Physik III Übung 9 - Lösungshinweise

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1 Physik III Übung 9 - Lösungshinweise Stefan Reutter WiSe 2012 Moritz Kütt Stand: Franz Fujara Aufgabe 1 [H,D] Effektvoll polarisiert Welche Zusammenhänge bestehen zwischen folgenden Begriffen: Faraday-Effekt, Kerr-Effekt, optische Aktivität, Doppelbrechung, lineare Polarisation und zirkulare Polarisation? Hinweis: Es geht nicht um einen Zusammenhang zwischen allen Begriffen. Lösungshinweise: Sowohl bei Doppelbrechung als auch bei optischer Aktivität gibt es unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten für Lichtwellen abhängig von der Polarisation einfallenden Lichts. Bei Doppelbrechung hängt die Geschwindigkeit von der Richtung linearer Polarisation ab, bei optischer Aktivität von der Richtung zirkularer Polarisation. Anwendungen dafür sind folgende: mit doppelbrechenden Materialien kann man aus linear polarisiertem Licht zirkulär polarisiertes Licht machen (λ/4-plättchen), mit optischen aktiven Materialien die Polarisationsrichtung von linear polarisiertem Licht drehen. Der Kerr-Effekt ist quasi künstlich erzeugte Doppelbrechung - Material wird durch anlegen eines elektrischen Feldes doppelbrechend. Das Gegenstück dazu ist der Faraday-Effekt. Hier wird durch anlegen eines magnetischen Feldes ein Material optisch aktiv. Kerr-Effekt und Faraday-Effekt auf molekularer Ebene unterscheideich jedoch sehr stark. Beim Kerr-Effekt werden Moleküle entlang des E-Feldes ausgerichtet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht, dass entlang der Ausrichtung polarisiert ist, wird dann kleiner. Der Unterschied der Brechungsindizes ist in etwa proportiol zum Quadrat der Feldstärke. Beim Faraday-Effekt ist die Drehung der Polarisationsebene linear proportiol zur Stärke des Magnetfeldes. Das Magnetfeld muss in Richtung der Ausbreitung des Lichtes liegen. Während der Kerr-Effekt nur bei bestimmten Materialien auftritt, zeigen alle Stoffe Faraday-Effekte, nur in unterschiedlicher Stärke. Aufgabe 2 [H] Ölfilmreflexionen Sonnenlicht fällt unter einem Winkel von α = 45 auf eine dünne Ölschicht (n o = 1.6), die auf einer (Wasser-)Pfütze schwimmt (n w = 1.3). Das reflektierte Licht erscheint grün (λ g = 500nm). Wie dick ist die Ölschicht? Hinweis: Verchlässigt mehrfache Reflexionen in der Ölschicht. 1

2 Lösungshinweise: Luft α x x' α Öl d β β y Wasser Wir suchen konstruktive Interferenz und sollen nur die einfach Reflexion betrachten. Die Amplituden sind auch nicht so wichtig - es geht ja um konstruktive Interferenz. Das direkte reflektierte Licht macht einen Phasensprung an der Grenzfläche Luft/Öl (weil der Brechungsindex von Öl größer ist), das an Öl/Wasser reflektierte nicht. Der nötige Gangunterschied für konstruktive! Interferenz ist daher s = (m )λ. Weil er oft angegeben wird, leiten wir mal einen einfachen Ausdruck für den Unterschied des optischen Weges in Abhängigkeit von β her. Dies ist zwar auf dem Weg zur Lösung ein kleiner Umweg, macht aber nicht so viel. Wir berechnen dazu die Strecken x, x und y. Vorsicht: Für den Unterschied des optischen Weges muss man dann die geometrischen Strecken der Zeichnung mit dem jeweiligen Brechungsindex multiplizieren. x =2d tan β x =x sin α =2d tan β sin α y = d cos β s =2n 0 y x 1 =2n o d cos β 1 tan β sin α n 0 =2n o d 1 sin2 β cos β =2n o d cos β 2

