Geometrische Optik. Ausserdem gilt sin ϕ = y R. Einsetzen in die Gleichung für die Brennweite ergibt unmittelbar: sin 2 ϕ

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1 Geometrische Optik GO: 2 Leiten Sie für einen Hohlspiegel die Abhängigkeit der Brennweite vom Achsabstand des einfallenden Strahls her (f = f(y))! Musterlösung: Für die Brennweite des Hohlspiegels gilt: ( ) f = R 2cosϕ Ausserdem gilt sin ϕ = y R Einsetzen in die Gleichung für die Brennweite ergibt unmittelbar: ( ) f = R 2 sin 2 ϕ f = R 2 ( y r ) 2 27

2 FH Dortmund FB Informations und Elektrotechnik GO2: Eine Person mit einer Augenhöhe h =,7 m möchte sich in einem ebenen Spiegel vollständig betrachten können. Welche Höhe H muss der Spiegel haben und in welcher Höhe h s über dem Boden muss sich die Unterkante des Spiegels befinden? Musterlösung: Aus Symmetriegründen (Einfalls und Ausfallswinkel beim ebenen Spiegel sind gleich) muss sich die Spiegel-Unterkante genau in der Mitte zwischen Augenhöhe und Boden befinden; es muss also gelten: h s = h 2 =0,85 m Damit der Betracher auch seinen Kopf sehen kann, muss der Spiegel selbst mindestens bis zur Augenhöhe reichen, also: H =0,85 m 28

3 Übungsaufgaben Physik Prof. Dr. H. Gebhard GO3: 2 Ein Hohlspiegel (Schmink oder Rasierspiegel) habe einen Krümmungsradius R = 0,34 m. Welche Vergrößerung wird erreicht, wenn eine Person aus einem Abstand g =0,25 m in den Spiegel blickt? Musterlösung: Es gilt die Abbildungsgleichung f = g + b Multiplikation mit g und Einsetzen der Vergrößerung V = g b = G B : g f =+g b =+ V Setzt man die Brennweite des Hohlspiegels für achsennahe Strahlen f = R 2 in die Gleichung ein, dann folgt nach Umformung: Aufgelöst nach der Vergrößerung: 2 g R =+ V V = R 2 g R Mit den gegebenen Größen erhält man: V = 0,34 0,50 0,34 = 34 6 V =2,25 29

4 FH Dortmund FB Informations und Elektrotechnik GO4: 2 Eine Person mit einer Größe von G =, 80 m soll mit einer Kleinbildkamera (Bildgröße 24 mm 36 mm) mit einem Objektiv mit der Brennweite f =85mm formatfüllend fotografiert werden. In welcher Entfernung g vor dem Objektiv muß die Person sich befinden? Musterlösung: Es gilt die Abbildungsgleichung f = g + b und der Zusammenhang für das Vergrößerungsverhältnis: G B = g b Die Gegenstandsgröße ist gegeben (G =, 80 m); die Bildgröße ist durch das Filmformat vorgegeben (B =36mm). Auflösen der zweiten Gleichung nach b ergibt: b = Einsetzen in die erste Gleichung liefert: Aufgelöst nach g erhält man: G g B f = g + G g B ( g = f + G ) B Mit den gegebenen Werten erhält man: g =4m 30

5 Übungsaufgaben Physik Prof. Dr. H. Gebhard GO5: 2 Für ein Mikroskop steht eine Objektivlinse mit f Obj =2, 5 mm zur Verfügung. Die mechanische Tubuslänge beträgt l mech = 65 mm. Welche Brennweite f Oku muß das Okular haben, damit eine Vergrößerung V = 50 erreicht wird? Musterlösung: Für die Mikroskopvergrößerung gilt V = Δ f Obj s 0 f Oku Dabei bezeichnet Δ die optische Tubuslänge, also den Abstand der innenliegenden Brennpunkte, und s 0 die (per Definition festgelegte) Bezugssehweite von s 0 = 250 mm; es gilt: Damit ist: Aufgelöst nach f Oku ergibt sich: Δ=l mech f Obj f Oku V = l mech f Obj f Oku f Obj s 0 f Oku f Oku = s 0 l mech f Obj V f Obj + s 0 Mit den gegebenen Werten erhält man: f Oku =65mm 3

