Nutzergleichgewicht oder Systemoptimum - Die systemoptimale Verkehrsumlegung in makroskopischen Verkehrsnetzen

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1 Nutzerglechgewcht oder Systemoptmum - De systemoptmale Verkehrsumlegung n makroskopschen Verkehrsnetzen Vortrag zu den. Verkehrswssenschaftlchen Tagen M. Boden a, M. Treber a a TU Dresden, Insttut für Wrtschaft und Verkehr, Professur für Verkehrsökonometre und -modellerung TU Dresden, Fakultät Verkehrswssenschaften Fredrch Lst, Andreas-Schubert-Str. 3, 006 Dresden, Deutschland Kurzfassung: Um Verkehrsbelastungen n Untersuchungsregonen prognostzeren zu können, bedent man sch Methoden der makroskopschen Verkehrsplanung. De Routenwahl oder de Umlegung der Nachfragedaten auf de enzelnen Kanten m Verkehrsnetz erfolgt dabe mest nach Ansätzen des Nutzerglechgewchtes. In desem Glechgewcht wesen de benutzten Routen ene mnmale Resezet auf, en Wechsel würde dese für den Verkehrstelnehmer erhöhen. Dese Lösung entsprcht aber n der Regel ncht dem gesellschaftlchen Optmum, m Snne der mnmalen mttleren Resezet aller Verkehrstelnehmer. Da bede Ansätze unterschedlch berechnet werden, st en Überführen oder en Verglech der Ergebnsse von Nutzer- und Systemoptmum schwerg. Herzu muss en Ansatz gefunden werden, we man de ursprünglch global formulerten Bedngungen für das Systemoptmum lokal, d.h. nach den Ansätzen des Nutzerglechgewchtes, darstellen kann. Des ermöglcht ncht nur de Verwendung der bewährten Algorthmen, welche de Verkehrsplanungssoftware für de Ermttlung des Nutzerglechgewchtes beretstellt. Darüber hnaus werden dadurch lokal berechenbare und wrkende Lenkungsmaßnahmen defnert (bespelswese verkehrsabhängge Steuern), welche de Nutzenfunkton derart verändern, dass das Systemoptmum (bezüglch der egentlchen Nutzenfunkton) für den Fahrer dentsch wrd zum Nutzerglechgewcht hnschtlch der veränderten Nutzenfunktonen. Schlagworte: Verkehrsplanung, Systemoptmum, Nutzerglechgewcht, Verkehrsumlegung, Kapaztätsbeschränkungsfunkton, makroskopsche Verkehrsnetze, VISUM-Verkehrsnetz, Verkehrslenkung, Verkehrssteuerung, Resezeten Korresponderender Autor: E-Mal: URL: E-Mal:

2 Enletung Um de Wrkung ener neuen Lnenführung des Öffentlchen Verkehrs, Verrngerung von Taktzeten oder bespelswese den Ausbau enes Streckenabschnttes und somt ene möglche Attraktvtätsstegerung des Indvdualverkehrs untersuchen und prognostzeren zu können, werden Methoden und Modelle der Verkehrsplanung verwendet. De makroskopsche Verkehrsplanung erlaubt dabe de Betrachtung großräumger Untersuchungsgebete und das Erstellen von Prognosen über zukünftge Verkehrsbelastungen. Zur Ermttlung der Verkehrsauslastung werden de Verkehrsaufkommen mt Hlfe von Verkehrsnachfragemodellen als Quelle-Zel-Matrzen berechnet und derart auf das Streckennetz umgelegt, dass nach den klassschen Umlegungsverfahren, we Lernoder Glechgewchtsverfahren, en Nutzerglechgewcht entsteht. De Verkehrsbelastung wrd so auf das Streckennetz vertelt, dass en Wechsel auf ene andere Routenalternatve ene Verlängerung der Resezet für den Verkehrstelnehmer zur Folge hätte (erstes Wardrop sches Prnzp). Allerdngs st en Glechgewcht, welches für jeden enzelnen Nutzer als optmal erschent, ncht zwangsläufg für alle optmal, d.h. manchmal muss en Verkehrstelnehmer ene schlechtere Routenalternatve wählen, damt en Systemoptmum errecht werden kann. Um n enem makroskopschen Verkehrsnetz belastungsabhängge Resezeten modelleren zu können, werden Netzelementen sogenannte Kapaztätsbeschränkungsfunktonen (CR-Funktonen) zugeordnet. Dese bestehen.d.r. aus der belastungsunabhänggen Resezet m freen Verkehr (T 0 ) und enem belastungsabhänggen Term. De Formel () zegt als Bespel de häufg engesetzte CR-Funkton des Typs BPR (Funkton des amerkanschen Bureau of Publc Roads ). Dabe drückt Q de Verkehrsbelastung ener Kante und K hre Kapaztät aus, während γ den Anstegsparameter und damt das Aussehen der Kurve beschrebt. Q T akt = T + K γ 0 () Unter Verwendung deser Funktonen erfolgt.d.r. de Berechnung des Nutzerglechgewchtes. Das st plausbel, da de enzelnen Verkehrstelnehmer mest egostsch handeln und de Mnmerung hrer ndvduellen Resezeten anstreben. De jewelgen Verkehrsnfrastrukturbetreber verwenden allerdngs oft andere Optmerungsansätze. Her soll daher en Systemoptmum nach gesellschaftlchen Präferenzen das Zel der Verkehrslenkung sen. Im Bezug auf de Streckenbelastung bedeutet das, dass de Belastungsvertelung gesucht wrd, be der de Gesamtresezeten m Streckennetz mnmal werden.

