1 Technische Optik: Übungsblatt 1

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1 1 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 1 Das Energiedichtespektrum eines Planck'schen Strahlers kann in Abhängigkeit von der Frequenz ν als ρ(ν) oder von der Wellenlänge λ als ρ(λ) angegeben werden. a) Berechnen Sie ρ(λ)dλ aus ρ(ν)dν = 8πhν3 c 3 1 e hν/kt 1 dν. (1) b) Die Sonne emittiert in guter Näherung ein Schwarzkörperspektrum bei einer effektiven Temperatur von 5600 K. Wie groÿ ist bei der Wellenlänge des Maximums der Verteilung (500 nm) das Zahlenverhältnis zwischen spontan und induziert emittierten Photonen? Wie ändert sich dies bei einem Überriesenstern mit einer eektiven Temperatur von K? 1.2 Aufgabe 2 Bei der Erzeugung elektromagnetischer Strahlung kann das Atom als gedämpfter harmonischer Oszillator beschrieben werden. Die Amplitude E(t) der abgestrahlten Welle gehorcht der Schwingungsgleichung Ë + γė + ω2 0E = 0. (2) a) Wie lautet die zeitabhängige Lösung für E(t)? b) Berechnen Sie die frequenzabhängige Intensitätsverteilung I(ω) = E 2 (ω).

2 1.3 Exercise 1 The spectra of energydensity of a planck-radiator can be described as a function ρ(ν) of frequency ν or as a function ρ(λ) of wavelength λ. a) Calculate ρ(λ)dλ from ρ(ν)dν = 8πhν3 c 3 1 e hν/kt 1 dν. (3) b) The sun emits in good approximation blackbody radiation with an eective temperature of 5600 K. Calculate the ration between spontaneus emitted and induced emitted photons at the maximum of the distribution of wavelengths (500nm). How does this ratio change, when you consider a temperature of an uber giant star (20000K)? 1.4 Exercise 2 For the creation of electromagnetic radiation, atoms can be described as damped, harmonic oscillators. The amplitude E(t) of an emittet electromagnetic wave can be described with Ë + γė + ω2 0E = 0. (4) a) What is the time dependent solution for E(t)? b) Calculate the frequency dependent intensityprole I(ω) = E 2 (ω).

3 2 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 3 Die rote (λ = 633 nm) und die grüne (λ = 543 nm) Laserline des HeNe-Lasers haben eine Verstärkung von etwa 10 %/m bzw. 0.5 %/m. Welchen minimalen Reexionsgrad müssen die Auskoppelspiegel eines 30 cm langen Lasers haben, der die rote oder die grüne Linie erzeugen soll? 2.2 Aufgabe 4 Die Skizze zeigt ein Dreiniveausystem, in dem von Zustand 0 in Zustand 2 mit Rate P 2 gepumpt wird. Der Zerfall verläuft von Zustand 2 in Zustand 1 mit Rate 1/τ 2, und von Zustand 1 in Zustand 0 mit Rate 1/τ 1. Wir vernachlässigen stimulierte Emission und nehmen an, dass Zustand 0 nicht signikant entvölkert wird und P 2 konstant ist. Zum Zeitpunkt t = 0 werde die Pumprate angeschaltet. Die Zahlenwerte seien τ 2 = 1 µs, τ 1 = 2 µs. a) Wie lauten die Ratengleichungen für die Zustandsbesetzungen N 2 und N 1? b) Berechnen Sie die Lösungen N 2 (t) und N 1 (t). c) Welche Werte nehmen N 2 und N 1 im Gleichgewicht an? d) In welchem Zeitintervall ist N 2 N 1 > 0? Verwenden Sie hierfür die oben angegebenen Zahlenwerte.

4 2.3 Exercise 3 The red (λ = 633 nm) and the green (λ = 543 nm) laserline of the HeNe-laser have amplications of 10 %/m and 0.5 %/m respectively. What is the minimum amount for the reectivity of the extracting mirrors for an 30 cm long laser? 2.4 Exercise 4 The chart shows a three level system, pumping is done from 0 2 with the pumprate P 2. The decay follows 2 1 with the decayrate 1/τ 2 and 1 0 with the decayrate 1/τ 1. We don't consider stimulated emission and assume P 2 to be constant as well as 0 level not beeing depopulated. At time t = 0 the pumprate is turned on. Values: τ 2 = 1 µs, τ 1 = 2 µs. a) Calculate the rate law of the occupation of states N 2 and N 1. b) Calculate the solutions for N 2 (t) and N 1 (t). c) Calculate the values for N 2 and N 1 in equilibrium. d) Calculate the timeframe in which N 2 N 1 > 0. Use the given numbers from above.

