Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop

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1 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop Mit diesem Versuch soll die Funktionsweise von Linsen und Linsensystemen und deren Eigenschaften untersucht werden. Dabei werden das Mikroskop und Abbildungsfehler bei Linsen genauer behandelt. Vorkenntnisse Funktionsweise von Sammel- und Zerstreuungslinsen virtuelle und reelle Abbildung Funktion von Blenden Apertur Dünne Linsen Dicke Linsen Linsensysteme Brennweite Schärfentiefe Auflösungsvermögen Tubuslänge Linsenfehler: Sphärische und chromatische Aberration Astigmatismus Koma Optische Geräte: Lupe Mikroskop Kondensorlinse Achromat Physikalische Grundlagen Strahlengang Zur Erklärung des physikalischen Lichtverhaltens wird das Licht als Lichtstrahl betrachtet. Als Näherung wird angenommen, dass Lichtstrahlen sich immer geradlinig ausbreiten und ihre Richtung nur dann ändern, wenn sie auf eine Grenzfläche treffen. Der Wellencharakter des Lichts wird vernachlässigt. Mehrere Lichtstrahlen werden als Lichtbündel behandelt. Wichtig bei diesem Modell ist das Prinzip der Umkehrbarkeit, das heißt, dass jeder Strahlengang auch dann allen optischen Gesetzen genügt, wenn die Ausbreitungsrichtung des Lichts umgekehrt wird. Zudem beeinflussen sich Lichtstrahlen nicht gegenseitig. Die charakterisierenden Eigenschaften des Lichts im Rahmen der geometrischen Optik können innerhalb dieses Modells gut erfasst werden. Der Energietransport wird durch den Poynting-Vektor S beschrieben. Im Zusammenhang damit steht die Intensität, welche dem Betrag des über einige Perioden gemittelten Vektors S entspricht. Es gilt: I = ɛ 0 c n E 2 (1) Zudem können einem Lichtstrahl eine Polarisation und eine Fortpflanzungsgeschwindigkeit zugeordnet werden. Welleneigenschaften wie die Wellenlänge charakterisiert anschaulich die Farbe des Lichtstrahls. Das Farbspektrum in dem sichtbaren Bereich, sieht folgendermaßen aus: 1

2 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 2 Farbe Wellenlänge in nm Frequenz in THz rot gelb/orange grün blau violett Zur Berechnung der Frequenz aus der Wellenlänge wird f = c λ verwendet. Reflexion Beim Übergang eines Lichtstrahls von einem Medium 1 in ein anderes Medium 2, wird ein Teil der Intensität reflektiert, der andere Teil tritt in das angrenzende Medium ein. Der einfallende und der reflektierte Strahl liegen in einer gemeinsamen, senkrecht auf der Grenzfläche stehenden Ebene, und der Einfallswinkel α ist gleich groß wie der Ausfallswinkel α (Abb. 1). Abb. 1: Reflexion und Brechung an einer Grenzfläche Die Reflexion lässt sich, wie auch die Brechung und die allgemeine Ausbreitung des Lichts, mithilfe des Fermatschen Prinzips erklären, welches aussagt, dass ein Lichtstrahl immer den Weg zwischen zwei Punkten wählt, für den er die kürzeste Zeit benötigt. Abb. 2: Fermatsches Prinzip

3 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 3 Brechungsgesetz Um den Verlauf der Lichtstrahlen im Medium zu beschreiben wird das von W. Snellius entwickelte Brechungsgesetz verwendet, welches sagt, dass das Produkt aus Brechungsindex und Sinus des Strahlenwinkels zur Normalen vor und nach der Brechung gleich sind (siehe Abb. 2). n 2 sinβ = n 1 sinα (2) Zur Herleitung dieses Gesetzes kann das Fermatsche Prinzip herangezogen werden. Hierfür wird nach der kürzesten Durchlaufzeit t eines Lichtstrahls von Punkt A nach Punkt B gesucht, also: dt/dx = 0. Linsen Linsen sind transparente Körper mit zwei Grenzflächen an denen Brechung stattfindet und deren optische Achsen zusammenfallen. Hauptsächlich werden Linsen durch die Brennweite charakterisiert. Dabei wird zwischen Sammellinsen (konvex) und Zerstreuungslinsen (konkav) unterschieden. Aus der Abbildungsgleichung lässt sich folgende geometrische Regel aufstellen: Brennpunktstrahlen, Strahlen die durch den Brennpunkt F 1 verlaufen, werden beim auftreten auf die Linse zu Parallelstrahlen, Strahlen die parallel zu optischen Achse verlaufen und Parallelstrahlen werden zu Brennpunktstrahlen, welche durch den Brennpunkt F 2 verlaufen. Mittelpunktstrahlen, Strahlen die durch den Mittelpunkt der Linse verlaufen, werden nicht gebrochen. Der Abstand des Brennpunktes zur Hauptebene der Linse wird dabei als Brennweite bezeichnet. Konvexe Linsen: Parallelstrahlen werden so gebrochen, dass sie in einen Punkt zusammen laufen. Konkave Linse: Parallelstrahlen laufen bei Brechung auseinander. Abb. 3: Strahlengang an einer Konvexlinse (links) und an einer Konkavlinse (rechts) Entsteht bei der Abbildung eines Gegenstandes G ein Bild B, welches sich auf der vom Objekt abgewandten Seite befindet so wird dieses Bild als reell bezeichnet. Befindet sich das Bild auf der Seite, welche dem Objekt zugewandt ist, so wird dieses Bild als virtuell bezeichnet. Reelle Bilder lassen sich im Gegensatz zu virtuellen mit einen Schirm auffangen. In Abb. 3 ist zu erkennen, dass die Strahlen durch die Punkte F 1 und F 2 verlaufen. Diese werden mit F wie Fokus abgekürzt. Abbildungsgleichung Aus der geometrischen Betrachtung dreier Lichtstrahlen, die von einem Gegenstand über eine Linse auf das Bild abgebildet werden, lässt sich diese Abbildungsgleichung zeichnerisch herleiten. Die Verhältnisse der Gegenstandsgröße G und der Bildgröße B zu der Gegenstandsweite g und Bildweite b und der Brennweite der Linse f erschließen sich direkt aus der Anwendung des Strahlensatzes.

4 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 4 Abb. 4: Zeichnerische Konstruktion zur Linsengleichung Aus der Abbildung folgt: 1 f = 1 b + 1 g Dies ist die Abbildungsgleichung für dünne Linsen und achsennahe Strahlenverläufe. Für dicke Linsen werden beide Hauptebenen der Linse benötigt. Bei dünnen Linsen fallen diese nahezu zusammen, sodass sie mit einer Ebene angenähert werden können. Für die Brennweite einer dicken Linse gilt: 1 f [ 1 = (n 1) 1 + R 1 R 2 ] (n 1) d n R 1 R 2 (3) (4) Abb. 5: Strahlengang an einer dicken Linse Das Prinzip der Hauptebenen lässt sich auch für Linsensysteme verwenden, es gilt: Besselsches Verfahren 1 f = d (5) f 1 f 2 f 1 f 2 Für die Bestimmung der Brennweite einer Linse wird häufig das Besselsche Verfahren verwendet. Dazu wird bei einer optische Bank mit fester Basislänge a, an dem einen Ende der Gegenstand G und an dem anderem Ende ein Schirm angebracht. Dazwischen wird eine variierbare Linse positioniert. Ist der Abstand des Schirms vom Gegenstand größer als das Vierfache der Brennweite, so gibt es genau zwei Linsenstellungen, bei denen die Linse ein scharfes Bild auf dem Schirm erzeugt. Die Linse wird zwischen diesen beiden Positionen verschoben und die jeweiligen Gegenstandweiten g 1 und g 2 gemessen. Aus der Differenz ergibt sich der Abstand der beiden Linsenpositionen e.

5 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 5 Abb. 6: Brennweitenbestimmung mit dem Besselschen Verfahren Die Brennweite ergibt sich zu: f = a2 e 2 (6) 4 a Das Besselsche Verfahren hat den Vorteil gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen und nicht bekannt sein muss. Bei einem Linsensystem wird ein beliebiger Bezugspunkt P gewählt an dem die zwei Gegenstandsweiten abgelesen werden. Dadurch lässt sich die Gesamtbrennweite des Systems bestimmen. Mit Abb. 7: Besselsches Verfahen für ein Linsensystem diesem Verfahren und der Linsengleichung für dicke Linsen lässt sich so die Brennweite einer Zerstreuungslinse bestimmen, wenn der Abstand zwischen den Hauptebenen und die Brennweite der anderen Linse bekannt sind. Linsenfehler Chromatische Aberration Bei Linsen oder Prismen spielt Dispersion eine entscheidende Rolle. Dispersion bezeichnet hier die Abhängigkeit der Lichtbrechung von der Frequenz des Lichts. Da jeder Farbe des Lichts eine unterschiedliche Frequenz zugeordnet ist, werden diese unterschiedlich stark gebrochen. Dies ist die Ursache der chromatischen Aberration, welche sich aus dem Griechischen chroma (Farbe) und aberrare (abschweifen) zusammensetzt. Trifft monochromatisches Licht, d.h. Licht einer Frequenz, auf eine Sammellinse, so laufen alle Strahlen in einem Punkt zusammen. Das gilt jedoch nicht mehr wenn es sich dabei um Licht verschiedener Farben handelt. Bei weißem Licht, welches aus allen Frequenzen des sichtbaren Bereichs besteht, ist dieser Fehler deutlich zu erkennen. Durch die unterschiedlich starke Brechung entstehen für die einzelnen Frequenzen unterschiedliche Brennweiten (Abb. 8). Das entworfene Bild eines Gegenstandes von der Linse zeigt dadurch farbliche Ränder.

6 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 6 Abb. 8: Strahlengang bei chromatischer Aberration Sphärische Aberration Auch bei monochromatischem Licht können bei der Abbildung von Gegenständen an Linsen Fehler entstehen. Die sphärische Form und die endliche Größe der Linse, beeinflussen das Verhalten von Lichtstrahlen in Abhängigkeit zum Abstand zur optischen Achse. Es wird dabei zwischen achsennahen und achsenfernen Strahlen unterschieden. Die Abweichung der Brennweiten nimmt mit dem Abstand des Strahls zur optischen Achse zu. Abb. 9: Strahlengang bei sphärischer Aberration Koma Bei Koma handelt es sich, im Gegensatz zur sphärischen Aberration, nicht um symmetrisch zur Symmetrieachse einfallende Lichtbündel, sondern um parallele Lichtbündel, die auf eine schief gestellte Linse treffen, so entsteht Koma. Der Brechwinkel hängt dabei nicht mehr nur vom Abstand h zur optischen Achse ab, wie bei der sphärischen Aberration, sondern wird durch einen weiteren Faktor beeinflusst. Es ist entscheidend ob die Strahlen oberhalb oder unterhalb des Mittenstrahls verlaufen. Daraus ergibt sich, dass bei der Abbildung eines Punktes A, welcher sich außerhalb der Symmetrieachse befindet, ebenfalls Koma auftritt. Bei der Abbildung des Punktes schneiden sich die Strahlen der verschiedenen Teilbündel in den Punkten F 15, F 14, F 13, F 12 mit unterschiedlichen Abständen zur Symmetrieachse. Die Strahlen verlaufen aufgrund unterschiedlicher Oberflächenkrümmungen unsymmetrisch durch das optische System. Dadurch entsteht statt eines scharfen Beugungsscheibchens eine unscharfe Bildkurve. Astigmatismus schiefer Bündel Astigmatismus tritt auf, wenn ein Lichtbündel schräg auf die Linse trifft (Abb. 10). Durch den unsymmetrischen Verlauf zur optischen Achse, entsteht dieser Fehler. Dabei wird zwischen zwei Arten von Strahlen unterschieden: Die Strahlen in der horizontalen Schnittebene (Sagittalebene) und die in der senkrechten Schnittebene (Meridionalebene). Da bei schrägem Einfall des Lichts

7 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 7 Abb. 10: Strahlengang bei Koma auf die Linse unterschiedliche lokale Krümmungsradien in den jeweiligen Ebenen auftreten, werden Strahlen der Meridionalebene in einem anderen Bildpunkt, in der Bildweite b M, als Strahlen der Sagittalebene, in der Bildweite b S, abgebildet. Durch diese unterschiedlichen Brennweiten erscheint der Bildpunkt in den unterschiedlichen Weiten x 1, b M, x 2, b S oder x 3 nicht als Punkt, sondern in Form zweier Bildlinien und dadurch nicht mehr scharf (Abb. 11). Abb. 11: Astigmatismus schiefer Bündel Abb. 12: Abbildung zum Astigmatismus Mikroskop Ein Mikroskop besteht im einfachsten Fall aus zwei Linsen L 1 und L 2. Die erste Linse ist das Objektiv und entwirft ein reelles Zwischenbild, welches mit einem Schirm aufgefangen werden kann. Dieses Zwischenbild des Gegenstandes G befindet sich in der Brennebene der zweiten Linse dem Okular. Durch das Okular gelangen parallele Strahlenbündel von jedem Punkt des Gegenstandes ins Auge, sodass ein vergrößertes virtuelles Bild des Gegenstandes im Unendlichen erscheint. Der Abstand zwischen den beiden Brennebenen der Linsen L 1 und L 2 wird als optische Tubuslänge T bezeichnet. Unter Verwendung des Strahlensatzes und der Linengleichung folgt analog zur Lupe für die Vergrößerung des Mikroskops: V M = b s 0 f 1 f 2 (7)

8 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 8 Abb. 13: Strahlengang am Mikroskop Die Vergrößerung kann auch als Produkt der Einzelvergrößerungen von Objektiv und Okular geschrieben werden: V M = V Objektiv V Okular (8) Da F 1 sehr klein ist, gilt b T. Damit kann die Vergrößerung ausgedrückt werden duch: Abbesche Theorie der Abbildung V M = s 0 T f 1 f 2 (9) Für die Abbildung eines Nichtselbstleuchters spielt Beugung eine entscheidende Rolle. Wird ein Objekt mit parallelem Licht beleuchtet, so erscheint die nullte Beugungsordnung in Richtung des durchgehenden Lichts. Jedoch geben erst die höheren Beugungsordnungen Auskunft über den Abstand. Es gilt: m λ = d sin α (10) m: Beugungsordnung (= 1, 2,...), d: Abstand Zur Entstehung der Bilder B 1 und B 2 wird die +1. und die 1. Beugungsordnung benötigt. Daraus folgt, dass die Objektivlinse L 1 des Mikroskops mindestens das Licht der ±1 Beugungsordnung unter dem Winkel θ 1 noch erfassen können, d. h. die numerische Apertur NA muss mindestens: NA = n sin α > n sin θ 1 = λ d sein, um die räumliche Auflösung zu erreichen. Daraus ergibt sich: d >= λ n sin α = Durch Verwendung von Immersionsöl mit Brechungsindex n lässt sich die Numerische Apertur vergrößern. Experiment Messprinzip Vor dem Versuch wird auf der Lampe die Kondensorlinse befestigt. Die Lampe wird nun am Ende der optischen Bank justiert. Der Schirm wird in ca. 100 cm im hinreichendem Abstand zur Lampe befestigt. Die verwendeten Dias können auf der Kondesorlinse gesteckt werden. Dabei ist λ NA (11) (12)

9 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 9 Abb. 14: Abbesche Theorie der Abbildung auf eine gute Beleuchtung des Dias zu achten. Dazu wird die Glühwendel so dicht wie möglich ans Dia heran geschoben. Zur Auswertung soll zu allen Versuchsteilen, bei denen eine Brennweite bestimmt werden soll, zusätzlich zum Besselschen Verfahren die Brennweite graphisch bestimmt werden. Hierzu wird jeweils der Mittelwert aus den fünf Messungen für die Bildweite auf die eine Achse mit den dazugehörigen Mittelwert für die Gegenstandsweite auf der anderen Achse verbunden. Aus der Abbildungsgleichung folgt, dass alle Geraden und die Winkelhalbierende des ersten Quadranten sich in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt entspricht der Brennweite, welche sowohl auf der x-achse als auch auf der y-achse abgelesen werden kann. Da sich die Geraden durch Ableseungenauigkeiten in der Praxis nicht in einem Punkt treffen, werden die Schnittpunkte sowohl auf der x-achse als auch auf der y-achse abgelesen. Aus allen Werten ist der Mittelwert zu bilden. Abb. 15: Graphische Bestimmung der Brennweite

10 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 10 Vorbereitende Aufgaben Leiten sie das Snelliussche Brechungsgesetz aus dem Fermatschen Prinzip her. Leiten sie die Abbildungsgleichung mithilfe des Strahlensatzes her. Leiten Sie die Winkelvergrößerung des Mikroskops her. 1. Bestimmung der Brennweite an Sammellinsen Mit dem Besselschen Verfahren ist die Brennweite für eine frei wählbare Sammellinse zu bestimmen. Die Position des Gegenstands, das Pfeildia, ist dabei abzuschätzen. Für die Bestimmung sollen bei mindestens 2 verschiedenen Abständen zwischen Schirm und Gegenstand die Stellungen der Linse gemessen werden, an denen eine scharfe Abbildung des Pfeildias entsteht. Für jeden Abstand sind die Positionen für Verkleinerung und Vergrößerung jeweils fünfmal zu messen. Dabei bietet es sich an jeweils fünfmal die Position der Vergrößerung und anschließend fünfmal die Position der Verkleinerung zu messen. Aus den gemessenen Werten sind mit: f = a2 e 2 (13) 4 a die Brennweiten zu bestimmen. Dabei ist zu beachten, dass die Pfeile bei der Verkleinerung sehr klein sind und dadurch schwer zu erkennen. Zu jedem Wert gehört eine Fehlerrechnung! Warum muss der Abstand a beim Besselschen Verfahren mindestens das Vierfache der Brennweite betragen damit zwei scharfe Abbildungen entstehen? 2. Bestimmung der Brennweite eines Linsensystems Die Brennweite einer Zerstreungslinse soll bestimmt werden. Dazu wird zunächst die Gesamtbrennweite des Linsensystems bestimmt. Die Brennweite der Sammellinse beträgt 50 mm und der Abstand d zwischen beiden Hauptebenen 2 cm. Aus diesen Werten lässt sich die Brennweite aus der Gleichung: 1 f = d (14) f 1 f 2 f 1 f 2 bestimmen. Für das Bestimmen der Gesamtbrennweite f wird wie im Versuchsteil eins vorgegangen. Warum kann die Brennweite einer Zerstreuungslinse nicht so bestimmt werden wie bei Sammellinsen? Wie groß muss die Brennweite der Sammellinse sein, damit die Brennweite der Zerstreuungslinse bestimmt werden kann? 3. Chromatische Aberration Zunächst wird mit der Linse 2 das Spaltdia scharf abgebildet. Nun wird der Schirm verdreht, sodass die Lichtstrahlen unter einen Winkel von ca. 20 auf den Schirm treffen. Jetzt soll das entstandene Bild beschrieben werden. Es entstehen farbliche Ränder, die durch chromatische Aberration erklärt werden können. Anschließend ist das Verhältnis zwischen Brechung und Farbe zu untersuchen. Hierzu werden die Farbfilter, die Linse 2 und das Pfeildia benötigt. Zwischen Gegenstand und Linse wird ein Farbfilter positioniert und anschließend für jede Farbe für mindestens 2 verschiedene Abstände

11 Versuch 17: Geometrische Optik/ Mikroskop 11 die Brennweite ermittelt. Hierfür wird wie im Versuchsteil 1 das Besselsche Verfahren verwendet und ebenfalls fünfmal die Gegenstandsweite für Vergrößerung und Verkleinerung gemessen. Vergleichen Sie die Brennweite für die einzelnen Farbfilter. Welche Auswirkung hat die chromatische Aberration auf die Abbildung? 4. Sphärische Aberration Zur Untersuchung der sphärischen Aberration ist der Abstand zwischen Gegenstand und Schirm zu verkleinern. Das Verhältnis zwischen Brechung und Achsenabstand ist zu ermitteln. Dazu wird als Gegenstand ein Gitterdia verwendet. Mithilfe der beiden Blenden, die an die Linse 2 angebracht werden können, kann das Verhalten von achsennahen und achsenfernen Strahlen unabhängig voneinander untersucht werden. Hierzu ist wie in den Versuchsteilen zuvor vorzugehen und die Brennweite für achsennahe und achsenferne Strahlen zu ermitteln. Welche Auswirkung hat die sphärische Aberration auf die Abbildung? 5. Koma Für diesen Linsenfehler wird das Lochdia mit regelmäßigen Abständen verwendet. Für die Linse 2 soll das Bild betrachtet und die Form der Punkte am Rand und in der Mitte diskutiert werden. Anschließend verdrehen Sie die Linse um ca. 20. Begründen Sie ihre Beobachtungen. Welche Auswirkung hat Koma auf die Abbildung? 6. Mikroskop In diesem Versuchsteil ist ein Mikroskop, mit einer mindestens zwanzigfachen Vergrößerung aus den vorhandenen Linsen zusammenzusetzen. Als Gegenstand soll das Dia mit der Mikrometerskala verwendet werden. Das reelle Zwischenbild wird mit dem Schirm aufgenommen und der Lupe betrachtet. Klemmen Sie zur Betrachtung des Zwischenbildes eine Milimeterskala an den Schirm, damit Sie die Größe des virtuellen Bildes abschätzen können. Dazu betrachten Sie das Bild in deutlicher Sichtweite (25 cm) entfernt vom Schirm. Messen Sie für drei verschiedene Gegenstands- und Bildweiten die jeweilige Vergrößerung. Welche Linse wurde als Objektiv verwendet und welche als Okular? Begründen Sie diese Auswahl.

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