3 Routenwahlverfahren n der makroskopschen Verkehrsplanung In der sogenannten Verkehrsumlegung werden de enzelnen Elemente der Verkehrsnachfrage m Snne der Quelle-Zel-Ströme auf de Routenalternatven des Verkehrsnetzes aufgetelt. Dazu können Ansätze zur Ermttlung des Nutzerglechgewchtes, d.h. der aus Scht des Verkehrstelnehmers mnmalen Resezet oder de des Systemoptmums, d.h. der m Mttel mnmalen Resezet für alle Verkehrtelnehmer, herangezogen werden.. Das Nutzerglechgewcht De Ansätze unterscheden sch weterhn dadurch, nwewet de enzelnen Verkehrstelnehmer nformert snd, also hnen z.b. Auswechrouten bekannt snd, ob se mt hren Entschedungen überenstmmen oder ob es sch um enen quas-statschen Prozess handelt. Be der n der makroskopschen Verkehrsumlegung häufg angewandten Umlegung nach dem Glechgewchtsverfahren handelt es sch um ene solche statsche Umlegung. Dese setzt de Bedngungen des perfekten Marktes voraus, d.h.: alle Verkehrstelnehmer bestzen de perfekte Marktransparenz, se werden vollständg und verzögerungsfre nformert se bestzen kene persönlchen Präferenzen sondern ageren ren nach der Nutzenmaxmerung (entsprechend dem homo economcus ) jeder Verkehrstelnehmer hat de gleche Vorstellung von Nutzen. Das sch nach desem Umlegungsverfahren enstellende Glechgewcht st das Nutzerglechgewcht nach dem ersten Wardrop schen Prnzp. In desem Glechgewcht wesen alle benutzten Routen de gleche mnmale Resezet auf, alle unbenutzten entsprechend ene höhere. Für de Verkehrstelnehmer würde sch folglch nach Errechen des Glechgewchtes en Wechsel auf ene andere Routenalternatve ncht lohnen, da deser mt ener Resezeterhöhung, d.h. ener Nutzenverschlechterung, verbunden wäre. Es handelt sch dabe um enen Spezalfall des aus der Speltheore bekannten Nash-Glechgewchtes. Der Verkehrstelnehmer wählt also de Routenalternatve, de für hn den größten Nutzen brngt. Dazu werden de enzelnen Routenalternatven bewertet. Zunehmende Resezeten oder Kosten (bespelswese Mautgebühren) senken den Nutzen ener Alternatve. Es besteht daher en negatver Zusammenhang zwschen desen Größen und dem Nutzen U zwschen der Quelle und dem Zel j ener Ortsveränderung. Es glt für de Resezet: U j j = T. j De Resezeten auf den Netzkanten werden durch de Kapaztätsbeschränkungsfunktonen beschreben. Se stellen den Zusammenhang zwschen stegender Belastung und damt verbundener anstegender Resezet dar. De Formel () stellt den typschen Vertreter ener CR-Funkton dar, den Typ BPR. De Annahme des Nutzerglechgewchtes bezüglch der ndvduellen Nutzenoptmerung schent be desem Ansatz sehr plausbel. Aber gerade de Annahmen des perfekten Marktes snd n der Praxs fraglch. Ncht jeder Verkehrstelnehmer kann voll-

