ARCH- und GARCH-Modelle

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1 ARCH- und GARCH-Modelle Thomas Simon Analyse und Modellierung komplexer Systeme homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

2 Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

3 Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

4 Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

5 Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

6 Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

7 Probleme der richtigen Größen und Skalen Was wird modelliert? Z(t) Y (t + t) Y (t) Z D (t) [Y (t + t) Y (t)]d(t) Y (t + t) Y (t) R(t) = Z(t) Y (t) Y (t) S(t) log(y (t + t)) log(y (t)) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

8 Probleme der richtigen Größen und Skalen Zeitskala Zeitskala: Physikalische Zeit Handelszeit Durchführung von Transaktionen homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

9 Probleme der richtigen Größen und Skalen Zeitskala Zeitskala: Physikalische Zeit Handelszeit Durchführung von Transaktionen homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

10 Probleme der richtigen Größen und Skalen Zeitskala Zeitskala: Physikalische Zeit Handelszeit Durchführung von Transaktionen homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

11 Zeitskalen am Beispiel des S&P 500 index Im rechten Plot wurde Z mit α = 1.4 wie folgt skaliert: Z Z ( t) 1 α homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

12 Empirische Dichte für t = 1 min des S&P 500 index homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

13 Charakteristika von Finanzmarktdaten Eigenschaften der Daten Leptokurtische Verteilung Volatilitätsclustering Stochastische Trends vs. Stationarität Leverage-Effekt homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

14 Charakteristika von Finanzmarktdaten Eigenschaften der Daten Leptokurtische Verteilung Volatilitätsclustering Stochastische Trends vs. Stationarität Leverage-Effekt homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

15 Charakteristika von Finanzmarktdaten Eigenschaften der Daten Leptokurtische Verteilung Volatilitätsclustering Stochastische Trends vs. Stationarität Leverage-Effekt homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

16 Charakteristika von Finanzmarktdaten Eigenschaften der Daten Leptokurtische Verteilung Volatilitätsclustering Stochastische Trends vs. Stationarität Leverage-Effekt homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

17 ARCH(p)-Prozess Definition ARCH-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess (x t ) t N x t normalverteilt mit µ = 0 und Varianz σ 2 t σ 2 t = α 0 + α 1 x 2 t α px 2 t p. α 0, α 1,..., α p R +. Im Falle von p Parametern spricht man von einem ARCH(p)-Prozess. Der Preisprozess ist gegeben durch die kumulierten Zuwächse: S(t) = t x i. i=1 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

18 ARCH(1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : falls 1 α 1 0 und 0 α 1 < 1. Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : σ = α 0 1 α 1 (1) κ = 3 + 6α α 2 1 (2) falls 0 α 1 < 1 3 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

19 ARCH(1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : falls 1 α 1 0 und 0 α 1 < 1. Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : σ = α 0 1 α 1 (1) κ = 3 + 6α α 2 1 (2) falls 0 α 1 < 1 3 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

20 ARCH(1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : falls 1 α 1 0 und 0 α 1 < 1. Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : σ = α 0 1 α 1 (1) κ = 3 + 6α α 2 1 (2) falls 0 α 1 < 1 3 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

21 ARCH(1)-Prozess Simulation in R arch <- function(a,n,s=1){ c=mat.or.vec(n,1) c[1]=(rnorm(1,0,s)) 2 for(i in 1:(n-1)){ s=sqrt(a[1]+a[2]*(c[i] 2 )) c[i+1]=rnorm(1,0,s) } return(c) } k=arch(a,100000) S=cumsum(k) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

22 Simulation von S t homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

23 Simulation der Zunahmen x t homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

24 Simulation der zugehörigen Dichte(α 0 = 1, α 1 = 0) Moment Theoretisch Empirisch Varianz 1 1 Kurtosis homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

25 Simulation der zugehörigen Dichte(α 0 = 0.5, α 1 = 0.5) Moment Theoretisch Empirisch Varianz 1 1 Kurtosis homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

26 Simulation der zugehörigen Dichte(α 0 = 0.45, α 1 = 0.55) Moment Theoretisch Empirisch Varianz Kurtosis homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

27 Probleme des ARCH-Modells Gute Modellierung einer Zeitreihe benötigt zahlreiche Paramter Schätzprobleme Bedingt wird nur unter den einzelnen Zuwächsen Volatilitätsclustering wird unzureichend wiedergegeben Idee Verallgemeinerung des ARCH-Modells homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

28 Probleme des ARCH-Modells Gute Modellierung einer Zeitreihe benötigt zahlreiche Paramter Schätzprobleme Bedingt wird nur unter den einzelnen Zuwächsen Volatilitätsclustering wird unzureichend wiedergegeben Idee Verallgemeinerung des ARCH-Modells homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