6 FH Dortmund FB Informations und Elektrotechnik GO6: 3 Mit einem Diaprojektor wird ein Dia (Breite G =36mm) so projiziert, dass die Bildbreite gerade B =m beträgt. Um das Bild formatfüllend auf der B 2 =, 25 m breiten Leinwand darzustellen, muss der Projektionsabstand um s =59cm vergrößert werden. (a) Welche Brennweite f hat das Projektor-Objektiv? (b) In welchem Abstand vor der Projektionswand steht der Projektor? Musterlösung: (a) Es gilt die Abbildungsgleichung f = g + b Bei der ersten Projektion kann dies geschrieben werden als: f = g + b b b f = b g += B G + Entsprechend gilt im 2. Fall (die Gegenstandsgröße bleibt gleich!) b 2 f = b 2 g 2 += B 2 G + (GO6.) Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt: ( B2 b 2 b = s = f G B ) G f = s G B 2 B Damit erhält man für die Brennweite des Projektor-Objektivs: f = 590 mm 36 mm 250 mm 000 mm f =85mm 32

7 Übungsaufgaben Physik Prof. Dr. H. Gebhard (b) Zur Berechnung der Bildweite nutzen wir Gleichung GO6. und setzen die Beziehung für die Brennweite ein: ( )( ) G B2 b 2 = s B 2 B G + Die Vereinfachung ergibt: b 2 = s B 2 + G B 2 B Mit den Größen der Aufgabenstellung ist dann: b 2 = 590 mm 250 mm +36mm 250 mm 000 mm b 2 =3,04 m 33

8 FH Dortmund FB Informations und Elektrotechnik GO7: 2 Bei einem Kamera-Objektiv (f =50mm) kann die Aufnahme-Entfernung zwischen g min =0f und g max eingestellt werden. Um Makro-Aufnahmen mit diesem Objektiv machen zu können, wird ein sog. Zwischenring eingesetzt, der die Bildweite um s =20mm vergrößert. Welcher Entfernungsbereich ist jetzt einstellbar und welcher Abbildungsmaßstab kann erreicht werden? Musterlösung: Die Entfernungsverstellung bei einer Kamera wird erreicht, indem die Bildweite einstellbar ist. Aus der Abbildungsgleichung folgt durch Multiplikation mit der Gegenstandsweite: g f =+g b Umstellung nach der Bildweite: b = f f g (GO7.) Hieraus erhält man die im,,normalbetrieb einstellbaren Bildweiten: b min = b(g max )=f oder mit den gegebenen Größen: b min =50mm und b max = b(g min )= 0 9 f b max =55,6 mm Zur Berechnung des Einstellbereichs der Gegenstandsweite mit Zwischenring wird die Gleichung GO7. nach der Gegenstandsweite aufgelöst. Dies kann einfach durch Vertauschung von Gegenstands und Bildweite erreicht werden, da die Ausgangsgleichung (Abbildungsgleichung) symmetrisch in g und b ist! g = f f b Für die Bildweite ist jetzt an Stelle von b jeweils b + s einzusetzen, so dass für die Gegenstandsweite mit Zwischenring erhält: g s = f b + s b + s f 34

9 Übungsaufgaben Physik Prof. Dr. H. Gebhard Mit s =20mm folgt dann: g s (b min )=f f + s f + s f g s (b min ) = 55 mm und entsprechend g s (b max ) = 47,8 mm Für den Abbildungsmaßstab V = B G = b g = b s g s erhält man V = b s f und es folgt: V min = s + f f =0,4 und V max = s f f =0,5 35

10 FH Dortmund FB Informations und Elektrotechnik GO8: 2 Ein Fernglas trägt die Bezeichnung Der Abstand zwischen der Objektiv und der Okularlinse beträgt x = 200 mm, wenn das Fernglas auf Unendlich eingestellt ist. (a) Berechnen Sie die Brennweiten von Objektiv und Okular-Linse! (b) Mit Hilfe des Entfernungs-Einstellrings kann die Okular-Linse um die Strecke Δx =5mmweiter herausgedreht werden. Berechnen Sie die Mindestentfernung, die ein Gegenstand vom Fernglas haben muss, damit ein scharfes Bild eingestellt werden kann! Musterlösung: (a) Für die Fernrohr-Vergrößerung gilt: V = f /f 2 und bei der Einstellung auf Unendlich ist der Abstand der beiden Linsen gerade die Summe ihrer Brennweiten: x = f + f 2 Die Auflösung dieses Gleichungssystems ergibt: f = s V V + und f 2 = s V + Mit den gegebenen Daten erhält man: f = 77, 6mm und f 2 =22, 2mm (b) Bei der,,naheinstellung entsteht ein reelles Bild im Abstand f +Δx hinter der Objektivlinse, so dass für diesen Fall gilt: s Δx = f g + f +Δx Auflösen nach der Gegenstandsweite ergibt: ( g = Δx + s V V + ) V V + Es ergibt sich g =6, 5m 36

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