4 ständg und verzögerungsfre nformert sen oder handelt ohne persönlche Präferenzen.. Das Systemoptmum Das beschrebene Nutzerglechgewcht basert auf dem egostschen Handeln der enzelnen Verkehrstelnehmer. En solches Verhalten führt aber be Betrachtung des Gesamtsystems.d.R. zu suboptmalen Ergebnssen. Suboptmal bedeutet n desem Zusammenhang, dass ene. Allg. vom Nutzerglechgewcht abwechende Umlegung exstert, be der der Gesamtnutzen aller Verkehrstelnehmer mnmal bzw., be Modellerung der Nutzenfunkton über de negatve Resezet, de Gesamtresezet mnmal st. Be konstanter Nachfrage, we es be enem makroskopschen Netzmodell mt vorgegeben Nachfragedaten.d.R. der Fall st, st dann auch de mt der Routenbelegung w gewchtete mttlere Resezet mnmal: mttlere Resezet: = wt mn T sys () Das Dlemma am Systemoptmum st, dass es.d.r. ncht der ndvduellen Nutzenmaxmerung entsprcht 3. Es gbt also für de Verkehrstelnehmer Auswechmöglchketen m Snne der Wahl von Alternatvrouten, de hren persönlchen Nutzen erhöhen, da se ene gerngere Resezet aufwesen. In ener konkreten Verkehrsstuaton, de sch m Nutzerglechgewcht befndet, bedeutet es, dass ken Verkehrstelnehmer das System näher an de systemoptmalen Routenantele brngen kann, ohne selbst unmttelbar Nachtele zu bekommen. Enge Verkehrstelnehmer müssen sch daher aufopfern und ene vermentlch schlechtere Routenalternatve wählen. Hält sch jeder Verkehrstelnehmer an dese Rolle und opfert sch gelegentlch für de Gesellschaft, wrd sene Resezet und de der anderen Verkehrstelnehmer m Mttel klener sen als de nach dem ndvduellen Nutzerglechgewcht. 3 Zusammenhang zwschen Nutzerglechgewcht und Systemoptmum We kann nun ausgehend von der Resezet mthlfe der CR-Funkton und den klassschen Umlegungsverfahren das Systemoptmum n enem Verkehrsnetz ermttelt werden? Herzu muss en Ansatz gefunden werden, we man de ursprünglch global formulerten Bedngungen für das Systemoptmum lokal, d.h. nach den Ansätzen des Nutzerglechgewchtes, darstellen kann. Des ermöglcht ncht nur de Verwendung der bewährten Algorthmen, welche de Verkehrsplanungssoftware für de Ermttlung des Nutzerglechgewchtes beretstellt. Darüber hnaus werden dadurch lokal berechenbare und wrkende Lenkungsmaßnahmen defnert (bespelswese verkehrsabhängge Steuern), welche de Nutzenfunkton derart verändern, dass das Systemoptmum (bezüglch der egentlchen Nutzenfunkton) für den Fahrer dentsch wrd zum Nutzerglechgewcht hnschtlch der veränderten Nutzenfunktonen. De vollkommen symmetrschen Bedngungen für Nutzer- und Systemoptmum erlauben dabe de numersche Lösung des Systemoptmums, wann mmer das Nutzerglechgewcht ermttelt werden kann und umgekehrt. 3 Dese entsprcht ja dem Nutzerglechgewcht nach dem Wardrop schen Prnzp.

