Bisher. Wiederholung NFA Modellierung durch NFA Kripke-Struktur

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1 Bisher Wiederholung NFA Modellierung durch NFA Kripke-Struktur Model-Checking Modell beschrieben durch Kripke-Struktur A Spezifikation ϕ in einer Temporallogik Verifikation: Nachweis, dass die Struktur A die Formel ϕ erfüllt 1

2 Temporallogiken Anforderungen an das dynamische Verhalten von Systemen (Eigenschaften von Pfaden in Kripke-Strukturen) Beispiele: In jedem Zustand ist eine Fortsetzung möglich. Ab einem bestimmten Zustand gilt ϕ immer. ϕ gilt (wenigstens) solange, bis ψ gilt. Es wird immer wieder (unendlich oft) eine Situation erreicht, in der ϕ gilt. Bei jeder Ausführung gilt ϕ irgendwann. prominente Temporallogiken: LTL Linear-time Temporal Logic CTL Computation Tree Logic CTL Branching-time Logic Erweiterungen der Aussagenlogik (entscheidbare) Fragmente der Prädikatenlogik FOL 2

3 Temporale Logik LTL Syntax (linear time logic) Modalitäten: F (oder ) einstellig (future) G (oder ) einstellig (general) X (oder ) einstellig (next) U zweistellig (until) Syntax der Formeln aus LTL(P) in BNF: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ ϕ ψ Fϕ Gϕ Xϕ ϕuψ mit p P, ϕ, ψ LTL(P) 3

4 Temporale Logik LTL Beispiele Fp Gq pur F(p Gr) qup pu(qur) GFp F(q s) interpretiert in (Pfaden der) Kripke-Struktur (W, R, β) mit W = {1, 2, 3} R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} β(1) = {p, q}, β(2) = {q, r}, β(3) = {r} 4

5 Temporale Logik LTL Semantik LTL-Formeln werden interpretiert in Paaren (π, i) mit einem Pfad π : N W und einer ausgezeichneten Position i N in einer Kripke-Struktur K = (W, R, β) (induktive) Definition: Wert ϕ (π,i) von ϕ LTL(P) in Pfad (π, i) (in (W, R, β)) mit i N: p (π,i) = V (i, p) ϕ (π,i) = 1 ϕ (π,i) ϕ ψ (π,i) = max{ ϕ (π,i), ψ (π,i) } ϕ ψ (π,i) = min{ ϕ (π,i), ψ (π,i) } Fϕ (π,i) = max{ ϕ (π,j) i < j} Gϕ (π,i) = min{ ϕ (π,j) i < j} Xϕ (π,i) = ϕ (π,i+1) 1 falls j > i : ϕuψ (π,i) = 0 sonst ψ (π,j) = 1 k {i,..., j 1} : ϕ (π,k) = 1 Kripke-Struktur (W, R, β) mit u W erfüllt ϕ gdw. für alle Pfade π mit π(0) = u gilt ϕ (π,0) = 1. 5

6 Temporale Logik LTL Beispiele Fp Gq pur F(p Gr) qup pu(qur) GFp F(q s) Jeder begonnene Vorgang wird schließlich abgeschlossen. Es ist nie möglich, dass eine Ampel Rot und Grün zugleich zeigt. Die Sonne geht immer wieder (unendlich oft) auf. Bevor das Haus fertig ist, wird nicht gefeiert. 6

7 LTL als FOL-Fragment Übersetzung in klassische Prädikatenlogik: LTL-Formel Aussagenvariablen in einstellige Relationssymbole (Eigenschaften von Welten) ein zweistelliges Relationssymbol Variablen bezeichnen Welten N Kripke-Struktur (W, R, β) als algebraische Struktur W Trägermenge (Individuen) einstellige Relationen p für jedes p P Beispiele: F p zu y : (x y p(y)) Gp zu y : (x y p(y)) G (p Fq) zu y : (x y (p(y) z : (y z q(z)))) 7

