Unterrichtsentwurf. Thema der Unterrichtseinheit: Lineare Funktionen. Klasse: 8 R ( 28 Schüler/innen; 15 Mädchen / 13 Jungen) Ort: Datum: Zeit:

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1 Unterrichtsentwurf Thema der Unterrichtseinheit: Lineare Funktionen Thema der Stunde: Vergleich von zwei LKW-Mietangeboten Fach: Mathematik Klasse: 8 R ( 28 Schüler/innen; 15 Mädchen / 13 Jungen) Ort: Datum: Zeit:

2 2 Inhaltsverzeichnis 1 Aufbau der Unterrichtseinheit 3 2 Lernziele Grobziel Feinziele 3 3 Lernvoraussetzungen in Bezug auf die Klassensituation in Bezug auf die Inhalte in Bezug auf die Arbeits- und Sozialformen in Bezug auf den Leistungsstand 5 4 Sachanalyse 5 5 Didaktische Analyse Fachrelevanz Schüler- und Gesellschaftsrelevanz Didaktische Analyse in Bezug auf die Stunde 7 6 Methodische Analyse 8 7 Literaturliste 10 8 Stundenverlaufsplanung 11 9 Anlagen 12

3 3 1 Aufbau der Unterrichtseinheit ( 20 Stunden) Einführung des Funktionsbegriffs Funktionen von anderen Zuordnungen unterscheiden Graphen nach Wertetabelle zeichnen Wertepaare aus Funktionsgraphen ablesen Lineare Funktionen beschreiben und graphisch darstellen - Vergleich von zwei LKW-Mietangeboten (10. Stunde) Sachaufgaben mit Hilfe von linearen Funktionen graphisch lösen Nullstellen linearer Funktionen graphisch und rechnerisch bestimmen 2 Lernziele 2.1 Grobziel: Die Schülerinnen und Schüler 1 sollen durch Lösen der Sachaufgabe erkennen, dass im Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen, beide Funktionen den gleichen Funktionswert besitzen. 2.2 Feinziele: Die Schüler sollen FZ 1: das Problem erkennen. (Zwei Mietangebote sollen verglichen werden.) FZ 2: eine Lösungsstrategie entwickeln. (Aufstellen einer Tabelle; Aufstellen zweier linearer Funktionen und Zeichnen der Graphen; rechnerische Lösung durch Gleichsetzen der Funktionen) FZ 3: ihre jeweilige Lösungsstrategie anwenden und das Ergebnis in Hinblick auf die Problemstellung bewerten. FZ 4: ihre Lösungsstrategie anhand der Präsentation der Ergebnisse erklären. FZ 5: den Schnittpunkt der beiden Funktionen bewerten und Schlussfolgern, dass sie an dieser Stelle die gleichen Funktionswerte haben. 1 Um den Text besser lesen zu können, verzichte ich im Folgenden auf die weiblichen Endungen. Es sind immer Schülerinnen und Schüler gemeint.

4 4 3 Lernvoraussetzungen 3.1 in Bezug auf die Klassensituation Seit Beginn meines Anwärterdienstes unterrichte ich die Klasse 8. Diese Klasse setzt sich aus 15 Mädchen und 13 Jungen zusammen. Im Schuljahr 2001/2002 sind drei neue Schüler (xx., xx und xx) in die Klasse gekommen, die mittlerweile gut in die Klassengemeinschaft integriert sind. In den letzten Wochen fielen speziell einige Jungen in der Klasse negativ auf. Sie waren häufig unaufmerksam und unterhielten sich mit ihren Nachbarn, wodurch dann auch einige Mädchen vom Unterricht abgelenkt wurden. Dieses Verhalten wurde auch von anderen in der Klasse unterrichtenden Kollegen beobachtet. Da die auffälligen Schüler das gesamte Leistungsspektrum einnehmen, kann eine Über- oder Unterforderung ausgeschlossen werden. Ich versuche durch gezielte Einzelgespräche mit Schülern und Eltern sowie motivierenden Unterricht, der nach Möglichkeit Aufgaben aus der Lebenswelt der Schüler aufgreift, diesem Verhalten entgegenzuwirken. Außerdem tausche ich mich mit dem Klassenlehrer und anderen Lehrkräften der Klasse über mögliche Maßnahmen aus. Durch eine veränderte Sitzordnung und der Zusammenarbeit mit den unterrichtenden Lehrern der Klasse konnte bei einigen Schülern das Verhalten bereits verbessert werden. 3.2 in Bezug auf die Inhalte Die Schüler kennen das Bearbeiten von Sachaufgaben bereits aus vorangegangenen Stunden. Trotzdem bereitet es den Schülern Probleme, die Aufgaben in ein mathematisches Modell zu übertragen. Der Vergleich von zwei Funktionen ist neu in dieser Stunde. Lineare Funktionen und stückweise lineare Funktionen sind von den Schülern bereits im Unterricht behandelt worden. Die Bedeutung der Schnittpunkte von Funktionen wurden aber noch nicht thematisiert. Außerdem ist die Kombination der zwei Funktionstypen neu. 3.3 in Bezug auf die Arbeits- und Sozialformen Die Schüler sind das Arbeiten in Gruppen, Partner- und Einzelarbeit gewohnt. Die Arbeitsergebnisse verständlich zu präsentieren bereitet ihnen allerdings noch Schwierigkeiten, die nur durch ständiges Üben behoben werden können. So versuche ich, möglichst häufig Schüler in die Tafelarbeit einzubeziehen.

