Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),

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1 Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden, damit die Hühner möglichst viel Platz haben? Falls wir z.b. x = m wählen, so ist durch die Nebenbedingung x+ = 0 schon eindeutig festgelegt ( = 6 m) und damit auch der Flächeninhalt (A = m ). Jeder Seitenlänge x ist der Flächeninhalt A zugeordnet, die Funktion lautet: A(x) = x (0 x). Mit der Differentialrechnung ermitteln wir den Extremwert: x = 5 und den maximalen Flächeninhalt A = 50 (Zwischenergebnis: A (x) = 0 x). Zur Lösung von Extremwertaufgaben sind im allgemeinen folgende Schritte durchzuführen:. Skizze mit Bezeichnungen der Variablen anfertigen,. Zusammenhang zwischen der Größe, die extrem werden soll, und den Variablen aufstellen (Zielfunktion),. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),. die Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in die Zielfunktion einsetzen, so dass sie nur noch von einer Variablen abhängig ist, 5. den Extremwert der Zielfunktion mit der Differentialrechnung bestimmen.. Welche Maße besitzt ein Quader mit quadratischer Grundfläche und der Oberfläche m, wenn das Volumen maximal sein soll?. Ein Gewölbegang hat einen Querschnitt von der Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts ist durch U = 0 m fest vorgegeben. Wie muss das Gewölbe gestaltet werden, damit die Querschnittsfläche möglichst groß wird?. Von einer Kaffeesorte werden bei einem Preis von 0e für kg im Monat 0000 kg verkauft. Eine Marktforschung hat ergeben, dass eine Preissenkung von 0,0 e je kg jeweils zu einer Absatzsteigerung von 00 kg im Monat führen würde. Bei welchem Verkaufspreis wäre der Gewinn maximal, wenn für kg Kaffee der Selbstkostenpreis e beträgt? 5. Welche Form hat eine Konservendose von l Inhalt, deren Oberfläche minimal ist?

2 Extremwertaufgaben. Welche Maße besitzt ein Quader mit quadratischer Grundfläche und der Oberfläche m, wenn das Volumen maximal sein soll? V = a h (Zielfunktion) O = a +ah (Nebenbedingung) V(a) = 6a a ; a = h = (m) h a. Ein Gewölbegang hat einen Querschnitt von der Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts ist durch U = 0 m fest vorgegeben. Wie muss das Gewölbe gestaltet werden, damit die Querschnittsfläche möglichst groß wird? Q = ra+ πr (Zielfunktion) r +a+πr = 0 (Nebenbedingung) Q(r) = 0r (+ π)r r = 0 =,0 (m) +π a =,0 (m) } {{ } r a. Von einer Kaffeesorte werden bei einem Preis von 0e für kg im Monat 0000 kg verkauft. Eine Marktforschung hat ergeben, dass eine Preissenkung von 0,0 e je kg jeweils zu einer Absatzsteigerung von 00 kg im Monat führen würde. Bei welchem Verkaufspreis wäre der Gewinn maximal, wenn für kg Kaffee der Selbstkostenpreis e beträgt? f(x) = (0 0,0 x ) ( x) x = 00 8e

3 Hühnerhof-Aufgabe x Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden, damit die Hühner möglichst viel Platz haben? Es kann erhellend sein, die Nebenbedingung grafisch darzustellen Nebenbedingung = x x Zielfunktion A(x) = x ( x+0)

4 Randextrema 6 5 A(x) x In Extremwertaufgaben wird der größte bzw. kleinste Funktionswert auf einem Intervall gesucht. Mit der Differentialrechnung können die lokalen Extrema ermittelt werden. Es bleibt zu prüfen, ob am Rand des Definitionsbereichs D noch größere bzw. kleinere Funktionswerte vorliegen. Wie verhält es sich hiermit für die Funktion A(x), D = [0, 8]?

