Kurs 9.3: Forschungsmethoden II
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- Thomas Fromm
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1 Mc Banking & Finance Kurs 9.3: Forschungsmehoden II Zeireihenanalyse Lernsequenz 06: Zeireihen mi sochasischer Volailiä November 04 Prof. Dr. Jürg chwarz Folie Inhal Ziele 5 Einführung 7 chäzung von ARCH(p)-Modellen 3 GARCH(p,q)-Modell 3
2 Folie 3 Inhalsverzeichnis Ziele 5 Ziele der Lernsequenz Einführung 7 Einfaches Modell für Akienrendien... 7 Rendie einer Akie... 7 eige versus diskree Rendien... 8 ochasisches Modell für die seige Rendie... 9 ylized Facs von Finanzzeireihen... 0 ylized Facs von Finanzzeireihen Drei wichige Verreer... Konsequenzen auf die Modellwahl... 4 Bedinge und unbedinge Varianz... 5 Beispiel bedinge und unbedinge Varianz... 6 Modellierung nichkonsaner Varianz... 7 Zusammenfassung... Eigenschafen von ARCH(p)-Modellen... Mean-Revering-Verhalen... Folie 4 chäzung von ARCH(p)-Modellen 3 Allgemeines Vorgehen... 3 Beispiel mi simulieren Daen... 4 GARCH(p,q)-Modell 3 Eigenschafen von GARCH(p,q)-Modellen Beispiel für ein GARCH(,)-Modell Daen und ummary aisics Residuenanalyse des Modells chäzungen und Tess Noizen:... 38
3 Ziele Folie 5 Ziele der Lernsequenz 06 Zeireihen mi sochasischer Volailiä (4 Lekionen mi EViews-Anwendung) ie kennen Eigenschafen der diskreen und seigen Rendie. ie kennen drei Beispiel von ylized Facs. ie kennen die Grundlagen für das ARCH(p)-Modell. ie können ein ARCH(p)-Modell mi EViews schäzen. ie kennen die Erweierung zum GARCH(p,q)-Modell Es fäll ein Kurs nach nirgendwo (NZZ,.. 008) Folie 6 Die Dynamik des Abschwungs der Leiindizes erinner an die grosse Depression Inzwischen ha sich der Dow Jones Indusrial so wei von seinem gleienden Ein-Jahres-Durchschni enfern, wie es sei der Lancierung des Indexes anno 896 nur in den Jahren 93 und 93 vorgekommen is. Dami ha die Dynamik des Abschwungs aus markechnischer ich das Niveau der grossen Depression erreich. Auch andere Zahlen geben Anlass für pures Grauen. Als Grea Depression ("Grosse Depression") wird die schwere Wirschafskrise in den UA bezeichne, die am 9. Okober 99 mi dem "chwarzen Donnersag" begann (wegen der Zeiverschiebung in Europa am "chwarzen Freiag") und die 930er Jahre dominiere. Die Grosse Depression war Teil bzw. Ursprung der Welwirschafskrise, im Englischen wird der Begriff auch synonym dafür gebrauch. (Adapier nach de.wikipedia.org, November 04)
4 Einführung Folie 7 Einfaches Modell für Akienrendien Rendie einer Akie Diskree Rendie einer Akie ("Reurn") r = = Akueller Akienkurs Für die saisische Analyse wird vorausgesez r ~ N(µ,σ). Das führ zu zwei Problemen:. Eine normalvereile Zufallsvariable nimm Were zwischen - und + an, r is aber nach unen limiier: - r < + (unere Grenze - falls = 0 und - 0).. Mehrperioden-Rendien sind nich normalvereil, auch wenn Einperioden-Rendien normalvereil sind (folg aus der Wahrscheinlichkeisrechnung). Die Probleme können annähernd gelös werden, wenn seige Rendien berache werden. eige Rendien können eher als normalvereil angesehen werden. eige versus diskree Rendien Folie 8 eige Rendie einer Akie ("Log reurn") r = ln = ln ln Akueller Akienkurs y-achse: diskre diskre seig x-achse: diskre Für kleine Kursänderungen sind die Unerschiede zwischen diskreer und seiger Rendie klein. Lieg die diskree Rendie im Inervall [ 0.0;+0.0] führ das zu einer relaiven Abweichung zwischen seiger und diskreer Rendie von maximal ca. ± 5%. Quelle: Dorfleiner (00, 003)
5 ochasisches Modell für die seige Rendie Voraussezung (Effizienzmarkhypohese, Nobelpreis 03 für Eugene Fama) Akienkurs folg einem Random Walk oder einem Random Walk mi Drif Folie 9 Folgen für die Modellierung der seigen Rendie => eige Rendien sind eine Konsane µ mi Fehlererm => Fehlererm is weisses Rauschen Modell für seige Rendie einer Akie = =µ+ µ= ( ) *!+ =σ!"#$% &' = Weisses Rauschen 4. März 003 bis 9. Okober 006 ylized Facs von Finanzzeireihen Folie 0 eige Rendie der UB-Akie zu verschiedenen Zeiinervallen März 003 bis 9. Okober März 003 bis 5. Okober 00 Die Volailiä (= Varianz) is nich konsan. Die Rendie kann nich mi weissem Rauschen beschrieben werden. Rendien können nich als saisisch unabhängig berache werden (höchsens als unkorrelier). Welcher Modellyp eigne sich?