5 3. Mathematscher Zusammenhang d Zur Überführung der Ansätze des Nutzerglechgewchts wrd der Operator + Q dq engeführt. De Verwendung deses Operators erlaubt de Ermttlung des Systemoptmums m Verkehrsnetz nur unter Anpassung der CR-Kurven. Der Operator st dabe auf unterschedlche CR-Kurven anwendbar, bespelhaft soll n den weteren Ausführungen der Typ BPR Anwendung fnden. So ergbt sch unter Anwendung des Typs BPR aus Glechung () folgende Glechung für modfzerte CR-Funktonen, welche be Umlegung bezüglch des Nutzerglechgewchts das Systemoptmum entsprechend der ursprünglchen CR-Funkton lefern: ~ T akt = T + ( + γ ) γ Q K 0 (3) 3. Bespel mt zwe Routenalternatven Abbldung : Bespelszenaro mt zwe Routenalternatven Im abgebldeten Streckennetz gbt es zwe Routen von der Anbndung A zur Anbndung B, wobe auf den enzelnen Kanten der Routen de jewelgen Streckenlängen abgetragen snd. Alle Kanten m verenfachten Bespel wesen ene dentsche Geschwndgket m freen Verkehrsfluss v 0 von 60 km/h auf. De beden Kanten der Routenalternatve snd schlechter ausgebaut und haben nur ene Kapaztät von 000 Fz/h. Im Verglech dazu haben de Streckenabschntte der zweten Route ene höhere Kapaztät von 000 Fahrzeugen n der Stunde. De belastungsabhänggen Resezeten T akt sollen anhand ener CR-Funkton des Typs BPR modellert werden: Q T akt = T Q) = T + K γ ( 0 (4) Dabe sollen für de Kanten der Routenalternatve ene lneare CR-Funkton (Exponentγ = ) sowe für de Strecken der Route en quadratscher Ansatz gewählt werden. Es glt:

6 Kanten Route : und Kanten Route : Q T akt = T Q) = T + K ( 0 (5) = ( ) = Q T Q T0 + K T akt (6) Es soll m Netzwerk nun de Umlegung der Nachfragedaten von Quelle A nach Zel B von 000 Fahrzeugen pro Stunde nach dem Nutzerglechgewcht sowe dem Systemoptmum enersets nach dem klassschen Ansatz Mnmerung der Resezet anhand ener globalen mttleren Resezetfunkton sowe aufbauend auf den CR- Funktonen des Nutzerglechgewchts anschaulch dargestellt werden. 3.. Nutzerglechgewcht nach Wardrop Nach dem ersten Wardrop schen Prnzp wesen alle benutzten Routen ene mnmale Resezet auf. Zuerst werden für bede Routenalternatven de entsprechenden Resezetfunktonen T(Q) n Abhänggket von den jewelgen Verkehrsflüssen Q aufgestellt: T(Q) Route : und Kanten Route : T Q = 5mn Fz / h (7) Q = 0 mn Fz / h T (8) Dazu wurden aus den Streckenlängen und den Geschwndgketen be freem Verkehrsfluss v 0 de Fahrzeten be freem Verkehr T 0 ermttelt. CR-Funktonen gelten für enzelne Kanten des Streckennetzes, da aber m Bespel gleche CR-Kurven mt dentschen Kapaztäten be den jewelgen Kanten ener Routenalternatve angenommen wurden, lassen dese sch zusammenfassen. De Flüsse Q und Q geben den Verkehrsfluss aufgrund der gewählten Routenalternatve weder. Auf den enzelnen Kanten wrkt dabe jewels nur en Fluss, da bede Routenalternatven sch ncht schneden. Drücken wr nun de unbekannten Flüsse Q als Antele w an der Gesamtnachfrage Q Q AB von 000 Fahrzeuge/h aus, d.h. w =, glt: Q T(Q) Route : T 5mn( + w ) bzw. AB = (9) T(Q) Route : T 0 mn( + w ) = 0 mn( + ( w ) = (0) )

