Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

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1 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens Bachelorprojekt eingereicht am Institut für Baustatik der Technischen Universität Graz im Wintersemester 2009/20 Verfasser: Betreuer: Peter Joachim Heinrich Dipl. Ing. Dr. techn. Klaus Thöni

2 II Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung. Aufgabenstellung Mechanische Grundlagen 3 2. Allgemeine Vereinbarungen Schnitte durch Biegebalken Knotenrundschnitte, Ritterschnitte Schnittgrößenverläufe Formelsammlung Arbeitssatz (2D) Integrationstabelle Simpsonsche Integrationsformel Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilität) Endgültige Schnittgrößen, Auflagerreaktionen Das Kraftgrößenverfahren 7 3. Berechnen von Verformungen an statisch bestimmten Systemen Berechnen von Verformungen an statisch unbestimmten Systemen Berechnung der Schnittgrößen Reduktionssatz Berechnung der gesuchten Verformung Allgemeine Vorgehensweise beim Kraftgrößenverfahren Beispiel : Kran 9 4. Angabe Berechnung der Schnittgrößen M, Q und N zufolge P Überprüfen der statischen Unbestimmtheit Ansetzen der statisch Unbestimmten System System Aufstellen des Gleichungssystems Bestimmen der endgültigen Schnittgrößen [N], [Q] und [M] Bestimmen der endgültigen Auflagerreaktionen Stabverkürzung, sodass Horizontalverschiebung in i = Wählen eines statisch bestimmten Grundsystems System System Berechnen von X Bestimmen der endgültigen Schnittgrößen [N], [Q] und [M] Bestimmen der Schnittgrößen [δn], [δq] und [δm] eines reduzierten Systems Überprüfen der Horizontalverschiebung mittels Reduktionssatz Schnittkräfte infolge der Auflagerverschiebung u Wählen eines statisch bestimmten Grundsystems III

4 Inhaltsverzeichnis System System Aufstellen des Gleichungssystems Bestimmen der endgültigen Auflagerreaktionen Berechnen der endgültigen Schnittgrößen Vertikalverformung im Knoten j zufolge einer konstanten Temperaturbelastung Wählen eines statisch bestimmten Grundsystems System System Aufstellen des Gleichungssystems Berechnen der endgültigen Auflagerreaktionen und Schnittgrößen Reduziertes System Berechnen der Verformung Beispiel 2: Dachtragwerk der Turnhalle der Volksschule Großwilfersdorf (Steiermark, A) Angabe Berechnen der Schnittgrößen [M], [Q] und [N] zufolge s Finden des statisch bestimmten Grundsystems Ansetzen der statisch Unbestimmten System System System Aufstellen des Gleichungssystems Berechnen der endgültigen Auflagerreaktionen Berechnen der endgültigen Schnittgrößen Stauchung der Feder zufolge der Last s Reduziertes System Berechnen der Verformung Berechnen der Vertikalverformung am Gelenk i zufolge einer Temperaturbelastung Wählen eines statisch bestimmten Grundsystems System System System Aufstellen des Gleichungssystems Berechnen der endgültigen Auflagerreaktionen Berechnen der endgültigen Schnittgrößen Reduziertes System Berechnen der Verformung IV Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

5 Einleitung Das auf dem Prinzip der virtuellen Kraftgrößen (PVK) basierende Kraftgrößenverfahren (KGV), stellt eine Methode der Baustatik zur Berechnung von statisch unbestimmten Systemen dar. Die Voraussetzung um Verformungen mit dem PVK berechnen zu können, ist dabei die Kenntnis der Schnittgrößenverläufe [N], [Q] und [M] des gegebenen Systems. Bei statisch bestimmten Systemen sollte das in der Regel kein Problem darstellen. Trifft man allerdings auf statisch überbestimmte Systeme, so ist die Berechnung der Schnittgrößen um einiges aufwändiger. Im hier gezeigten Kraftgrößenverfahren bedient man sich dabei hauptsächlich der Arbeitsgleichung. Dieses Verfahren ist vergleichbar mit dem Satz von Castigliano. Das Kraftgrößenverfahren selbst wurde früher vornehmlich im Bauwesen und vor allem im Stahlbau eingesetzt. Dabei bediente man sich für die Lösung der Integrale großer Tabellen, in denen die Ergebnisse für alle möglichen Kombinationen der Schnittgrößenverläufe zusammengestellt waren. Heute hat dieses Verfahren in der Praxis keine nennenswerte Bedeutung mehr. Aufgrund seiner Anschaulichkeit wird es dennoch an technischen Universitäten gelehrt.. Aufgabenstellung Immer wieder treten in der Lehrveranstaltung Baustatik Nachfragen zu Musterlösungen auf. Aus diesem Grund entstand die Idee Lösungen ausgewählter Beispiele in einem Bachelorprojekt auszuarbeiten und deren Lösungsweg gut zu dokumentieren. Des weiteren enthält die vorliegende Arbeit die zum Verständnis des Kraftgrößenverfahrens unerlässlichen Grundlagen, die zusätzlich im Skriptum zur Lehrveranstaltung Baustatik im Detail enthalten sind, sowie in der Vorlesung eingehendst erläutert werden.

6 Einleitung 2 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

7 2 Mechanische Grundlagen 2. Allgemeine Vereinbarungen Bei Stäben, Balken, etc...., die mit einer Kennfaser versehen sind, handelt es sich um Biegestäbe, die sowohl eine Normalkraft [N], eine Querkraft [Q] als auch ein Moment [M] aufnehmen können. Demgegenüber stehen Stäbe ohne Kennfaser. Das sind Fachwerkstäbe, die im Gegensatz zum Biegestab nur eine (Zug-/Druck-) Normalkraft [N] aufnehmen können. Es sei allerdings darauf hingewiesen, dass diese Vereinbarung ausschließlich für diese Arbeit gilt. Die Kennfaser ist nur ein Hilfsmittel, um das lokale Koordinatensystem (wie in Abb. 2. dargestellt) des Stabes festzulegen. 2.. Schnitte durch Biegebalken Wurde ein Biegebalken (i,j) im Zuge eines Freischnitts geschnitten, so wird auf folgende Konvention verwiesen: i z x Q N M Abbildung 2.: Schnitt durch einen Biegestab M N Q j 2..2 Knotenrundschnitte, Ritterschnitte In jenen Fällen, wo Knotenrundschnitte und Ritterschnitte angewendet wurden bzw. durch einen Fachwerkstab geschnitten wurde, ist anzumerken, dass jede Kraft (egal ob Zug- oder Druckkraft) vom geschnittenen Stab (in Stabachse) wegzeigend angenommen wurde. Zug- bzw. Druckkräfte erkennt man dann am Vorzeichen, welches bei Druck negativ und bei Zug positiv ist Schnittgrößenverläufe Für die gezeichneten Schnittgrößenverläufe ist anzumerken, dass die Schnittgrößen [N], [Q] und [M] auf der Seite der Kennfaser positiv und dementsprechend auf der anderen Seite des Stabes negativ sind. 3