6 ylized Facs von Finanzzeireihen Drei wichige Verreer. Volailiäs-Cluser (Volailiä = Varianz) Folie Volailiä is chwankungen unerworfen. Es gib zeiliche Häufungen von sarken Kursausschlägen. UB-Akie März 003 bis 5. Okober 00 Folie. Leverage-Effek Negaiver Zusammenhang zwischen Rendie und Veränderung der Volailiä (Black 976). Begründung: Fallende Akienkurse führen zu einem höheren Verschuldungsgrad bei Firmen (AE: Leverage), was zu erhöher Unsicherhei führ und dami zu höherer Volailiä. Reale Zeireihen zeigen asymmerische Reakion => Negaive Nachrichen beeinflussen die Volailiä särker als posiive.
7 Folie 3 3. Lepokurosis chmale Wölbung und breie Flanken ("Fa Tails") Kleine und grosse Rendien sind überrepräsenier. UB-Akie ( ) Weisses Rauschen ( ) Häufigkei Kurosis 3.7, Min -0.7, Max 0. Häufigkei Kurosis , Min -3.3, Max 3.4 UB: Häufung von kleinen Rendien um Null (Kurosis 3.7 vs bei Rauschen) UB: Mehr exreme Ausschläge (Min -0.7, Max 0. vs. 3.3, 3.4 bei Rauschen) Konsequenzen auf die Modellwahl Folie 4 Modell muss sochasische Volailiä (= Varianz) abbilden können. => Modell mi separaem sochasischem Prozess für die Varianz ARCH-Modell (Engle 98) für zeidiskree Zeireihen (Preisgekrön 003*) (ARCH = Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) In der Zwischenzei wurden viele Erweierungen enwickel GARCH: Generalized ARCH (Bollerslev 986): Erweierung auf ARCH( )-Prozess EGARCH: Exponenial GARCH (Nelson 99) für Leverage Effek TGARCH: Threshold GARCH (Glosen e al. 993 / Zakoian 994): Asymmerischer Effek usw. ("Buchsabensuppe") *Preis für Wirschafswissenschafen der schwedischen Reichsbank in Gedenken an Alfred Nobel
8 Bedinge und unbedinge Varianz ARCH-Modelle unerscheiden explizi bedinge und unbedinge Varianz. Folie 5 Beispiel AR()-Prozess Y = α+ϕy + i.i.d. mie = 0undVar = σ Unbedinge Varianz Varianz des Prozesses "auf lange ich" Enhäl die gesame Informaion Var Y σ ϕ = Bedinge Varianz Varianz bei dem zum Zeipunk gegebenem Informaionssand, wenn Y,Y -...Y realisier. Var Y p = Var =σ p = Gemeinsame Vereilung der Y, Y -...Y Beim AR()-Prozess is die bedinge Varianz von der örung zum Zeipunk abhängig. Allgemein is die bedinge Varianz eine Zufallsgrösse. Bei ARCH-Modellen wird die bedinge Varianz in Abhängigkei der Zei modellier Beispiel bedinge und unbedinge Varianz Folie 6 imulierer AR()-Prozess Y = Y - + Fehlererm weisses Rauschen (Excel) i.i.d. mie = 0undVar =σ = 3 = 0.33 Unbedinger Erwarungswer α 0.3 Eu Y = = = 0.75 ϕ Unbedinge Varianz σ 0.33 Var Y = = ϕ 0.6 u = Y 0.5 Var 5-7 Var 8-0 Var u Zwei Beispiele bedinger Varianz Var5-7 Y = 0.7 Var8-0 Y = Zei AR()-Prozess ohne weisses Rauschen