5 Kürzeste Wege 6. Gesucht ist der Punkt C auf der x-achse, so dass der Weg ACB minimal wird. 8 B(0 9) 6 A(0 6) 5 C(a 0) x Sei A der Spiegelpunkt von A bezüglich der x-achse. Berechne den Schnittpunkt der Geraden A B mit der x-achse. Was fällt dir auf? Erläutere dies. 7. Variation der 6. Aufgabe A(0 ), B(8 8) Ergebnisse 6. C(8 0) 7. C(6 0) 5

6 Dachrinne 8. Aus gleichbreiten Zinkstreifen mit a = 5cm soll eine Dachrinne mit maximalem Fassungsvermögen hergestellt werden, wobei Zinkstreifen senkrecht anzuordnen sind. Welche Querschnittsfläche hat die Dachrinne? a a 6

7 Dachrinne 8. Aus gleichbreiten Zinkstreifen mit a = 5cm soll eine Dachrinne mit maximalem Fassungsvermögen hergestellt werden, wobei Zinkstreifen senkrecht anzuordnen sind. Welche Querschnittsfläche hat die Dachrinne? a a x { }} { Q(x) = ax+x a x x max = a Q max = 55,06 cm Das optimale Profil ist rechts zu sehen. 7

8 Minimale Entfernung 9. Gegeben ist die Funktion f(x) = x. Ermitteln Sie den Punkt auf dem Graphen von f, der von A( ) minimale Entfernung hat. Lösung: d(x) = (( x) +( f(x)) x min =,85 = 0, d(x min ) =,88 d(x) x Bemerkenswert: Min(0,900,5), Max(,6) 8

9 Maximale Entfernung 0. Gegeben sind die Funktionen f(x) = x und g(x) = x(x ). An welcher Stelle zwischen den beiden Schnittpunkten ist die Differenz der Funktionswerte maximal? - - x - Lösung: x max = 0,9 d(x max ) =,05 9

10 Zlinder-Aufgabe. Welches maximale Volumen hat ein Zlinder, dessen Höhe durch die positiven Werte der Funktion f(x) = x + begrenzt wird? - - x 0

11 Zlinder-Aufgabe. Welches maximale Volumen hat ein Zlinder, dessen Höhe durch die positiven Werte der Funktion f(x) = x + begrenzt wird? - - x Ergebnis:,57 VE

12 Minimale Entfernung. Gegeben ist die Funktion f(x) = (x ) +. Ermitteln Sie den Punkt P auf dem Graphen von f, der vom Ursprung minimale Entfernung hat. Überprüfen Sie, ob die Verbindungsstrecke minimaler Länge senkrecht zur Tangente in P verläuft. x Ergebnis: d(x) = x +(f(x)) P(,6,89) d(x min ) =,6 f(x min ) x min = 0,90 f (x min ) = -,076

13 Minimales Dreieck P x Welche Gerade durch P( ) schließt mit den positiven Koordinatenachsen ein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt ein? Die Begründung kann auch ohne Differentialrechnung erfolgen.

14 Minimales Rechteck x Gegeben ist die Funktion f(x) = 9 x x+6. Welches Rechteck (diagonale Eckpunkte im Ursprung und auf dem Graphen, siehe Grafik) hat minimalen Flächeninhalt?

15 Minimales Rechteck 7 A(x) x Gegeben ist die Funktion f(x) = 9 x x+6. Welches Rechteck (diagonale Eckpunkte im Ursprung und auf dem Graphen, siehe Grafik) hat minimalen Flächeninhalt? A(x) = x f(x) A (x) = 0 = x = Es gibt jedoch kein Extremum an der Stelle x = (Sattelstelle). 5

