Anleitung für das Regelungstechnische Praktikum. Phasenregelkreis (phase locked loop: PLL)

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1 Technische Universität Dresden Fakultät lektrotechnik und Informationstechnik Institut für Regelungs- und Steuerungstheorie R S T VA 7 Anleitung für das Regelungstechnische Praktikum Versuch V 7 : Versuchsziel : Phasenregelkreis (phase locked loop: PLL) Vermittlung von Kenntnissen über Aufbau, Wirkungsweise und Anwendungen des Phasenregelkreises in der Regelungstechnik 1 inführung Die erste analoge PLL-Schaltung wurde im Jahre 193 vom französischen Ingenieur Henri de Belleszise mit dem Ziel der störunempfindlichen Rundfunkübertragung entwickelt (nach [1]). Aufgrund seiner igenschaften besitzt dieser analoge PLL gegenüber dem modernen digitalen PLL auch heute noch ein breites Anwendungsfeld und soll deshalb als Untersuchungsgegenstand im Praktikum dienen. Darüber hinaus werden auch die wesentlichen igenschaften digitaler PLL betrachtet (s. z. B. []). 1.1 Aufbau und Wirkungsweise in Phasenregelkreis hat grundsätzlich die Aufgabe, das Ausgangssignal y(t) eines Oszillators in Frequenz und Phase mit einem ingangssignal r(t) zu synchronisieren. Das Wirkungsschema eines PLL ist in Bild 1 dargestellt. s besteht aus drei Funktionsgruppen, einem Phasendetektor (phase detector: PD) für den Phasenvergleich, einem Schleifenfilter (loop filter: LF) mit Tiefpaßcharakter zur Gewinnung der Steuerspannung V (t) sowie dem spannungsgesteuerten Oszillator (voltage controlled oscillator: VCO), dessen Frequenz ω y durch die Steuerspannung V (t) verändert werden kann. r(t) PD (t) LF V (t) y(t) VCO Bild 1: Blockschaltbild des PLL (t), V (t) - Spannungen; r(t), y(t) - Sinusschwingungen (Amplitude: A = 10 V)

2 Praktikumsanleitung VA 7 1. Ableitung der Differentialgleichung des PLL Die Aufgabe des VCO besteht in der Umformung der Steuergröße V in eine harmonische Schwingung y mit der Frequenz ω y. Im allgemeinen wird eine lineare Spannungs-Frequenz- Charakteristik (Steuerkennlinie des VCO) ω y ω y0 = S V (1) angenommen, wobei die Freilauffrequenz ω y0 sowie die Steilheit S der Kennlinie Parameter des PLL sind. Der Unterdrückung der hochfrequenten Anteile im Ausgangssignal des Phasendetektors dient ein Frequenzfilter. Geeignet ist bereits ein passiver Tiefpaß 1. Ordnung mit einer Grenzfrequenz ω g << ω y0. Die zugehörige Differentialgleichung lautet V (t) + T V (t) = K LF (t) ; mit T = π ω g. () Der Phasendetektor verknüpft das ingangssignal r multiplikativ mit dem Ausgangssignal y des VCO. Die ingangssignale des analogen PD werden als sinusförmig vorausgesetzt: r(t) = A r sin ϕ r (t) (3) y(t) = A y cos ϕ y (t). Als Ausgangssignal des PD ergibt sich (mit K - Verstärkungsfaktor des Multiplizierers) (t) = K A r A y sin ϕ r (t) cos ϕ y (t) = K A ra y [sin(ϕ r (t) ϕ y (t)) + sin(ϕ r (t) + ϕ y (t))]. (4) Der Faktor K P D := K ArAy in (4) wird als PD-Verstärkungsfaktor bezeichnet. Das Schleifenfilter sperrt die höherfrequenten Anteile von. Deshalb gilt in guter Näherung app = K P D sin(ϕ r ϕ y ) (vgl. Bild 3) und damit Die Phasendifferenz V + T V = K P D K LF sin(ϕ r ϕ y ) = K P D K LF sin ϕ. (5) ϕ = ϕ r ϕ y (6) wird als Regeldifferenz interpretiert. Im Arbeitsbereich π ϕ π bezeichnet man den PLL als eingerastet (locked-in). Beschreibt man die Phasen ϕ r, ϕ y in einem mit der Freilaufphase ω y0 t des VCO veränderlichen Koordinatensystem ϕ rf := ϕ r ω y0 t = ϕ yf := ϕ y ω y0 t = t 0 t 0 ω r (τ)dτ + ϕ r0 ω y0 t (7) ω y (τ)dτ + ϕ y0 ω y0 t, (8) so gilt wegen (6) und (7) ϕ y = ϕ rf + ω y0 t ϕ, (9)

3 Praktikumsanleitung VA 7 3 und damit Der Vergleich mit (1) ergibt ϕ y = ω y = ϕ rf + ω y0 ϕ. (10) V = ϕ r f ϕ, (11) S und nach nochmaliger Differentiation V = ϕ r f ϕ. (1) S insetzen von (11),(1),(7) in (5) führt auf die nichtlineare Differentialgleichung T ϕ (t) + ϕ (t) + K LF K P D S sin ϕ (t) = (ω r ω y0 ) + T ( ω r ω y0 ) (13) des Phasenregelkreises. Unter der Annahme, daß der PLL stets eingerastet ist ( π ϕ e π ) und die Phasendifferenz ϕ kleine Werte annimmt, kann (13) durch T ϕ (t) + ϕ (t) + K P D K LF Sϕ (t) = ω r ω y0 + T ( ω r ω y0 ) = ω rf + T ω rf (14) approximiert werden. Gleichung (14) stellt ein lineares System zweiter Ordnung dar. Führt man zur üblichen Beschreibung die Kennkreisfrequenz ω 0 sowie Dämpfung d KP D K LF S 1 ω 0 =, d = T 4K P D K LF ST ein und beachtet, daß die Mittenfrequenz ω y0 des VCO konstant ist, so kann (14) zu ϕ + dω 0 ϕ + ω 0 ϕ = 1 T (ω r ω y0 ) + ω r = 1 T ω rf + ω r (15) replacements umgeschrieben und mit den Methoden der linearen Theorie diskutiert werden (siehe z. B. [3]). Zur rleichterung des Verständnisses kann man den PLL, der Gleichung (14) genügt, auch als Regelkreis darstellen. Nach (1) ist der VCO ein P-Glied mit dem Verstärkungsfaktor S, d. h. ω yf = S V. Der PD vergleicht nach (5) die Phasenlagen der beiden ingangssignale r(t)und y(t) und erzeugt die Phasendifferenz ϕ = ϕ rf ϕ yf = ϕ r ϕ y. Die Phase wird mittels Integration aus der Frequenz gewonnen. Der integrale Verstärkungsfaktor ist K P D. Damit ergibt sich der Regelkreis nach Bild. Meßtechnisch zugänglich sind die sinusförmigen Signale r(t) und y(t) als Träger der Informationen ω rf bzw. ω yf sowie V und ggf. U, wenn der Signalgenerator mittels eines VCO realisiert wird, und. U = ω rf S r(t) 1 s ϕ rf ϕ K LF K P D 1 + st V = ω yf Signalgenerator r(t) ϕ yf PD - Phasendetektor 1 s y(t) S Bild : Linearisierte PLL als Regelkreis (ω yf = ω y ω y0 )

4 Praktikumsanleitung VA Arbeitsbereiche des PLL Der (nichtlineare) Zusammenhang zwischen der Phasendifferenz ϕ e und dem Mittelwert des Ausgangssignals des Phasendetektors (statische Kennlinie des Phasendetektors) ist in den Bildern 3 bzw. 4 dargestellt. Beim xperimentieren mit PLL s ist es üblich, mehrere Arbeitsbereiche einzuführen: a) Die Gleichung (15) ist als Näherung für Gleichung (13) nur für ϕ 1 verwendbar. Für ϕ > π rastet der PLL wegen Gleichung (5) aus. Bei konstanter rregung ω r ω y0 =const. ( ω y0 = 0, ω r = 0) gilt im eingerasteten Zustand ( ϕ = 0) nach Gleichung (13) K LF K P D S sin ϕ = ω r ω y0, d.h. für die Differenz zwischen der Frequenz des ingangssignals und der Freilauffrequenz des VCO muß gelten ω r ω y0 K LF K P D S =: ω H. Man nennt das Intervall (ω y0 ω H ; ω y0 + ω H ) den Haltebereich (hold range) des PLL. b) Der PLL sei eingerastet. Ändert man die Frequenz des ingangssignals sprungförmig ω r (t) = ω r0 + ω r 1(t) ; ω y0 ω H < ω r0 < ω y0 + ω H, dann ist die zulässige Sprunghöhe, bei der der PLL nicht ausrastet, ω r < ω H. (T sei so groß, daß Gleichung (5) in Näherung erfüllt ist.) ω r max wird Ausrastbereich (pull-out range) genannt. r verringert sich mit wachsendem T. c) Weicht anfänglich ω r stark von ω y0 ab, dann ist der PLL ausgerastet. Nähert sich ω r bis auf eine Differenz ω L dem Wert ω y0, so rastet der PLL ein. ω L wird als Fangbereich (lock-in range) bezeichnet.

5 Praktikumsanleitung VA Wirkungsweise des digitalen PLL Merkmal des digitalen PLL ist, daß die Signale y(t) und r(t) nicht sinus- sondern rechteckförmig sind, d.h. aus dem analogen PLL wird unmittelbar eine digitale, wenn die Signale y(t) und r(t) mittels eines Schmitt-Triggers geformt werden. Zur Vereinfachung der Schaltung kann der Multiplizierer durch ein xklusiv-oder-glied (XOR) ersetzt werden, ohne die Funktionsweise zu verändern. ntsprechend den Annahmen zum Tiefpaßverhalten des Schleifenfilters (s. () und (5)) wird der arithmetische Mittelwert des Ausgangssignals des Phasendetektors betrachtet: = 1 T0 (τ) dτ mit T 0 = k, k = 1,, T 0 ω r 0 Im stationären Fall (eingerasteter Zustand) ist ω r = ω y. Damit gilt sowie ϕ r (t) = t 0 ω r (τ) dτ + ϕ r0, ϕ y (t) = t 0 ω y (τ) dτ + ϕ y0 ϕ (t) = ϕ r (t) ϕ y (t) = ϕ r0 ϕ y0 = ϕ 0 = const. und man erhält für den analogen PLL (siehe Gleichung (4)) mit (t) = K A r A y (sin( ϕ 0 )) } {{ } =const. + sin(ω r t + y 0 ) } {{ } ( ) im Signal (t) einen konstanten Anteil, der von ϕ 0 = ϕ abhängig ist und einen höherfrequenten Anteil (***), der mittels der Mittelwertbildung eliminiert wird. K Ar Ay Bei dem digitalen PLL ist (t) ein binäres Signal mit der Amplitude ±. Die Umschaltfrequenz beträgt ω r und das Tastverhältnis ist eine Funktion von ϕ (Pulsbreiten- modulation). Damit ergibt sich eine Kennlinie für den Phasendetektor nach Bild 3. A (**) (*) 3 π π π π π 3 π ϕ A Bild 3: Arithmetischer Mittelwert (t) des Ausgangssignals (t) des Multiplizierers für rechteckförmige (**) und sinusförmige (*) ingangssignale y(t), r(t) Damit gilt Gl.(15) für den eingerasteten PLL im Bereich von ϕ = π bis π. Beachten Sie, dass nach Gl.(3) die Phasendifferenz zwischen r(t) und y(t) tatsächlich ϕ = ϕ + π beträgt. In der praktischen Schaltungstechnik wird häufig als Phasendetektor ein Phasen-Frequenz- Detektor verwendet, der auch bei großen Frequenzabweichungen (ω r ω y ) immer ein sicheres inrasten ermöglicht.

6 Praktikumsanleitung VA Phasen-Frequenz-Detektor (PFD) Der PFD unterscheidet sich von den betrachteten PD dadurch, daß sein Ausgangssignal (t) im eingerasteten Zustand der PLL vom Phasenfehler ϕ abhängt, im ausgerasteten Zustand dagegen von der Frequenzdifferenz (ω r ω y ). Der Aufbau und die Wirkungsweise dieses Detektors ist im Anhang dargestellt. Der PFD hat folgende Kennlinie: A 4π π π 4π ϕ A Bild 4: Arithmetischer Mittelwert des Ausgangssignals (t) des PFD im eingerasteten Zustand des PLL 1 ω r ω y Bild 5: Arithmetischer Mittelwert des Ausgangssignals (t) des PFD im ausgerasteten Zustand des PLL 1.5 Literatur [1] Börner, H.: Phasenkopplungssysteme in der Nachrichten-, Meß- und Regelungstechnik. Verlag Technik Berlin [] Best, B.:Theorie und Anwendungen des Phase-locked Loops.AT-Verlag, Aarau/Schweiz, [3] N.N.: Theorie. N.N. [4] Anleitung für das Regelungstechnische Praktikum: VA 0 Modellregelkreis Gerätebeschreibung. TU Dresden, Institut für Regelungs- und Steuerungstheorie 007. [5] Anleitung für das Regelungstechnische Praktikum: VA 8 Drehzahlregelung. TU Dresden, Institut für Regelungs- und Steuerungstheorie 007.

7 Praktikumsanleitung VA 7 7 Gerätetechnik Der Versuchsdurchführung dient ein Modellregelkreis 931 (siehe [4]) mit zusätzlichen Baugruppen (siehe Bild 6) sowie ein Oszilloskop und ein PC mit Analogeingabe, der als Digitaloszilloskop eingesetzt werden kann. Als digitaler VCO steht ein Gleichstrommotor zur Verfügung. Frequenz Phasenvergleich VCO 1 Amplitude X X Y 10 analog Y digital PD PFD +_ 1 +_ U Steuer VCO f U Steuer VCO 3 f X digital +_8 Y Bild 6: Baugruppen des Modellregelkreises. VCO 1: obere Buchse Triggersignal, untere Buchse U(t) - Die linke Baugruppe beinhaltet drei Oszillatoren (VCO s) und ein steilflankiges Tiefpaßfilter (Potenzfilter 5. Ordnung). VCO1 ist in Frequenz (10 Hz 185 Hz) und Amplitude (0 V 0 V SS ) einstellbar und ermöglicht die Auswahl aus drei verschiedenen Signalformen (Sinus-, Dreieck- und Rechteckschwingung). VCO und VCO3 sind gleich und mit jeweils einer Steuerspannung (-10 V +10 V) in der Frequenz variierbar (1, khz 9 khz). Die Amplitude der sinusförmigen Ausgangsspannung ist konstant (0 V SS, A r = A y = 10 V). Das steilflankige Tiefpaßfilter mit einer Grenzfrequenz von ca. 4 khz ist zur Unterdrückung höherfrequenter Signalanteile beim Messen vorgesehen. - Die mittlere Baugruppe enthält einen Analogmultiplizierer ( Ausgangssignal Z = XY, 10 V K = 1, s. Gl(4)) sowie den digitalen Phasendedektor bzw. Phasen-Frequenz-Detektor 10 V (PFD) (obere Baugruppe). Das Ausgangssignal des PFD beträgt -5 V, 0 oder +5 V. Die untere Baugruppe realisiert einen PFD mit bedeutend größerem Haltebereich. Die Tiefpässe sind wie bei der linken Baugruppe so ausgelegt, dass sie die hohen Frequenzanteile ( s. Gl.(4) sin(ϕ r (t)+ϕ y (t)) bzw. Pulslängenmodulation vgl. Bild 13 ) unterdrücken. - Als weitere Möglichkeit einen VCO zu realisieren, steht ein Gleichstrommotor mit einer Schwungscheibe auf der Ankerwelle zur Verfügung. Als ingangssigal wird die Ankerspannung u verwendet. in inkrementaler Geber liefert die Impulsfolge f M als Signal y für den PFD. Der Gleichstrommotor wird durch die Übertragungsfunktion G M (s) = F M(s) U(s) = K M (1 + st M )(1 + st A ) mit K M = 45 Hz V 1 und T M = 0, 7 s, T A = 0, 007 s beschrieben. Die größte Motorspannung u beträgt U max = 5 V. Die Drehbewegung der Schwungscheibe ist mittels eines Stroboskops zu beobachten.

