Physikalisches Grundpraktikum II Versuch 1.1 Geometrische Optik. von Sören Senkovic & Nils Romaker

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1 Physikalisches Grundpraktikum II Versuch 1.1 Geometrische Optik von Sören Senkovic & Nils Romaker 1

2 Inhaltsverzeichnis Theoretischer Teil Grundlagen Linsenfehler Vorbereitungsaufgaben Versuchsdurchführung Versuchsteil A Bestimmung der Brennweite einer dünnen Sammellinse Versuchsteil B Verifizierung der Linsengleichung Versuchsteil C Hauptebene und Brennweite eines Linsensystems Versuchsteil D Untersuchung chromatischer und sphärischer Abberation mit dem Besselverfahren

3 Theoretischer Teil Grundlagen Als Linse bezeichnet man ein zumeist von einer Kugeloberfläche begrenztes, lichtdurchlässiges Matrial. Die optische Achse ist die Linie durch die beiden Kugelmittelpunkte. Das Brechungsgesetzt macht eine Aussage darüber, wie ein eintreffender Lichtstrahl an der Linse gebrochen wird. Die Kugeloberflächen können zur Berechnung der Brechung an einer dünnen Linse in der Theorie durch eine Hauptebene ersetzt werden. Es gibt unterschiedliche Linsentypen. Die Sammellinse ist eine Konvexlinse (L + ), die in der Mitte dicker sind, als am Rand, also eine Linse folgender geometrischer Struktur L + f F Klar zu erkennen ist hier, woher der Begriff Sammellinse kommt, denn diese Linsen bündeln optimaler Weise die einfallenden Lichtstrahlen in einem Punkt, dem sogenannten Brennpunkt F. Der Abstand von Hauptebene zu Brennpunkt ist die sogenannte Brennweite f. Die sogenannte Zerstreuungslinse (L ) tut das komplette Gegenteil. Sie ist in der Mitte dünner als am Rand, also von folgender Struktur F Diese Linse hat einen imaginären Brennpunkt im Bereich vor der Linse. Hier ist die Brennweite f dementsprechend negativ angegeben. Zur Konstruktion eines Bildes durch eine Linse werden 3 Strahlen verwendet: 1. Der zur optischen Achse parallele Strahl, der durch den bildseitigen Brennpunkt geht. 2. Der durch die Linsenmitte verlaufende Mittelpunktsstrahl, der seine Richtung nicht ändert (wird nicht gebrochen). 3

4 3. Der Brennpunktstrahl, der durch die gegenstandsseitigen Brennpunkt verläuft g b 1 f G 2 F F 3 B H Idealerweise treffen sich diese 3 Strahlen im Bildpunkt, wobei die Kenngrößen hier sind: G Gegenstandsgröße, B Bildgröße, g Gegenstandsweite, b Bildweite. Daraus ergeben sich der Abbildungsmaßstab V = B G = b g (1) und die Linsengleichung 1 f = 1 b + 1 g (2) Diese können aus der obigen Zeichnung leicht abgeleitet werden. Für Zerstreuungslinsen sind die Werte mit negativem Vorzeichen einzusetzen. Dieses Prinzip bleibt selbst bei dicken Linsen gleich, wenn man wieder davon ausgeht, dass die Brechungen auch hier an 2 Hauptebenen stattfindet. Linsenfehler In der Realität hat man zumeist leichte Fehler in den Abbildungen wie etwa Unschärfe. Punkte werden von sphärischen Linsen nur dann wieder als solche abgebildet, wenn die Auftreffwinkel auf die Linse klein genug sind. Achsenferne Strahlen werden so zumeist näher an der Linse fokussiert, als achsennahe Strahlen, da ihr Auftreffwinkel viel größer ist. Dieser Fehler wird als sphärische Abberation bezeichnet. Wird eine Blende um das Linsenäußere gelegt und somit die achsfernen Strahlen ausgeblendet, so ist das bild deutlich schärfer. Unter einer chromatischen Abberation versteht man, dass blaues licht stärker gebrochen wird, als rotes und es somit ebenfalls zu einer Unschärfe kommt. Durch eine Kombination mehrerer Linsen können diese Fehler weitestgehend behoben werden. Vorbereitungsaufgaben 1. Überlegen sie sich, in welchen Fällen das idealisierte Modell der geometrischen Optik anwendbar ist. 4