8 2 Mechanische Grundlagen 2.2 Formelsammlung In den folgenden Abschnitten werden die Formeln näher erläutert, die für die Anwendung des Kraftgrößenverfahrens notwendig sind. Allerdings handelt es sich dabei in keinem Fall um eine Herleitung derselben, da dies den Rahmen der vorliegenden Arbeit sprengen würde und ohnedies schon zum Großteil im Skriptum Baustatik auf welches hier verwiesen wird erfolgt ist Arbeitssatz (2D) δw a = δw i (2.) δp } {{ d} = mit δp = δnε dx Dehnung + δqγ dx Schub + δmκ dx Biegung + δn F N F k w Wegfeder + δn u Längenänderung + δm F M F k d Drehfeder + δq w Sprung + δm ϕ Knick (2.2) δv L v L Lagerverschiebung δm L ϕ L Lagerverdrehung Dabei ist: Dehnung (ε): ε = ε N + ε T = N EA + α T T m (2.3) ε N... Dehnung aus Normalkraft ε T... Dehnung aus gleichmäßiger Temperaturbelastung Krümmung (κ): κ = κ M + κ T = M EI + α T T h κ M... Krümmung aus Biegemoment κ T... Krümmung aus ungleichmäßiger Temperaturbelastung T u... Temperatur auf der Seite der Kennfaser mittlere Schubverzerrung (γ): γ = Q GA Q mit T = T u T o (2.4) Der Arbeitssatz (Glg. 2.) besagt, dass die im elastischen System gespeicherte virtuelle Formänderungsarbeit δw i gleich der äußeren virtuellen Arbeit δw a sein muss, die von den äußeren Kräften entlang eines Weges, auf dem sie sich während der Verformung bewegten, geleistet wurde. Eine (direkt) praktische Bedeutung für die Berechnung von Verformungen hat er nicht. (2.5) 4 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

9 2.2 Formelsammlung Integrationstabelle Um die Integrale, die sich aus der Arbeitsgleichung (Glg. 2.2) ergeben, einfacher lösen zu können, kann man die in Abb. 2.2 dargestellte Integrationstabelle benutzen. Dabei ist darauf zu achten, dass die in der Tabelle aufgelisteten Werte noch mit der Länge l zu multiplizieren sind. Abbildung 2.2: Integrationstabelle Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 5

10 2 Mechanische Grundlagen Simpsonsche Integrationsformel Ein Verfahren der numerischen Integration stellt die Simpsonsche Formel (entspricht einer allgemeinen Formulierung der Keplerschen Fassregel) dar. Dabei wird eine Näherung zum Integral einer Funktion f(x) im Intervall [a,b]; a,b R berechnet, indem man die Kurve f(x) durch eine Parabel annähert. y f(x) a a + l 2 l Abbildung 2.3: Simpsonsche Integrationsformel b x b a f(x) dx l [ ( 6 f(a) + 4f a + l ) ] +f(b) 2 (2.6) Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilität) Mit der Verträglichkeitsbedingung (Kompatiblitätsbedingung, Bedingungsgleichung) wird/werden die Unbekannte(n) X i berechnet: d d 2 d n d 2 d 22 d 2n d n d n2 d nn Flexibilitätsmatrix X X 2. X n + d 0 d 20. d n0 Störvektor = (2.7) Glg. 2.7 lässt sich schreiben als: d i0 + d i X + d i2 X d in X n = 0 für i =... n (2.8) Endgültige Schnittgrößen, Auflagerreaktionen Endgültige Schnittgrößen (S) bzw. Auflagerreaktionen (A) werden mittels Superposition ermittelt: S = S 0 + S X + S 2 X S n X n A = A 0 + A X + A 2 X A n X n (2.9) 6 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

11 3 Das Kraftgrößenverfahren 3. Berechnen von Verformungen an statisch bestimmten Systemen Für die in dieser Arbeit gerechneten Beispiele ist es zweckmäßig, sich zunächst einen Überblick über die Vorgangsweise der Berechnung bzw. der Anwendung der in Kap. 2 gezeigten Formeln zu verschaffen. Gegeben sei ein statisch bestimmter Einfeldträger (Abb. 3.). Der Träger sei weiters aus Stahl (S235, E = 2, 0 8 kn/m 3, I = cm 4 ). Gesucht ist die vertikale Verformung w v im Punkt m. Querkrafteinflüsse können vernachlässigt werden. q = 0,0 kn /m A H = 0 A m B A V = 30,0 kn 3,0 m 3,0 m B V = 30,0 kn Abbildung 3.: Statisch bestimmter Einfeldträger mit Auflagerreaktionen: reales System Das oben dargestellte System wird mit der gegebenen Belastung q als reales System bezeichnet. Um die gesuchte Verformung berechnen zu können, muss man zunächst ein weiteres System bilden, welches an jener Stelle, an der die Verformung gefragt ist, durch eine virtuelle Einheitslast δp der Größe in die Richtung der gesuchten Verformung belastet ist. Dieses System wird als virtuelles System bezeichnet. δp = δa H = 0 A m B δa V = 0,5 δb V = 0,5 3,0 m 3,0 m Abbildung 3.2: Statisch bestimmter Einfeldträger mit Auflagerreaktionen: virtuelles System In weiterer Folge müssen nun die Schnittgrößenverläufe [N], [Q] und [M] des realen bzw. [δn], [δq] und [δm] des virtuellen Systems bestimmt werden. 7

12 3 Das Kraftgrößenverfahren Die realen Schnittgrößen zufolge der Gleichlast q ergeben sich wie in Abb. 3.3 dargestellt. -30,0 (a) Normalkraft [kn] +30,0 (b) Querkraft [kn] +45,0 (c) Moment [knm] Abbildung 3.3: Schnittgrößenverläufe [N], [Q], [M] am realen System Die Schnittgrößen zufolge der Einheitslast δp = ergeben sich wie in Abb. 3.4 dargestellt. -0,5 (a) Normalkraft [-] +0,5 (b) Querkraft [-] +,5 (c) Moment [-] Abbildung 3.4: Schnittgrößenverläufe [δn], [δq], [δm] am virtuellen System Um nun die gesuchte Verschiebung w v ermitteln zu können, muss man das Arbeitsintegral nach Glg. 2.2 anwenden. Da die Normalkraft sowohl im realen als auch im virtuellen System Null ist, wird der gesamte Normalkraftterm von Glg. 2.2 zu Null. Somit bleiben zwei Terme übrig, nämlich jene mit [Q] und [δq] bzw. mit [M] und [δm]. Der Querkraftterm soll laut Aufgabenstellung vernachlässigt werden. Letztendlich muss im vorliegenden Beispiel nur der Einfluss der Biegung (Krümmung bzw. Moment) berücksichtigt werden. Aus der Tabelle (Abb. 2.2) folgt, dass sich die Integration eines Dreiecks und einer Parabel zu 3AC( + αβ) l ergibt. Daraus folgt nun: δp } {{ d} = w v = = w v δmκ dx = δm }{{} virtuell M EI }{{} real dx = EI AC( + αβ) l 3 Nun müssen nur noch die berechneten sowie die gegebenen Werte eingesetzt werden. Durch einfaches Lösen der Gleichung erhält man die gesuchte Verformung w v im Punkt m: 8 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