8 Temporale Logik LTL Äquivalenzen Xϕ X ϕ Fϕ G ϕ Gϕ F ϕ XF ϕ FXϕ XGϕ GXϕ GGϕ XGϕ FF ϕ XFϕ X(ϕ ψ) Xϕ Xψ X(ϕ ψ) Xϕ Xψ G(Gϕ Gψ) XGϕ XGψ F(Fϕ Fψ) XFϕ XF ψ Xϕ fuϕ F ϕ tuϕ Gϕ (tu ϕ) Aus Xϕ folgt Fϕ Aus Gϕ folgt Xϕ Aus FGϕ folgt GF ϕ 8

9 Schließen in LTL Modell-Problem: gegeben: ϕ LTL(P), Kripke-Stuktur K = (W, R, β) mit u W Frage: Ist (K, u) ein Modell für ϕ Verfahren: Markierungsalgorithmus Erfüllbarkeits-Problem: gegeben: ϕ LTL(P) Frage: Ist ϕ erfüllbar Verfahren: Tableau-Kalkül (LV Wissensmanagement) 9

10 Temporale Logik CTL - Motivation (Computation Tree Logic) Aussagen wie In jeder Situation kann ein Notausgang erreicht werden. Die Ampel kann immer rot bleiben. lassen sich nicht in LTL ausdrücken Verzweigung in verschiedene Ausführungspfade notwendig 10

11 Temporale Logiken Syntax von CTL P Menge von Aussagenvariablen Menge CTL (P) aller CTL -Formeln mit Aussagenvariablen aus P BNF ϕ ::= p ϕ ϕ ψ Xϕ Fϕ Gϕ ϕuψ Eϕ Aϕ wobei p P, {,,, } t, f,,, wie in AL(P) ableitbar temporale Junktoren: X, F, G (einstellig) und U (zweistellig) Pfadquantoren A, E (einstellig) 11

12 Temporale Logiken Semantik von CTL Für eine Formel ϕ CTL (P), einen Pfad p = (p 1, p 2,...) und einen Zeitpunkt i N in einer Kripke-Struktur M = (W, R, β) gilt M, p, i = ϕ (ϕ ist im Zeitpunkt i der Berechnung p erfüllt) gdw. ϕ = q P und q β(p i ) ϕ = ψ und M, p, i = ψ ϕ = ψ 1 ψ 2 und (M, p, i = ψ 1 oder M, p, i = ψ 2 ) ϕ = Xψ und M, p, i + 1 = ψ ϕ = Fψ und für ein j i gilt M, p, j = ψ ϕ = Gψ und für alle j i gilt M, p, j = ψ ϕ = ψ 1 Uψ 2 und es existiert ein j i, so dass ein i j mit M, p, j = ψ 2 existiert und für alle k {i,..., j 1} gilt M, p, k = ψ 1 ϕ = Eψ und es existiert ein Pfad p = (p 1,..., p i, p i+1,...) mit M, p, i + 1 = ψ ϕ = Aψ und für jeden Pfad p = (p 1,..., p i, p i+1,...) gilt M, p, i + 1 = ψ 12

13 Einschränkungen von CTL (P) LTL(P): CTL (P) ohne Pfadquantoren (A,E) Beispiele: GFp, FXGp, p (ruq) CTL(P): CTL (P), wobei aber Pfadquantoren und temporale Junktoren nur gemeinsam auftreten, mögliche Kombinationen: EX, EF, EG, E(ϕUψ), AX, AF, AG, A(ϕUψ) Beispiele: EG EF p, AF EXp, AG(EGp A(rUq)) ÜA: Beispiele für Formeln in 1. CTL ({p, q})\ LTL({p, q}) 2. CTL ({p, q})\ CTL({p, q}) 3. CTL({p, q}) LTL({p, q}) 4. CTL({p, q})\ LTL({p, q}) 5. LTL({p, q})\ CTL({p, q}) 13

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