5 Das idealisierte Modell bietet sich lediglich für monochromatisches Licht an, da die idealisierte Vorstellung polychromatisches Licht nicht berücksichtigt. Weiter ist es auch nur für dünne Linsen geeignet, da bei einem einfallenden Lichtstrahl ein sehr geringer Auftreffwinkel vorkommt. 2. Verifizieren sie (1) anhand der Zeichnung zur Bildkonstruktion. Für den Brechungswinkel α gilt: tan α = G. Da für die Strahlen 1 und 3 der gleiche Brechungswinkel vorhanden ist, g folgt G g = B b B G = b g 5

6 Versuchsdurchführung Sämtliche Versuche werden auf einer optischen Bank aufgebaut, wobei als Lichtquelle eine Halogenlampe bei 12V, 100W dient. Um eine optische Figur zu erhalten verwenden wir eine Perl- Eins, deren Perlen bei Beleuchtung als selbstleuchtende Punkte erscheinen. Es stehen dünne Linsen zur Verfügung, die auf einem Schlitten frei beweglich auf der optischen Bank sind. Als Schirm dient eine weiße Metallplatte. Bei allem Versuchen wurde von einer Skalierung im Millimeterbereich abgelesen. Jedoch war manchmal nicht klar zu erkennen, ob die Punkte nun scharf abgebildet waren oder nicht. Deswegen ist hier ein Messfehler von ca 1cm zu beachten Versuchsteil A Bestimmung der Brennweite einer dünnen Sammellinse Nach der Linsengleichung gilt 1 = f g b f erfolgt nach Gauss mit f = und somit auch f = 1 1. Die Fehlerberechnung von + 1 g b ( f g g ) 2+ ( f b b ) 2 g[cm] b[cm] g[cm] b [cm] f [cm] f [cm] 9 10,3 ±0,1 ±0,1 4, 803 ±0,1 11 8,4 ±0,1 ±0,1 4, 763 ±0,1 13 7,5 ±0,1 ±0,1 4, 756 ±0,1 17 6,5 ±0,1 ±0,1 4, 702 ±0,1 21 6,3 ±0,1 ±0,1 4, 846 ±0,1 Bei dieser Linse ist ein Brennwert von ca 4,75 wahrscheinlich. Versuchsteil B Verifizierung der Linsengleichung 1. Erklären sie den Zusammenhang der nebenstehenden Abbildung mit der Linsengleichung (2). Warum schneiden sich die Geraden in einem Punkt? Trägt man die Messwerte in Tupeln der Form (0,b i ),(g i,0) auf, so ergibt sich aus diesen beiden eine Geradengleichung in Abhängigkeit von g i, nämlich von der Form b(g)= b i g i g+b i diese Gleichung ist leicht zu verifizieren, da gilt 1 = bi = bi 1. Damit ergibt sich dann f g b g i f ( b(g)= 1 b ) i g+b i f Für den Fall g=f ist b(f)=f und somit schneiden sich alle Geraden dieser Form in F(f,f). Die ermittelten Werte waren: g[cm] b [cm] , , ,