5 5 3.4 in Bezug auf den Leistungsstand Leistungsstärkere Schüler sind: xxx xxx xxxx. Zu den leistungsschwächeren Schülern der Klasse gehören: xxx, xxx xxx. 4 Sachanalyse Eine Funktion ist eine spezielle Form der Abbildung, bei der jedem Element der Urbildmenge, genau ein Element der Bildmenge zugeordnet wird. 2 Somit ist eine Funktion eine Relation, in der jedem Element der Menge A genau ein Element der Menge B, zugeordnet ist. f : A B x f ( x) D(f):= A ist der Definitionsbereich von f. W(f):= { f ( a) a A} B ist der Wertebereich von f. Funktionsgleichung: y= f(x), Funktionsterm: f(x) Graph von f: Menge der Punkte (x, f(x)) in der x, y - Ebene. 3 Lineare Funktionen sind ein Teilbereich der Funktionen. Ihre Funktionsgleichungen können in der Form y = a x + b dargestellt werden. Der Graph einer linearen Funktion beschreibt eine Gerade mit der Steigung a und dem Schnittpunkt (0 b) auf der y-achse. 4 Wenn die Funktion durch y = 0 x + b gegeben ist, verläuft der Graph der Funktion parallel zur x-achse. Man spricht hierbei von einer konstanten Funktion. Eine lineare Funktion schneidet die x-achse für alle x, die die Gleichung 0 = a x + b erfüllen. Der Graph einer Funktion f zu einer Gleichung der Form y = durch den Nullpunkt mit der Steigung m. Falls m 0 ist, gilt D = W... 5 m x ist stets eine Gerade Stückweise lineare Funktionen sind aus zwei oder mehr linearen Funktionen zusammengesetzt. Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich genau dann, wenn beide Funktionen für genau ein x den gleichen Funktionswert f(x) haben. 2 Vgl. Hans-Jochen Bartsch, Mathematische Formeln. Leipzig , S Gerhard Merziger, Formeln + Hilfen zur höheren Mathematik, Hannover ² 1996, S Vgl. Max Schröder (Hg.), Welt und Zahl 8. Schroedel, Hannover 1993, S Wilhelm Kuypers (Hg.), Mathematik. 8. Schuljahr, Cornelsen, Berlin 1993, S. 124.