13 3. Berechnen von Verformungen an statisch bestimmten Systemen w v = 3 2 2, ,5 ( + (0,5) 2) 6 = 3, m 3,93 mm Die Kontrolle in einem Statikprogramm (hier: RuckZuck) zeigt, dass w v korrekt berechnet wurde. Abbildung 3.5: Berechnungsergebnis in RuckZuck Aller Wahrscheinlichkeit nach handelt es sich in den meisten Fällen um sehr kleine Werte, sodass es zweckmäßig ist, die Integrale zumindest auf 4 signifikante Stellen genau zu berechnen Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 9

14 3 Das Kraftgrößenverfahren 3.2 Berechnen von Verformungen an statisch unbestimmten Systemen Gegeben sei ein statisch unbestimmter Zweifeldträger (Abb. 3.6). Gesucht ist die vertikale Verformung w v im Punkt s im rechten Feld des Trägers. Materialkennwerte: Stahl S235, E = 2, 0 8 kn/m 3, I = cm 4 ; Querkrafteinflüsse können vernachlässigt werden q = 0,0 kn /m s A B C 4,5 m 2,25 m 2,25 m Abbildung 3.6: Statisch unbestimmter Zweifeldträger 3.2. Berechnung der Schnittgrößen Bestimmen des Grades der statischen Unbestimmtheit Damit man an statisch unbestimmten Systemen Verformungen berechnen kann, ist zunächst die Kenntnis der Schnittgrößenverläufe erforderlich. Um diese berechnen zu können, bedient man sich ebenfalls der Arbeitsgleichung. Zuvor ist es allerdings zwingend notwendig den Grad der statischen Unbestimmtheit (= die Anzahl der statisch Unbestimmten) herauszufinden. Um diesen zu bestimmen gibt es mehrere Möglichkeiten: Zum einen kann man die Abzählbedingung (z.b.: A uflagerreaktionen + G elenkskräfte = 3 S cheiben ) verwenden, zum anderen überlegt man sich, wie viele Lagerreaktionen man entfernen bzw. wie viele Bindungen man lösen kann, damit das System nicht verschieblich, also statisch bestimmt wird. Von der Abzählbedingung wird an dieser Stelle abgeraten, da man durch unsachgemäße Handhabung oft falsche Ergebnisse bekommt. Außerdem liefert die Abzählbedingung nur die Anzahl der statisch Unbestimmten. Wo diese auftreten muss man in einem weiteren Schritt bestimmen. Aus diesem Grund ist es viel wichtiger, sich zu überlegen, wie das System funktioniert bzw. welche Bindungen man lösen kann um wie vorhin erwähnt den Grad der statischen Unbestimmtheit bzw. die Unbekannten zu ermitteln. Für dieses Beispiel ist der Grad der (äußerlichen) statischen Unbestimmtheit. Man kann z.b. die Bindung am rechten oder mittleren einwertigen Auflager lösen, ohne dass das System instabil wird. Wählen eines statisch bestimmten Grundsystems Um die Berechnung der Schnittgrößen des gegebenen Systems durchführen zu können, muss als nächster Schritt ein statisch bestimmtes Grundsystem aus diesem erstellt werden. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten: Zum Beispiel kann die vertikale Bindung am rechten oder mittleren Auflager gelöst oder ein Vollgelenk in den Stab eingebaut (entspricht dem Lösen einer Momentenbindung) werden, damit das System statisch bestimmt wird. Unmöglich hingegen ist es, aus dem linken Auflager ein horizontal verschiebliches Lager zu machen. Das System wäre dann kinematisch unbestimmt, was ein mögliches Horizontalverschieben des 0 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

15 3.2 Berechnen von Verformungen an statisch unbestimmten Systemen Gesamtsystems mit sich bringt, was unzulässig ist. (Bemerkung: Die Abzählbedingung würde richtigerweise ergeben, dass das System statisch bestimmt ist. Allerdings ist das kein sicheres Indiz dafür, dass das System auch kinematisch bestimmt ist.) (a) zulässig (b) zulässig (c) zulässig (d) zulässig (e) unzulässig (f) unzulässig Abbildung 3.7: Zulässige und unzulässige statisch bestimmte Grundsysteme Ist das statisch bestimmte Grundsystem gewählt worden, so muss an jeder Stelle, wo eine statisch Überzählige entfernt (= eine Bindung gelöst) wurde, diese als eingeprägte Kraft (Moment, Normalkraft,...) X,...,n angesetzt werden. In weiterer Folge wird diese Kraft mit Hilfe der Kompatibilitätsbedingung (Glg. 2.8) berechnet, sodass schließlich auf die Schnittkräfte des ursprünglich statisch unbestimmten Systems zurückgerechnet werden kann. System ist stabil gelöste Bindungen: (a). Schnitt: mittleres Auflager (b) 2. Schnitt: rechtes Auflager System ist verschieblich gelöste Bindungen: 2 Abbildung 3.8: Auffinden des statisch bestimmten Grundsystems q = 0,0 kn /m X s A B C Abbildung 3.9: Statisch bestimmter Zweifeldträger mit der statisch Unbestimmten X Das Lösen des Auflagers hat natürlich zur Folge, dass sich das System nun anders als das ursprüngliche System verformt. Die Klaffung an jener Stelle, wo die Bindung gelöst wurde, wird als d i be- Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

16 3 Das Kraftgrößenverfahren zeichnet. Diese Klaffung entspricht im vorliegenden Beispiel der Verformung bzw. Durchbiegung des Balkens an der Stelle (hier: Balkenmitte) zufolge des Lastfalls i. Im Allgemeinen sind Klaffungen Relativverschiebungen und Relativverdrehungen je nach Art der gelösten Bindung. Zusammenfassend gibt es also an einer Stelle eine statisch Unbestimmte X sowie die zugehörige Klaffung d. (Gesucht wird im Übrigen jene Kraft X die die entstandene Klaffung wieder eliminiert. In diesem Fall ist das die Auflagerkraft B.) 0-, -,..., n-system Geht man nun einen Schritt weiter, so gilt, dass im statisch bestimmten Grundsystem die statisch Unbekannten X n = 0 sind. Man bezeichnet dieses System daher auch als 0-System. Da im statisch bestimmten Grundsystem allerdings die gegebene Belastung (hier q) wirkt, treten unter anderem Klaffungen (Relativverformungen, -verdrehungen) an jenen Stellen auf, an denen Bindungen gelöst wurden. Diese werden demnach mit d i0 bezeichnet, wobei i der Anzahl der Unbekannten entspricht (i =,...,n). Alle n d i0 zusammengefasst ergeben schließlich den Störvektor. Zusätzlich zum 0-System gibt es ein -System (bzw. 2-,..., n-system je nach Anzahl der statisch Unbestimmten, also der gelösten Bindungen) an welchem keine der gegebenen Belastungen wirkt, hingegen abhänging vom System X i = ist. Das heißt, im -System ist X =, X 2 = 0,..., X n = 0, im 2-System ist X = 0, X 2 =,..., X n = 0 sowie im n-system ist X = 0,..., X n = 0, X n =. Die aus diesen Belastungen resultierenden Klaffungen werden mit d in bezeichnet, wobei i die jeweilige Stelle im System bezeichnet und n das System selbst, also ob es sich um das -, 2-,..., oder n-system handelt. Zusammenfassend kann man sagen, dass als Belastung am 0-System die gegebene Belastung und am - bis n-system als Belastung X i = wirken. q = 0,0 kn /m s X = 0 A B C Abbildung 3.0: 0-System mit Belastung q und Klaffung d 0 wobei X = 0 d 0 s A X = B d C Abbildung 3.: -System mit Belastung X = und Klaffung d Aus dem vorliegenden 0- und dem -System müssen nun die Klaffungen d 0 und d bestimmt werden. Der Algorithmus dafür würde wiederum lauten, zunächst die Schnittgrößen (bzw. Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen) des realen 0- bzw. -Systems sowie der jeweiligen virtuellen Systeme bestimmen und diese anschließend integrieren. In puncto virtuelles System, erkennt man aber ziemlich bald, dass die Schnittgrößen des virtuellen -Systems jenen des realen -Systems entsprechen. Weiters ist erkennbar, dass die Schnittgrößen des virtuellen -Systems ebenfalls jene des 2 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