7 Anhand der Wardrop-Bedngung werden jetzt de Resezeten beder Routen glechgesetzt: ( w ) = 0 mn( + ( ) + () 5mn w ) So ergbt sch nach Umstellen deser Glechung nach w en Antel von 7,33 % (= 346,7 Fz/h) der gesamten Nachfrage zwschen Quelle A und B, de Route mt der etwas schlechteren Ausbaustufe wählen und für de besser ausgebaute Route folglch en Antel von 8,67 % bzw. 653,3 Fz/h. Bede Routen wesen de dentsche Resezet von 33,7 Mnuten auf. Es handelt sch also um en stables Glechgewcht ndem ken Verkehrstelnehmer be Wechsel auf ene andere Routenalternatve sch besser stellen könnte. 3.. Ermttlung des Systemoptmums anhand der mttleren Resezet Für das Systemoptmum soll de mttlere Resezet aller Verkehrstelnehmer mnmal sen. Dazu wrd de Gesamtresezet Tgesamt = QABT bezüglch der Wegantele w auf den enzelnen Routen mt Hlfe der mttleren Resezet nach Formel () mnmert: T = wt + wt = w (5( + w )) + ( w )(0( w + w sys sys w = 0,699 w = 0,730 Im Systemoptmum wrd.d.r. das Streckennetz glechmäßger genutzt. So wrd jetzt de erste Routenalternatve trotz höherer Resezet und gernger Ausbaustufe m Verglech häufger gewählt (jetzt rund 7%, was 539,7 Fz/h der Gesamtnachfrage von 000 Fz/h entsprcht) Berechnung des Systemoptmums anhand CR-Kurven De klasssche Berechnung des Systemoptmums unter Verwendung der mttleren Resezet und partellen Ableten nach den Routenantelen st so sehr schwerg n kommerzeller Verkehrsplanungssoftware umsetzbar. Es muss also en Ansatz gefunden werden, der de auf dem Nutzerglechgewcht kalbrerten Ansätze zur Ermttlung des Systemoptmums nutzen kann. Dazu wrd n deser Veröffentlchung der mathematsche Zusammenhang zwschen Nutzerglechgewcht und Systemoptmum dargestellt, welcher anhand des aufgeführten Bespels mt zwe Routenalternatven verdeutlcht werden soll. Ausgangspunkt der Berechnungen snd de ursprünglchen Resezetfunktonen des Nutzerglechgewchtes (Formeln (7) und (8)). Auf dese wrd d der Operator + Q angewandt: dq ~ d dt ( Q) T akt ( Q) + Q T ( Q) = T ( Q) + Q dq dq )) () = (3) Der Operator fügt also der Resezetfunkton des Nutzerglechgewchtes T (Q) de entsprechenden Grenzkosten, de enen enzelnen Verkehrstelnehmer entstehen dt ( Q) würden ( ) hnzu. Da dese Grenzkosten auf alle Benutzer deser Route wrken, dq muss man den entsprechenden Verkehrsfluss Q berückschtgen.

8 ~ Damt lassen sch nun de systemoptmalen Resezetfunktonen Takt ( Q ) berechnen: ~ Q Takt ( Q ) Route : T ~ = 5mn Fz / h ~ ( Q ) Takt Route : (4) ~ Q = 0 mn Fz / h T (5) De unbekannten Flüsse Q werden ausgedrückt als Antel an der bekannten Gesamtnachfrage zwschen A und B, also Q = w Q. Nun können de klassschen Ansätze zur Berechnung des Nutzerglechgewchtes ohne Änderung analog we n Abschntt 3.. beschreben angewandt werden, d.h. Glechsetzen der Routenalternatven nach Wardrop: ~ ~ Wardrop: T = T (6) AB w = 60w w~ = 0,699 w~ 0w = 0, Es ergeben sch nun für de angepassten Resezetfunktonen de Routenantele w für das Systemoptmum. Es wurde nachgewesen, dass de Wegeantele nach der klassschen Berechnung des Systemoptmums und mttels Operator geänderten sys Resezetfunkton überenstmmen, d.h. w = w~. (7)