6 6 5 Didaktische Analyse 5.1 Fachrelevanz Die Rahmenrichtlinien des Landes Niedersachsen für das Fach Mathematik an Realschulen schreiben das Thema Lineare Funktionen für die achte Klasse verbindlich vor. 6 Nach dem schulinternen Stoffverteilungsplan sind für dieses Thema fünf Unterrichtswochen vorgesehen. Der Funktionsbegriff ist ein zentraler Begriff der Mathematik. 7 Dieses wird in der vielfältigen Behandlung des Themas im Unterricht deutlich. So greift diese Einheit auf die Themenkreise Zuordnungen, Prozentrechnung und lineare Gleichungen zurück und bereitet die Behandlung von linearen Gleichungssystemen, quadratischen Funktionen und Gleichungen, Wachstumsprozessen und trigonometrischen Funktionen vor. 8 Mit Hilfe von Funktionen lassen sich zahlreiche Sachsituationen analysieren und dadurch besser verstehen. 9 Erst das Aufstellen von Funktionen ermöglicht ein strukturiertes Lösen und Bearbeiten vieler Sachaufgaben. Ein Teilthema hiervon ist der Vergleich zweier Funktionen. 5.2 Schüler- und Gesellschaftsrelevanz Der sichere Umgang mit Funktionen ist in vielen Fächern wichtig. So werden z. B. in Physik und Erdkunde Abhängigkeiten mit Hilfe von Funktionen dargestellt. Die Bewertung der Funktionen in Hinblick auf ihre Aussagen steht dabei im Vordergrund. 10 Eine der wichtigsten Aufgaben der Schule, die Schüler zu mündigen Bürgern der Gesellschaft zu erziehen, wird durch die Behandlung dieser Einheit weiterverfolgt. Der Umgang mit Funktionen geht weit über den schulischen Bereich hinaus. So werden in kaufmännischen Berufen Wachstumsprozesse durch Funktionen dargestellt. Ein Aufschlagen der Zeitung genügt, um mit Funktionen konfrontiert zu werden. Es werden Arbeitslosenzahlen, Börsenkurse und viele weitere Statistiken durch Funktionen erläutert. 6 Vgl. Rahmenrichtlinien für die Realschulen. Mathematik, Niedersachsen, Hannover 1992, S Rahmenrichtlinien für die Realschulen. Mathematik, Niedersachsen, Hannover 1992, S Vgl. Rahmenrichtlinien für die Realschulen. Mathematik, Niedersachsen, Hannover 1992, S Rahmenrichtlinien für die Realschulen. Mathematik, Niedersachsen, Hannover 1992, S Vgl. Susanne Müller-Philipp, Der Funktionsbegriff im Mathematikunterricht. Münster 1994, S.16ff.

7 7 5.3 Didaktische Analyse in Bezug auf die Stunde Der Einstieg erfolgt über die Schilderung, dass ein LKW gemietet werden soll. Die Mietangebote von Autovermietungen 11 wurden von mir leicht verändert. So wurden die Angebote übersichtlicher gestaltet. Die zusätzliche Angabe der Nettopreise und die genauen Tarifbezeichnungen hätten die Schüler nur verwirrt und sich nachteilig auf die Erarbeitung ausgewirkt. Die Preise wurden außerdem vereinfacht, da es nicht um das korrekte Berechnen von Preisen, z. B. für eine Klassenfahrt geht, sondern um das Finden einer Lösung durch den Vergleich zweier Funktionen. Um die anschließende Problemlösung vorzubereiten, sollen die Schüler erst ein Beispiel durchrechnen. Anhand dieser Berechnung wird das Arbeiten mit den Preislisten kurz besprochen, um so Schwierigkeiten vorzubeugen. Die anschließende Problemstellung wird hierdurch erleichtert. Besonders für leistungsschwächere Schüler ist das Arbeiten vom Konkreten (Durchrechnen eine Beispiels) zum Allgemeinen (Lösen des Problems durch lineare Funktionen) leichter, als sofort die Angebote allgemein miteinander zu vergleichen. Für diesen Vergleich müssen die Angaben in ein mathematisches Modell übertragen werden. Um eine Vorstellung von der Aufgabe zu bekommen, ist das Aufstellen einer Wertetabelle hilfreich. Durch die Wertetabelle können bereits erste Vermutungen geäußert werden, welches Angebot unter welchen Voraussetzungen am günstigsten ist. Für die endgültige Lösung haben die Schüler jetzt mehrere Möglichkeiten. Durch ein geschicktes Auswählen der Werte in der Wertetabelle ist eine Annäherung an die kritischen Punkte, bei denen die beiden Funktionen die gleichen Werte haben, besser möglich. Die Schüler können aber auch die Werte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem übertragen und durch das Verbinden der Punkte zwei Funktionsgraphen erhalten. Die dritte Möglichkeit ist das Aufstellen und Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen. Dieser Lösungsweg ist aber am unwahrscheinlichsten, da hierfür bereits ein sehr großes Verständnis von Funktionen vorhanden sein muss, welches über den bereits behandelten Stoff hinausgeht. Die ersten beiden Lösungswege sollen nach Möglichkeit von den Schülern präsentiert werden. Ein direkter Vergleich der Tabelle und des Koordinatensystems ist für eine Bewertung der Schnittpunkte wichtig. In der Tabelle können die Schüler die einzelnen Werte direkt miteinander vergleichen, während sie im Koordinatensystem die Funktionen insgesamt auswerten müssen. Durch diese Kombination der Darstellungsweisen sollen die Schüler erkennen, was es bedeutet, wenn ein Funktionsgraph über dem anderen liegt und 11 Siehe Arbeitsblatt.

