ Sekunde durchläuft. 62

3 sich das Brechungsgesetz für den Übergang zwischen Luft (Einfallswinkel α 1 ) und einem Medium mit Brechungsindex n (Winkel α 2 ) zu sin α 1 sin α 2 = c 0 c = n. Aus dem Brechungsgesetz kann man auch ersehen, daß wenn Licht aus dem optisch dichteren (Brechungsindex n 1 ) in ein optisch dünneres Medium (Brechungsindex n 2 mit n 2 < n 1 ) einfällt, nur bis zu einem maximalen Einfallswinkel α 1, welcher als Grenzwinkel der Totalreflexion α g bezeichnet wird, überhaupt ein Strahl in das angrenzende Medium eindringen kann. Dieser Winkel ist gegeben durch die Beziehung sin α g = c 1 c 2 = n 2 n 1. (3) Ist nämlich der Einfallswinkel größer als α g, so müßte nach Gleichung (1) der Sinus von α 2 größer als 1 werden, was nicht erfüllbar ist, und der gesamte Strahl wird reflektiert. 3. Linsen Linsen werden üblicherweise durch zwei Kugelflächen begrenzt. Die Symmetrieachse der Linse wird als optische Achse bezeichnet. Man unterscheidet nach ihrer Form zwischen Konvexlinsen (sind in der Mitte dicker als am Rand: bikonvex, plankonvex, konkavkonvex) und Konkavlinsen (sind in der Mitte dünner als am Rand: bikonkav, plankonkav, konvexkonkav) (siehe Abb. 2). Konvexlinsen wirken als Sammellinsen, d.h. sie bündeln einfallendes Licht, Konkavlinsen dagegen weiten ein Strahlenbündel auf, sie wirken als Zerstreuungslinsen. 8 bikonvex plankonvex konkavkonvex bikonkav plankonkav konvexkonkav Abb. 2: Konvexlinsen (links) und Konkavlinsen (rechts) Beim Eintritt des Lichts in die Linse und wieder beim Austritt tritt Brechung auf. Wenn wir die Brechungsindizes des Mediums vor der Linse, der Linse selbst und des 8 Merkhilfe für Urschwaben zur Identifizierung einer Konvex- bzw. Konkavlinse: Konvex hat einen Buckel wie eine Hex, Konkav hat einen Buckel wie ein Haf (Hafen, gemeint ist Topf). Merkhilfe für Römer: konvex kommt von lat. convehere zusammenbringen, konkav von lat. cavare aushöhlen. Bei Spiegeln ist die Bezeichnung bezüglich der geometrischen Verhältnisse analog: Die nach außen gewölbte Fläche ist der Konvexspiegel, die nach innen gewölbte der Konkavspiegel. Aber die Wirkung ist gerade umgekehrt wie bei den Linsen: Der Konvexspiegel wirkt zerstreuend, während der Konkavspiegel sammelnd wirkt. Im Konvexspiegel (z.b. der nach außen gewölbten Seite eines Löffels) steht Ihr Spiegelbild immer aufrecht, so wie bei der Zerstreuungs- (Konkav-) linse. 63

4 Mediums nach der Linse kennen, können wir also mit Hilfe des Snelliusschen Brechungsgesetzes den Strahlenverlauf konstruieren. Dies ist jedoch relativ umständlich, und es stellt sich heraus, daß zumindest für achsennahe Strahlen eine vereinfachende Konstruktion des Strahlengangs außerhalb der Linse möglich ist: 3.1 Dünne Linsen Für dünne Linsen kann man folgende ausgezeichneten Ebenen und Punkte ( Kardinalelemente ) einführen, mit deren Hilfe sich die Konstruktion des Strahlengangs vereinfachen läßt: Die Hauptebene H. Sie steht senkrecht zur optischen Achse. Bei symmetrischen Linsen (Radien der beiden Kugelflächen gleich groß) ist die Hauptebene gleich der Symmetrieebene der Linse, falls auf beiden Seiten der Linse das gleiche Medium vorhanden ist. Der Hauptpunkt ist der Schnittpunkt der Hauptebene mit der optischen Achse. Die Brennpunkte F und F. In ihnen vereinigen sich achsenparallel einfallende Strahlen. Auf jeder Seite der Linse liegt ein Brennpunkt. Die Brennebenen sind diejenigen Ebenen senkrecht zur optischen Achse, in denen die Brennpunkte liegen. Als (Beträge der) Brennweiten f und f werden die Abstände der Brennpunkte von der Hauptebene bezeichnet. Falls auf beiden Seiten der Linse das gleiche Medium vorhanden ist, 9 sind die beiden Brennweiten gleich groß. (Ein Beispiel für eine Linse, bei der auf den beiden Seiten unterschiedliche Medien angrenzen, ist das menschliche Auge.) Nun gelten die folgenden Regeln für die Konstruktion des Verlaufs achsennaher Strahlen: für Sammellinsen: Strahlen, die parallel zur optischen Achse einfallen, gehen durch den auf der anderen Seite der Linse liegenden Brennpunkt: Achsenparallele Strahlen werden zu Brennstrahlen. Strahlen, die durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt verlaufen, (Brennstrahlen) werden zu achsenparallelen Strahlen. Strahlen, die auf den Hauptpunkt zulaufen, (Mittelpunktsstrahlen oder Zentralstrahlen) verlaufen geradeaus weiter, falls sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche Medium befindet. (Andernfalls ist hierfür der sog. Knotenpunkt ausschlaggebend.) Strahlen, die parallel zueinander (aber nicht parallel zur optischen Achse) einfallen, vereinigen sich in einem Punkt der Brennebene (aber eben nicht im Brennpunkt). 9 genauer: Falls die Medien auf den beiden Seiten der Linse den gleichen Brechungsindex haben,... 64

