Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

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1 Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

2 : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration 11 Differenzieren 2 Partielle Ableitung Kurvendiskussion Optimierung mit

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4 T ( f(x)) r

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7 Partielle Differenzierbarkeit Betrachtet werden Funktionen f : D R, D R n mit x = (x 1,..., x n) f(x) = f(x 1,..., x n) = z außerdem: i-ter Einheitsvektor e i = (0,...,0,1,0,...,0) und: x + h e i D mit h > 0 Definition f heißt im Punkt x partiell differenzierbar bei Existenz des Genzwerts: f(x + h e i ) f(x) lim h 0 h In diesem Fall heißt dieser Grenzwert f xi (x) die erste partielle Ableitung von f nach x i im Punkt x. Schreibweisen: f i (x) = f xi (x) = f(x) x i 207

8 Partielle Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit auf D 1 D Die Funktion f : D R n R heißt in D 1 D partiell differenzierbar wenn f für alle x D 1 partiell differenzierbar ist Gradient Ist die Funktion f : D R n R im Punkt x nach allen Variablen x 1,..., x n differenzierbar, dann heißt grad f(x) = f(x) = f(x) x 1. f(x) x n Gradient von f im Punkt x D 208

9 Tangentialhyperebenen Tangentialebene Gegeben: f : D R 2 R und ein Punkt x = ( x 1, x 2 ) Gesucht: Ebene, die f in x berührt Tangentialebene: T(x 1, x 2 ) = f(x) + f x 1 ( x) (x 1 x 1 ) + f x 2 ( x) (x 2 x 2 ) Tangentialhyperebene Gegeben: f : D R n R und ein Punkt x Gesucht: Ebene, die f in x berührt Tangentialhyperebene: H(x) = f( x) + ( f( x)) T (x x) 209

10 Beispiel Tangential(hyper)ebene Gegeben: f : R 2 R mit f(x, y) = 4x 3 y 2 + 2y Gesucht: Tangentialebene im Punkt (1, 2, f(1, 2))

11 Richtungsableitungen Voraussetzungen f : R n D R und ein Punkt x D mit stetig partiellen Ableitungen in D und ein Punkt x D f(x) und ein Richtungsvektor r D mit r = 1. Außerdem: Es existiert sowohl ein ɛ > 0 mit [x ɛr; x + ɛr] D f(ˆx + r) f(ˆx) als auch der Grenzwert r f(x + t r) f(x) lim t 0 t Richtungsableitung x2 ˆx + r ˆx x1 Dann heißt ( f(x)) T r Richtungsableitung von f an der Stelle x in Richtung r 211

12 Beispiel Tangential(hyper)ebene Gegeben: f : R 2 R mit f(x, y) = x e y + cos(xy) Gesucht: Ableitung im Punkt (2,0) in Richtung des Vektors ( )

13 Höhere partielle Ableitungen Voraussetzungen Funktion f : D R, D R n in D nach allen Variablen x 1,..., x n partiell differenzierbar, auch partiell differenzierbar: alle partiellen Ableitungen f x1,..., f xn. Dann heißt f zweimal partiell nach allen Variablen differenzierbar. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung für i, j = 1,..., n: f ij (x) = f xi x j (x) = x j ( ) f(x) = 2 f(x) x i x j x i Achtung: Zuerst nach x i, dann nach x j differenzieren 213

14 Satz von Schwarz Voraussetzungen f : R n D R ist zweimal stetig partiell differenzierbar in D 2. partielle Ableitungen: 2 f(x) x i x j mit i, j {1,..., n} Dann gilt für alle x D Hermann Schwarz ( ) 2 f(x) = 2 f(x) x i x j x j x i 214

15 Hessematrix Gegeben Zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion f : R n D R Definition Die symmetrische Matrix ( 2 ) f H f (x) = = x i x j 2 f x 1 x 1 2 f x 2 x 1. 2 f x n x 1 2 f x 1 x 2 2 f x 1 x n 2 f x 2 x 2 2 f x 2 x n f x n x 2 2 f x n x n heißt Hessematrix 215

16 Lokale Extrema und der Gradient Notwendige Bedingung für lokale Extrema Gegeben: Funktion f : R n D R stetig partiell nach allen Variablen differenzierbar f hat im Punkt x ein lokales Minimum oder Maximum Dann gilt: f( x) = 0 1 Beispiel f : R 2 R f(x, y) = sin 2 (x) cos(4y)