5 3 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 5 Man gibt als Querschnitt eines Gauÿ'schen Strahles allgemein die Breite 2w(z) an, bei der die Intensität I(r) nur noch 1/e 2 oder 13% des Maximalwertes I 0 beträgt. Innerhalb dieses Radius sind 86% der Gesamtleistung konzentriert. Wie groÿ müsste der Durchmesser einer Lochblende gewählt werden, die 99% der Gesamtleistung transmittiert? 3.2 Aufgabe 6 Zeigen Sie, dass der Gauÿsche Strahl bei der Rayleighlänge seine gröÿte Krümmung hat. Wie groÿ ist sie dort? 3.3 Aufgabe 7 Die Real- und Imaginärteile des inversen komplexen Strahlparameters (Skript Gln. (2.14)) 1 q(z) = 1 R(z) i λ πw 2 (z), haben anschauliche Bedeutungen: R(z) ist der Krümmungsradius der Wellenfront und w(z) der Strahlradius. Aus der paraxialen Wellengleichung ergab sich q(z) = q 0 (z) + z = + z. Berechnen Sie R(z) und w(z) (Skript Gln. (2.17, 2.18)). i πw2 0 λ 3.4 Aufgabe 8 Ein HeNe Laser hat einen Resonator, der aus einem ebenen Spiegel und einem Spiegel mit Krümmungsradius 1 m im Abstand von 50 cm gebildet wird. a) Welche Längenänderungen dürfen maximal auftreten, damit die Frequenz um weniger als 1 MHz schwankt? b) Wie groÿ sind die Strahlradien der Grundmode auf den Spiegeln?

6 3.5 Exercise 5 The cross section of a gaussian beam 2w(z) is considered the width of the beam at the point, where the intensity I(r) is dropped to 1/e 2 or 13% of the maximum intensity I 0. Inside this region, 86% of the total power is concentrated. Calculate the size of a pinhole to transmit 99% of the total power. 3.6 Exercise 6 Show that a gaussian beam has his biggest bending at the rayleigh-lenght. Calculate the value for the bending at this point. 3.7 Exercise 7 The real and imaginary part of the inverse, complex beamparameter (Eq. 2.14) 1 q(z) = 1 R(z) i λ πw 2 (z), have vivid meanings: R(z) is the radius of bending of the wavefront and w(z) the beamradius. From the paraxial wave equation one gets q(z) = q 0 (z) + z = i πw2 0 + z. λ Calculate R(z) and w(z) (Eq and 2.18) 3.8 Exercise 8 The resonator of a HeNe-laser consists of a plain mirror and a mirror with a radius of curvature of 1m at a distance of 0,5 m. a) What changes in the length of the resonator are allowed to permit frequency shifts below 1 MHz but not above? b) What size are the radii of the ground mode on the mirrors?

7 4 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 9 Ein Argonionenlaser emittiert bei einer Wellenlänge λ = 514, 5 nm eine Leistung von 1 W in der Grundmode. Der minimale Strahlradius beträgt ω 0 = 2 mm bei z = 0. a) In welcher Entfernung ist der Radius ω(z) = 10 cm? b) Wie groÿ ist der Krümmungsradius der Wellenfront an dieser Stelle? c) Wie groÿ ist die Divergenz im Fernfeld? d) Wie groÿ ist die Amplitude des elektrischen Feldes bei z = 0? 4.2 Aufgabe 10 Der Fabry-Perot Resonator eines HeNe-Lasers bei 633 nm habe einen freien Spektralbereich von 125 MHz und eine Linienbreite von 2,5 MHz (FWHM). Wie lang ist die Kavität und wie groÿ sind Finesse und Speicherzeit? Angenommen, die Kavität ist vollständig gefüllt mit dem HeNe Gasgemisch. Wie groÿ muss die Verstärkung γ (in Einheiten 1/m) für Lasertätigkeit mindestens sein? 4.3 Aufgabe 11 Die Breite des Verstärkungsprols des HeNe-Lasers bei 633 nm beträgt 1,5 GHz und die des CO 2 -Lasers bei 10 µm 60 MHz. Wie lang sollten die Laser sein, damit jeweils nur eine longitudinale Mode anschwingt?