16 Verkaufspreis. Das Produkt T des Herstellers A konkurriert mit anderen Produkten von nahezu gleicher Qualität und Beschaffenheit. Der tägliche Absatz (Stückzahl) von T wird durch f a (x) = 0 x+8a, 0 x 0, 0 a 0, erfasst, x ist der Stückpreis von T, a ist der durchschnittliche Marktpreis der ähnlichen Produkte. a) Wie wirken sich Preiserhöhungen von x und a auf den Absatz aus? b) Die Stückkosten von T betragen 5e. Sei a = 8e(6e). Wie wird A seinen Verkaufspreis festlegen? 6

17 5,50e (,9e) 7

18 Gleiche Abschnitte A B C x. Der Graph von f(x) = 0 x + x wird von einer Parallele zur x-achse im. Quadranten in B und C geschnitten. Für welchen Punkt A auf der -Achse halbiert B die Strecke AC? f(x) = f(x), = f( 0 7 ) = 5,8 8

19 Maximaler Flächeninhalt (. Jg) x 5. Gegeben ist die Funktion: f(x) = x e x In die schraffierte Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt gelegt werden. Ermittle diesen Flächeninhalt. 9

20 Gegeben ist die Funktion: f(x) = x e x In die schraffierte Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt gelegt werden. Ermittle diesen Flächeninhalt. x A(x) = ( x) f(x), 0 x x max = 0,57 A max = 0,0 FE x max stimmt nicht mit der Wendestelle x w = 0,68 überein. 0

21 Stütze mit maximaler Länge (. Jg) x 6. Gegeben ist die Funktion: f(x) = x e x, 0 x Das Kurvenstück soll durch eine senkrecht verlaufende Strecke maximaler Länge unterstützt werden. Ermittle diese Länge.

22 Stütze mit maximaler Länge (. Jg) x Gegeben ist die Funktion: f(x) = x e x, 0 x Das Kurvenstück soll durch eine senkrecht verlaufende Strecke maximaler Länge unterstützt werden. Ermittle diese Länge. L(x) = f(x) +(f (x)), 0 x Zwischenschritte: allgemein Normalengleichung aufstellen, Nullstelle der Normalen berechnen x N = f(x 0 ) f (x 0 )+x 0, Länge (Pthagoras) ermitteln, umformen x max = 0,66 L max =,8 LE L Für x max wird die Nullstelle der Normalen maximal. Die Gleichungen (L (x)) = 0 und (f(x) f (x)+x) = 0 sind für 0 < x < äquivalent. x

23 Maximales Parabelsegment (. Jg) Gegeben ist die Normalparabel f(x) = x. Ein zur -Achse paralleler Streifen der Breite b = wandert auf der x-achse entlang und legt damit ein Parabelsegment fest. Für welchen Streifen ist die Fläche des Segments maximal? - - x

24 Maximales Parabelsegment Gegeben ist die Normalparabel f(x) = x. Ein zur -Achse paralleler Streifen der Breite b = wandert auf der x-achse entlang und legt damit ein Parabelsegment fest. Für welchen Streifen ist die Fläche des Segments maximal? B A - - x Lösung: A ( u u ), B ( u+b (u+b) ) Sekante = (u+b)x u(u+b) Die Betrachtung eines Trapezes reicht. A = 6 b Alle Segmente sind gleich groß.

25 Maximales Rechteck x Gegeben ist die Funktion f(x) = 6 6 x. Welches einbeschriebene Rechteck (Seiten parallel zu den Koordinatenachsen, siehe Grafik) hat maximalen Flächeninhalt? 5

26 Maximales Rechteck x Gegeben ist die Funktion f(x) = 6 6 x. Welches einbeschriebene Rechteck (Seiten parallel zu den Koordinatenachsen, siehe Grafik) hat maximalen Flächeninhalt? a = = 6,98, b = A max = 7,7 FE 6

27 Dosen-Aufgabe Welcher Zlinder (Radius r, Höhe h) mit dem Volumen V = 000cm hat minimale Oberfläche? r 7

28 Dosen-Aufgabe Welcher Zlinder (Radius r, Höhe h) mit dem Volumen V = 000cm hat minimale Oberfläche? r Die Zlinderhöhen werden durch die Funktion h(r) = 000 πr bestimmt. Es ist das Minimum der Funktion Oberfläche(r) = πr h+πr = 000 r +πr zu ermitteln. Ergebnis: r = 5, (= h ) 8