9 4 Anwendung n enem PTV VISUM Verkehrsnetz Nach der Darstellung deser mathematschen Zusammenhänge zwschen Nutzerglechgewcht und Systemoptmum werden dese nun n enem makroskopschen Verkehrsnetz umgesetzt. Dazu werden de für de Verkehrsumlegung nach dem Nutzerglechgewcht kalbrerten CR-Kurven anhand des dargestellten mathematschen Ansatzes für de Berechnung des Systemoptmums angepasst und de systemoptmalen Belastungswerte ermttelt. De Berechnung erfolgt mt Hlfe des Softwarepakets VISUM der PTV AG. 4. De Softwarelösung VISUM Das Programm VISUM gehört zu den führenden Anwendungen der rechnergestützten Verkehrsplanung. Es dent der Analyse und der Planung des Systems Verkehr. Es umfasst enersets de Verkehrsnfrastruktur des Indvdualverkehrs und des Öffentlchen Verkehrs, we z.b. Kreuzungen, Straßen, Lnenrouten, Fahrpläne und deren Attrbute, andersets de egentlche Verkehrsnachfrage n Form von Quelle-Zel- Matrzen, welche de Ortsveränderungen zwschen Quelle und Zel j darstellen [5]. Dese Nachfrage wrd mttels verschedener Rechenverfahren m Verkehrsnetz umgelegt. De Wrkungen be Änderungen der Verkehrsnachfrage oder Anpassung der Verkehrsnfrastruktur können dann n desem makroskopschen Modell ausgewertet werden um möglchst genaue Prognosen für das zukünftge Verkehrsgeschehen abgeben zu können. In makroskopschen Modellen selbst bezeht man sch ncht auf enzelne Fahrzeuge bzw. Verkehrstelnehmer nnerhalb des Verkehrsnetzes, sondern auf de Verkehrsströme, welche de Velzahl von Verkehrstelnehmern auf den Kanten des Netzes verursachen. 4. Das Bespelszenaro n VISUM Das n Abschntt 3. erläuterte Bespel soll nun n VISUM mplementert werden. Dabe gelten de dort gewählten Parameter, we Streckengeschwndgketen, CR-Kurven, Geschwndgketen m freen Verkehr usw. De Glechgewchtsumlegung der Gesamtnachfrage zwschen Startpunkt A und Zelpunkt B von Q AB =000 Fz/h lefert dann das Nutzerglechgewcht, welches auf Routenalternatve ene Belastung von 653 Fahrzeugen pro Stunde bzw. 347 Fahrzeugen auf Route ergbt (Abbldung ).

10 Abbldung : Verkehrsumlegung nach Nutzerglechgewcht Deses Netz wrd jetzt als Bass herangezogen um damt de systemoptmalen Routentele w ~ zu ermtteln. Da der n deser Veröffentlchung beschrebene mathematsche Zusammenhang nur ene Anpassung der CR-Kurven unter Bebehaltung der Umlegungsverfahren etc. erforderlch macht, lässt sch mttels VISUM de systemoptmale Umlegung sehr schnell ermtteln. De ursprünglchen CR-Kurven des Nutzerglechgewchtes waren: Q T akt = T + K γ 0 (8) mttels des Operators d + Q ergaben sch de systemoptmalen Funktonen: dq ~ T akt = T + ( + γ ) γ Q K 0 (9) Der Zusammenhang wrd also durch den Vorfaktor ( + γ ) dargestellt. Ene solche Parametervaraton st n VISUM problemlos möglch. Gerade her zegt sch der Ansatz also als sehr praktkabel, da über ene enfache Parametervarerung nnerhalb der BPR-CR-Kurven en systemoptmales Ergebns bezüglch der Resezet errecht werden kann.

11 CR-Kurven des Typs BPR werden n VISUM we folgt dargestellt: t = t + cur ( a( sat) ) b 0 (0) t cur entsprcht dabe der Resezet, t 0 der Resezet m freen Verkehr, sat dem Auslastungsgrad der Kante und a und b den Parametern zum Vareren der Funkton. Für den Auslastungsgrad glt: q sat = = q q stellt dabe de Belastung des Netzelementes und q max de entsprechende Kapaztät dar. Zur Anpassung der CR-Kurven genügt ene Änderung des Parameters a aus der Formel (0). Der systemoptmale Parameter berechnet sch nach: a ~ = ( + b) a. De Parameter a und b snd dabe de ursprünglchen Werte aus dem kalbrerten VI- SUM-Netz nach dem Nutzerglechgewcht. De systemoptmalen CR-Kurven des Typs BPR für en VISUM-Verkehrsmodell lauten dann: ~ t = t a~ sat b () cur max Q K ( ( ) ) 0 + De Abbldung 3 veranschaulcht de Varerung des Parameters zur Berechnung ener systemoptmalen Umlegung. () Abbldung 3: Parameteranpassung der CR-Kurven für das Systemoptmum n VISUM

12 Dese sehr effzente Anpassung nur enes Parameters genügt nun um de sch nach dem Systemoptmum ergebenden Routenantele und damt de Belastungen auf den Streckenabschntten ermtteln zu können. De egentlchen Umlegungsverfahren, welche für das Nutzerglechgewcht kalbrert wurden, können unverändert übernommen werden. Für das Engangsbespel ergbt sch mt dem neuen Parameter a ~ 4 de nach Abschntt 3..3 berechneten Belastungswerte der Netzkanten. Es st erkennbar, dass sch nach dem Systemoptmum mehr Verkehr auf den schwächer ausgebauten Strecken (her de Kanten von Route ) ergbt. Das Netz wrd somt glechmäßger belastet. Abbldung 4: Verkehrsumlegung nach Systemoptmum mttels angepassten CR-Kurven Für de Resezeten ergeben sch jetzt höhere Werte als es sch be glechen Belastungen nach den Nutzerglechgewcht ergeben dürfte, da dese auf den CR-Kurven baseren. Dese wurden allerdngs mttels des Parameters a ~ zur Berechnung des Systemoptmums geändert. Zur Berechnung der Resezeten der systemoptmalen Belastungswerte müssen daher de ursprünglchen CR-Funktonen des Nutzerglechgewchtes herangezogen werden, da de geänderten CR-Kurven de systemoptmalen Belastungswerte zwar ergeben, allerdngs de Resezeten zwangsläufg verzerren. Für de Resezeten m Systemoptmum werden de systemoptmalen Belastungswerte Q ~ n de CR-Kurven des Nutzerglechgewchtes nach (4) engesetzt: 4 deser ersetzt den ursprünglchen Parameter a n VISUM

13 T sys akt = T ~ Q + K γ 0 (3) In VISUM werden dazu de Belastungen, Kapaztäten und Resezeten be freem Verkehrsfluss der Netzkanten herausgeschreben und darauf de typfenen CR- Kurven angewandt. Dese so ermttelten Resezeten jeder enzelnen Strecke werden n VISUM sogenannten z-werten 5 zugeordnet. De mnmalen Resezeten zwschen den Verkehrsbezrken lassen sch dann anhand der Kenngrößenmatrx, aufbauend auf desen neuen z-werten, ermtteln. Somt ergeben sch für bede Routen nach Ensetzen n obge Formel (3) folgende Resezeten: ~ T sys akt (Q) Route : 5mn Q = + = 38,49 mn 000 / Fz h T sys (4) ~ T sys akt (Q) Route : 0mn Q = + = 30,66 mn 000 / Fz h Für de mttlere Resezet ergbt sch: mttlere Resezet: T sys (5) = T sys wt = 3,77 mn (6) Im Nutzerglechgewcht ergbt sch ene Resezet von 33,67 Mnuten. Würden alle Verkehrstelnehmer hre Routenwahlentschedungen entsprechend dem Systemoptmum treffen wäre schon n enem Mnmalnetz mt nur zwe Routenalternatven ene Verbesserung von ca.,7 % möglch. Das hört sch vellecht m ersten Moment ncht vel an, man sollte aber bedenken, dass de Grenzen zwschen z.b. zäh fleßenden Verkehr und rchtgem Stau mnmal snd. Wenn man sch de Resezeten beder Routenalternatven anschaut, wrd das Problem des Systemoptmums deutlch. Würde der Verkehrstelnehmer von Routenalternatve auf Route wechseln, könnte er sene ndvduelle Fahrzet senken. Dese Abwechung zwschen den systemoptmalen Belastungswerten, n dem der Enzelne auch mal schlechtere Routen wählen muss um m Mttel sene Resezet weter senken zu können, zum Nutzerglechgewcht mt ren egostschem Handeln wrd n der Fachwelt als Prce of Anarchy (der Pres des egostschen Handelns) bezechnet. 5 dabe handelt es sch um ganzzahlge Platzhalter