8 4.4 Exercise 9 The power of an Ar-laser with a wavelength of λ = 514, 5 nm is 1 W in TEM 00. The minimal beam radius is ω 0 = 2 mm at z = 0. a) In which distance is the radius ω(z) = 10 cm? b) What's the curve radius of the wavefront at this point? c) What's the divergence in the far eld? d) How big is the amplitude of the electric eld at z = 0? 4.5 Exercise 10 The Fabry-Perot resonator of a HeNe-laser at 633 nm has a free spectral range of 125 MHz and a linewidth of 2,5 MHz (FWHM). a) What's the length of the cavity? b) Calculate the nesse and storage time. c) Assuming that the cavity is completely lled with HeNe gas mixture, what's the lowest value for the amplication to enable laser activity? 4.6 Exercise 11 The width of the amplication prole of an HeNe-laser at 633 nm is 1,5 GHz; of an CO 2 -laser at 10 µm is 60 MHz. How long should the resonators for those lasers be to enable just one longitudinal mode?

9 5 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 12 Eine Schwerint-Glasplatte (n=1,75 für blaues Licht) soll mit MgF 2 (n=1,38) antire- exbeschichtet werden. a) Berechnen Sie die Gesamtreektivität für eine λ/4-schicht. b) Der Beschichter hat nicht aufgepasst und aus Versehen eine λ/2-schicht bedampft. Wie groÿ ist nun die Reektivität? 5.2 Aufgabe 13 Ein He-Ne Laser bei 633 nm hat einen hemisphärischen Resonator mit nomineller Länge 1 m, wobei der Krümmungsradius des einen Spiegels 1 m beträgt. Mit einer Mikrometerschraube kann die Länge des Resonators zu L = R L mit L L eingestellt werden. a) Leiten Sie einen einfachen Ausdruck für den Strahlradius w 2 am gekrümmten Spiegel her unter Verwendung von L L. b) Über welchen Bereich muss L eingestellt werden können, um den Strahlradius w 2 zwischen 5 mm und beliebig groÿen Werten variieren zu können? Skizzieren Sie graphisch den Radius w 2 gegen L. c) Wie groÿ ist der Strahlradius am Planspiegel für w 2 = 5 mm? 5.3 Aufgabe 14 Die Resonanzfrequenzen von Laserresonatoren berechnen sich für die Gauÿsche Grundmode zu ν q = c 2L (q ± 1 g1 g 2 ), π wobei das Vorzeichen gleich ist dem Vorzeichen von g 1 bzw. g 2. a) Gibt es für stabile Resonatoren Vorzeichenprobleme für die Wurzel g 1 g 2? b) Diskutieren Sie für zwei He-Ne Laser mit den Resonatorlängen 10 cm und 1 m die Frequenzunterschiede für die Resonatortypen (nah-) planar, konfokal, konzentrisch, semikonzentrisch und semikonfokal. c) Ein planarer und ein konzentrischer Resonator gleicher Länge werden jeweils um 10 % ihrer Länge verkürzt. Wie verschieben sich die Resonanzfrequenzen relativ zueinander?

10 5.4 Exercise 12 A intglas plate (n=1,75 for blue light) is supposed to be coated with MgF 2 (n=1,38) as antireex coating. a) Calculate the total reectivity for a λ/4-layer b) The men responsible for the coating made a mistake. He coated a λ/2-layer. What's the reectivity now? 5.5 Exercise 13 A He-Ne laser at 633 nm has an hemispheric resonator with a length of 1m. The radius of the mirros is 1m. The length of the resonator can be adjusted with a micrometer-screw L = R L with L L. a) Dervive a simple term for the beam radius w 2 at the bended mirror. Use L L. b) What L do you need to adjust w 2 between 5 mm and innity? Draw w 2 in dependence of L. c) What size has the beamradius on the plain mirror for w 2 = 5 mm? 5.6 Exercise 14 The resonance frequencies of laser resonators are given as ν q = c 2L (q ± 1 g1 g 2 ) π for T EM 00. The algebraic sign is equal to the algebraic sign of g 1 and g 2 respectively. a) Are there problems with the algebraic sign of the term g 1 g 2 for stable resonators? b) Discuss the dierences in frequencies for two He-Ne lasers with resonator lengths of 1m and 10 cm. Consider dierent types of resonators (plain, concentric, semi-concentric, confocal, semi-confocal) c) A plain and a concentric resonator of the same length are shortened by 10 % of there length. What shift in the resonator frequencies do you expect?

