Geometrische Optik. Beschreibung der Propagation durch Richtung der k-vektoren ( Lichtstrahlen )

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1 Geometrische Optik Beschreibung der Propagation durch Richtung der k-vektoren ( Lichtstrahlen ) k - Vektoren zeigen zu Wellenfronten für Ausdehnung D von Strukturen, die zu geometrischer Eingrenzung führen gilt D >> λ Beugung Phasenflächen Strahlen Achtung: Kugelwellen Strahlen kreuzen sich in einem (mathematischen) Punkt Problem wird behoben durch Betrachtung in Bild Wellenoptik: Beugung ( später) 391

2 Lichtstrahlen Verhalten im freien Raum, optisch homogen, dn 0 d r = Strahlen = Geraden Verhalten an Grenzflächen: Snellius-Gesetz Überlagerung von Strahlen: bei linearer Optik (I < I*): Superposition, keine Wechselwirkung zwischen Bündeln von Strahlen 392

3 Fermat sches Prinzip Weg der Strahlen verläuft so, dass Laufzeit von A nach B minimal wird hier: dn 0 dr Fermat-Prinzip bei der Reflexion α 1 α 2 Fermat: α 1 = α 2 Fermat-Prinzip bei der Brechung α n 1 β n 2 > n 1 Fermat: n 1 sin α 1 = n 2 sin 393

4 Abbildung vom Objekt-Punkt gehen Kugelwellen aus charakterisiert durch Strahlen: Zusammenführung einer Schar dieser Strahlen (durch abbildende optische Elemente) in einem anderen Punkt im Raum: Bildpunkt P o P B Optik 394

5 virtuelles Bild ebener Spiegel ist das einzige optische Element mit idealer Abbildung P P alle von P ausgehenden Strahlen scheinen von P auszugehen Abbildung durch Spiegel Einfluss des Sehvorganges 395

6 Abbildung durch Lochkamera Abbildung hier: Punkt P Kreisscheibe um P Strahlensatz Φ Kreis (P ): d' d = a b a ( + ) d' = ( + b) da a durch Abstand und Lochdurchmesser gegeben 396

7 optimaler Durchmesser der Blende bei Lochkamera wenn Lochdurchmesser (zu) groß schlechte Auflösung Überlapp der Kreisscheiben um P wenn Lochdurchmesser (zu) klein schlechte Auflösung (Beugung an der Öffnung, siehe später) 397

8 Abbildung durch optische Elemente Analyse der geometrischen Zusammenhänge der Strahlengänge und Oberflächen-Topographie geschickte Auswahl charakteristischer Strahlen wie z.b. : Dreiecks-Regeln und Strahlensätze liefert Zusammenhänge zwischen Eingangsparametern und dem weiterem Verlauf der Strahlen Rechnungen : mit Buch selber nachvollziehen wichtig: Reflexion an ebenem Spiegel und an gekrümmter Spiegelfläche Brechung an ebener Grenzfläche und an gekrümmter Grenzfläche (n 1 / n 2 ) daraus aufbauen mit Matrix-Methode: Strahlengang in komplexeren Systemen 398

9 Hohlspiegel Kugelfläche FM cos α = ½ R R 2cosα 1 2cosα OF = R - FM = R - = R ( 1 - ) für kleine Winkel α ( h/r << 1) cos α 1 OF R/2 = f für h/r << 1 (achsennah) treffen sich achsenparallele Strahlen in einem Punkt F Brennpunkt 399

10 Charakteristische Strahlen Konstruktion eines Bildpunktes für h/r << 1 schneiden sich alle drei Strahlen S1, S2 und S3 in einem Punkt A Abbildung B andere Betrachtung: ein Teil einer von A ausgehenden expandierenden Kugelwelle zieht sich nach Reflexion wieder im Punkt B zusammen 400

11 zur Abbildung durch Hohlspiegel Krümmungsmittelpunkt SAM = α + γ o - δ = 180 o α + γ = δ δ = α + γ δ = - α + ß h h tan γ= g γ tanβ ( g ε) h b β g b R f 2 δ = γ + ß ß = δ + α h R Näherung für << 1 tan δ sin δ b = b (g, R) h R δ da f = ½ R 401

12 Hohlspiegel (achsen-ferne Strahlen) Kugelfläche für achsen-ferne Strahlen f gilt Näherung h R << 1 nicht mehr: 1 1 = R1 = R1 2cosα 2 1 sin 1 = R1 2 1 ( hr) 2 R = R1 = fh ( ) R h 2 α kein wohl-definierter Brennpunkt 402

13 Parabol-Spiegel s 1 = f - x 2 ( ) 2 2 s = f x + y 1 2 ( ) ( ) 2 2 s= s + s = f x + f x + y für y 2 = 4 f x (Parabel) s= ( f x) + ( f x) 2 = 2f unabhängig von h! ALLE Achsen-parallelen Strahlen schneiden sich nach der Reflexion in einem Punkt (jedoch: schlechte Abbildungseigenschaften bei Abweichung von Parallelität zu den Achsen) 403