7 (Die sich daraus ergebenden Geraden sind aufgrund von Formatierungsproblemen im Anhang.) Das Quadrat hat eine Seitenlänge von f = 14, 32 und g = 15, 17. Der Mittelwert aus diesen beiden ist 14,32+15,17 = 14, 745. Dieser Schnittpunkt wurde aus zwei zufällig ausgewählten 2 Geraden bestimmt. Die Abweichung im Vergleich zum Schnittpunkt anderer Geraden ist jedoch in etwa gleich. Es ergibt sich eine mittlere Abweichung von 2, 89%. Dies ist ein gutes Messergebnis und liegt im Bereich der Messtoleranzen. Versuchsteil C Hauptebene und Brennweite eines Linsensystems Die Bestimmung der Brennweite und der Hauptebenen eines Linsensystems ist geht mit nach dem Verfahren von Abbe, das auf der Messung des Abbildungsmaßstabs V beruht. Man erhält aus (1) und (2) die Beziehungen ( g=f 1+ 1 ) V und b=f (1+V) (3) wobei f, g und b von der Hauptebene aus gemessen werden. Man kann b und g nicht direkt messen, da die genau Lage der Hauptebene noch unklar ist. Daher werden die Abstände g und b zu einem beliebigen, aber festen Referenzpunkt K am Linsensystem gemessen. Die Lage der Hauptebenen relativ zu K ist durch h,h festgelegt. G H H g h h b g b K B Wir messen die Abstände g und h, für die gilt folgende Beziehung ( g = g+h = f 1+ 1 ) +h V (4) b = b+h = f (1+V)+h (5) Hierbei werden für verschiedene g i die zugehörigen b i gemessen. Damit ergeben sich die Abbildungsmaßstäbe V i. Damit kann man aus den Gleichungen (4) und (5) die Werte für f,h und h bestimmen. g [cm] b [cm] g [cm] b [cm] h [cm] h [cm] V f [mm] 33 75,5 23,9 75, 31 9,1 0, 19 2, ,1 33, ,1 99,9 4,4 30,9 3,43 225, , , , ,9 75,7 6,1 23,7 2,6 210, ,5 29,5 62,2 6,5 16,7 2,13 200,9 7

8 50 Messung 1 f(x) g /V 50 Messung 1 f(x) g /V Aufgrund der Wahl der Linsen war eine genaue Verifikation der Linearen Abhängigkeit leider nicht möglich. Versuchsteil D Untersuchung chromatischer und sphärischer Abberation mit dem Besselverfahren Das Verfahren aus Versuchsteil A hat den nachteil, dass je zumeist bei Linsen die genaue Mittelebene nicht bekannt ist und sich so das Verfahren nicht anwenden lässt. Dies kann man mithilfe des Besselschen Verfahrens umgehen, indem man die Brennweite f indirekt aus genau messbaren Abständen bestimmt. Bei einem festen Abstand a > 4f zwischen gegenstand und 8

9 Schirm erhält man durch die Linsenpositionen 1 und 2 ein scharfes Bild auf dem Schirm. Diese Stellungen sind offensichtlich symmetrisch, also g 2 =b 1, b 2 = g 1. Für einen Abstand e zwischen 1 und 2 gilt 2=b 1 g 1 =g 2 b 2 und a=g 1 +b 1 =g 2 +b 2 und durch Auflösen nach b und g und einsetzen in die Linsengleichung folgt direkt f = a2 e 2 4a wobei wir wieder von einer dünnen Linse ausgehen. g 2 b 2 e G B B 1 g 1 b 1 a Es wurde hier eine Linse mit einer Brennweite von f =+150 verwendet. Rotes Licht mit abgedeckten Zentralbereich: a[cm] g 1 [cm] g 2 [cm] b 1 [cm] b 2 [cm] e[cm] f [cm] , , 05 56,3 56, 95 18,7 37,6 14, ,9 72, 25 73,1 17, 75 56,2 13, 73 Rotes Licht mit abgedecktem Linsenrand: a[cm] g 1 [cm] g 2 [cm] b 1 [cm] b 2 [cm] e[cm] f [cm] 60 29, , 5 0, ,2 54,7 53,8 20,3 32,6 15, , , , 99 Blaues Licht mit abgedecktem Linsenrand: a[cm] g 1 [cm] g 2 [cm] b 1 [cm] b 2 [cm] e[cm] f [cm] 60 27, , , ,9 54,2 54,1 20,8 33,2 15, , 99 9

10 Es ist eine leichte Tendenz zu erkennen, dass bei abgedecktem Zentralbereich die Brennweite kürzer ist, als bei abgedecktem Linsenrand, so wie es auch der Theorie nach zu erwarten ist. Dies liegt am größeren Auftreffwinkel der Lichtstrahlen auf die Linse, sodass die Strahlen näher zur Linse hin gebrochen werden. Dies ist das Phänomen der sphärischen Abberation. Man sieht auch, dass bei rotem Licht die Brennweite f etwas weiter von der Linse entfernt ist, als bei blauem Licht. Hier haben wir somit experimentell die chromatische Abberation nachgewiesen. Literaturangaben Skript Physikalisches Grundpraktikum 2 Universität Bielefeld

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