14 5 Zusammenfassung und Ausblck In der vorlegenden Arbet wurde en mathematscher Ansatz dargestellt we man, ausgehend vom Nutzerglechgewcht, das Systemoptmum n makroskopschen Netzen ermtteln kann. En Verglech zwschen nutzer- und systemoptmalen Verkehrsbelastungen ermöglcht dann das Auffnden von Problemstellen nnerhalb der Nutzung der Verkehrsnfrastruktur. Gerade de Tatsache, dass enge Verkehrstelnehmer zum Errechen ener mnmalen Gesamtresezet, ene schlechtere Route n Kauf nehmen müssen um das Systemoptmum errechen zu können und sch damt dem Gemenwohl unterordnen, wdersprcht hrer persönlchen Nutzenmaxmerung. Also könnten bespelswese solche Verkehrstelnehmer, welche de Belastung näher an das Systemoptmum heranbrngen, enen monetären Ausglech bekommen. Im Gegenzug müssten de Verkehrstelnehmer, welche ene schnellere Route mt möglcher Verschlechterung der Gesamtresezet wählen, ene zusätzlche Belastung akzepteren. De Anwendbarket des mathematschen Zusammenhanges zwschen dem Nutzerglechgewcht und dem Systemoptmum wurde anhand enes Netzbespels mt der wet verbreteten kommerzellen Software VISUM zur makroskopschen Verkehrsplanung nachgewesen. Gerade de smple Parametervarerung unter Bebehaltung der Umlegungsverfahren und sonstger Parameter macht den Ansatz sehr lecht anwendund nachvollzehbar. Da der Ansatz auf den kalbrerten Verkehrsnetzen des Nutzerglechgewchtes aufbaut, lassen sch de systemoptmalen Ergebnsse mt denen des Nutzerglechgewchtes lechter verglechen. We angedeutet st das Systemoptmum ncht stabl, de systemoptmalen Werte sollen aber dazu denen herauszufnden nwewet man von deser optmalen Netzbelastung entfernt st. Explzt könnten Lösungsstrategen untersucht werden, we de Schwachstellen des Systemoptmums mt verkehrspoltschen Mtteln zu überwnden snd. Verkehrsletzentralen sollten bestrebt sen, de Verkehrsbelastungen n Rchtung des Systemoptmums zu verscheben. Mttels des beschrebenen Ansatzes st es hnen nun möglch de systemoptmalen Kantenbelastungen effektv zu ermtteln. Gerade de Tatsache, d dass der Operator + Q auf verschedene CR-Kurven zur Berechnung des dq Systemoptmums, also ncht nur für de des wet verbreteten Typs BPR, anwendbar st, macht hn unversell nutzbar. Im momentanen Forschungsstand untersuchen de Autoren de Verwendbarket des Ansatzes n realen makroskopschen Verkehrsnetzen. De Anpassung enes solchen Netzes gestaltete sch durch de Änderung nur enes Parameters be Verwendung von CR-Funktonen des Typs BPR als äußerst anwenderfreundlch. Danksagung: De Autoren möchten sch für de Unterstützung be der Deutschen Forschungsgemenschaft m Rahmen des DFG-Projektes He 789/6- bedanken und weterhn be der PTV AG Karlsruhe für de Beretstellung der Verkehrsplanungssoftware.

15 Lteratur [] Boden, M., 006: Smulaton von Störungen m Verkehrsfluss - De Auswrkungen der Flutkatastrophe 00 auf de oberelbschen Verkehrsnetze, Dplomarbet an der Professur für Verkehrsökonometre und -modellerung, TU Dresden [] Boltze, M., 006: Letfaden Verkehrstelematk, Hnwese zur Planung und Nutzung n Kommunen und Kresen, Zentrum für ntegrerte Verkehrssysteme an der TU Darmstadt [3] Gastner, M. T.; Newman, M. E. J., 006: Shape and effcency n spatal dstrbuton networks, Journal of Statstcal Mechancs: Theory and Experment [4] Maer, G.; Wess, P, 990: Modelle dskreter Entschedungen, Sprnger- Verlag Wen New York [5] PTV AG, 009: Benutzerhandbuch VISUM Verson [6] Schnabel, W.; Lohse D., 997: Grundlagen der Straßenverkehrstechnk und der Verkehrsplanung, Verlag für Bauwesen, Berln (. Auflage)

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