8 Praktikumsanleitung VA 7 8 Der Phasenregelkreis wird für die xperimente am Modellregelkreis nach Bild 7 realisiert. GN U(t) VCO r(t) PD (t) LF V (t) y(t) VCO 3 Bild 7: Versuchsaufbau (entspr. Gl.(1) gilt U(t) ω r, V (t) ω y ): Als Testsignalgenerator GN dient eine Gleichspannung oder der VCO 1. LF: K LF = 1; T = 0, 5 ms Bild 8 zeigt die gemessenen Steuerkennlinien der VCO s und 3. f[khz] U[V] s gilt S = 8 khz 0 V = 400Hz V Bild 8: Steuerkennlinie der VCO s und 3, siehe Gl. (1) = 800 π rad Vs. 3 Versuchsvorbereitung 3.1 Bestimmen Sie den bleibenden Phasenfehler eines analogen PLL für Nullerregung bzw. für konstante rregung. 3. Unter welchen Voraussetzungen kann der PLL vereinfachend als lineares System beschrieben werden? 3.3 Betrachten Sie den VCO nach Bild 10. Genügt dieser VCO Gleichung (1) oder ist eine zusätzliche Verzögerung zu beachten? 3.4 Zeichnen Sie für den linearisierten Regelkreis nach Bild 7 den Signalflußplan. Welche Signale können zur Anzeige der Frequenz f r von r(t) bzw. f y von y(t) verwendet werden?

9 Praktikumsanleitung VA ntwerfen Sie einen digitalen PLL (mit PFD) entsprechend Bild 1 bzw. mit dem Gleichstrommotor als VCO und LF. Verwenden Sie VCO 1 als Signalgenerator zur rzeugung von r(t) und fügen Sie einen P- bzw. PI-Regler in den Kreis ein. r(t) Signal-Gen PFD Regler Motor y(t) Bild 9: Drehzahlregelung mit PLL Zeichnen Sie den Signalflussplan des linearisierten Regelkreises. Dimensionieren Sie den P-Regler bzw. PI-Regler nach dem symmetrischen Optimum (vgl. [5]). Wie groß ist nach einer sprungförmigen Änderung der Frequenz von r(t) der Phasenfehler ϕ im eingeschwungenen Zustand (mit P- bzw. PI-Regler)? 4 Versuchsdurchführung 4.1 Offener Kreis, Testsignal: Gleichspannung Geben Sie die Ausgangssignale r(t) von VCO und y(t) von VCO 3 auf die ingänge des Analogmultiplizierers. Betrachten Sie r(t) und y(t), stellen Sie durch Variation von U(t) etwa gleiche Frequenzen bei r(t) und y(t) ein. Stellen Sie das Ausgangssignal (t) des Multiplizierers und das Ausgangssignal r(t) von VCO auf dem Oszilloskop dar und diskutieren Sie Ihre Beobachtung bezüglich Gleichung (4). Variieren Sie dabei die Steuerspannung U(t) von VCO. Wie wird das Multiplizierer-Ausgangssignal e(t) beim Durchlaufen eines P -T 1 -Gliedes verändert? (K LF = 1, T = 0, 5ms) 4. Geschlossener Kreis, Testsignal: Gleichspannung Realisieren Sie mit den zur Verfügung stehenden Baugruppen einen geschlossenen analogen Phasenregelkreis (K LF = 1, T = 0, 5ms). Stellen Sie die Signale y(t) und r(t) auf dem Oszilloskop dar. Stellen Sie für r(t) verschiedene Frequenzen ein. Welche Aussage können Sie über die Phasendifferenz der beiden Signale und die Arbeitsbereiche des PLL machen? Wie groß ist der Haltebereich? Was bewirkt eine Änderung des Vorzeichens am Multiplizierer? Begründen Sie das rgebnis. 4.3 Geschlossener Kreis, Testsignalgenerator: VCO 1 Rechteckschwingung Stellen Sie V(t) und das Ausgangssignal U(t) von VCO 1 auf dem Oszilloskop gleichzeitig dar. Welche Beschränkung besteht bezüglich der Amplitude von U(t)? Variieren Sie die Frequenz von VCO Wiederholen Sie Aufgabe 4.3 mit dreieckförmigem Signal U(t). Stellen Sie U(t) und V (t) gleichzeitig dar. Variieren Sie die Amplitude von U(t). Wählen Sie dabei das Signal U(t) auch so, daß der PLL periodisch aus- und einrastet. rläutern Sie die Begriffe Haltebereich und Fangbereich. Wie hängen Halte- und Fangbereich qualitativ von K LF und T ab? 4.5 Wiederholen Sie die xperimente 4. bis 4.4 mit dem digitalen PFD. 4.6 Realsieren Sie einen PLL entsprechend Aufgabe Verwenden Sie zur rzeugung des Signals r(t) den VCO 1. Beobachten Sie die Wirkungsweise der Regelung bezüglich der Drehzahl und des Phasenwinkels des Motorankers (mit P- bzw. PI-Regler).