29 GARCH(q,p)-Prozess Definition GARCH-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess (x t ) t N x t normalverteilt mit µ = 0 und Varianz σ 2 t σ 2 t = α 0 + α 1 x 2 t α px 2 t p + β 1 σ 2 t β qσ 2 t q α 0,..., α p, β 1,..., β q R +. Im Falle von p, bzw. q Parametern spricht man von einem GARCH(p,q)-Prozess. Der Preisprozess ist gegeben durch die kumulierten Zuwächse: S(t) = t x i. i=1 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

30 GARCH(1,1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : σ = Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : α 0 1 α 1 β 1 (3) 6α 2 1 κ = α1 2 2α 1β 1 β1 2 (4) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

31 GARCH(1,1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : σ = Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : α 0 1 α 1 β 1 (3) 6α 2 1 κ = α1 2 2α 1β 1 β1 2 (4) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

32 GARCH(1,1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : σ = Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : α 0 1 α 1 β 1 (3) 6α 2 1 κ = α1 2 2α 1β 1 β1 2 (4) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

33 GARCH(1,1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : σ = Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : α 0 1 α 1 β 1 (3) 6α 2 1 κ = α1 2 2α 1β 1 β1 2 (4) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

34 Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

35 Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

36 Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

37 Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

38 Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

39 Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Linkes Bild: Simulierter GARCH(1,1)-Prozess mit α 0 = , α 1 = und β 1 = 0.9. Rechtes Bild: Vergleich mit einer Normalverteilung und einem TLF. homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

40 Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Linkes Bild: Simulierter GARCH(1,1)-Prozess mit α 0 = , α 1 = und β 1 = 0.9. Rechtes Bild: Vergleich mit einer Normalverteilung und einem TLF. homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

41 Auswirkungen der Wahl des Zeitintervalls Kreise: S&P hochfrequente Daten. Quadrate: Simulation eines GARCH(1,1)Prozesses. homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

42 Autokovarianz des Prozesses Begriff der Autokovarianz cov(z t, z t+n ) = E{(z t E{z t }) (z t+n E{z t+n })} Autokovarianz von (x 2 t ) t N cov(x 2 t, x 2 t+n) =(α 1 + β 1 )cov(x 2 t, x 2 t+n 1) =(α 1 + β 1 ) n cov(xt 2, xt 2 ) ( ) n =exp ln(α 1 + β 1 ) 1 var(xt 2 ) ( =Aexp n ) τ Korrelation der Varianz Empirische Daten : polynomielle Korrelation GARCH - Modell : exponentielle Korrelation homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

43 Autokovarianz des Prozesses Begriff der Autokovarianz cov(z t, z t+n ) = E{(z t E{z t }) (z t+n E{z t+n })} Autokovarianz von (x 2 t ) t N cov(x 2 t, x 2 t+n) =(α 1 + β 1 )cov(x 2 t, x 2 t+n 1) =(α 1 + β 1 ) n cov(xt 2, xt 2 ) ( ) n =exp ln(α 1 + β 1 ) 1 var(xt 2 ) ( =Aexp n ) τ Korrelation der Varianz Empirische Daten : polynomielle Korrelation GARCH - Modell : exponentielle Korrelation homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

44 Autokovarianz des Prozesses Begriff der Autokovarianz cov(z t, z t+n ) = E{(z t E{z t }) (z t+n E{z t+n })} Autokovarianz von (x 2 t ) t N cov(x 2 t, x 2 t+n) =(α 1 + β 1 )cov(x 2 t, x 2 t+n 1) =(α 1 + β 1 ) n cov(xt 2, xt 2 ) ( ) n =exp ln(α 1 + β 1 ) 1 var(xt 2 ) ( =Aexp n ) τ Korrelation der Varianz Empirische Daten : polynomielle Korrelation GARCH - Modell : exponentielle Korrelation homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

45 Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

46 Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

47 Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

48 Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

49 Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

50 Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

51 Aggregation des Prozesses Veränderung der Parameter durch einfache temporale Aggregation α (m) 0 =α 0 1 B m 1 B α (m) 1 =B m β (m) wobei β (m) (0, 1) die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung ist. β (m) 1 + [β (m) ] 2 = β 1 B m α 2 1 [1 B2m 2 ]/[1 B 2 ] + β 2 1 B2m 2 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

52 Parameteränderung bei Aggregation Die Startpunkte sind (β 1 = 0.8), (α 1 = 0.05,.1,.19,.199 und.1999). Das Zeitfenster der Aggregation wird verdoppelt, bzw. halbiert. homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

53 Zusammenfassung GARCH-Prozess beschreibt sehr gut hochfrequente Finanzzeitreihen Zeitskalierung kann nicht abgebildet werden Anwendung: Vorhersage von Schwankungen >Risikoeinschätzung Wichtige Annahme: Asymptotische Stationarität Modellerweiterungen homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

54 Noch Fragen...? homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle / 27

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