29 In das durch Parabelbögen begrenzte Flächenstück wird ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Flächeninhalt A einbeschrieben. Ermittle A x - - 9

30 In das durch Parabelbögen begrenzte Flächenstück wird ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Flächeninhalt A einbeschrieben. Ermittle A. 5 f(x) = x x - g(x) = 9 x - A(x) = (f(x) g(x)) x = 9 x +x, 0 < x < x max = =,7 A max = 6,7 0

31 Für eine Kosmetikfirma soll ein Werbebanner entworfen werden. Die Modellierung soll mit möglichst einfachen Funktionen und ganzzahligen Koordinatenwerten erfolgen, siehe Zeichnung. In das Flächenstück soll für einen Werbetext ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Flächeninhalt A einbeschrieben werden. Ermittle A x - -

32 Für eine Kosmetikfirma soll ein Werbebanner entworfen werden. Die Modellierung soll mit möglichst einfachen Funktionen und ganzzahligen Koordinatenwerten erfolgen, siehe Zeichnung. In das Flächenstück soll für einen Werbetext ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Flächeninhalt A einbeschrieben werden. Ermittle A. f(x) = 6 x + 8 x x - g(x) = 8 x x - - A(x) = (f(x) g(x)) x = x5 +8x,,88 x <, beachte: f(,88) = x E =,675 / D A x max =,88 A max = 6,97 Randextremum

33 f(x) = 6 x + 8 x x - - oberer Rand Ansatz f(x) = ax +bx +c Bedingungen:. f(0) =. f() = 0. f () = 0. c =. 56a+6b+c = 0. a+b = 0 Die Funktion lautet: f(x) = 6 x + 8 x +

34 In das hellgraue Flächenstück wird ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt A einbeschrieben. Im Bereich x 0 ist die obere Begrenzungslinie geradlinig, im Bereich 0 x parabelförmig. An der Stelle x = 0 liegt kein Knick vor. Ermittle A. Es darf angenommen werden, dass die rechte untere Ecke des Rechtecks auf der x-achse zwischen und liegt x

35 In das hellgraue Flächenstück wird ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt A einbeschrieben. Im Bereich x 0 ist die obere Begrenzungslinie geradlinig, im Bereich 0 x parabelförmig. An der Stelle x = 0 liegt kein Knick vor. Ermittle A. Es darf angenommen werden, dass die rechte untere Ecke des Rechtecks auf der x-achse zwischen und liegt x f(x) = x +x+ = x+ x = A(x) = (x (f(x) )) f(x) x =,886 A =, 5

36 Maximales Dreieck (auch ohne GTR) x Gegeben ist die Funktion f(x) = 7 x +x. Für welches c, 0 c 7, hat das Dreieck mit den Eckpunkten A(c 0), B(c f(c)) und C(7 0) maximalen Flächeninhalt? 6

37 Maximales Dreieck (auch ohne GTR) 0 9 A(x) x Gegeben ist die Funktion f(x) = 7 x +x. Für welches c, 0 c 7, hat das Dreieck mit den Eckpunkten A(c 0), B(c f(c)) und C(7 0) maximalen Flächeninhalt? A(c) = f(c)(7 c) = ( 7 c +c )(7 c) = c (c 7) A (c) = 7 x(x 7)(x 7) = 7 c c +7c A (c) = 0 Zusätzliches f (c) = f(c) 7 c f (c)(c 7)+f(c) = 0, d.h.? c = 0, c = 7, c = 7 Da A(c) 0 für 0 c 7 ist und A(0) = A(7) = 0, wird das Maximum an der Stelle c angenommen. alternativ: A (c) = 6 7 c 6c+7 A ( 7 ) = 7 < 0 7