11 6 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 15 In der Vorlesung wurde angegeben, wie die allgemeinen Eigenfrequenzen der Gauÿschen Moden für einen linearen Resonator lauten, der aus zwei konkaven Spiegeln mit den Krümmungsradien R 1 und R 2 im Abstand L besteht: ν = c 2L (q + 1π (m + n + 1) arccos (1 L R 1 )(1 L R 2 ) ). Ein 1,5 m langer Resonator eines Ar + -Lasers enthalte einen planen und einen gekrümmten Spiegel mit R = 2 m. a) Welcher Resonatortyp liegt vor? Wo ist die Position im Stabilitätsdiagramm? b) Um wieviel unterscheiden sich die Frequenzen der Gauÿschen Transversalmoden T EM 01 und T EM 10 von der Grundmode, gemessen am freien Spektralbereich des Resonators und gemessen an der Absolutfrequenz der stärksten Argonlinie bei 514,5 nm? c) Für welche Transversalmoden gilt ν q,m,p ν q+1,0,0? Der Index q bezieht sich auf die Longitudinalmoden, m und p beziehen sich auf die Transversalmoden. 6.2 Aufgabe 16 Die Schwingungsenergien im CO 2 -Molekül betragen hf cm 1 (symmetrische Streckschwingung), hf cm 1 (Knickschwingung), hf cm 1 (asymmetrische Streckschwingung). a) Wie groÿ sind die Vibrationsenergien in ev und in Hz? b) Wie groÿ sind die Wellenlängen bei den Übergängen V 3 = 1 V 2 = 1, V 3 = 1 V 1 = 2? c) Welche Rotationsquantenzahlen sind bei dem bekannten 10,6 µm Übergang beteiligt und wie groÿ ist für diesen Übergang die optimale Gastemperatur? Das Rotations- Massenträgheitsmoment ist B r = 40 GHz und es sind h = 6, Js und k B = 1, J/K.

12 6.3 Exercise 15 The eigenfrequencies for the gaussian modes of an linear resonator (L) with concave mirrors (R 1 and R 2 ) are given as ν = (q c + 1π ) 2L (m + n + 1) arccos (1 L )(1 L ). R 1 R 2 In a 1,5 m long resonator of an Ar + -laser is a plain and a bended mirror (R = 2m) a) Which typ of resonator is that and where do you nd it in the resonator diagramm? b) How much dier the frequencies of the T EM 01 and T EM 10 from the basicmode? Calculate in terms of free spectral range of the resonator as well as in terms of absolut frequency of the strongest argon line at 514,5 nm. c) Which transversal modes fullll ν q,m,p ν q+1,0,0? Index q corresponds to longitudinal modes, m and p correspond to transversal modes. 6.4 Exercise 16 The rotation energies of the CO 2 -molecule are given as hf cm 1 (symmetric stretching), hf cm 1 (bending), hf cm 1 (asymmetric stretching). a) Calculate the vibration energies in ev and in Hz? b) Calculate the wavelength of the transitions V 3 = 1 V 2 = 1, V 3 = 1 V 1 = 2? c) What quantum numbers of rotation are involved in the well known 10,6 µm transition and what is the optimal gastemperature for this transision? The moment of inertia is given as B r = 40 GHz, h = 6, Js and k B = 1, J/K.