5 für Zerstreuungslinsen: Achsenparallele Strahlen werden so gebrochen, daß sie von demjenigen Brennpunkt herzukommen scheinen, der auf der Einfallsseite des Lichts liegt. Strahlen, die auf den der Einfallsseite des Lichts gegenüberliegenden Brennpunkt zulaufen, werden zu achsenparallelen Strahlen. Mittelpunktsstrahlen verlaufen geradeaus weiter, falls sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche Medium befindet. Strahlen, die parallel zueinander (aber nicht unbedingt parallel zur optischen Achse) einfallen, scheinen von einem Punkt in der auf der Einfallsseite gelegenen Brennebene herzukommen. Für Zerstreuungslinsen sind die Rollen der beiden Brennpunkte gegenüber dem Fall von Sammellinsen also gerade vertauscht. In jedem Falle wird so getan, als würde der Strahl, der eigentlich an den Grenzflächen der Linse gebrochen wird, seine Richtung an der Hauptebene ändern. Die Hauptebenen von Linsen sind also Hilfsgrößen. Sie werden eingeführt, damit man den Strahlengang in einer Linse durch eine einmalige Brechung darstellen kann. 3.2 Dicke Linsen Beim Auge kann man nicht mehr von dünnen Linsen ausgehen. Daher müssen wir leider auch den Fall dicker Linsen behandeln. Von dicken Linsen spricht man, wenn die Brennweite der Linse nicht mehr groß gegen ihre Dicke ist. Auch für solche Linsen kann man wiederum Brennpunkte und Brennebenen einführen. Statt einer einzigen Hauptebene und einem einzigen Hauptpunkt hat man nun aber zwei. (Ebenso gibt es nun zwei Knotenpunkte.) Bei der formalen Strahlenkonstruktion läßt man den Strahl einfach zwischen den beiden Hauptebenen achsenparallel weiterlaufen (Abb. 3). H H G G S 1 S F 2 F B B f f g b Abb. 3: Bildkonstruktion bei einer dicken Linse mit den Hauptebenen H und H. Der tatsächliche Strahlverlauf ist gestrichelt angedeutet. Die Hauptebenen einer Linse rücken umso weiter auseinander, also näher an die Scheitelpunkte S 1 und S 2, je dicker die Linse ist. 65

6 3.3 Abbildung Unter einer Abbildung versteht man, daß sich die Strahlen, die von einem Punkt im Objekt ausgehen, wieder in einem Bildpunkt vereinigen (d.h. die Strahlen treffen sich dort wirklich, oder ihre rückwärtigen Verlängerungen tun dies). Eine Linse hat nun gerade diese Eigenschaft (zumindest für achsennahe Strahlen), siehe für den Fall einer Sammellinse Abb. 4! Hauptebene G B g b Abb. 4: Abbildung eines Punktes mit Hilfe einer dünnen Sammellinse Den Abstand des Objekts von der (entsprechenden) Hauptebene bezeichnet man als Gegenstandsweite g, den Abstand des Bildes von der (bei dicken Linsen: anderen) Hauptebene als Bildweite b. Es besteht nun die folgende einfache Beziehung zwischen Gegenstands-, Bild- und Brennweite, die Linsengleichung: 1 f = 1 g + 1 b. (4) Hierbei ist zu beachten, daß für Zerstreuungslinsen die Brennweiten als negativ definiert werden. Negative Bildweiten bedeuten dann, daß sich das Bild auf der gleichen Seite der Linse wie der Gegenstand befindet. Man hat also im Prinzip 3 Möglichkeiten (abgesehen vom Experiment), den Ort des Bildes bei der Abbildung durch eine Linse zu bestimmen: durch Konstruktion des tatsächlichen Strahlengangs (Brechung an der Linsenoberfläche), durch Konstruktion des formalen Strahlengangs (Brechung an den Hauptebenen) und durch Rechnen mit der Linsengleichung. Die Größe 1/f bezeichnet man auch als Brechkraft D der Linse. Die Einheit der Brechkraft nennt man Dioptrie ([D]= 1 m = 1 dpt). Je nachdem, ob sich die von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Strahlen in einem Bildpunkt tatsächlich treffen oder aber nur deren rückwärtige Verlängerungen, spricht man von einem reellen oder aber virtuellen Bild. Dieser Unterschied äußert sich darin, daß ein reelles Bild auf einem Schirm oder einer Photoplatte aufgefangen werden kann, ein virtuelles Bild dagegen nicht, dieses kann nur mit dem Auge oder mit z.b. einem Photoapparat betrachtet werden. 66