17 3.2 Berechnen von Verformungen an statisch unbestimmten Systemen realen -Systems sind. Durch die Notation mittels d 0 und d lässt sich aus den Indizes für die Integration der Schnittgrößen folgender Zusammenhang ableiten: für d 0 : integriere die Schnittgrößen des -Systems mit den Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen des 0-Systems für d : integriere die Schnittgrößen des -Systems mit den Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen von sich selbst Die Schnittgrößen aus dem durch die Gleichlast q belasteten (statisch bestimmten) 0-System bzw. jene des -System (real und virtuell) mit der Belastung X = ergeben sich wie in Abb. 3.2 dargestellt. (a) [N 0] (b) [N ]=[δn ] -,25kN -0,5 +33,75kN (c) [Q 0] +0,5 (d) [Q ]=[δq ] A M C +50,63kNm +56,70kNm +50,63kNm (e) [M 0] A M C +,25 +2,25 (f) [M ]=[δm ] Abbildung 3.2: Reale und virtuelle Schnittgrößen Mit Hilfe der Integrationstabelle (Abb. 2.2) und der Simpsonschen Integrationsformel (Glg. 2.6) können nun die Klaffungen d 0 und d berechnet werden. Der Querkraftterm soll laut Aufgabenstellung vernachlässigt werden, Normalkräfte sind keine vorhanden, daher reduzieren sich die Integrale in Glg. 2.2 auf die Momententerme. d 0 : aus der Integration der Schnittgrößen des -Systems mit den Krümmungen des 0-Systems (real: 0-System; virtuell: -System mit δp = X = ) δp d } {{ 0 = d } 0 = = d 0 δm κ dx = = [ EI 3 BD l + l 6 = [( 4,5 EI 3 ( 4,5 M 0 δm EI dx )] (M A δm A + 4 M M δm M + M B δm B ) 50,63 2,25 )] + ( ,63, ,63 2,25) 6 427,90625 = 2, = 8, m Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 3

18 3 Das Kraftgrößenverfahren d : aus der Integration der Schnittgrößen des -Systems mit seinen Krümmungen (real: - System; virtuell: -System mit δp = X = ) δp d } {{ = d } = = d δm κ dx = M 0 δm EI dx = EI l 6 AC 2γ γ2 α 2 βγ = EI 9,0 6 (2,25)2 2 0,5 0,52 0,5 2 0,5 0,5 = 9,0 2,252 (2 0,5 0,5 2 0,5 2) 6 2, ,5 0,5 = 2, m Berechnen der statisch Unbestimmten X Da d 0 und d bekannt sind, kann nun mit Hilfe der Kompatitbilitätsbedingung (Glg. 2.8) die statisch Unbestimmte X berechnet werden: d 0 + X d = 0 X = d 0 8, = 28,28[ ] d 2, Die endgültigen Auflagerkräfte und Schnittgrößen [N], [Q] und [M] können nun mittels Superposition (Glg. 2.9) ermittelt werden. Im Folgenden werden die maßgebenden Werte für die Schnittgrößen berechnet: N [kn] Q [kn] M [knm] 0 33,75 + 0,5 ( 28,28) = 9, ,25 + 0,5 ( 28,28) = 25,34 50,63 + 2,25 ( 28,28) = 2,658 0,25 + ( 0,5 ( 28,28)) = 2,84 0 0,25 + 0,5 ( 28,28) = 2,84 50,63 +,25 ( 28,28) = 8,986 Mit den berechneten Werten ergeben sich die in Abb. 3.3 dargestellten Schnittkraftverläufe. (a) Normalkraft [kn] -25,3 +9,69-2,8 (b) Querkraft [kn] +2,8-2,66 8,99 M max =9,24 (c) Moment [knm] Abbildung 3.3: Endgültige Schnittgrößenverläufe [N], [Q], [M] zufolge q = 0,0 kn /m 4 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

19 3.2 Berechnen von Verformungen an statisch unbestimmten Systemen Zur Überprüfung der Schnittkraftverläufe kann das Statikprogramm RuckZuck herangezogen werden (Abb. 3.4). Abbildung 3.4: Schnittkraftverläufe in RuckZuck Reduktionssatz Um in weiterer Folge die anfänglich gesuchte Vertikalverformung w v berechnen zu können, bedient man sich bei beliebig statisch unbestimmten Systemen des Reduktionssatzes. Die Kenntnis der Schnittgrößen bzw. Dehnungen und Krümmungen des gegebenen (statisch unbestimmten) Systems ist dabei Voraussetzung. Der Reduktionssatz besagt, dass für die virtuelle Belastung ein beliebig reduziertes, statisch bestimmtes System verwendet werden kann. Allerdings ist darauf zu achten, dass das statisch bestimmte System reduziert wird und keine zusätzlichen Bindungen erhält. Damit man sich ein bisschen Integrationsarbeit erspart, ist es sinnvoll, das reduzierte System so zu wählen, dass sich die Schnittgrößen teilweise zu Null ergeben. Hier wurde beispielsweise im mittleren Auflager die Momentenbindung durch Einführen eines Gelenks wegreduziert. Daraus folgt, dass im reduzierten System nur noch am rechten Feld Schnittgrößen auftreten. δp= s Abbildung 3.5: Reduziertes System mit virtueller Last δp Die (virtuellen) Schnittgrößen infolge der Belastung δp=, die an der Stelle s, an der die Verformung gesucht ist, in Richtung der gesuchten Verformung wirkt, ergeben sich somit wie in Abb. 3.6 dargestellt. (a) [δn] (b) [δq] +0,50-0,50 (c) [δm] +,2 Abbildung 3.6: Virtuelle Schnittgrößen am reduzierten, statisch bestimmten System Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 5