17 Definitheitseigenschaften der Hessematrix Am Punkt x heißt die Hessematrix H f ( x) positiv definit, wenn x T H f ( x) x > 0, positiv semidefinit, wenn x T H f ( x) x 0, negativ definit, wenn x T H f ( x) x < 0, negativ semidefinit, wenn x T H f ( x) x 0 jeweils für alle x gilt. Andernfalls heißt H f ( x) indefinit. 217

18 Einfache Kriterien zu Definitheitseigenschaften Hauptunterdeterminanten Satz Gegeben: Symmetrische n n-matrix A Dann heißt a 11 a 1i det H i = det.. a i1 a ii die i-te Hauptunterdeterminante (i = 1,..., n) von A. Matrix A positiv definit det H i > 0 alle Eigenwerte von A sind positiv Matrix A negativ definit ( 1) i det H i > 0 alle Eigenwerte von A sind negativ 218

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21 Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Voraussetzungen D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar Es gibt ein x, für das f( x) = 0 Satz H f ( x) ist negativ definit x ist lokale Maximalstelle von f H f ( x) ist positiv definit x ist lokale Minimalstelle von f H f ( x) ist indefinit x ist keine lokale Extremalstelle von f H f (x) ist positiv definit für alle x D x ist einziges globales Minimum von f H f (x) ist negativ definit für alle x D x ist globales Maximum von f 219

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23 Konvexität und Konkavität Voraussetzungen Satz D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar H f (x) ist positiv definit für alle x D f ist streng konvex in D H f (x) ist negativ definit für alle x D f ist streng konkav in D H f (x) ist positiv semidefinit für alle x D f ist konvex in D H f (x) ist negativ semidefinit für alle x D f ist konkav in D 220

24 Beispiel Problem Betrachte f : R 2 R mit f(x, y) = x 2 + 2y 2 Gesucht: Punkt in R 2 mit kleinstem Wert von f auf der Geraden 2y + x 3 = 0 221

25 Allgemeines Problem Aufgabe Maximiere (oder minimiere) Funktion f : R n R in Abhängigkeit von x = (x 1,..., x n ), so dass die g i (x) = 0 mit g i : R n R und i = 1,..., m erfüllt sind Kurz: f(x) max (min) NB: g 1 (x) = 0. g m (x) = 0 222

26 Der Ansatz von Lagrange Idee von Lagrange Gut wäre: Transformation des Optimierungsproblems mit in eines ohne NB. Im Optimum: Gradient der zu optimierenden Funktion und Gradient der NB sind parallel Lagrangefunktion Gegeben: Optimierungsproblem (O) mit f(x) max(min) unter den g j (x) = 0 für j = 1,..., m Dazu wird definiert: Lagrangefunktion L : R n+m R L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = L(x, λ) = f(x) + m λ j g j (x) j=1 223

27 Satz von Lagrange Voraussetzungen f : R n D R, zweimal stetig partiell differenzierbar Optimierungsproblem (O) mit f(x) max (min) unter den g j (x) = 0 für j = 1,..., m Hessematrix der Lagrangefunktion: ^H L (x, λ) = 2 L(x,λ) x 1 x 1. 2 L(x,λ) x n x 1 2 L(x,λ) x 1 x n. 2 L(x,λ) x n x n Eine Lösung ( x, λ) des Systems L(x, λ) = 0 Dann gilt: ^H L ( x, λ) negativ definit x ist lokales Maximum von (O) ^H L ( x, λ) positiv definit x ist lokales Minimum von (O) ^H L (x, λ) negativ definit für alle x x ist globales Maximum von (O) ^H L (x, λ) positiv definit für alle x x ist globales Minimum von (O) 224

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29 Variable Lagrange Multiplikatoren Voraussetzungen f : R n D R, zweimal stetig partiell differenzierbar Optimierungsproblem (O) mit f(x) max (min) unter den g j (x) = 0 für j = 1,..., m Lagrangefunktion ^L(x) = f(x) + m λ(x)g j (x) j=1 Dann gilt: Ist x eine Maximalstelle bzw. Minimalstelle von ^L mit g j ( x) = 0 für alle j = 1,..., m dann ist x auch Maximalstelle bzw. Minimalstelle von (O) 225

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