7 Insbesondere für den Fall eines reellen Bildes ist es sinnvoll, den Abbildungsmaßstab β einzuführen. Dieser ist naheliegenderweise definiert als Quotient aus Bildgröße B und Gegenstandsgröße G. Falls das Medium hinter der Linse den gleichen Brechungsindex hat wie das Medium vor ihr, kann der Abbildungsmaßstab aufgrund des Strahlensatzes auch ausgedrückt werden als Quotient aus Bild- und Gegenstandsweite: β := B G = b g. (5) (Wenn sich das Bild auf der gleichen Seite wie der Gegenstand befindet was natürlich nur für den Fall eines virtuellen Bildes möglich ist, wofür die Angabe des Abbildungsmaßstabes ohnehin wenig sinnvoll ist, ist b negativ, und B wird dann auch negativ gerechnet, da das Bild dann aufrecht statt auf dem Kopf steht.) Im Falle, daß ein optisches Instrument ein virtuelles Bild erzeugt, das ja mit dem Auge oder einem Photoapparat angeschaut werden muß, macht es dagegen mehr Sinn, die Vergrößerung V zu definieren als Verhältnis der subjektiv empfundenen Bildgröße zur Gegenstandsgröße. Die subjektiv empfundene Bildgröße ist gegeben durch die Größe des reellen Bildes, das das Auge auf der Netzhaut bzw. der Photoapparat auf dem Film entwirft. Daraus ergibt sich, daß die Vergrößerung der Quotient aus dem Tangens des Sehwinkels ε mit optischem Instrument und dem Tangens des Sehwinkels ε 0 ohne Instrument (wobei sich für Lupe und Mikroskop - nicht aber für Fernrohr oder Fernglas - der Gegenstand in der sog. deutlichen Sehweite l 0 von 25 cm vor dem Auge befinden soll) ist: V := tanε tan ε 0 mit tan ε 0 = G l 0. (6) (Wenn man ein reelles Bild im Abstand l 0 betrachtet, ergibt sich als Vergrößerung nach dieser Definition gerade der Abbildungsmaßstab.) Je nach Art der Linse (Sammel- oder Zerstreuungslinse) und Abstand des Gegenstands von der Hauptebene ist das entstehende Bild reell oder virtuell, steht es aufrecht (und befindet sich auf der gleichen Seite von der Linse wie der Gegenstand) oder auf dem Kopf, ist es vergrößert oder verkleinert (im Sinne des Abbildungsmaßstabs). Nachfolgend sind alle Möglichkeiten tabellarisch zusammengestellt: Konvexlinse Konkavlinse Gegenstandsweite (Sammellinse) (Zerstreuungslinse) 0 < g < f virtuell aufrecht β > 1 virtuell aufrecht β < 1 g = f kein Bild im Endlichen virtuell aufrecht β < 1 f < g < 2 f reell auf dem Kopf β > 1 virtuell aufrecht β < 1 g = 2 f reell auf dem Kopf β = 1 virtuell aufrecht β < 1 g > 2 f reell auf dem Kopf β < 1 virtuell aufrecht β < 1 4. Hintereinanderschaltung von Linsen Bei einer Hintereinanderschaltung von Linsen addieren sich deren Brechkräfte, falls der Abstand der Linsen voneinander vernachlässigbar klein ist. 67