20 3 Das Kraftgrößenverfahren Berechnung der gesuchten Verformung Die gesuchte Verformung wird nun mit dem Arbeitsintegral (Glg. 2.2) bestimmt. Laut Aufgabenstellung sollen die Querkrafteinflüsse vernachlässigt werden, Normalkraft ist keine vorhanden, somit reduziert sich das Arbeitsintegral ausschließlich auf den Term mit den realen Krümmungen und dem virtuellen Moment. Aus der Tabelle (Abb. 2.2) ist abzulesen (Dreieck Dreieck): δp d = w v = w v = δm }{{} virtuell M EI }{{} real dx = EI AC( + δ) l 6 Setzt man die bereits bekannten Werte ein, kann man nun die gesuchte Verformung w v berechnen: w v = 4,5 ( 2,658),2 ( + 0,5) 6 2, = 3, m Die Verformung w v hat ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass sich das System an der Stelle s entgegen der angenommenen Richtung von δp also nach oben verformt. Abbildung 3.7: Verformung in RuckZuck Allgemeine Vorgehensweise beim Kraftgrößenverfahren Die im vorhergehenden Beispiel gezeigte Anwendung des Kraftgrößenverfahrens lässt sich kurz als Ablaufplan schreiben:. Schritt: Überprüfen der statischen Bestimmtheit 2. Schritt: Ermitteln der Schnittgrößen des gegebenen Systems unter der gegebenen Belastung System ist statisch bestimmt [N], [Q] und [M] berechnen System ist n-fach statisch unbestimmt a) Ermittlung des statisch bestimmten Grundsystems (SGS): System durch Lösen überzähliger Bindungen statisch bestimmt machen b) [N 0 ], [Q 0 ] und [M 0 ] am SGS unter gegebener Belastung berechnen 0-System c) [N ], [Q ] und [M ] am SGS unter X = berechnen -System d) (...) e) [N n ], [Q n ] und [M n ] am SGS unter X n = berechnen n-system f) Berechnen des Störvektors d 0 : Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen des 0- mit den Schnittgrößen des -Systems integrieren (...) d n0 : Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen des 0- mit den Schnittgrößen des n-systems integrieren 6 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

21 3.2 Berechnen von Verformungen an statisch unbestimmten Systemen g) Berechnen der Koeffizienten der Flexibilitätsmatrix d : Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen des -Systems mit seinen eigenen Schnittgrößen integrieren (...) d nn : Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen des n-systems mit seinen eigenen Schnittgrößen integrieren d 2 : Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen des -Systems mit den Schnittgrößen des 2-Systems integrieren und umgekehrt (d 2 = d 2 ) (...) d kn : Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen des k-systems mit den Schnittgrößen des n-system integrieren und umgekehrt (d kn = d nk, n k; bei n=3 z.b. d 3, d 23, d 3, d 32 ) h) Aufstellen des Gleichungssystems i) Lösen des Gleichungssystems X... X n =... j) Berechnen der Auflagerreaktionen mittels Superposition A = A 0 +A X A n X n k) Berechnen von [N], [Q] und [M] mittels Superposition S = S 0 +S X S n X n reale Schnittgrößen 3. Schritt: Berechnen der gesuchten Verformung System ist statisch bestimmt a) Ansetzen einer virtuellen Belastung δp b) Berechnen von [δn], [δq] und [δm] virtuelle Schnittgrößen c) Integrieren der virtuellen Schnittgrößen mit den realen Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen gesuchte Verformung System ist statisch unbestimmt a) Anwenden des Reduktionssatzes b) Ansetzen einer virtuellen Belastung δp c) Berechnen von [δn], [δq] und [δm] virtuelle Schnittgrößen d) Integrieren der virtuellen Schnittgrößen mit den realen Dehnungen, Schubverzerrungen und Krümmungen gesuchte Verformung Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 7

22 3 Das Kraftgrößenverfahren 8 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

23 4 Beispiel : Kran 4. Angabe T m T m 6 i 4 2,00 j P 7 3,00 k d u 2,00 2,00 Gegeben: Alle Abmessungen: m Material: E = 2, 0 8 kn/m 2 Stäbe 2: I = cm 4, A Stäbe 3 6: I = cm 4, A = 20 cm 2 Stab 7: I = 300 cm 4, A = 3 cm 2 Einzellast: P = 00 kn Federkonstante: k d = knm /rad Temperatur: T m = 20 K Temp.-Ausdehnungskoeff.: α T =,2 0 5 /K Lagerverschiebung: u = 8 cm 9

24 4 Beispiel : Kran Gesucht: Ermittlung aller Auflagerkräfte, sowie Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen [M], [Q] und [N] in allen Stäben zufolge der Einzellast P. Um wie viel muss der Stab 7 verkürzt werden, damit die Horizontalverschiebung im Knoten i verschwindet, d.h. gleich Null wird? Kontrolle der Horizontalverschiebung infolge der Einzellast P im Knoten i mittels Reduktionssatz für die vorher berechnete Verkürzung und der Einzellast P. Das dafür gewählte reduzierte System darf nicht dem zuvor verwendeten statisch bestimmten Grundsystem entsprechen Ermittlung aller Auflagerkräfte, sowie Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen [M], [Q] und [N] in allen Stäben zufolge der Auflagersenkung u. Ermittlung der Vertikalverschiebung im Knoten j zufolge der gleichmäßigen Temperaturbelastung T m der Stäbe 4 und Berechnung der Schnittgrößen M, Q und N zufolge P 4.2. Überprüfen der statischen Unbestimmtheit Die Anzahl der statisch Unbestimmten lässt sich am besten durch Lösen einer Bindung nach der anderen bestimmen. Nach wie viel Reduktionen von Bindungen das System statisch bestimmt wird zeigt Abb. 4.. System ist stabil gelöste Bindungen: System ist verschieblich gelöste Bindungen: 2 (a). Schnitt: seitliche Stütze (b) 2. Schnitt: Drehfeder Abbildung 4.: Auffinden des statisch bestimmten Grundsystems Mit einer gelösten Bindung ist das System noch stabil, also statisch bestimmt. Entfernt man nun eine weitere Bindung (auch möglich wäre etwa das Einführen eines Vollgelenks im Biegestab und somit das Lösen der Momentenbindung an dieser Stelle), so wird das System verschieblich bzw. kinematisch unbestimmt und kann somit nicht berechnet werden. Das System ist also -fach statisch unbestimmt. 20 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