9 Modellierung nichkonsaner Varianz Folie 7 Bisherige Modelle In den bisherigen Modellen wurden die Fehlererme als unveränderlich angenommen. AR(p)-Prozess Y = α+ϕy +ϕy ϕpy p + MA(q)-Prozess Y = α+ +θ +θ θ q q Die Fehlererme sind weisses Rauschen i.i.d. mie = 0undVar =σ Folie 8 Modelle für variable Fehlererme Neu werden die Fehlererme modellier. Nuller chri: Einfaches Modell für seige Rendie ln = r =µ+ weisses Rauschen ~ N(0,σ ) mi E Var = 0 =σ Erser chri: Einführen von σ in die Gleichung nur Umformung =σ u mi u ~N(0,) E =E σ u =σ E u =σ 0=0 Var =Var σ u =σ Var u =σ =σ
10 Folie 9 Zweier chri: Modellierung von σ in Abhängigkei der Zei σ p, =α0 + αi i miαi > i= 0 fürallei Die Varianz is eine Funkion der zeiverzögeren, quadrieren Fehlererme. Quadraur <=> σ immer posiiv: Mahemaische Begründung <=> keine negaive Varianz Fessellungen Die Varianz is eine bedinge Varianz <=> sie is beding durch die Informaionsmenge zum Zeipunk Die Varianz is eine Funkion der zeiverzögeren, quadrieren Fehlererme <=> OK gemäss ylized Facs: Varianz is abhängig von der Vergangenhei der Fehlererme => Cluserbildung möglich => Leverage-Effek möglich Drier chri Die Gleichung für den Fehlererm schein ein MA(q)-Prozess zu sein. Folie 0 σ p, =α0 + αi i miαi > i= 0 fürallei Warum heiss das Modell von Engle ARCH = Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy? Engle (004) dache an MACH (Moving Average Condiional Heeroscedasiciy). Begründung: Die bedinge Varianz σ is nich beobachbar => Umformen nach Dazu Definiion von v als allgemeiner Fehlererm und Umformung = σ = = = =α 0 + p i= α i i + v Auoregressiver Prozess der zeiverzögeren, quadrieren Fehlererme = ARCH Für die Besimmung der Eigenschafen dien das Insrumenarium für AR(p)-Prozesse Auokorrelaion und parielle Auokorrelaion (Korrelogramm) => Besimmung von p Maximum-likelihood-chäzung der Parameer
11 Zusammenfassung Folie Einfaches, sochasisches Modell für die seige Rendie = =µ+ = =σ ln r mi i.i.d. mi E 0 und Var Beobachung ("ylized Facs"). Volailiäs-Cluser. Leverage-Effek 3. Lepokurosis chmale Wölbung und breie Flanken ("Fa Tails") Erweierung des einfachen Modells ln = r =µ+ mi ARCH(p)-Prozess für den Fehlererm =α 0 + p i= α i i + v Eigenschafen von ARCH(p)-Modellen aionariä: Ein ARCH(p)-Prozess is genau dann saionär, wenn gil Folie p α i < i= Dann exisier die saionäre (unbedinge) Varianz σ α = 0 p i= α Mean-Revering-Verhalen Beispiel ARCH()-Modell σ =α +α 0 i ( ) σ =σ +α σ ichwor: Mean-Revering-Verhalen Die bedinge Varianz schwank um die unbedinge Varianz in Abhängigkei davon, ob die gewichee Differenz posiiv oder negaiv is. Were der Zeireihe werden nach Ausschlägen zum Mielwer zurückgezogen. Die bedinge Varianz σ is die unbedinge Varianz σ plus die mi α gewicheen Differenz zwischen quadrierem Fehlererm und unbedinger Varianz. Nach einer kleinen (grossen) Kursänderung wird eine kleine (hohe) Volailiä erware. Es enseh dami eine "Klumpung" der Volailiä (Volailiy Clusering).