8 8 welche Besonderheit die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen haben. Auf die rechnerische Lösung soll in dieser Stunde nur eingegangen werden, wenn diese von den Schülern als Lösung gefunden wurde. Die Funktionen wurden so ausgewählt, dass sie zwei Schnittpunkte besitzen, weil die Entscheidung, wann welches Angebot günstiger ist, hierdurch erschwert wird. Die Schüler sollen ihre Lösung vor der Klasse begründen, weil wahrscheinlich nicht alle Schüler beide Schnittpunkte berücksichtigt haben. Gerade die Lösung mit Hilfe der Wertetabelle kann ungenügend sein. Der Vorteil der Funktionsgraphen wird so für die Schüler deutlich. Zur Festigung sollen die Schüler als Hausaufgabe untersuchen, welche Firma günstiger ist, wenn der LKW für zwei Tage benötigt wird. Die vorher erarbeiteten Lösungsstrategien müssen sie hierfür auf ein ähnliches Problem übertragen. Welcher Weg eingeschlagen wird, soll nicht vorgegeben werden. Die Erkenntnis, dass durch eine Zeichnung der Funktionsgraphen die Lösung besser zu erreichen ist als über eine Tabelle, sollen die Schüler selbst gewinnen. (Im Koordinatensystem kann der Verlauf der Funktionen besser abgeschätzt werden, als es durch eine Tabelle möglich ist.) In der nächsten Stunde sollen dann die Berechnungen für einen Tag und für zwei Tage verglichen werden. Die Schüler sollen hierdurch erkennen, dass bis auf die Steigung alle Werte verdoppelt wurden. 6 Methodische Analyse Als Einstieg erzähle ich den Schülern, dass ich für den bevorstehenden Umzug einen Miet- LKW benötige. Da die Schüler bestimmt auch einmal in eine ähnliche Situation kommen, habe ich ihnen zwei Angebote von Autovermietungen mitgebracht. Durch diese Situationsbeschreibung sollen die Schüler motiviert werden, sich mit dem Sachproblem auseinanderzusetzen. Ich fordere die Schüler bewusst nicht dazu auf, mir bei der Lösung des Problems zu helfen, da sie dieses Hilfeersuchen nicht ernst nehmen würden. Dagegen wird das zukünftige Leben der Schüler angesprochen und somit die Wichtigkeit des Themas für sie deutlich. Ein weiteres realitätsnahes Beispiel wäre der Vergleich von Angeboten für eine Klassenfahrt. Da im Moment aber keine Klassenfahrt geplant ist, habe ich mich dagegen entschieden.

9 9 In der Erarbeitung sollen die Schüler das Problem in Partnerarbeit lösen. Diese Sozialform gibt den Schülern die Möglichkeit, über mögliche Lösungsansätze zu sprechen. Da die Schüler arbeitsgleich arbeiten, müssen nicht alle ihre Ergebnisse vorstellen. Die Präsentation erfolgt nur durch wenige ausgesuchte Schüler. Bei der Auswahl ist nicht nur das Ergebnis als solches von Bedeutung, sondern auch der Lösungsweg. Nach Möglichkeit sollen die Schüler verschiedene Lösungswege (Tabelle, Koordinatensystem) vorstellen. Dieses ermöglicht eine Reflektion der Lösungswege, die aber erst am Ende der Stunde folgen soll. Verschiedene gleichwertige Lösungswege haben außerdem den Vorteil, dass unterschiedliche Erklärungen mehr Schüler erreichen und eine größere Klarheit über die Aufgabe geben. Für die Präsentation werde ich vorab Plakate erstellten. Für das Vorstellen des Koordinatensystems ist bereits auf einem Plakat das Koordinatensystem eingezeichnet. Den Schülern wird so das Einzeichen der Funktionsgraphen erleichtert, weil sie nicht erst noch über die Größenverhältnisse nachdenken müssen. Es ist zwar wichtig, dass die Schüler lernen, ihre Produkte in der richtigen Größe zu präsentieren, dieses ist aber besonders bei Koordinatensystemen auf Plakaten schwierig, da hier die Einteilungen der Achsen einen anderen Maßstab als im Heft erfordern. Eine mögliche Alternative wäre, dass die Schüler ihre Ergebnisse auf Folien übertragen. Dieses würde eine Vorgabe von mir, so wie bei den Plakaten, unnötig machen. Um aber verschiedene Lösungswege vergleichen zu können, müssten mehrere Tageslichtprojektoren aufgebaut werden. Der Vergleich von Plakaten die nebeneinander an der Tafel hängen ist für die Schüler leichter, da auch auf den Plakaten und der Tafel Querverbindungen hergestellt werden können. Eine weitere Möglichkeit wäre die Präsentation an der Tafel. Das Anschreiben der Ergebnisse während der Erarbeitungsphase würde die Klasse ablenken, während der Präsentation dagegen relativ viel Zeit in Anspruch nehmen. Aus diesen Gründen habe ich diese Möglichkeit verworfen. Die Präsentation könnte durch die Unterbrechung beim Einzeichnen auch nicht so flüssig ablaufen. Als Hausaufgabe sollen die Schüler die Berechnung für zwei Miettage durchführen.