25 4.2 Berechnung der Schnittgrößen M, Q und N zufolge P Ansetzen der statisch Unbestimmten Durch Lösen dieser überzähligen Bindung (hier Stab 7) wird das System statisch bestimmt. An der Stelle, wo dies erfolgt ist, wird nun die statisch Unbestimmte X angesetzt. Für das statisch bestimmte Grundsystem, auf das die gegebene Last P wirkt, hat sie die Größe X = 0, für das -System ist sie die Belastung und hat die Größe X =. Die auftretenden Klaffungen werden analog zu Abs im 0-System mit d 0 und im -System mit d bezeichnet. Hinweis: Es ist von Vorteil, statisch bestimmte Teilsysteme eines Gesamtsystems durch direkt wirkende Kräfte bzw. Momente zu ersetzen. Im Fall des -Systems fällt beispielsweise durch die fehlende Belastung P das Fachwerk (welches in sich statisch bestimmt ist) weg, da in ihm keine Schnittkräfte auftreten P=00 kn d 0 X = 0 d X = (a) 0-System (b) -System Abbildung 4.2: 0- und -System mit statisch Unbestimmter und Klaffungen Um die Klaffungen d 0 und d bestimmen zu können, berechnet man zunächst die Schnittkräfte für das 0- und -System System Auflager: F H = 0 A H = 0 F V = 0 A V = 00 kn P=00 kn d 0 X = 0 M A = 0 M A = 00 2 = 200 knm A H MA A V Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 2

26 4 Beispiel : Kran S 6 Fachwerk: S 4 S 3 S 5 S 4H = S 4 cos(45) = 2 S 4 S 4V = S 4 sin(45) = 2 S 4 P=00kN Gleichgewicht am unteren Knoten: F V = 0 00 = 2 S 4 S 4 = 2 00 S 4 = 4,42 kn F H = 0 S 3 + S 4 = 0 S 3 = 2 00 = 00 kn 2 2 Gleichgewicht am oberen Knoten: F H = 0 S 6 = S 4 cos(45) = 2 S 4 = 00 kn F V = 0 S 5 = S 4 sin(45) = 0 S 5 = 2 S 4 = = 00 kn Schnittkraftermittlung:...mit S 6 = S 6 cos(45) = 2 S 6 und S 6 = S 6 sin(45) = 2 S 6 S 6 =00 kn S 5 =-00 kn Q S 6 S 3 =-00 kn N M N M Q M A =200 knm M A A H =0 A H A V =00 kn A V Abbildung 4.3: System mit eingeprägten Kräften und Schnitten zur Schnittkraftermittlung 22 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

27 4.2 Berechnung der Schnittgrößen M, Q und N zufolge P Schnittkräfte: ,42-70,7-70, (a) Normalkraft [kn] (b) Querkraft [kn] (c) Moment [knm] Abbildung 4.4: Schnittgrößenverläufe [N 0 ], [Q 0 ], [M 0 ] am realen System System Auflager: F H = 0 A H = 0; B H = 0 F V = 0 A V = [ ]; B V = [ ] d X = M A = 0 M A = 2 = 2[ ] A H B H A V M A B V Schnittkraftermittlung:...mit S 7 = S 7 cos(45) = 2 S 7 und S 7 = S 7 sin(45) = 2 S 7 S 7 = M A =2 A H =0 A V = Q N N M M A A V Q M A H Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 23

28 4 Beispiel : Kran Schnittkräfte: -0,7 + +0,7-2 - (a) Normalkraft [-] (b) Querkraft [-] (c) Moment [-] Abbildung 4.5: Schnittgrößenverläufe [N ]=[δn ], [Q ]=[δq ], [M ]=[δm ] Aufstellen des Gleichungssystems Berechnen von d 0 Um d 0 zu erhalten, müssen die (realen) Dehnungen, Krümmungen und Schnittkräfte des 0- mit den Schnittgrößen des -Systems integriert werden. Dies erfolgt mit Glg. 2.2 unter Zuhilfenahme von Abb. 2.2: ( ) N0 d 0 = δn EA + α T T m dx = =0 2, = 7, m + Q 0 δq dx GA Q vernachlässigbar + [( ( 2) M 0 δm EI dx + δm M 0 k } {{ d } ) ] +3 ( 2) Drehfeder ( 2) Laut Aufgabenstellung sind die Querkrafteinflüsse allgemein zu vernachlässigen, daher entfällt dieser Term. Der Normalkraftterm ist ebenfalls vernachlässigbar, da die Biegebalken und 2 dehnstarr (EA ) und für die Stäbe 3 bis 6 die virtuellen Normalkräfte gleich 0 sind. Berechnen von d Aus der Integration der Schnittkräfte des -Systems mit sich selbst erhält man d : N d = δn EA dx + Q M δq dx + δm GA Q EI dx + δm M k } {{ d } vernachlässigbar Drehfeder = 2, ( 2 5 ) + + ( 2) ( 2) 0000 = 7, m 2, [( ( 2) 2 ) ] +3 ( 2) ( 2) 24 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

29 4.2 Berechnung der Schnittgrößen M, Q und N zufolge P Bestimmen der statisch Unbestimmten X Aus der Kompatibilitätsbedingung (Glg. 2.8) folgt: X = d 0 7, = 89,82[ ] d 7, Bestimmen der endgültigen Schnittgrößen [N], [Q] und [M] Die endgültigen Schnittgrößen erhält man durch Überlagerung der berechneten Schnittgrößen des 0- mit jenen des -System (Glg. 2.9): N [kn] Q [kn] M [knm] -70,7+(-0,7) 89,82 = -34,48-70,7+0,7 89,82 = -6, (-2) 89,82 = 20, (-) 89,82 = -89, ,82 = 89, , ,48 +89,92-6,94 +20,36-89,82 (a) Normalkraft [kn] (b) Querkraft [kn] (c) Moment [knm] Abbildung 4.6: Endgültige Schnittgrößenverläufe [N], [Q], [M] zufolge P =00 kn Bestimmen der endgültigen Auflagerreaktionen Die endgültigen Auflagerreaktionen ergeben sich analog zur Schnittkraftermittlung ebenfalls durch Superposition. Da in dieser Arbeit in allen Skizzen die Auflagerkräfte in ihre Wirkungsrichtung eingezeichnet worden sind, sind diese demzufolge positiv. Beim Superponieren derselben muss dementsprechend Acht auf die jeweilige Wirkungsrichtung gegeben werden: Wirken zwei Reaktionen in dieselbe Richtung, so sind sie zu addieren, andernfalls voneinander zu subtrahieren. A H = ,82 0 = 0 B H = ,82 0 = 0 A V = ,82 = 89,82 kn B V = ,82 = 89,82 kn M A = ,82 = 20,36 knm Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 25