12 chäzung von ARCH(p)-Modellen Folie 3 Allgemeines Vorgehen A. chäzen eines (ARMA-)Modells (hier: für die seige Rendie nur einfaches Modell) Definiion und chäzung gemäss Box-Jenkins in L 04 B. Quadriere Residuen des Modells werden bezüglich ARCH-Effeke unersuch. Das ARCH-Modell basier auf den quadrieren Residuen. C. pezifikaion der ARCH-Ordnung und chäzung des ARCH-Modells.. pezifikaion mi Korrelogramm und Ljung-Box Q-aisik ("Q-a" und "Prob"). chäzung mi EViews: ARCH Lagrange Muliplikaor Tes (Engle 98) D. Überprüfung des ARCH-Modells und evenuell Anpassungen. Residuenanalyse. Tes der Residuen des geschäzen (ARMA-)Modells (hier: für die seige Rendie). Tes der quadrieren Residuen v des des geschäzen ARCH-Modells Beispiel mi simulieren Daen Daen: eige Rendie ("Log reurn") der Akie "Mc" von bis Folie ep Oc Nov Dec Jan Feb ei einfaches Modell für seige Rendie gülig: ln = r =µ+
13 A. chäzen des einfachen Modells für die seige Rendie Folie 5 Menu QuickEsimae Equaion` Achung: Die chäzung is verzerr, weil die Residuen heeroskedasisch sind. Die chäzung dien dazu, um das Korrelogramm auf die Residuen anzuwenden. Folie 6 B. Korrelogramm der quadrieren Residuen An Hand des Korrelogramms der quadrieren Residuen werden AR(p)-Eigenschafen geese: Besimmung von p Durchführung mi EViews nach der Berechnung eines einfachen Modells für die seige Rendie
14 Variane C Korrelogramm der quadrieren Residuen Folie 7 ACF: Abklingende, sinusodiale Vereilung der Koeffizienen => AR(p)-Prozess PACF: Nach Lag k = keine signifikanen Koeffizienen => AR(p)-Prozess mi p = Die auokorrelieren Residuen folgen mi grosser Wahrscheinlichkei einem ARCH()-Prozess. Variane C ARCH LM Tes ARCH Lagrange Muliplikaor Tes (Engle 98) Hilfsregression der auokorrelieren, quadrieren Fehlererme Folie 8 ˆ =α 0 +αˆ α ˆ p p Nullhypohese H 0 : α =... = α q = 0 Durchführung mi EViews Menu QuickEsimae Equaion`
15 Variane C chäzung des ARCH(p)-Modells ARCH Lagrange Muliplikaor Tes Folie 9 Das EViews-Modell schäz den Prozess = = ln r 0 (da Prob. = > 0.050) mi ARCH()-Prozess für den Fehlererm = imulaion der Daen in msc.wf mi = = ln r 0 mi ARCH()-Prozess für den Fehlererm = Folie 30 D. Überprüfung des Modells: Korrelogramme der Residuen. Tes der Residuen des geschäzen (ARMA-)Modells (hier: für die seige Rendie) = =µ+ ln r mi Weisses Rauschen Frage: Folg r einem einfachen Modell r = µ + oder einem ARMA(p,q)-Modell? Wenn ein ARMA(p,q)-Modell vorlieg, folgen die nich Weissem Rauschen. Korrelogramm von ensprich Weissem Rauschen: eige Rendie r ha Modell r = µ +
16 Folie 3. Tes der quadrieren Residuen v des geschäzen ARCH-Modells =α 0 + p i= α i i + v Frage: Folg einem einfachen Modell = α 0 + α - + v oder einem AR(p)-Modell mi p >? Wenn ein AR(p)-Modell mi p > vorlieg, folgen die v nich Weissem Rauschen. Korrelogramm von v ensprich Weissem Rauschen: Fehlererm folg dem Modell = α 0 + α - + v GARCH(p,q)-Modell Folie 3 Ein GARCH-Prozess is ein ARCH(p)-Prozess mi einem zusäzlichen MA(q)-Term Gegeben Fehlererm =σ u mi u ~N(0,) Modellierung von σ in Abhängigkei der Zei ARCH(p) (iehe "Zweier chri" auf Folie 9) p, =α0 + αi i i= σ GARCH(p,q) σ p q, =α0 + αi i+ βj σ, j i= j= α i miss den Einfluss vergangener, "neuer" chocks auf die Volailiä β j miss die langfrisige Wirkung vergangener bedinger Varianzen auf die Volailiä GARCH is eine Verallgemeinerung des ARCH-Prozesses ("G" seh für Generalized).
17 Eigenschafen von GARCH(p,q)-Modellen Minigeschiche Für Finanzdaen mi ARCH(p)-Modellen is p allgemein sehr gross. Das führ zu Problemen bei der chäzung: Hohe Komplexiä, Verlezung von Resrikionen Engle (98) schläg ARCH-Modell mi abnehmenden Gewichen vor. Bollerslev (986) schläg Verallgemeinerung vor: GARCH(p,q), mi Eigenschafen analog zu den ARMA-Modellen: - parsame Paramerisierung - Flexible Lag-rukur Folie 33 Ordnung p und q Unersuchungen zeigen, dass die Beschränkung auf p = und q = of ausreichend is. GARCH-Modelle mi p > oder q > sind selen. Quelle chröder (00) Beispiel für ein GARCH(,)-Modell Originalpaper von Tim Bollerslev (987) A CONDITIONALLY HETEROKEDATIC TIME ERIE MODEL FOR PECULATIVE PRICE AND RATE OF RETURN The Review of Economics and aisics, Vol. 69, No. 3 (Aug., 987), pp Folie 34 Kapiel "IV. Empirical Example and Concluding Remarks" auf eie 544 Zusammenfassung Daen: Akuelle Preise (po prices) des New York foreign exchange marke Zeireihe: po prices werden in Log reurns ransformier: y = log e ( / - ) Einfaches Modelle für die Log reurns: y = µ + ummary aisics: Tess auf serielle Korrelaion, Wer der Kurosis Modell für die sochasischer Volailiä: GARCH(p,q)-Modell chäzung: Maximum-likelihood-chäzung der Parameer
18 Daen und ummary aisics Wechselkurse von U..-Dollar zu Briischem Pfund Deuschmark Zeireihe. März 980 bis 8. Januar observaions excluding weekends and holidays Folie 35 Gemäss heoreischen Annahmen, sollen die Residuen des Modells y = µ + seriell unkorrelier sein. Ljung-Box-Tes bis zur Ordnung 0 für Residuen: Q(0) => keine signifikane Auokorrelaion <=> Were der Tessaisik sind ief Quadriere Residuen: Q (0) => signifikane Auokorrelaion <=> Were der Tessaisik sind hoch Die Vereilungen sind lepokuroisch <=> Kurosis κ is grösser als 3 Residuenanalyse des Modells Folie 36 GARCH(,)-Modell h - ensprich σ im krip Die Ordnungen p und q werden mi Box- Jenkins-Mehode für ARMA(p,q)-Modelle geschäz (EViews gib es ers sei 994!) Residuenanalyse des Modells Ljung-Box-Tes bis zur Ordnung 0 für Residuen: Q(0) => keine signifikane Auokorrelaion <=> Were der Tessaisik sind ief Quadriere Residuen: Q (0) => keine signifikane Auokorrelaion <=> Were der Tessaisik sind ief Die Vereilungen sind lepokuroisch <=> Kurosis κ is grösser als 3 => Das GARCH(,)-Modell is ok
19 chäzungen und Tess Folie 37 chäzungen des GARCH(,)-Modells für die Log reurns der Wechselkurse Were der Parameer µ, ω, α, und β (in Klammern: andardfehler) Wer der Freiheisgrade ν (dargesell als Kehrwer /ν) (in Klammern: andardfehler) Likelihood-Raio-Tessaiik für Kurosis (Nullhypohese H 0 : /ν = 0 (Freiheisgrade ν > ensprich Normalvereilung): LR /v=0 = 4.6 und LR /v=0 = 3.9 Modelle des Wechselkurses ha signifikan lepokuroische Vereilungen (Grenze bei.7) GARCH(,)-Modell als Ganzes (Nullhypohese H 0 : α = β = 0): LR α=β=0 = 65. und LR α=β=0 = 0.77 GARCH(,)-Modell als Ganzes signifikan "which is highly significan a any level in he corresponding asympoic χ disribuion" Noizen: Folie 38
Kurs 9.3: Forschungsmethoden II
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