3 s =2dn o cos β =2dn o 1 sin 2 β =2dn o 1 1 sin 2 α n o =2d n 2 o sin2 α Wir setzen s für m = 0 ein und stellen ch d um: λ d = 4 n 2 o sin2 α =90 nm Aufgabe 3 [H] Newtonringe R r Eine Anordnung zur Ausmessung Newtonscher Ringe besteht aus einer plankonvexen Glaslinse, deren flache Seite entspiegelt ist (siehe Aufgabe 8), mit Krümmungsradius R, die auf einer ebenen Glasplatte liegt. Wir strahlen Licht senkrecht von oben auf die Anordnung. s a) Berechne die Bedingungen für konstruktive bzw. destruktive Interferenz in Abhängigkeit der Dicke der Luftschicht s für das reflektierte und das transmittierte Licht. b) Zeige, dass für r R der Radius eines konstruktiven Ringes durch r = 2sR gegeben ist. c) Wie viele helle Ringe lasseich beobachten? R = 10m, Durchmesser der Linse d = 4 cm, λ = 500 nm, n = 1.5 d) Wie ändert sich das Muster, wenich die beiden Glaskörper in Wasser befindetatt in Luft? Was für eine Rolle spielt der Brechungsindex des Glases? Hinweis: Man kann davon ausgehen, dass das Licht an der (nur schwach) gekrümmten Fläche näherungsweise nicht in eine andere Richtung gebrochen wird. Lösungshinweise: Mit dem Hinweis rechnen wir alles nur für senkrechten Lichteinfall. a) Wir berechnen die Bedingungen für das reflektierte Licht, für das transmittierte sind sie gerade vertauscht. Die Phasendifferenz für konstruktive Differenz muss ein Vielfaches von 2π sein, für destruktive muss jeweils noch ein π dazukommen. An der unteren Grenzfläche tritt wegen der Reflexion am optisch dichteren Medium ein Phasensprung auf, während an der gekrümmten 3

4 Fläche keiner geschieht. Der Gangunterschied ergibt sich durch den zurückgelegten Weg von 2s zu 2π2s k n L λ + π = k2π s k = λ k 1 2n L 2 Für destruktive Interferenz ergibt sich alog s k = λ 2n L k Interessant ist noch das Bild in der Mitte. Dort ist der Gangunterschied wegen der geringen Dicke der Luftschicht fast ausschließlich durch den Phasensprung gegeben. Daher ist in der Mitte ein recht großer dunkler Fleck zu sehen. b) α R R β β s π - β 2 r ~0 In der Aufgabenstellung fehlte die Angabe s r. Wir rechnen die Aufgabe unter Berücksichtigung dieser Angabe. Wie man an der Skizze gut sehen kann, gelten die folgenden Relationen 2β + α = π π 2 α 2 = β π tan 2 β = s r α tan = s 2 r Nun kann man die Kleinwinkelnäherung anwenden. Außerdem kann man in der gleichen Näherung noch annehmen, dass die gekrümmte Linse beihe flach ist, sodass das gestrichelte Dreieck etwa die Seitenlängen R und r hat α = tan α = r R α 2 = s r r = Rλ 2sR = k 1 2 Eigentlich spielt es hier keine Rolle, ob man einen konstruktiven oder destruktiven Ring betrachtet, der Radius ergibt sich rein geometrisch und hängt nur von der Schichtdicke ab. Nur muss man je chdem bei einer anderen Schichtdicke suchen, ob man einen hellen oder einen n L 4

5 dunklen Ring sehen will. Der Radius wächst jedenfalls mit der Wurzel aus k an, ch außen hin werden die Ringe also dichter. c) r max = d 2 2R λ k 1 = d2 2n L 2 4 k = d2 n L 4Rλ = 80.5 Maieht also 80 Streifen, der 81. liegt außerhalb der Scheibe. Und ja, das ist ubhängig vom Brechungsindex des Glases. d) Da die Wellenlänge in Wasser kleiner ist als in Luft, rücken die Ringe um einen Faktor näher zusammen und maieht n mal so viele. Aufgabe 4 [H] Play Hard The figure shows the design of a Texas arcade game. Four laser pistols are pointed toward the center of an array of plastic layers where a clay armadillo is the target. The indexes of refraction of the layers are n 1 = 1.55, n 2 = 1.7, n 3 = 1.45, n 4 = 1.6, n 5 = 1.45, n 6 = 1.61, n 7 = 1.59, n 8 = 1.6. The layer thicknesses are either 2 mm or 1 mm, as drawn. Calculate the travel time through the layers for the laser bursts from the different pistols. Which laser kills the armadillo? 1 n n 1 n 2 n 5 n 4 n 3 n 6 n 7 n 8 5

6 Lösungshinweise: Die Zeit durch jede Schicht ist gegeben durch t = dn c Damit ergibt sich mit δ = 1 mm jeweils zu ca s. T oben = δn 1 + δn 2 + δn 4 + δn 5 c c c c T links = δ n8 + 2n 6 + n 5 c T unten = δ n8 + n 2 + 2n 7 c T rechts = δ n2 + n 3 + 2n 4 c = δ c n1 + n 2 + n 4 + n 5 = 6.3 δ c = 6.27 δ c = 6.48 δ c = 6.35 δ c Die Linke Pistole trifft also das arme Gürteltier zuerst. Zerstört wird es allerdings durch alle vier Strahlen gleichzeitig da die kurze Zeitdifferenz nicht ausreicht, um den trägen Ton auseinderzureißen, bevor die anderen Pistolen treffen. Aufgabe 5 [P,D] Absorptionsrichtung eines Polarisators Betrachten wir einen Linearpolarisator: parallele Gitterstäbe für Mikrowellen (oder gezogene Moleküle für optisches Licht). Welche Polarisationsrichtung wird von diesem absorbiert, die parallel zu den Stäben, oder die senkrecht zu den Stäben? Lösungshinweise: Die Richtung parallel zu den Stäben wird absorbiert. Man kanich das so vorstellen, dass das Licht Elektronen zum Mitströmen anregt und diese die Energie in Form von Stößen wieder abgeben (hier spielt wieder der Skin-Effekt eine Rolle). Senkrecht zu den Stäben, sofern diese kleiner sind als die Wellenlänge, kann das Licht die Elektronen aber nicht oder nur kaum bewegen (bei den Stäben kann maich das so vorstellen, dass die Spannungsdifferenz innerhalb eines Stabes einfach zu klein ist), sodass diese Richtung zum Großteil durchgelassen wird. Daraieht man übrigens auch, dass ein Faraday-Käfig, der keine Querverstrebungen hat, eine ungute Idee ist. Aufgabe 6 [P,D] Energiebilanz beim Licht und Fenster a) Interferenz hat auch ihre Schattenseiten, insbesondere bei destruktiver Interferenz. Was passiert bei destruktiver Interferenz mit der Energie der beiden (oder aller) interferierendern Wellen? Gilt hier die Energieerhaltung nicht? 6

7 b) Warum kann man bei Tageslicht nicht durch Fenster in unbeleuchtete Räume schauen? Wieso spiegelt maich chts von innen an Fenstern? Lösungshinweise: a) Wenn es irgendwo destruktive Interferenz gibt, dann gibt es auch an anderer Stelle konstruktive Interferenz. Die Energie geht dann in eben diese Bereiche. Bei den Newton-Ringen geht beispielsweise die Energie ins transmittierte Licht. Bei der Entspiegelung wird das nicht reflektierte Licht dann auch transmittiert. Beim Spalt geht es in die Beugungsmaxima, usw. b) Das liegt an zwei Effekten: Erstens geht das meiste Licht im Zimmer verloren, und zweitens wird der Himmel oder die Umgebung im Fenster reflektiert. Gehen wir das Ganze mal der Reihe ch durch. Vom Tageslicht fällt ein gewisser Anteil auf das Fenster. Davon werden einige Prozent direkt reflektiert. Der Rest kommt rein und trifft dort auf eine Oberfläche. Dort wird in den meisten Fällen zunächst mal einiges absorbiert. Von dem Licht, das nicht absorbiert, sondern reflektiert oder gestreut wird, landet nur solches bei uns, das zufällig in unsere Richtung abgestrahlt wird. Bei Reflexion also eigentlich nur dann, wenn ein Spiegel zufällig den Himmel in unsere Richtung reflektiert. Bei Streuung kommt nur ein kleiner Teil, der dem Anteil unseres Sichtwinkels am Raumwinkel der gestreuten Halbkugel entspricht, bei uns an (etwa 1 wenn man weit weg ist). 2π Dadurch kommt das Licht, das aus dem Raum wieder entkommt, von der Intensität her ungefähr in den Bereich, in dem auch das von der Umgebung am Fenster direkt reflektierte Licht ist. Mit diesem überlagert es sich, was das hineinschauen noch zusätzlich erschwert. Ist der Raum dagegen von Innen beleuchtet, hat man die Primärreflexionen am Fenster nicht, oder nur mit deutlich geringerer Intensität. Daher kann man in beleuchtete Fenster deutlich besser reinschauen, insbesondere chts. Aus einem ganz ähnlichen Grund kann maich auch chts am Fenster spiegeln: ein paar Prozent werden reflektiert, von draußen kommt aber so gut wie kein Licht herein. Dadurch ergibt sich ein relativ guter Kontrast, den man als Spiegelbild sehen kann. Das ist türlich lange nicht so gut, wie ein echter Spiegel, aber besser als nichts. Will man also chts ch draußeehen, schaltet man das Licht aus. Darauf basieren übrigens auch verspiegelte Sonnenbrillen, Autofenster, Verhörzimmer, etc. wobei diese noch eine extra stark reflektierende Beschichtung aufweisen. Aufgabe 7 [P] Fresnelspiegel Wir nutzen einen Fresnel-Spiegel. Wir wissen, dass der Abstand zwischen den beiden virtuellen Bildern der punktförmigen Leuchtquelle s = 0.5mm ist. Die Entfernung von den virtuellen Bildern bis zum Bildschirm beträgt L = 5m. Mit einem bestimmtem Licht haben die Interferenzstreifen einen Abstand von a = 5mm. Welche Wellenlänge hat das Licht? 7

8 Lösungshinweise: s L a In der Mitte zwischen beiden virtuellen Lichtquellen befindet sich ein Maximum, und dann wieder eines im Abstand a dazu. Der Gangunterschied für das erste weitere Maximum muss gerade λ sein, also g = λ. Im grünen Dreieck hat die Hypothenuse die Länge g g = L 2 + (a + s 2 )2 Im roten Dreieck gilt: g r = L 2 + (a s 2 )2 8

9 Der Gangunterschied ist nun gerade die Differenz der Hypothenusen g =g g g r g = L 2 + (a + s 2 )2 L 2 + (a s 2 )2 λ = L 2 + (a + s 2 )2 L 2 + (a s 2 )2 =500 nm Aufgabe 8 [P] Vergütung von Linsen Bei optischen Geräten wie auch Brillen können Reflexioneehr störend sein. Man kann diese durch eine Beschichtung des Glases mit einem Material des Brechungsindex n S, der zwischen dem von Glas und dem der Luft liegt, weitgehend vermeiden - zumindest für senkrecht einfallendes Licht einer bestimmten Wellenlänge. a) Überlegt euch, warum mit einer Schicht der Dicke d = λ/4n S solche Reflexionen weitgehend vernichtet werden können. Ihr sollt nun bestimmen (Brechungsindex von Luft n a = 1, von Linse n l ). Geht dazu wie folgt vor: b) Zeigt zunächst allgemein, dass für die Amplitude des von Luft in die Grenzschicht transmittierten Lichtes Folgendes gilt: E t = (1 + r as )E 0 Hinweis: Dabei gilt r as = R as. Dabei ist R as das Reflexionsvermögen des Übergangs von Luft zur dünnen Schicht, beschreibt also das Verhältnis der Intensitäten. ns n a R as = + n a 2 c) Eine vollständige Auslöschung findet statt, wenn die Gesamtamplitude aller reflektierten Anteile (phasenrichtig zusammeddiert) vor der dünnen Schicht 0 beträgt. Bestimmt daraus eine Beziehung zwischen r as und r sl. Beachtet Mehrfachreflexionen in der dünnen Schicht, sowie den Effekt des Lichtweges durch die dünne Schicht. d) Bestimmt daraus. 9

10 Lösungshinweise: a) Durch Gangunterschiede zwischen dem direkt reflektierten Licht und Licht, dass an der Grenzfläche zwischen dünner Schicht und Linse reflektiert wird, kann es zu destruktiver Interferenz kommen. Dabei muss man jedoch auf zwei Dinge aufpassen: 1. Es interferiert nicht nur das Licht, das direkt reflektiert wird mit dem, das direkt an der Grenze Schicht/Linse reflektiert wird, sondern zusätzlich noch die Mehrfachreflexionen in der dünnen Schicht, von denen ja auch ein Teil wieder aus der dünnen Schicht in Luft austritt. 2. Bei der Reflektion von Licht an einem Übergang zu einem optisch dichteren Medium tritt ein Phasensprung auf. Das gilt für den direkt reflektierten Strahl, aber auch immer, wenn das Licht zwischen dünner Schicht und Linse reflektiert wird. Der Phasensprung entspricht immer einem zusätzlichen Gangunterschied von λ 2. λ 2 Nun kann maich Folgendes überlegen: Direkt reflektiertes Licht und einmal durch die Grenzschicht gelaufenes Licht haben beide einen Phasensprung gemacht, zusätzlich hat das Licht durch die Grenzschicht einen um längeren Weg zurückgelegt. Es gibt also destruktive Interferenz. Ein weiterer Teil des Lichtes geht in die dünne Schicht, wird an der Linse reflektiert, noch mal zwischen Schicht und Luft und wieder an der Linse, und geht dann wieder zurück in die Luft. Dieses Licht macht also zwei Phasensprünge und läuft vier mal durch die Dicke der Schicht. Also hat es auch wieder einen Gangunterschied von λ 2 Das Gleiche gilt für alle weiteren Mehrfachreflektionen. zum direkt reflektierten Licht. Das muss man dann in c) beachten - destruktiv interferiert direkt reflektiertes Licht mit der Summe aller Reflektionen, die ein- oder mehrfach durch die Schicht gelaufeind. b) I t =(1 R as )I 0 E t = 1 R as E 0 ns n a = 1 + n a 4ns n a = ( + n a ) 2 = 2 + n a 2 = + n a n a + + n a =(1 + r as ) 10

11 c) Wie in a) erläutert, interferiert der direkt reflektierte Anteil destruktiv mit allen Mehrfachreflektionen in der Schicht. In den Rechnungen für die Amplituden ist auch schon der Phasensprung der Reflektion enthalten (Vorzeichen ändert sich), geuso wie die Änderung der Phase durch den durchlaufenen Weg. Für die Amplitude des direkt reflektierten Anteils gilt: A r = r as A 0 Der mehrfach reflektierte Anteil sieht aus wie folgt: A m =A 0 (1 + r as ) +A 0 (1 + r as ) +A 0 (1 + r as ) +... ( r sl ) (1 + r sa ) ns n a cos( 2π λ 2λ 4 ) ( r sl )( r sa )( r sl ) (1 + r sa ) ns n a cos( 2π λ 4λ 4 ) ( r sl )( r sa )( r sl )( r sa )( r sl ) (1 + r sa ) ns n a cos( 2π λ 6λ 4 ) Wir setzen ein r sa = r as und erhalten: A m =A 0 (1 r 2 as )r sl +A 0 (1 r 2 as )r sl r sl r as +A 0 (1 r 2 as )r sl r 2 sl r2 as +... A m =A 0 (1 r 2 as )r sl r i sl r i as i=0 =A 0 (1 r 2 as )r 1 sl 1 r sl r as Nuummieren wir die Amplituden auf und setzen 0: 0 =A! r + A m 0 = r as A 0 + A 0 (1 r 2 as )r 1 sl 1 r sl r as 0 = r as + r sl r 2 as + r sl r sl r 2 as 1 r sl r as r as =r sl 11

12 d) n a + n a = n l n l + ( 1)(n l + ) =(n l )( + 1) n l n l + n 2 s = n l n 2 s + n l n l =n 2 s = n l 12

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