30 4 Beispiel : Kran 4.3 Stabverkürzung, sodass Horizontalverschiebung in i = 0 Im folgenden Teil des Beispiels ist die Größe gesucht, mit der der Stab 7 zu kurz eingebaut werden muss, sodass Punkt i (infolge der Last P ) keine Horizontalverschiebung erfährt. Dieser Teil des Kran-Beispiels ist als Verformungsberechnung zu betrachten. Um die gesuchte Stabverkürzung zu bekommen, geht man wie folgt vor: Einerseits setzt man als reale Belastung am Grundsystem (ohne der Last P ) eine Stabverkürzung l der Größe - an. Zufolge dieser Einheitsbelastung werden die Schnittgrößen [N], [Q] und [M] ermittelt und in weiterer Folge auch die zugehörige Horizontalverformung w( l ) am Punkt i. Andererseits muss nun am Punkt i die Horizontalverformung w(p ) in Folge der Last P ermittelt werden. Über eine einfache Schlussrechnung kann dann die gesuchte Stabverkürzung l ermittelt werden Wählen eines statisch bestimmten Grundsystems Damit die Berechnung der Schnittgrößen zufolge der Stabverkürzung l ohne allzugroßen Aufwand erfolgen kann, wird als statisch bestimmtes Grundsystem das bereits aus Abs bekannte verwendet. d 0 X = 0 d X = l = (a) 0-System (b) -System Abbildung 4.7: 0- und -System mit statisch Unbestimmter und Klaffungen System Auflager: d 0 X = 0 l = Lastfälle wie Stabverkürzungen, Auflagersenkungen oder Temperaturbelastungen führen an einem statisch bestimmten System zu keinen Zwängungen. Daher gibt es auch keine Auflagerreaktionen, was wiederum bedeutet, dass keine Schnittgrößen auftreten. [N 0 ], [Q 0 ] und [M 0 ] = 0 26 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

31 4.3 Stabverkürzung, sodass Horizontalverschiebung in i = System Die Auflagerreaktionen und Schnittgrößen des -Systems bzw. in weiterer Folge d wurden bereits in Abs. 4.2 berechnet. Die Ergebnisse können von dort übernommen werden. Der Vollständigkeit halber seien sie dennoch hier wiedergegeben. Auflager: F H = 0 A H = 0; B H = 0 F V = 0 A V = [ ]; B V = [ ] d X = M A = 0 M A = 2 = 2[ ] A H B H A V M A B V Schnittkräfte: -0,7 +0, (a) Normalkraft [-] (b) Querkraft [-] (c) Moment [-] Abbildung 4.8: Schnittgrößenverläufe [N ]=[δn ], [Q ]=[δq ], [M ]=[δm ] Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 27

32 4 Beispiel : Kran Berechnen von X d 0 = d = = N 0 δn EA dx =0 = l = ( ) = m + N δn EA dx + Q 0 δq dx GA Q vernachlässigbar Q δq dx GA Q vernachlässigbar 2, [2 5] + + ( 2) ( 2) M 0 δm EI dx =0 + δn u Stabverkürzung M δm EI dx + δm M k } {{ d } 2, Drehfeder = 7, m (vgl.: Abs ) X = d 0 = = 282,43 [ ] d 7, [( ( 2) 2 ) ] +3 ( 2) ( 2) Bestimmen der endgültigen Schnittgrößen [N], [Q] und [M] Die Schnittgrößen werden wiederum mittels Superposition ermittelt: N [kn] Q [kn] M [knm] - 282,43 = -282,43 0,7 282,43 = 90, ,43 = -2564,86-0,7 282,43 = -90,53 282,43 = 282,43-90,53 +90, ,86 282,43-282,43 (a) Normalkraft [kn] (b) Querkraft [kn] (c) Moment [knm] Abbildung 4.9: Schnittgrößenverläufe [N], [Q] und [M] zufolge l = 28 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

33 4.3 Stabverkürzung, sodass Horizontalverschiebung in i = Bestimmen der Schnittgrößen [δn], [δq] und [δm] eines reduzierten Systems Hinweis: Es ist natürlich möglich, als reduziertes System das statisch bestimmte Grundsystem aus Abs zu verwenden. Im Folgenden wurde ein neues reduziertes System lediglich aus dem Grund verwendet, um eine weitere Möglichkeit aufzuzeigen, das gegebene System statisch bestimmt zu machen Ein zulässiges reduziertes System ist das folgende: δp = Auflager: F H = 0 A H = [ ]; B H = 0 F V = 0 A V = B V Pendelstütze M A = 0 B V 2 = A H 5 B V = 5 2 = 2,5[ ] A H B H A V B V Schnittkräfte: +2,47 -,06-2, ,5 + (a) Normalkraft [-] (b) Querkraft [-] (c) Moment [-] Abbildung 4.0: Virtuelle Schnittgrößenverläufe [δn], [δq], [δm] Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 29

34 4 Beispiel : Kran Berechnen der Horizontalverschiebung w(p ) im Punkt i zur Folge der Last P Aus der Integration der virtuellen Schnittgrößen aus Abs mit den Dehungen und Krümmungen aus Abs ergibt sich die Horizontalverschiebung w(p ) im Punkt i: δp w(p ) = = w(p ) δn N EA dx + δq Q dx + GA Q vernachlässigbar δm M EI dx + δm M k d =0 = 2, 0 8 [89,82 ( 2,5) 5] [ + 2, ,36 + ] ,36 3 = 0,4979 m Berechnen der Horizontalverschiebung w( l ) im Punkt i zur Folge der Stabverkürzung l = Um die Horizontalverschiebung w( l ) im Punkt i zur Folge der Stabverkürzung l = zu erhalten, muss man die Dehnungen und Krümmungen aus Abs mit den Schnittgrößen aus Abs integrieren. Daraus ergibt sich: δp w( l ) = = w( l ) δn N EA dx + δq Q dx + δm M GA Q EI dx + δm M + δn u k d vernachlässigbar [5 ( 2,5) 282,43] 4 = 2, , {[ + ( 2,5) ( ) =, m ( 2564,86) ] [ ( 2564,86) ]} Berechnen der gesuchten Stabverkürzung l Die gesuchte Stabverkürzung l lässt sich mittels einer einfachen Schlussrechnung ermitteln. Einerseits ist bekannt, wie groß die Verschiebung im Punkt i ist, wenn der Stab um m verkürzt wird. Andererseits weiß man, wie groß die Verformung im Punkt i zufolge der Last P ist. Dabei muss w(p ) + w( l ) l = 0 gelten. In tabellarischer Form geschrieben folgt daraus: w H l, ,4979 x, x = 0,4979 x = 0, m = l Stab 7 muss also um 0, m verkürzt werden, damit unter der Last P keine Horizontalverschiebung des Punktes i auftritt. 30 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

35 4.4 Überprüfen der Horizontalverschiebung mittels Reduktionssatz 4.4 Überprüfen der Horizontalverschiebung mittels Reduktionssatz Laut Aufgabenstellung soll nun die Horizontalverschiebung im Knoten i mittels Reduktionssatz für die vorher berechnete Verkürzung l und der Einzellast P kontrolliert werden. Dabei darf das dafür gewählte reduzierte System nicht dem zuvor gewählten statisch bestimmten Grundsystem entsprechen. Für das reduzierte System wird am biegesteifen Eck ein Gelenk eingeführt, um es statisch bestimmt zu machen. Anschließend setzt man die virtuelle Einheitslast in die Richtung der gesuchten Verformung an und berechnet die Schnittgrößen [δn], [δq] und [δm]: Auflager: Teilsystem II δp = F H = 0 A H = ; B H = 0 M (T S II) G = 0 B V 2 = 2 B V = G Teilsystem I Pendelstütze F V = 0 A V = B V = M A = M A = 5 M A = 3 A H B H M A A V BV Schnittgrößen: +, (a) Normalkraft [-] (b) Querkraft [-] +3 (c) Moment [-] Abbildung 4.: Virtuelle Schnittgrößenverläufe [δn], [δq], [δm] Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 3