10 10 7 Literaturliste Bartsch, Hans-Jochen, Mathematische Formeln. Leipzig Kuypers Wilhelm (Hg.), Mathematik. 8. Schuljahr, Cornelsen, Berlin Malle Günther (Hg.), Mathematiklehren. Funktionen, Band 75, April Malle Günther (Hg.), Mathematiklehren. Funktionen untersuchen, Band 103, Dezember Merziger, Gerhard, Formeln + Hilfen zur höheren Mathematik, Hannover ² Müller-Philipp, Susanne, Der Funktionsbegriff im Mathematikunterricht. Münster Rahmenrichtlinien für die Realschulen. Mathematik, Niedersachsen, Hannover Schröder Max (Hg.), Welt und Zahl 8. Schroedel, Hannover 1993.

11 11 8 Stundenverlaufsplanung Zeit/ Phase/ Ziele Einstieg Problemstellung FZ Erarbeitung FZ 2, FZ Präsentation Geplantes Lehrerverhalten, Lernorganisation Erwartetes Schülerverhalten Aktionsform/ Medien/ Sozialform/ Begrüßung L: Nach meinem Anwärterdienst werde ich umziehen müssen. Hierfür brauche ich einen Miet-LKW. Da ihr später vielleicht auch bestimmt umziehen werdet, möchte ich mit euch Angebote vergleichen. L. fragt nach bekannten Autovermietungen. L. fragt, wo man Angebote bekommen kann. L. lässt ein Beispiel durchrechnen und schreibt die Ergebnisse an die Tafel. L.: Es ist jetzt aber nicht sicher, ob ich nicht doch sofort eine Stelle bekomme. Ist Angebot A immer billiger? L. gibt noch einige Vorgaben für die Erarbeitung. (15 min Zeit, PA) L. verteilt die Arbeitsblätter. L. unterstützt L. teilt die Plakate zur Präsentation aus. S. nennen einige Autovermietungen. (Europcar, Auras, Sixt, Avis, Hiro,...) S. berechnen ein Beispiel (180 km) und erklären wie sie die Lösung gefunden haben. S. beschreiben, was im Folgenden gemacht werden soll. (Wir sollen die beiden Angebote vergleichen und sagen, welches Angebot wann günstiger ist.) S. lösen das Problem. S. übertragen ihre Lösungen auf die Plakate. L. unterstützt bei der Präsentation. S. präsentieren ihre Ergebnisse. S. stellen Fragen zu den Ergebnissen. LV UG / Plakat Tafel Folie Arbeitsblätter PA Arbeitsblätter Plakate SV Tafel Plakate FZ 3, FZ Reflektion FZ 5 L.: Welches Angebot ist an am günstigsten? L.: Was bedeutet es, wenn sich die beiden Funktionen schneiden? L.: Welchen Lösungsweg findet ihr am besten? HA: Welches Angebot ist wann günstiger, wenn der Umzug zwei Tage dauert? S. vergleichen die Angebote und nennen die Bereiche, in denen Angebot A bzw. Angebot B günstiger sind. S. erklären, dass im Schnittpunkt die beiden Funktionen den gleichen Funktionswert haben. S. überlegen, welcher Lösungsweg zur Lösung des Problems sinnvoller ist. S. wiederholt die Hausaufgabe. Tafel Plakate L-S-G

12 Europcar Autovermietung LKW Preisliste Gültig ab alle Preise in EUR Angebot A: Beispielansicht Gruppe Fahrzeugtypen Nutzlast t Laderaummaße l / b / h in cm 1 Tag inkl. 200 km je mehr gefahrene Kilometer Haftung im Schadenfall 220 VW T4 1 1, Kasten ,00 EUR 2 Mercedes Sprinter 211 1, ,00 EUR Hiro Nutzfahrzeuge Typ Wochen- Tarif (Mo. - Do.) Pauschal pro Tag Zusatz- km Wochenendtarif (Fr. - So.) Pauschal Zusatz- km Angebot B: Ford Transit FT Mercedes Sprinter IVECO Daily 35 S Währung: EUR Gültigkeit: ab Es gelten die allgemeinen Versicherungsbedingungen