Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker

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1 Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 11 Teil I Mathematisches Grundwissen 13 Kapitel 1 Mengen und Aussagen Grundbegriffe der Mengenlehre Grundlegende Zahlbereiche Verknüpfungen von Mengen Aussagen und deren logische Verknüpfungen Potenzmenge und kartesisches Produkt Zur Bildung von mehrfachen Verknüpfungen Verknüpfungen bei beliebigen Indexmengen Exkurs Übungsaufgaben Kapitel 2 Grundwissen über Zahlen Vollständige Induktion Primfaktorzerlegung Darstellungen ganzer Zahlen Der Euklidische Algorithmus Exkurs Übungsaufgaben Kapitel 3 Abbildungen, Äquivalenzen und Ordnungen Grundlagen über Relationen Der Abbildungsbegriff Besonderheiten bei endlichen Mengen Gleichmächtigkeit Ordnungsrelationen Äquivalenzrelationen Exkurs Übungsaufgaben Kapitel 4 Grundlagen der Kombinatorik Grundregeln des Zählens Binomialkoeffizienten Abbildungen auf endlichen Mengen Grundlegendes über Permutationen

3 INHALTSVERZEICHNIS 4.5 Die Siebformel Aus der diskreten Wahrscheinlichkeits- rechnung Grundbegriffe der Codierungstheorie Übungsaufgaben Teil II Aus Algebra und Zahlentheorie 143 Kapitel 5 Algebraische Grundstrukturen Monoide Gruppen Untergruppen Gruppen-Homomorphismen Kongruenzrelationen und Faktorgruppen Ringe und Körper Ideale und Faktorringe Verbände und Boole sche Algebren Übungsaufgaben Kapitel 6 Restklassenringe und komplexe Zahlen Rechnen modulo n Das RSA-Public-Key-Cryptosystem Prüfzeichencodierung Der Chinesische Restsatz Der Körper der komplexen Zahlen Übungsaufgaben Kapitel 7 Vektoren und Matrizen Vektorräume Teilräume und deren Erzeugung Lineare Abbildungen Matrixalgebren Übungsaufgaben Kapitel 8 Lineare Gleichungssysteme Die Struktur der Lösungsmenge Die Lösungsmenge bei einer Gleichung Elementare Zeilenumformungen Treppenmatrizen und der Gauß-Algorithmus Die Lösungsmenge bei allgemeinen Problemen Invertierbare Matrizen Übungsaufgaben

4 Inhaltsverzeichnis Kapitel 9 Zur Theorie abstrakter Vektorräume Basen Die Dimension eines Vektorraumes Beschreibung linearer Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Orthogonalraum und Hamming-Codes Nicht endlich erzeugbare Vektorräume Übungsaufgaben Kapitel 10 Polynome Polynomringe Arithmetische Eigenschaften von Polynomen Auswertung und Nullstellen Interpolation Restklassenringe bei Polynomen Anwendungen in der linearen Algebra Übungsaufgaben Kapitel 11 Rationale Funktionen und formale Potenzreihen Der Ring der formalen Potenzreihen Der Körper der rationalen Funktionen Partialbruchzerlegung Übungsaufgaben Teil III Grundlagen der Analysis 341 Kapitel 12 Grundlagen über reelle Zahlen Angeordnete Körper Archimedische und vollständige Körper Wurzeln Die reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte Absolutbetrag und Bewertungen Übungsaufgaben Kapitel 13 Folgen Häufungspunkte und Grenzwerte Die Grenzwertsätze Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz Cauchy-Folgen Landau-Symbole Übungsaufgaben

5 INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 14 Reihen Konvergenzkriterien Potenzreihen Umordnungen von Reihen Reihendarstellungen rationaler und reeller Zahlen Übungsaufgaben Kapitel 15 Stetige Funktionen Der Stetigkeitsbegriff Eigenschaften stetiger Funktionen Stetigkeit bei Funktionenfolgen und Potenzreihen Exponential- und Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Übungsaufgaben Kapitel 16 Differentialrechnung Die Ableitung einer Funktion Ableitungsregeln Mittelwertsätze und Extema Approximation durch Taylor-Polynome Zur iterativen Lösung von Gleichungen Übungsaufgaben Kapitel 17 Integralrechnung Integration von Treppenfunktionen Riemann-integrierbare Funktionen Integration als Umkehrung der Differentiation Integrationsregeln Uneigentliche Integrale Integration bei Funktionenfolgen Übungsaufgaben Literaturverzeichnis 509 Symbolverzeichnis 511 Sachregister

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