8 5. Linsenfehler Wir wollen hier nur drei Linsenfehler behandeln, und zwar die zwei geometrisch bedingten Fehler, den Öffnungsfehler (sphärische Aberration), welcher bei ideal kugelförmig geschliffenen Linsen auftritt, und den axialen Astigmatismus, welcher bei Abweichungen von der Kugelgestalt (beispielsweise in ellipsoider Form) vorkommt, sowie den durch die sog. Dispersion bedingten Farbfehler (chromatische Aberration). 5.1 Öffnungsfehler (sphärische Aberration) Abb. 5 zeigt eine einfache sphärische Linse, auf die außer achsennahen Strahlen auch Strahlen treffen, die in einem großen Abstand von der Achse auf die Linse fallen. F R F Abb. 5: Sphärische Aberration und ihre Verringerung durch eine Blende Die Randstrahlen schneiden sich in einem Punkt F R, der näher an der Linse liegt als der Brennpunkt F für achsennahe Strahlen. Je näher die Strahlen an die Achse heranrücken, desto näher rückt der Punkt F R an F heran. Die unterschiedliche Brennweite verschiedener Linsenzonen bezeichnet man als Öffnungsfehler. Um ein genügend scharfes Bild eines Gegenstandes zu erhalten, muß man also Randstrahlen, die auf eine Linse fallen, ausblenden, falls die Linse keine sphärische Korrektur aufweist. 5.2 Axialer Astigmatismus Wird eine Linse statt von einer Kugelfläche von einer Fläche mit zwei verschiedenen Krümmungen in zueinander senkrechten Meridianschnitten begrenzt, so vereinigt sie nicht alle achsenparallelen Strahlen in einem Punkt, sondern günstigenfalls in zwei, in verschiedenen Ebenen liegenden zueinander senkrechten Brennlinien ( Zigarren ) F 1 und F 2 (siehe Abb. 6; die sphärische Aberration wurde in dieser Zeichnung vernachlässigt). Dieser Fehler kann durch Hinzufügen einer Zylinderlinse geeigneter Brechkraft, deren Zylinderachse in Richtung einer der beiden Brennlinien orientiert ist, korrigiert werden (in der Abb. 6 links angedeutet). 68

9 f kurz f 1 Linse F 2 F 1 f lang f 2 Abb. 6: Bildverzerrung durch eine astigmatische Linse Die Größe des Astigmatismus des menschlichen Auges liegt meist unter 1 Dioptrie bei einer Gesamtbrechkraft von 55 bis 70 Dioptrien, je nach Akkomodationszustand. Bei etwa 1% der Patienten erreicht der Astigmatismus 4 Dioptrien. 5.3 Farbfehler (chromatische Aberration) Verantwortlich für diesen Fehler ist die Tatsache, daß verschiedene Farben des sichtbaren Lichts beim Übergang zwischen Luft und Glas unterschiedlich stark gebrochen werden. Im vorliegenden Modell des Lichts als Strahl kann man dies einfach so formulieren, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit und somit der Brechungsindex von der Farbe des Lichts abhängt. Wir wollen aber an dieser Stelle etwas vorgreifen auf V 22, wo das Licht als Welle aufgefaßt wird. Dann sind nämlich die verschiedenen Farben des Lichts mit verschiedenen Wellenlängen und somit verschiedenen Frequenzen verknüpft. (Rotes Licht hat die größte Wellenlänge des sichtbaren Lichts, über Orange, Gelb, Grün, Blau nimmt die Wellenlänge ab bis zu Violett.) Die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle von deren Wellenlänge (allgemeiner auch die Wellenlängenabhängigkeit irgendeiner physikalischen Größe) wird als Dispersion bezeichnet. Somit ist die Ursache der chromatischen Aberration die Dispersion des Lichtes in Materie (genauer: im Linsenmaterial Glas). 69

10 Die Lichtgeschwindigkeit in Materie nimmt i.a. (Ausnahme: Fuchsin) mit sinkender Wellenlänge (rot gelb blau violett) stetig ab. Daraus ergibt sich nach der Definition des Brechungsindex (Gleichung (2)) für kleiner werdende Wellenlänge ein zunehmender Brechungsindex n und damit eine stärkere Brechung. (Beachte: Die Lichtgeschwindigkeit hat im Vakuum ihren größten Wert und ist dort auch unabhängig von der Wellenlänge des Lichts, in jeglicher Materie ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts geringer, d.h. alle Materialien haben einen Brechungsindex n > 1.) Merke: Blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes. 10 Der Brechungsindex von Gläsern wird im allgemeinen für die Lichtwellenlänge der gelben Natrium-D- Linien angegeben. Diese Zusammenhänge erklären, daß nach Abb. 7 der Brennpunkt für den blauen Anteil eines durch die Linse fallenden weißen Lichtbündels näher an der Linse liegt als der Brennpunkt für den roten Anteil. Die Brennweitenunterschiede einer Linse im sichtbaren Spektralbereich betragen je nach Glassorte um 2 bis 4 %. Weiß Rot Fokus für Blau Fokus für Rot Blau Schirmbild: gelblicher Kern, purpurfarbener, nach außen blau werdender Hof Schirm Abb. 7: Chromatische Aberration und Fehlerfigur auf dem Schirm. Liegt der Schirm, auf den der Brennfleck weißen Lichts abgebildet wird, wie in Abb. 7 eingezeichnet, so entsteht ein im Zentrum heller Punkt, umgeben von einem Hof. Der helle, gelbliche Punkt besteht aus den Farbanteilen rot, orange, gelb und grün. Der Hof ist wegen der blauen Randstrahlen purpur (Mischung aus blau und rot). Wird der Schirm in Richtung zur Linse verschoben, so wird der Mittelpunkt blau; wird er weiter von der Linse entfernt, so wird er rot. In der folgenden Abb. 8 ist angenommen, daß ein links von der Linse befindliches Objekt rechts von ihr vergrößert dargestellt wird. Das Bild für Rot fällt größer aus als das für Blau, das Bild hat einen roten Rand. Die Größendifferenz wird Farbvergrößerungsfehler genannt. 10 Als Eselsbrücke kann hierbei der Zustand der Trunkenheit dienen: Blau bricht stärker. 70

11 Rot Rot Weiß Blau Blau Abb. 8: Farbvergrößerungsfehler: Infolge der chromatischen Aberration hat das Bild einen roten Rand Überraschenderweise stellte man am Ende des vorigen Jahrhunderts fest, daß auch das menschliche Auge einen erheblichen chromatischen Abbildungsfehler von etwa 2 Dioptrien aufweist. Da eine optische Korrektur nicht vorliegt, wird beim Auge der Fehler durch ein kompliziertes physiologisches Korrektursystem ausgeglichen. 6. Brennweitenbestimmung einer Linse nach der Besselschen Methode Zur Brennweitenbestimmung von Linsen kann insbesondere auch für dicke Linsen und Linsensysteme das sog. Besselsche Verfahren angewendet werden (Abb. 9). Dieses Verfahren zeichnet sich dadurch aus, daß die Lage der Hauptebenen der Linse oder des Linsensystems zur Brennweitenbestimmung nicht bekannt sein muß. Zur Durchführung dieses Verfahrens wählt man eine Entfernung e zwischen Bild- und Gegenstandsebene, von der man annehmen kann, daß sie größer als die vierfache Brennweite f der zu vermessenden Linse ist. Aus der Vertauschbarkeit von Gegenstandsweite g und Bildweite b in der Linsengleichung (4) folgt dann, daß man bei zwei Linsenstellungen ein scharfes Bild erhält. Linsenstellung 1 Linsenstellung 2 Schirm (B) e a G g g d b d b Abb. 9: Schematischer Versuchsaufbau zur Brennweitenbestimmung nach der Besselschen Methode Man kann in der Linsengleichung (4) für ein bestimmtes f bei festgehaltener Bildebene B die Gegenstandsweite g und die Bildweite b vertauschen. Man erhält folglich 71

12 auf dem Schirm einmal ein vergrößertes und in der zweiten Stellung ein verkleinertes Bild. Die beiden Linsenstellungen sind in Bezug auf G und B symmetrisch. Der Abstand der beiden Einstellungen sei a, die Entfernung BG = e, der Abstand der Hauptebenen d. Da e d, kann man d gegenüber e vernachlässigen und erhält 11 : f = e2 a 2 4 e Gemessen werden müssen also lediglich die Abstände a und e. (7) E) Versuchsdurchführung und -auswertung 1. Messung der Brennweite einer Linse unter Anwendung des Besselschen Verfahrens Dazu wird der folgende Versuchsaufbau verwendet (Abb. 10): e LQ Objektiv G L Schirm Abb. 10: Bessel Verfahren zur Brennweitenbestimmung Achtung: Berühren Sie die Linsen des Photoobjektivs nicht mit den Fingern! 1.1 Bestimmung von e: Die Wendel der Halogenglühlampe wird mit Hilfe eines Photoobjektivs in die Ebene G herausprojiziert. Dieses Bild der Wendel dient bei der Durchführung des Bessel Verfahrens als Gegenstand G. Man muß also zunächst die Lage dieses Bildes G auf der Skala der optischen Bank genau bestimmen. Dazu verschiebt man den Schirm auf der optischen Bank, bis die Wendel scharf abgebildet erscheint. Danach stellt man den Schirm nach Abb. 9 in einer Entfernung von G auf, die größer ist als die 4fache Brennweite der zu vermessenden Linse. Messen Sie den Abstand e des Gegenstandsorts vom Schirm. Dieser Wert ändert sich bei der nachfolgenden Brennweitenbestimmung nicht mehr. 1.2 Bestimmung von f: Führen Sie das im Kapitel D) 6. beschriebene Bessel Verfahren durch. Um zu genaueren Werten der Brennweiten zu kommen, ist die Messung der Größe a 4mal durchzuführen, indem Sie immer wieder die beiden Orte 11 Aus Abb. 9 erkennt man, daß b + g = e d (I) ist. Da b = g und b b = a ist, gilt b g = a (II). Durch Addition bzw. Subtraktion der Beziehungen (I) und (II) erhält man die Bildweite 2b = a+e d bzw. die Gegenstandsweite 2g = e d a, welche man in die Linsengleichung 1/f = (g + b)/(g b) einsetzt und erhält 1/f = 1 2 (e d a)+ 1 2 (a+e d) (e d) 1 1, also f = 2 a 2 4 (a+(e d)) ((e d) a) = (e d) 4 ((e d)2 a 2 ) 4(e d). 72

13 der Linse suchen, bei denen ein vergrößertes bzw. verkleinertes Bild des Gegenstands auf dem Schirm zu beobachten ist. Notieren Sie sich in einer Tabelle diese beiden Orte für jede der 4 Messungen. Bei der Auswertung bestimmen Sie aus jedem dieser Wertepaare die Größe a und berechnen dann den Mittelwert a aus diesen 4 Werten. Diesen setzen Sie in Glg. (7) ein, um die Brennweite zu berechnen. Aus der Brennweite f berechnen Sie dann die Brechkraft der Linse. 2. Messung des Farbfehlers Zur Messung des Farbfehlers wird derselbe Versuchsaufbau wie unter 1. verwendet. Für jede Farbe ist e erneut zu messen. Wie in 1. ist a 4mal zu bestimmen und daraus der Mittelwert a zu berechnen. 2.1 Bestimmung von f Blau : Das in diesem Versuch verwendete Filter für blaues Licht ist für Wellenlängen durchlässig, die kleiner als 400 nm sind. Schrauben Sie das blaue Filter auf das Objektiv, und bestimmen Sie nun die Brennweite der Linse für blaues Licht mit Hilfe des unter 1. beschriebenen Verfahrens. Berechnen Sie daraus die Brechkraft für blaues Licht. 2.2 Bestimmung von f Rot : Ersetzen Sie das blaue durch das rote Filter, welches für Lichtwellenlängen größer als 750 nm durchlässig ist, und bestimmen Sie so die Brennweite der Linse für rotes Licht. Berechnen Sie daraus die Brechkraft für rotes Licht. 2.3 Vergleich rotes, blaues und weißes Licht: Berechnen Sie die Brennweiten und Brechkraftunterschiede, und formulieren Sie einen Ergebnissatz. 3. Messung des axialen Astigmatismus Zur Messung des axialen Astigmatismus ersetzt man die unter 1. verwendete Linse L durch eine Kombination aus einer astigmatischen Linse (Brillenglas) mit einer in ihrer Stärke und Richtung veränderlichen Zylinderlinse (Astikorrekt). Man stellt zunächst die Stärke des Astikorrekt auf den Wert 0 ein und beobachtet durch Verschieben der Linse die beiden astigmatischen Bilder der Glühwendel auf dem Schirm. Die Korrektur des Astigmatismus kann man auf zwei Arten durchführen: Ausprobieren: Man wählt den Abstand zwischen G und der astigmatischen Linse derart, daß auf dem Schirm ein vergrößertes Bild entsteht. Dann verändert man Brechkraft und Richtung der variablen Zylinderlinse (möglicher Einstellbereich 0 bis 4 Dioptrien) unter gleichzeitigem geringem Verschieben der Linsenkombination, bis man eine scharfe Abbildung der Glühwendel beobachtet. Das Verschieben der Linsenkombination ist deshalb notwendig, weil es sich bei der veränderlichen Zylinderlinse nicht um eine reine Zylinderlinse handelt. Vielmehr erhält man bei Einstellung einer bestimmten Zylinderstärke immer zusätzlich noch einen sphärischen Brechkraftanteil der halben eingestellten Zylinderstärke. Beispielsweise bei Einstellung auf 2 Zyl. hat man gleichzeitig einen sphärischen Brechkraftanteil von +1 Dioptrie. 73

14 Systematisch: Wählen Sie den Abstand zwischen G und der astigmatischen Linse möglichst groß, damit nur Strahlen, die nahezu parallel zur optischen Achse verlaufen, die Linsenkombination treffen. Jetzt kann man zigarrenförmige, verzerrte Bilder ähnlich den Brenn-Zigarren in Abb. 6 beobachten. Da die Brechkraftangabe der Korrekturzylinderlinse negativ ist, haben wir eine Zerstreungslinse zur Korrektur, weshalb wir die Linse so aufstellen, daß sich der Schirm am Ort der linsennahen Bildebene (vgl. Abb. 6) befindet. Nun verdrehen wir die Korrekturlinse, bis die weiße Markierung auf der Korrekturlinse entlang des zigarrenförmigen Bildes zeigt. Durch Variation der Linsenstärke machen wir nun aus der Zigarre einen schönen runden Kreis. Nach der Korrektur den Schirm verschieben, bis das Bild der Glühwendel scharf ist. Achtung: Beim Einstellen der Richtung der veränderlichen Zylinderlinse keine Gewalt anwenden! Evtl. Assistenten fragen. 3.1 Messung: Führen Sie die Korrektur des Astigmatismus durch, und notieren Sie sich von der Korrekturlinse die Richtung des Zylinders und die Brechkraftangaben (D zyl K und D sph K ). 4. Messung des Öffnungsfehlers Zur Messung des Öffnungsfehlers wird ein Laserstrahl mit Hilfe eines Strahlteilers, der aus zwei Spiegeln besteht, in die zwei Strahlen 0 und 1 aufgeteilt. Der Strahlteiler ist in der Abb. 11 dargestellt. Sp2 1 Laser Sp1 Abb. 11: Strahlteiler 0 Der Spiegel 1 ist halbdurchlässig. Der am Spiegel 1 reflektierte Anteil des Lichts fällt auf den Spiegel 2 und wird dort vollständig reflektiert. Der Abstand von Spiegel 1 und 2 ist beliebig einstellbar. Wenn der obere Spiegel richtig justiert ist, kommen aus dem Strahlteiler zwei in ihrem Abstand veränderliche parallele Lichtstrahlen. Zur Messung des Öffnungsfehlers wird nun der folgende Versuchsaufbau verwendet: 74

15 l 1 ( f 1 ) l 2 ( f 2 ) Laser x 2 x 1 Strahlteiler Linse: plan-konvex konvex-plan Abb. 12: Versuchsaufbau zur Messung des Öffnungsfehlers Stellen Sie zuerst nur den Laser und den Schirm auf die optische Bank. Justieren Sie den Laser so, daß der Laserpunkt nicht wandert, wenn der Schirm bewegt wird. Dadurch wird erreicht, daß der Laserstrahl parallel zur optischen Bank verläuft. Danach Strahlteiler zwischen Laser und Schirm stellen. Der Teilstrahl, der durch den halbdurchlässigen Spiegel hindurchgeht, muß wieder auf den gleichen Punkt treffen wie vorhin. Der reflektierte Strahl 1 und der durchgehende Strahl 0 (siehe Abb. 11) sollen parallel zueinander und senkrecht übereinander verlaufen. Dann müssen ihre Auftreffpunkte auf dem Leuchtschirm also den gleichen Abstand wie die beiden Spiegel haben und senkrecht übereinander liegen. Dies ist mit den beiden Schrauben am oberen Spiegel einzustellen. Wird der Schirm bewegt, muß der Abstand der Lichtpunkte auf dem Schirm konstant bleiben. 4.1 Messung 1 (plan-konvex): Die plankonvexe Linse, deren Öffnungsfehler gemessen werden soll, wird zunächst in derjenigen Orientierung vermessen, bei der das Laserlicht zuerst auf die ebene (plane) Fläche trifft. Die Linse wird zwischen Strahlteiler und Schirm in den Strahlengang gestellt. Für diese erste Messung muß sie so orientiert sein, daß die plane Seite der Linse zum Strahlteiler zeigt. Die Linse wird so justiert, daß der untere Strahl 0 (siehe Abb. 12), welcher durch den halbdurchlässigen Spiegel tritt, genau auf die Linsenmitte trifft, deshalb ungebrochen durchtritt und auf dem Schirm die optische Achse markiert. Der Laserpunkt vom Zentralstrahl darf seine Position beim Einbringen der Linse also nicht verändern. Stellt man nun am Strahlteiler den Abstand x zwischen den beiden Spiegeln ein, so daß also der obere Strahl die Linse im Abstand x von deren Mitte trifft, dann ergibt sich in einem Abstand l von der Linse ein Kreuzungspunkt dieses Strahls mit dem unteren, die optische Achse markierenden Strahl. l ist ein Maß für die Brennweite derjenigen Linsenzone, die den Abstand x von der optischen Achse (und somit der Linsenmitte) hat. Vorsicht: Da die Lage der Hauptebene bzw. der Hauptebenen nicht bekannt ist, ist auch die Brennweite f, welche ja als Abstand zwischen Brennpunkt und der entsprechenden Hauptebene definiert ist, nicht bekannt! l ist nicht unbedingt gleich f. l gibt lediglich die Änderung der Brennweite wieder. 75

16 Tragen Sie in eine Tabelle die fu r die Wanderung des Brennpunkts charakteristische La nge l in Abha ngigkeit vom Abstand x ein. Fu hren Sie 10 Messungen durch, wobei x zwischen 1 cm und 4 cm variiert werden sollte. Stellen Sie bei der Auswertung das Ergebnis in einem Diagramm, l in Abha ngigkeit von x, dar. 4.2 Messung 2 (konvex-plan): Nun soll die Linse in der umgekehrten Orientierung (konvex-plan) vermessen werden. Drehen Sie die Linse um, so daß der Laserstrahl auf die gekru mmte Fla che fa llt und aus der planen Fla che austritt. Fu hren Sie die Messung wie in 4.1 durch. Tragen Sie bei der Auswertung die graphische Darstellung in das Diagramm ein, das Sie in 4.1 fu r die plan-konvex-orientierung der Linse erstellt haben. Gibt es einen Unterschied des O ffnungsfehlers zwischen der plan-konvex- und der konvex-plan-orientierung der Linse im Strahlengang? Formulieren Sie einen Ergebnissatz. Abb. 13: Versuch zur Messung des O ffnungsfehlers. Die Abbildung demonstriert die nach außen zunehmende Brechkraft der Linsenzonen. Die Aufnahme wurde durch eine 4fache Belichtung erhalten. Die Strahlverla ufe wurden durch Streuung des Lichts an Rauchpartikeln sichtbar gemacht. 76

17 F) Fragen 21.1 Skizzieren Sie den Lichtweg durch eine Konvex- und Konkavlinse unter Berücksichtigung der Brechung an den Grenzflächen Luft Glas Konstruieren Sie das virtuelle Bild, das durch eine Zerstreuungslinse entworfen wird, wenn der Gegenstand zwischen einfacher und doppelter Brennweite liegt Zeichnen Sie den Strahlenverlauf bei einer Lupe Konstruieren Sie den Strahlengang im astronomischen (Keplerschen) und holländischen (Galileischen) Fernrohr Erklären Sie den Unterschied zwischen reellem und virtuellem Bild Eine Lupe wird üblicherweise so benutzt, daß das (gesunde) Auge völlig entspannt ist. Wie groß ist in diesem Fall die Vergrößerung, und welcher Wert würde sich für den Abbildungsmaßstab ergeben? 21.7 Wie funktioniert das menschliche Auge? 21.8 Will man nachts einen lichtschwachen Stern sehen, ist es von Vorteil, wenn man ihn nicht direkt fixiert, sondern ein wenig an ihm vorbei schaut. Weshalb? 21.9 Der Maler El Greco malte unnatürlich lange Menschen und Gesichter. Kann es sein, daß seine Augen hochgradig astigmatisch waren? Ein Verkäufer preist einen Laser an, der weißes Licht aussendet. Was entgegnen Sie ihm? Zeichnen Sie analog zu Versuchsteil 4 (Messung des Öffnungsfehlers) groß den Strahlengang von je zwei, nicht weit voneinander entfernten, achsenfernen, achsenparallelen Strahlen durch eine plankonvexe oder eine konvexplane Linse ein. Zeichnen Sie hierzu nur den oberen Teil der entsprechenden Linse bis zur optischen Achse inklusive der Brennpunkte. Berücksichtigen Sie hierbei die Brechung beim Einfallen in die Linse, wie auch beim Austritt aus der Linse (vgl. Abb.1). Zeichnen Sie alle nötigen Winkel, sowie die Tangenten und die Einfallslote an den Grenzflächen ein. Die Eintrittswinkel sind hierbei ab zumessen, der Austrittswinkel daraus zu berechnen und entsprechend einzuzeichnen. Für die Luft, welche die Linse umgibt ist ein Brechungsindex von 1 anzunehmen. Für das Glas der Linse einer von 1, Wieso sehen Sie auf dem Schirm zwei Glühwendeln? Die kleine Viktoria sitzt mit ihren Eltern am Mittagstisch und löffelt ihre Suppe aus. Da fragt sie auf einmal ihre Eltern: Warum stehe ich auf dem Kopf, wenn ich in den Löffel schaue?. Die Eltern sind überfragt. Erklären Sie nun dieses Phänomen in Worten und mit einer Skizze Warum kann man unter Wasser nur verschwommen sehen? Was bewirkt eine Taucherbrille? 77

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