14 Parabol-Teleskop Empfänger Empfänger Da Objekte sehr weit entfernt, sind die sehr guten Fokussierungsbedingungen bei korrekter Ausrichtung der Achse auf Beobachtungsgebiet gegeben. 404

15 Prismen δ = δ (α, γ, n(λ) ) aus Brechungsgesetz folgt: minimale Ablenkung δ für α 1 = α 2 symmetrischer Durchgang (AC = BC) Strahlen im Prisma Winkelhalbierende (γ/2) Konsequenz von Dispersion: dδ 2sin1 2 γ dn = dλ n sin 12 γ dλ für dn 0 dλ δ=δ λ ( ) Farbzerlegung des Lichtes da (i.d.r.) n blau > n rot δ blau > δ rot vergleiche Beugung (später!) δ blau < δ rot 405

16 Abbildung durch gekrümmte Grenzflächen (führt auf Abbildungsgleichungen für Linsen) 406

17 Brechung an sphärisch gekrümmten Grenzflächen f 2 R, n ß + γ α = 180 h = R sin α = AF sin γ h /R << 1 sin α α sin γ γ AF f 2 ε << OF R α = f 2 γ = f 2 (α - ß ) R = OM f f 2 2 Rα = α β = ( ) n n 2 n 2 1 R Snellius: n 1 α = n 2 ß für n 1 = 1 n 2 = 1.5 f 2 = 3 R (Zeichnung n 2 3.2) 407

18 Matrix-Verfahren in der geometrischen Optik Propagation achsennaher Strahlen mit geringem Winkel gegen die Achse Geometrie: zylindersymmetrisch um die Achse 408

19 Propagation im freien Raum α 1 = α o r o x o d Strahl α r 1 x 1 Achse r 1 = (x 1 - x o ) tan α o + r o α o (x 1 - x o ) + r o mit Kleinwinkel-Näherung tan α o α o (x 1 - x o ) = d r 1 = α o d + r o α α o = r 1 d 1 r o im Hinblick auf Brechung (n 1 α = n 2 ß) wird statt (α) die Größe (n α α) transformiert n α n α o = r 1 d/n 1 r o T Propagation = 1 0 d/n 1 Translations-Matrix 409

20 Reflexion am Hohlspiegel (n = 1) P Transformation hier R = MP ε << R M Winkel jeweils zur Achse hin gemessen α 2 = 2 α + α 1 = 2 (α + α 1 ) - α 1 tan (α + α 1 ) = - (α + α 1 ) r 1 2 R r 1 R α 2 = - α 1 - r 2 = r 1 ( - wg. Richtungsumkehr, + x - x ) α /R α 1 r r 1 später: α i = n α i R -1-2/R = Reflexions-Matrix

21 n n 2 1 Brechung an gekrümmter Grenzfläche α = β Brechungsgesetz n 2 ß = n 1 α Beträge der Winkel betrachtet r1 γ = α 2 + ß tanγ= =γ α = γ + α 1 R n 1 n 1 α 2 =γ β=γ α=γ ( γ+α1) n2 n2 r 1 n2α 2 = n2γ n1γ n1α 1 = n1α 1+ ( n2 n1) R1 Vorzeichen-Konvention: α 2 - α 2 r1 n 2 α 2 = n 1 α 1 + (n 1 - n 2 ) ( ) r 2 = r 1 R1 1 n 2 α 2 1 (n 1 - n 2 ) ( ) n 1 α 1 = R1 r r 1 B 1 1 (n 1 - n 2 ) ( ) R 1 = 1 Brechungsmatrix

22 Transformations-Matrix für allgemeinen Fall Translation Translation Translation Brechung Brechung n 1 α 1 n 2 α 2 n 2 α 2 n 3 α 3 r 1 r 1 r 2 r 2 n 1 α 1 r n 3 α 3 r 412

23 Transformation durch Brechungen und Translation n 1 α 1 n 2 α 2 n 2 α 2 n 3 α 3 B T B r 1 r 1 r 2 r 2 n 3 α 3 B T B n 1 α 1 M n 1 α 1 = = r 2 r 1 r M 1 (n 2 - n 3 )( ) (n 1 - n 2 )( ) = R2 R1 d n 2 für d = 0 dünne Linse mit n 2 = n und n 1 = n 3 = f = n 1 ( ) M ( ) düli = f R1 R

24 Beispiel: dünne Linse dünn : Ausdehnung der Linse spielt keine Rolle Brechung in der Mittelebene der Linse y y α x f (a) (b) (c) Transformation von Achsen-parallelem Strahl Brechung an die Mittenebene der Linsen: y y α (= 0) α tan α α = - y / f α α 1-1/f 0 y x 1 y y 0 1 y Translation: T Brechung: M dünn (b) (c) bei (b) zusammen: (α, y) = T M dünn (0, y) α 1-1/f 0 - y/f = = y x -x/f + 1 y (-x/f + 1) y für x = f wird y = 0 (wie erwartet) 414

25 dünne Linsen = dsinϑ 1 n cosϑ sin 2 2 ϑ für dünne Linsen angenommen: 0 Vernachlässigung des Strahlversatzes 415

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