10 Praktikumsanleitung VA 7 10 Anhang Wirkungsweise des VCO PSfrag replacements Der VCO ist ein spannungsgesteuerter Oszillator (voltage controlled oscillator) und besteht im Versuchsaufbau aus einem in der Frequenz steuerbaren Dreieck-Signalgenerator mit nachgeschaltetem statischem nichtlinearem Übertragungsglied, das das ingangssignal u D sinusförmig gewichtet. (ine andere Möglichkeit ist z. B. ein Meißner-Oszillator mit Kapazitätsdioden.) U Dreieck- u ( ) y D π y = sin u Signal- D u Dmax Generator ω Bild 10: Wirkungsweise des VCO Der Dreieck-Signalgenerator läßt sich einfach über einen mittels Komparator nichtlinear rückgekoppelten Integrierer realisieren. Der Komparator hat eine Hysterese von u Dmax. Die Periodendauer T = π des VCO-Ausgangssignals beträgt bei konstanter ingangs- ω spannung U T = 4 U + U 0 u Dmax U 0 > U max T int, wobei T int die Zeitkonstante des Integrierers ist. PSfrag replacements U u D Schalter u S Komparator Bild 11: Aufbau des Dreieck-Signalgenerators. Der Schalter schließt für u S > 0. Wirkungsweise des Phasen-Frequenz-Detektors (PFD) Der PFD besteht aus flankengesteuerten D-Flip-Flops (bei jedem positiven Flankenübergang am ingang C ändert sich der Zustand von Q, bei R = 0 wird Q = 0 gesetzt), deren Ausgänge additiv verknüpft sind.

11 Praktikumsanleitung VA 7 11 r(t) C Q V 1 R R & + (t) y(t) C Q V Bild 1: Signalflußplan des PFD ( = V 1 V ) Damit ergeben sich im eingerasteten Zustand die möglichen Signalverläufe nach Bild 13. a) r y b) t r y c) t r y t Bild 13: Signale beim PFD Im Falle a), b) bzw. c) gilt ersichtlich = 0, > 0 bzw. < 0. Im ausgerasteten Zustand und für ω r > ω y weist das Signal r innerhalb eines Zeitintervalls mehr positive Flächen auf als das Signal y. Damit ist das Signal immer größer als Null (für ω r < ω y ist immer kleiner als Null). Daraus folgt die Kennlinie nach Bild 4.

12 Praktikumsanleitung VA 7 1 PC-Programm zur Messwerterfassung: Das Programm ist in der Programmiersprache LabVIW geschrieben. s gestattet die Messung von vier Signalen, wobei durch Auswahl mit dem Softwareschalter Messregime entweder die beiden Signale ingangssignal des VCO U(t) und ingangssignal des VCO 3 V (t) bzw. Ausgangssignal des VCO r(t) und Ausgangssignal des VCO 3 y(t) mit einer Abtastrate von 100 khz erfasst werden. Dabei ist eine Darstellung als Zeitfunktionen (x,t-diagramm) oder im xy-diagramm ( V = f(u) bzw. y = f(r) ) möglich. Die gemessenen Signale können in zwei Diagrammen (Bild 1 und Bild ) gespeichert und zusammen mit einem Kommentar ausgedruckt werden. August 007 (Dr. Badelt)