13 7 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 17 Der in der Vorlesung besprochene Scheibenlaser Yb:YAG ist vereinfacht ein 4-Niveau- System, bei dem die Energieniveaus bei den mittleren Energien von cm 1, cm 1 und 612 cm 1 über dem Grundzustand liegen. Skizzieren Sie das Niveausystem mit Pump- und Laserübergang. a) Berechnen Sie die ideale Pumpwellenlänge und die Emissionswellenlänge. b) Wie groÿ kann der Wirkungsgrad (Pumpleistung/Emissionsleistung) maximal werden? c) Warum nennt man dieses System ein Quasi-3-Niveau-System? Hinweis: Welcher Bruchteil der Atome bendet sich bei T = 300 K im unteren Laserniveau? Welche Konsequenzen hat das? 7.2 Aufgabe 18 Berechnen Sie für den Nd:YAG-Kristall (1064 nm) die Sättigungsintensität. Die Lebensdauer des oberen Laserniveaus beträgt 230 µs und der Wirkungsquerschnitt für induzierte Emission 3, cm 2. Der Kristall wird als Verstärker für einen Laserstrahl eingesetzt, d.h. im Einmaldurchlauf. Wie groÿ muss die Leistung eines Strahls mit Durchmesser d = 8 mm mindestens sein um eektiv verstärkt zu werden? 7.3 Aufgabe 19 Ein Echelle-Gitter hat Gitterlinien in einem sehr weiten Abstand, die rechtwinklige Stufen im Abstand d darstellen. Dabei fällt das Licht senkrecht zur verspiegelten, schmalen Seite der Stufe ein, wie im Bild skizziert. a) Stellen Sie die Gittergleichung für β α auf. b) Geben Sie die Ordnung an, unter der das Gitter für d = 10 µm, λ = 500 nm und Θ = 30 betrieben wird. c) Wie groÿ ist das Auösungsvermögen für N = Gitterlinien? d) Wie groÿ ist der freie Spektralbereich?

14 7.4 Exercise 17 The Yb:YAG disc laser is modelled by a 4-niveau-system. The energies of the exicted states are cm 1, cm 1 and 612 cm 1 above the ground state respectively. Draw the niveau-system with the pump and laser crossings. a) Calculate the ideal wavelength to pump this system and the resulting emitting wavelength. b) What's the maximum power eciency of this system (pump power/emitted power)? c) Why do you call this system a quasi-3-niveau-system? Hint: Which part of the atoms is in the lower laserniveau at T = 300 K and what leads that to? 7.5 Exercise 18 Calculate for a Nd:YAG crystal (1064 nm) the saturation intensity. The lifetime of the upper laser niveau is 230 µs, the cross section for induced emission is 3, cm 2 respectively. The crystal is used as amplier for a laserbeam, meaning light is going through the crystal just once. What power should a beam with a diameter of d = 8 mm at least have to be amplied eectively? 7.6 Exercise 19 A echelle lattice has the lattice lines in a very wide distance. They form rectangular steps in distance d. The angle of incidence for the light is normal to the mirrored, thin side of the step. This is shown in the picture. a) Form the lattice equation for β α. b) Calculate the order for d = 10 µm, λ = 500 nm and Θ = 30 c) Calculate the resolution for N = numbers of lines. d) Calculate the free spectral range.

15 8 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 20 Ein Diodenlaser mit einer Wellenlänge von 800 nm hat eine Fläche der aktiven Zone von 1 µm 3 µm. a) Wie groÿ sind die Divergenzwinkel der Strahlung? b) Welche numerische Apertur muss eine (sphärische) Linse mindestens besitzen, die dazu benutzt wird, diese Strahlung möglichst parallel zu machen, damit höchstens 5 % der Strahlungsleistung in Richtung der langen Achse des elliptischen Strahls abgeschnitten werden? c) Geben Sie verschiedene Möglichkeiten an, um einen Laserstrahl mit einem kreisförmigen Querschnitt zu erhalten. 8.2 Aufgabe 21 Die Schallgeschwindigkeit in einem akustooptischen Modulator aus PbMoO 4 beträgt v = 3700 m/s und der Brechungsindex ist n = 2,3. a) Skizzieren Sie die Anordnung, bei der die Frequenz der Laserstrahlung eines HeNe- Lasers (λ = 633 nm) um 80 MHz erniedrigt wird. b) Wie groÿ ist der Braggwinkel? c) Wie groÿ ist der Ablenkwinkel zwischen einfallendem und auslaufendem Laserstrahl? 8.3 Aufgabe 22 An einem elektrooptischen Modulator müssen 200 V angelegt werden um die Phase eines Laserstrahls um 180 zu verschieben. a) Welche elektrische Leistung muss ein Frequenzgenerator abgeben, der den EOM mit einer sinusförmigen Spannung an einem Eingangswiderstand von R = 50 Ω treibt, damit maximale Leistung im ersten Seitenband auftritt? b) Welcher Bruchteil der Leistung des unmodulierten Laserstrahls ist dann im zweiten Seitenband?

16 8.4 Exercise 20 A diode laser with a wavelength of 800 nm has an area of the active surface of 1 µm 3 µm. a) Calculate the angle of divergency of the radiation. b) Which numeric aperture must a spheric lense have if you want to lose not more then 5 % of the radiation power along the long axis of the elliptic beam? c) What possibilities are there to obtain a circle shaped beam prole? 8.5 Exercise 21 The velocity of sound in an acousto-optic modulator made from PbMoO 4 is v = 3700 m/s while the refractive index is n = 2,3. a) Draw the arrangement to lower the frequency of an HeNe-laser (λ = 633 nm) by 80 MHz. b) Calculate the Bragg-angle. c) What's the angle between incoming and outgoing laserbeam? 8.6 Exercise 22 To shift the phase of an laserbeam by 180 one needs to apply 200 V to an EOM. a) Which power needs a frequency generator that drives this EOM with an sinusvoltage at a R = 50 Ω input resistance to obtain maximum power in the rst sideband? b) Which part of the power of the unmodulated laserbeam is then stored in the second sideband?

17 9 Technische Optik: Übungsblatt Aufgabe 23 Ein Laserentfernungsmesssystem der Fundamentalstation Wettzell liefert Pulse einer Pulsbreite von etwa 200 ps und einer Pulsenergie von 150 mj bei einer Wellenlänge von 532 nm (frequenzverdoppelter Nd:YAG-Laser) und einem Laserstrahldurchmesser von 12 mm. a) Vergleichen Sie die Leistung in einem Puls mit der Leistung eines Kraftwerks. b) Wieviele Photonen werden in jedem Puls emittiert? c) Welche Fläche überstreicht der Laserstrahl auf der Mondoberäche (Abstand ca km)? d) Welcher Bruchteil der Photonen trit auf einen der Retroreektoren (Fläche ca. 0.5 m 2 ), die von den Apollomissionen 11, 14, 15 oder der sowjetisch-französischen Luna 21 aufgestellt wurden und wieviele Photonen kommen in ein Teleskop mit der gleichen Fläche zurück? e) Warum wird die Strahlungfrequenz des Nd:YAG-Lasers verdoppelt, obwohl die Verdopplungsezienz nur etwa 50 % beträgt? f) Wie würden Sie das System verbessern? 9.2 Aufgabe 24 Ein Titan:Saphir-Femtosekundenlaser habe eine Verstärkungsbandbreite von 80 nm um die Zentralwellenlänge 780 nm und einen entsprechend breitbandigen, dispersionskompensierten Stehwellenresonator mit 1,5 m Länge. Er sei modengekoppelt und emittiere Hyperbelsekans-Pulse mit einer Pulsdauer entsprechend dem Zeit-Bandbreite Produkt mit einer mittleren Leistung von 100 mw. a) Wie groÿ sind Pulsdauer, Repetitionsrate und Pulsenergie? Wieviele Moden sind an der Pulsformung beteiligt? b) Der Resonator wird auf die halbe Länge verkürzt. Wie groÿ sind nun die in a) gefragten Werte?

18 9.3 Exercise 23 A laser distance measurement system of the fundamentalstation Wettzell sends pulses with a pulswidth of about 200 ps and a pulsenergy of 150 mj at lambda = 532 nm (frequency doubled Nd:YAG) and a beam diameter of 12 mm. a) Compare the power in one pulse with the power of a powerplant. b) How much photons are emitted in one puls? c) What size has the beam diameter on the surface of the moon (distance about km)? d) Which part of the photons hits the reectors on the moon surface (area 0.5 m 2 ) that were put there by Apollo 11, 14, 15 and Luna 21? How much photons return to a telescope with the same size? e) Why does one double the radiation frequency, although the eciency of doubling is just 50 %? f) How would you improve this system? 9.4 Exercise 24 A Titan:Saphire femtosecond laser has an amplication bandwidth of 80 nm around the central wavelength of 780 nm and a matching resonator with a length of 1,5 m and a dispersion correction. It is modelocked and emits hyperbolic secants pulses with a mean power of 100 nw. a) Calculate the pulse length, repetitionrate and pulsenergy. How much modes shape the pulse? b) The resonator is reduced to half length. Calculate the values in a) again for the new resonator.