36 4 Beispiel : Kran Die soeben berechneten virtuellen Schnittgrößen müssen nun mit den realen Dehnungen und Krümmungen, die sich aus der Belastung des Grundsystems mit P und l ergeben integriert werden. Für die Berechnung der Schnittgrößen können dabei das 0 - (Abs ) und das - (Abs ) System aus der Schnittgrößenberechnung infolge der Last P verwendet werden. Es darf allerdings beim Berechnen der endgültigen Schnittgrößen nicht vergessen werden, in die Arbeitsgleichung die Stabverkürzung l aufzunehmen. Es ist unschwer zu erkennen, dass d aus der Berechnung der Schnittgrößen zufolge P übernommen werden kann. Lediglich d 0 ändert sich, da am 0 -System eine zusätzliche Belastung auftritt: d = d 0 = δn N EA dx =0 + δq Q dx GA Q vernachlässigbar + δm M EI dx + δm F M F k d + δn u [( 2, ) ] ( 2) ( 2) + 3 ( 2) , = 7, m d = 7, m X = d 0 7, = = 00,00 [ ] d 7, Mittels Superposition ergeben sich daraus folgende Schnittgrößen: N [kn] Q [kn] M [knm] -70,7+(-0,7) 00,00 = -4,70-70,7+0,7 00,00 = 0,29 0, (-2) 00,00 = 0, (-) 00,00 = -200, ,00 = 00, ,7-4, (a) Normalkraft [kn] (b) Querkraft [kn] (c) Moment [knm] Abbildung 4.2: Schnittgrößenverläufe [N], [Q], [M] zufolge P und l 32 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

37 4.4 Überprüfen der Horizontalverschiebung mittels Reduktionssatz Für die Berechnung der Horizontalverformung am Punkt i muss gefordert werden, dass diese Null ist. Ist diese Gleichung erfüllt, ist somit gezeigt, dass zur Folge der berechneten Stabverkürzung l = 0, m bei einer gleichzeitig wirkenden Last P = 00 kn die Horizontalverschiebung verschwindet. δp w } {{ H = } w H δn N EA dx + δq Q dx GA Q vernachlässigbar + δm M EI dx =0 + δm F M F k d =0 +δn u 0 = w H = 0 = w H = 0 0 = 0 2, 0 8 [00 ( ) 5] ( ) 0, Da die Gleichung erfüllt ist, ist die berechnete Stabverkürzung von l = 0, m als korrekt zu betrachten. Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 33

38 4 Beispiel : Kran 4.5 Schnittkräfte infolge der Auflagerverschiebung u Zu berechnen sind die Schnittgrößen infolge einer Auflagerverschiebung u = 8 cm nach unten am rechten Auflager. Da das an den Biegeträgern angeschlossene Fachwerk keine Belastung erfährt, sind keine Schnittkräfte im Fachwerk vorhanden. Es kann somit weggelassen werden. Übrig bleibt ein einfach statisch unbestimmtes System Wählen eines statisch bestimmten Grundsystems Ein mögliches statisch bestimmtes Grundsystem (mit angesetzter Unbekannter) ist in Abb. 4.3 dargestellt. Im Gegensatz zu Abb. 4.7 wird hier die Bindung der Drehfeder gelöst. X u = 0,08 m Abbildung 4.3: Statisch bestimmtes Grundsystem mit der statisch Unbestimmten X System Auflager: Lastfälle wie Stabverkürzungen, Auflagersenkungen oder Temperaturbelastungen führen an einem statisch bestimmten System zu keinen Zwängungen. Daher gibt es auch keine Auflagerreaktionen, was wiederum bedeutet, dass keine Schnittgrößen auftreten. [N 0 ], [Q 0 ] und [M 0 ] = 0 d 0 u = 0,08 m 34 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

39 4.5 Schnittkräfte infolge der Auflagerverschiebung u System Auflager: F H = 0 A H = 0; B H = 0 F V = 0 A V = B V M A = 0 B V 2 = 0 B V = 2 = A V ; M A = X = d A H B H M A A V B V Schnittgrößen -0,354 +0,354 -,0 0,5-0,5 (a) Normalkraft [-] (b) Querkraft [-] (c) Moment [-] Abbildung 4.4: Schnittgrößenverläufe [N ]=[δn ], [Q ]=[δq ] und [M ]=[δm ] Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 35

40 4 Beispiel : Kran Aufstellen des Gleichungssystems Aus Glg. 2.2 folgt: d = δn N EA dx + δq Q dx GA Q vernachlässigbar + δm M EI dx + δm M F F } {{ kd} Drehfeder δv L v L Lagerverschiebung Klaffung am 0-System d 0 = ,08 = 0,04 rad 2 Klaffung am -System d = Gleichungssystem 5 2, ( ) [ 2, ( ) ( ) 2 ] =, rad 0,04 +, X = 0 Lösung X = 205,89 36 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens

41 4.5 Schnittkräfte infolge der Auflagerverschiebung u Bestimmen der endgültigen Auflagerreaktionen Die endgültigen Auflagerreaktionen ergeben sich analog zur Schnittkraftermittlung durch Superposition (Glg. 2.9): A H = ,89 0 = 0 B H = ,89 0 = 0 A V = ,89 0,5 = 02,59 kn B V = ,89 0,5 = 02,59 kn M A = ,89 = 205,9 knm Berechnen der endgültigen Schnittgrößen N [kn] Q [kn] 205,89 0,5 = -02,60 205,89 0,5 = 02,60 205,89 (-0,345) = -72,64 205,89 0,5 = 02,60 M [knm] (-) 205,89 = -205,89 Schnittgrößen -72,64 +72,64-205,9 02,60-02,60 (a) Normalkraft [kn] (b) Querkraft [kn] (c) Moment [knm] Abbildung 4.5: Schnittgrößenverläufe [N], [Q] und [M] zufolge u Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens 37

42 4 Beispiel : Kran 4.6 Vertikalverformung im Knoten j zufolge einer konstanten Temperaturbelastung 4.6. Wählen eines statisch bestimmten Grundsystems Um eine weitere Variante eines statisch bestimmten Grundsystems dieses Beispiels kennenzulernen, wird nun am Biegesteifen Eck ein Gelenk eingeführt und als statisch Unbestimmte ein Momentenpaar angesetzt: T m = 20 T m = 20 X Abbildung 4.6: Statisch bestimmtes Grundsystem mit der statisch Unbestimmten X System T m Auflager: T m d 0 Lastfälle wie Stabverkürzungen, Auflagersenkungen oder Temperaturbelastungen führen an einem statisch bestimmten System zu keinen Zwängungen. Daher gibt es auch keine Auflagerreaktionen, was wiederum bedeutet, dass keine Schnittgrößen auftreten. [N 0 ], [Q 0 ] und [M 0 ] = 0 38 Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens