Übungsaufgaben zur Vorlesung Risikotransformationstheorie

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1 Übungsaufgaben zur Vorlesung Risikotransformationstheorie 2 Unsicherheit 2.1 Stochastische Größen (1) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz für folgende Zufallsvariable: X = , 05, 01,! (2) a) In einer Kleinstadt verteilt sich die Anzahl der pro Tag gemeldeten Fahrraddiebstähle wie folgt: X = , 3 0, 25 0, 22 0, 16 0, 07 Errechnen und zeichnen Sie die entsprechende Verteilungsfunktion! b) Für den Neuwert der gestohlenen Fahrräder gilt folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: X = , 02, 035, 03, 01, Stellen Sie die Verteilung graphisch dar, und berechnen Sie den Erwartungswert des Neuwerts eines gestohlenen Fahrrads! 2.2 Objektive und subjektive Wahrscheinlichkeit (1) Grenzen Sie subjektive und objektive Wahrscheinlichkeiten ab! (2) Geben Sie Beispiele für unterschiedlich definierte Sterbewahrscheinlichkeiten! 2.3 Risiko und Ungewissheit (1) Unterscheiden Sie zwischen Risiko und Ungewissheit! Geben Sie Beispiele für jeden Fall! (2) Welche Wahrscheinlichkeiten würden Sie gemäß des Prinzips des unzureichenden Grundes den einzelnen Wurfergebnissen beim Würfeln mit drei Würfeln (von denen Sie nicht wissen, ob sie fair sind oder nicht) zuordnen? 1

2 2.4 Das Ellsberg-Paradoxon Zeigen Sie anhand des Ellsberg-Paradoxons, dass das Prinzip des unzureichenden Grundes ein geeignetes Entscheidungskriterium bei Ungewissheit ist! 2.5 Entscheidungskritierien bei Unsicherheit (1) Nennen und beurteilen Sie verschiedene Entscheidungskriterien für Entscheidungen unter Unsicherheit! (2) Untersuchen Sie, wie sich ein Wirtschaftssubjekt in folgender Situation entscheiden wird: Alternative Ergebnis 1 (p=1/2) Ergebnis 2 (p=1/4) A B C D Ergebnis 3 (p=1/4) bei Verhalten gemäß dem a) Erwartungsnutzen-Kriterium (U=½ x ), b) (µ,σ)-kriterium 1 (V(µ,σ) = 2µ σ ² )! 3 Erwartungsnutzentheorie (1) Was versteht man grundsätzlich unter dem Erwartungsnutzenkriterium? (2) Skizzieren Sie den Verlauf der Risikonutzenfunktion bei verschiedenen subjektiven Risikoeinstellungen! (3) Was versteht man unter dem Sicherheitsäquivalent und der Risikopreis? Bestimmen Sie an einem selbstgewählten Beispiel graphisch Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie für die möglichen Risikoeinstellungen! 3.1 Kardinale, ordinale und Risikonutzenfunktionen (1) Inwiefern unterscheidet sich die Risikonutzenfunktion von einer ordinalen Nutzenfunktion? (2) Welche der folgenden Paare von Nutzenfunktionen repräsentieren die gleiche von Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion? a) U(x) = x und b) U(x) = a+bx und c) U(x) = x² und ~ ( ) U x ~ ( ) U x ~ ( ) U x = 4 x 5, = x, = x Axiomatische Ableitung von Risikonutzenfunktionen (1) Aus welchen Axiomen lässt sich die Risikonutzenfunktion herleiten? 2

3 (2) Erläutern und diskutieren Sie das Unabhängigkeitsaxiom! Ziehen Sie dazu das Allais- Paradoxon heran! 3.3 Nachfrage nach Vermögens- /Haftpflichtversicherungen (1) Erläutern Sie den Unterschied zwischen der Nachfrage nach Vermögens- und der Nachfrage nach Haftpflichtversicherungen! (2) Was besagt die Maehkminn-Regel? Welche Konsequenzen ergeben sich daraus für die Nachfrage nach Haftpflichtversicherungsschutz? (3) Wie lässt sich begründen, dass der Staat den Abschluss gewisser Versicherungen zur Pflicht macht? (4) Was versteht man unter einer fairen Prämie? (5) Zwischen welchen Werten muss der Marktpreis für Versicherung liegen, damit ein Versicherungsvertrag zustande kommen kann? (6) Ein Haushalt habe ein Ausgangsvermögen von Euro und eine Nutzenfunktion U( x)= x. Im Laufe der folgenden Periode ist das Vermögen von einem Schaden bedroht, der folgende Verteilung hat: S = , 04, 01, Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die Prämie, die das Versicherungsunternehmen mindestens verlangen wird, die Prämie, die der Haushalt maximal zu zahlen bereit ist, und das Sicherheitsäquivalent des Haushalts! (7) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle! (Gegeben: U = x ; v = Euro.) Vermögensschaden Haftpflichtschaden , 001, S E(S) X E(X) E[U(X)] x 0 P min P max , 0001, (8) Ein Individuum hat ein Vermögen von Euro und die Nutzenfunktion U( x) = 05, x. Ein Versicherungsunternehmen bietet Versicherungsschutz zu einer Prämie von E( S)+ 20% an. Wird ein Versicherungsvertrag (Vollversicherung) zustande kommen, wenn (a) das Individuum mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 einen Schaden von Euro und mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 einen Schaden von Euro erleiden wird; (b) das Individuum mit der Wahrscheinlichkeit von 0,1 einen Haftpflichtschaden von Euro verursachen wird? (9) Ein Individuum besitzt ein Vermögen von 100 Euro, das mit der Wahrscheinlichkeit von 30% von einem Totalschaden betroffen wird. Die Nutzenfunktion des Individuums ist 3

4 U(x)=-x x. Ein Versicherungsunternehmen bietet eine Vermögensversicherung (Volldeckung) zum Preis von 0,40 Euro je 1 Euro Versicherungssumme an. Wird das Individuum die Versicherung abschließen? (10) Ein Wirtschaftssubjekt mit der Nutzenfunktion U = x hat ein Vermögen von Euro. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01 ist es gesetzlichen Haftpflichtansprüchen in Höhe von Euro ausgesetzt. Ein Versicherungsunternehmen bietet Haftpflichtversicherungsschutz zu einer fairen Prämie plus einem Kostenzuschlag an. Der Kostenzuschlag wird als 500+0,05. E(S) ermittelt. (E(S) = Erwartungswert des Schadens). Im nächsten Jahr wird die Ermittlung des Kostenzuschlags zu 300+0,10. E(S) geändert. Wird jeweils ein Versicherungsvertrag zustande kommen? 3.4 Zwei-Zustands-Diagramm (1) Erläutern Sie, wie dann, wenn lediglich zwei verschiedene Zustände eintreten können, das Entscheidungsproblem eines Erwartungsnutzenmaximierers im Zwei-Zustand-Diagramm dargestellt werden kann! (2) Erläutern Sie die Begriffe Indifferenzkurve, Sicherheitslinie und Isoerwartungswertgerade im Zwei-Zustands-Diagramm! (3) Leiten Sie aus der Risikonutzenfunktion (mit Hilfe des totalen Differentials) die Steigung der Indifferenzkurve im Zwei-Zustands-Diagramm her! (4) Ein Landwirt sät im Frühjahr 10 ha Weizen. Dabei fallen insgesamt Aufwendungen i.h.v. 500 Euro an. Der Landwirt sieht sich für die Ernte zwei möglichen Umweltzuständen gegenüber: In einem trockenen Herbst rechnet er mit einem Ertrag in Höhe von 1400 Euro. In einem feuchten Herbst erwartet er nur 900 Euro Ertrag. Eine alte Bauernregel besagt, dass jeder 2. Herbst sehr feucht ist. (a) Stellen Sie die Netto-Einkommensverteilung des Landwirts in einem Zwei-Zustands- Diagramm dar! (b) Zeichnen Sie eine Isoerwartungswertgerade in das Zwei-Zustandsdiagramm ein, und geben Sie die Geradengleichung an! (c) Dem Landwirt fällt erst später ein, dass mit der globalen Klimaerwärmung auch die Wahrscheinlichkeit für einen trockenen Herbst ansteigt. Er rechnet nunmehr damit, dass nur jeder 4. Herbst feucht ist. Zeichnen Sie die neue Isoerwartungswertgerade ein, und geben Sie die Geradengleichung an! (5) Ein Unternehmer für Badeanzüge besitzt folgende Nutzenfunktion :U( x) = x. Der Unternehmer rechnet in einem guten Sommer mit einem Gewinn i.h.v Euro und in einem schlechten Sommer mit einem Gewinn in Höhe von 900 Euro. Er nimmt an, dass 3 von 4 Sommern gut sind. a) Welche Risikoeinstellung hat der Unternehmer? b) Stellen Sie die Gewinnverteilung des Unternehmers in einem Zwei-Zustands-Diagramm graphisch dar! 4

5 c) Geben Sie die Steigung der Indifferenzkurve im Ausgangspunkt an! d) Bestimmen Sie das Sicherheitsäquivalent (graphisch und analytisch)! 3.5 Anwendung: Optimaler Deckungsgrad beim Versicherungsschutz (1) Wie verhält sich ein risikoaverser Haushalt bei Vorliegen einer fairen Prämie (P f ), wie bei einer Prämie P > P f? (2) Ein Nachfrager von Krankenversicherungsschutz habe die Nutzenfunktion U( x) lnx =. Mit der Wahrscheinlichkeit w = 0,25 trete eine Krankheit ein, die Kosten von s = 20 verursache. Sein Vermögen beträgt v = 50 GE. (a) Nehmen Sie an, Versicherungsschutz zur fairen Prämie werde angeboten. Welchen Versicherungsschutz wird der Versicherungsnehmer wählen (graphische Darstellung)? (b) Nehmen Sie an, das Krankenversicherungsunternehmen erhebt einen Zuschlag zur Deckung der Verwaltungskosten i.h.v. 20% auf die Nettoprämie. Leiten Sie graphisch und analytisch die Geradengleichung für die Versicherungsgerade her! (c) Welchen Deckungsgrad (0<α<1) wird der Versicherungsnehmer wählen? (d) Nehmen Sie an, nur der Abschluss einer Vollversicherung sei möglich. Wird es zum Abschluss einer Versicherung kommen? (3) Erläutern Sie (graphisch und verbal), warum ein risikofreudiges Individuum, das seinen erwarteten Nutzen maximieren will, auch bei einer fairen Prämie keinen Versicherungsschutz nachfragen wird! (4) Unter welchen Voraussetzungen ist es für ein Wirtschaftssubjekt optimal, eine Überversicherung, d. h. einen Deckungsgrad größer als 1, zu wählen (verbale Erläuterung und Darstellung im Zwei-Zustands-Diagramm)? (5) Ein Wirtschaftssubjekt steht vor der Überlegung, eine Versicherung gegen Leitungswasserschäden abzuschließen. Der Wert der Einrichtung beträgt 900 Euro. Die Wasserleitungen des Hauses befinden sich in einem schlechten Zustand. Mit der Wahrscheinlichkeit w = 0,5 wird in der kommenden Periode ein Leitungswasserschaden (s) i.h.v. 400 Euro erwartet. Die Nutzenfunktion des Entscheiders lautet U( x) = x. Welchen Deckungsgrad (0<α<1)wird der Nachfrager bei einem Prämiensatz von (a) b a = 0,45, (b) b b = 0,6 wählen? Erläutern Sie die Ergebnisse graphisch und verbal! 3.6 Bernoulli: logarithmische Nutzenfunktion Wie läßt sich die besondere Eignung einer logarithmischen Risikonutzenfunktion begründen? 5

6 3.7 Risikoaversionsmaße (1) Wie lässt sich die individuelle Risikoeinstellung messen? (2) Warum ist für die Messung der Risikoaversion das Arrow-Pratt-Maß geeigneter als -U"? (3) Berechnen Sie die absolute und relative Risikoaversion eines Individuums mit der Nutzenfunktion: a) U = ln x, b) U = 4x², c) U = x, d) U = 2x 2 + ax + b, e) U = x, f) U = 1-e -x! Wie verändert sich jeweils die Risikoeinstellung mit zunehmendem x? (4) Ein Entscheider hat eine konstante relative Risikoaversion von ρ R =1/2. Wie lautet seine Nutzenfunktion? (5) Geben Sie für folgende absolute Risikoaversionen die Nutzenfunktionen an! 1 (a) ρ = 3x, (b) ρ = -1. (6) Ein Entscheider hat eine konstante relative Risikoaversion von ρ R = 1. a) Wie lautet seine Nutzenfunktion? b) Wie lässt sich eine konstante relative Risikoaversion ökonomisch interpretieren? (7) Studentin Sabine besitzt ein Vermögen von Euro. Um sich vor einem Fahrraddiebstahl zu schützen, schließt Sie eine Fahrrad-Teilkaskoversicherung mit dem für Sie optimalen Selbstbehalt von 100 Euro ab. Ein Jahr später gewinnt ihre Oma im Lotto und überweist ihr freundlicherweise zusätzlich zu ihrem bisherigen Vermögen Euro. Sabine beschließt daraufhin, den Deckungsgrad ihrer Versicherung zu verringern. Der optimale Selbstbehalt liegt nun bei 150 Euro. Charakterisieren Sie Sabines absolute Risikoaversion! 4 (µ,σ)-nutzenfunktion 4.1 Erwartungsnutzenmaximierung und (µ,σ)-nutzenfunktion (1) Erläutern Sie verbal und graphisch anhand des (µ,σ)-diagramms, welche individuellen Risikoeinstellungen möglich sind! (2) Vergleichen Sie die Entscheidungskriterien (µ,σ)-nutzenmaximierung und Erwartungsnutzenmaximierung für Entscheidungen unter Unsicherheit! 6

7 (3) Unter welchen Voraussetzungen führen das (µ,σ)-kriterium und das Erwartungsnutzenkritierum zum gleichen Ergebnis? (4) Zeigen Sie allgemein, wie sich die Erwartungsnutzenfunktion U(x) = 500x-0,5x² auch als (µ,σ)-nutzenfunktion interpretieren lässt! 4.2 Bestimmung des optimalen Portfolios (1) Gegeben sei ein Portfolio, das sich aus einem risikobehafteten Wertpapier A mit folgender Ertragsverteilung: A = , 025, 025, und einem risikolosen Wertpapier B mit dem Ertrag 100 zusammensetzt. Bestimmen Sie graphisch und analytisch die Möglichkeitslinie! (2) Einer Investorin stehen zur Anlage ihres Vermögens ein risikoloses und ein risikobehaftetes Wertpapier zur Verfügung. Erläutern Sie, warum die Investorin im Normalfall einen Teil ihres Vermögens im risikobehafteten Wertpapier anlegen wird! (3) Erläutern Sie, wie durch Kombination zweier risikobehafteter Wertpapiere eine Risikoreduzierung erreicht werden kann! Gehen Sie dabei auf die verschiedenen Fälle der stochastischen Abhängigkeit der Wertpapiere ein! (4) Eine Investorin hat zwei risikobehaftete Wertpapiere X und Y zur Auswahl, die perfekt negativ korreliert sind. Die Standardabweichung von X sei 20, die von Y 30. Durch welche Aufteilung ihres Vermögens von Euro kann die Investorin zu einem völlig risikolosen Portfolio kommen? (5) Frau X stehen zur Vermögensanlage Aktie A und Aktie B zur Verfügung, die folgende Ertragserwartung haben: Aktie Weltzustand 1 w = 1/8 Weltzustand 2 w = 3/4 Weltzustand 3 w = 1/8 A B Konstruieren Sie die Möglichkeitslinie im (µ,σ)-diagramm! Ist hier eine Risikominderung durch Diversifikation möglich? (6) Zwei Aktien sind durch folgende Parameter bestimmt: Aktie µ σ 2 A 4 49 B 5 64 Der Korrelationskoeffizient ist ρ AB = - 0,6. a) Das Portfolio besteht jeweils zur Hälfte aus A und B. Berechnen Sie 7

8 a1) den Erwartungswert des Portfolioertrags sowie a2) das Risiko des Portfolios! b) Berechnen Sie für das risikominimale Portfolio b1) die Anteile der Aktien am Portfolio (λ und 1 - λ), b2) den Erwartungswert des Portfolioertrags, b3) das Risiko des Portfolios! (7) Zur Portfoliobildung stehen 3 Wertpapiere mit folgenden Ertragsverteilungen zur Auswahl: Weltzustand 1 w 1 = 0,25 Weltzustand 2 w 2 = 0,5 Weltzustand 3 w 3 = 0,25 X Y Z a) Bestimmen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient zwischen a1) den Wertpapieren X und Y, a2) den Wertpapieren X und Z! b) Berechnen Sie den erwarteten Ertrag und die Standardabweichung eines Portfolios, das b1) jeweils zur Hälfte aus Wertpapier X und aus Wertpapier Y besteht, b2) jeweils zur Hälfte aus Wertpapier X und aus Wertpapier Z besteht! c) Bestimmen Sie das risikominimale Portfolio aus den Wertpapieren X und Y, und geben Sie Erwartungswert und Standardabweichung dieses Portfolios an! Skizzieren Sie in einem (µ,σ)- Diagramm für die Wertpapiere X und Y die Möglichkeitslinie! d) Errechnen Sie den erwarteten Ertrag und die Standardabweichung eines Portfolios, welches zu gleichen Teilen aus den 3 Aktien X, Y und Z besteht. e) Nehmen Sie an, es werde zusätzlich ein risikoloses Wertpapier A angeboten, das einen Ertrag von 10 garantiert. Bestimmen Sie das risikominimale Portfolio für A und Wertpapier X! (8) Wodurch sind effiziente Portfolios gekennzeichnet? (9) Erläutern Sie verbal und graphisch die Vorgehensweise bei der Entscheidung zwischen einem sicheren und mehreren unsicheren Wertpapieren! (10) Zur Vermögensanlage stehen zwei risikobehaftete Wertpapiere (X und Y) zur Verfügung, für die gilt: µ X = µ Y und σ X < σ Y. Kann sich für ein risikoaverses Individuum eine Mischung der beiden Wertpapiere lohnen? 4.3 Der optimale Grad an Versicherungsschutz (1) Erläutern Sie mit Hilfe des (µ,σ)-diagramms die optimale Versicherungsnachfrage eines risikoaversen Individuums! Unterstellen Sie dabei, dass die Versicherungsprämie höher 8

9 ist als die faire Prämie! Welches Ergebnis erhalten Sie für ein risikoneutrales Individuum? (2) Was können Sie allgemein über den optimalen Grad an Versicherungsschutz sagen? (3) Unter welchen Bedingungen wird ein Wirtschaftssubjekt vollen Versicherungsschutz nachfragen? (4) Nehmen Sie Stellung zu der Aussage, dass es sich immer lohnt, einen Teil des Risikos selbst zu tragen! (5) In welchem Fall ist der Verzicht auf Versicherungsschutz für ein Individuum optimal? (6) Zeigen Sie beispielhaft, dass es für ein risikoaverses Individuum optimal sein kann, einen Deckungsgrad von 0 zu wählen! (7) Berechnen Sie, welchen Deckungsgrad α (α [0,1]) ein Individuum mit der Nutzenfunktion U(µ,σ) = 200µ-(µ²+σ²) und einem Anfangsvermögen von 100 wählen wird, wenn das Vermögen mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% um einen Schaden in Höhe von 30 und mit der Wahrscheinlichkeit von 25% um einen Schaden von 60 gemindert wird und ein Versicherungsunternehmen Versicherungsschutz anbietet a) zu einer Prämie von 0,4 Euro je Euro Versicherungssumme, b) zu einer Prämie von 0,25 Euro je Euro Versicherungssumme! 5 Die volkswirtschaftliche Bedeutung von Versicherung 5.1 Ressourcenersparnis durch Versicherung Erläutern Sie an einem Beispiel die ressourcensparende Wirkung, die Versicherung haben kann! 5.2 Risiko als Produktionsfaktor (1) Worin liegt die volkswirtschaftliche Bedeutung des Risikos als Produktionsfaktor? (2) Erläutern Sie anhand eines selbstgewählten Beispiels die partielle Produktionsfunktion (Bruttohandlungsmöglichkeitenkurve) µ ( σ ) und die Wahl des optimalen σ (Situation ohne Versicherung)! (3) Nehmen Sie an, ein Versicherungsunternehmen bietet Versicherungsschutz zu einer fairen Prämie und zum Deckungsgrad α = 2 3 an. (a) Wie verläuft in diesem Fall die Nettohandlungsmöglichkeitenkurve für den Versicherungsnehmer? (b) Zeichnen Sie das mit Versicherungsschutz optimale σ ein! (c) Nehmen Sie an, dass der Versicherungsanbieter einen Gewinnzuschlag von 25% verlangt! Wie verändern sich dadurch Nettohandlungsmöglichkeitenkurve und optimale Entscheidung? 9

10 (4) Ist es denkbar, dass ein Individuum nach dem Abschluss eines Versicherungsvertrags mehr Risiko als vorher trägt? (5) Unterscheiden Sie zwischen versicherbaren und nicht versicherbaren Risiken! Geben Sie Beispiele für jeden Fall! (6) Warum ist Unternehmerrisiko nicht versicherbar? 6 Risikotransformation 6.1 Versicherung und Gesetz der großen Zahl Worin liegt die Bedeutung des Gesetzes der großen Zahl für das Angebot von Versicherungsschutz? 6.2 Risikotransfer und Risikotransformation Unterscheiden Sie zwischen Risikotransfer und Risikotransformation! 7 Asymmetrische Informationen auf Versicherungsmärkten 7.1 Asymmetrische Informationen (1) Was versteht man unter einer asymmetrischen Informationsverteilung? (2) Geben Sie Beispiele für asymmetrisch verteilte Informationen auf dem Versicherungsmarkt! Berücksichtigen Sie dabei sowohl Situationen, in denen die Versicherungsnehmer Informationsvorteile haben, als auch solche, in denen die Versicherungsunternehmen über bessere Informationen verfügen! 7.2 Adverse Selektion (1) Was versteht man unter adverser Selektion? Welche Konsequenzen hat sie? (2) In einer Volkswirtschaft haben alle (risikoaversen) Individuen ein Vermögen von 100 und sind von einem Schaden in Höhe von 50 bedroht. Es gibt 3 Risikotypen mit den Schadenwahrscheinlichkeiten 0,25, 0,5 und 0,75. Stellen Sie im Zwei-Zustands-Diagramm I- soerwartungswertgeraden und Indifferenzkurvensysteme der verschiedenen Risikotypen dar! (3) Erläutern Sie graphisch und verbal, welches Marktergebnis sich auf einem Versicherungsmarkt mit 2 Risikotypen einstellen wird, wenn eine symmetrische Informationsverteilung gegeben ist und aufgrund des Wettbewerbsprozesses positive Gewinne der Versicherungsunternehmen nicht möglich sind! (4) Auf einem Markt für Krankenversicherung besteht die Nachfragerpopulation jeweils zur Hälfte aus guten Risiken (Krankheitswahrscheinlichkeit w g = 0,3) und schlechten Risiken (w s = 0,7). Nehmen Sie an, dass Versicherungsschutz für alle Individuen zu einer fairen Durchschnittsprämie b f =0,5 angeboten wird und a) nur Vollversicherung möglich ist, 10

11 b) die Individuen einen Deckungsgrad α frei wählen können! Kann sich in den Situationen a) und b) der Versicherungsmarkt im Gleichgewicht befinden? (5) Für gute und schlechte Risiken werde Versicherungsschutz zu einer fairen Durchschnittsprämie und frei wählbarem Deckungsgrad angeboten. Was können Sie allgemein über die Nachfrage der beiden Risikotypen sagen? (6) Warum kann ein Pooling-Gleichgewicht bei Teilversicherungsmöglichkeit keinen Bestand haben? Welches Marktergebnis wird sich bei asymmetrischer Information über die Schadenwahrscheinlichkeit statt dessen einstellen? (7) Auf einem Kfz-Markt mit den beiden (nicht unterscheidbaren) Risikotypen schlechte Autofahrerinnen / gute Autofahrerinnen bietet Versicherungsunternehmen A zum für alle einheitlichen Prämiensatz b a Versicherungsschutz zu beliebigem Deckungsgrad an. Es tritt ein Versicherungsunternehmen B in den Markt ein, das sowohl Prämiensatz als auch Deckungsgrad festlegt. Welches Marktergebnis ist zu erwarten? (8) Diskutieren Sie die Relevanz der Modellergebnisse als Erklärungsansatz für Marktprozesse und -ergebnisse auf realen Versicherungsmärkten! 7.3 Moral Hazard (1) Was versteht man unter Moral Hazard? (2) Welche Ausprägungen von Moral Hazard können unterschieden werden? Geben Sie Beispiele dazu! (3) Welche Maßnahmen zur Vermeidung oder Verringerung von Moral Hazard sind möglich? (4) Wie ist Moral Hazard aus gesamtwirtschaftlicher Sicht zu beurteilen? 8 Risikotransformation und Ruinwahrscheinlichkeit 8.1 Ruinwahrscheinlichkeit (1) Wie setzt sich die Bruttoprämie zusammen? (2) Was versteht man unter technischem Ruin? (3) Erläutern Sie die Begriffe Ruinwahrscheinlichkeit, Risikoprofil und Risikoprozess! (4) Inwiefern transformiert ein Versicherungsunternehmen die Risiken seiner Versicherungsnehmer? 8.2 Risikopolitik Welche risikopolitischen Instrumente stehen einem Versicherungsunternehmen zur Verfügung? 11

12 9 Rückversicherung 9.1 Begriff und Funktion der Rückversicherung Aus welchen Gründen entschließen sich Versicherungsunternehmen zu (passiver) Rückversicherung? 9.2 Formen der Rückversicherung (1) Nennen und erläutern Sie unterschiedliche Formen der Rückversicherung! (2) Unterscheiden Sie zwischen proportionaler und nichtproportionaler Rückversicherung! (3) Erläutern Sie die möglichen (proportionalen und nichtproportionalen) Rückversicherungsformen! (4) Diskutieren Sie Vor- und Nachteile von (a) fakultativer Rückversicherung (b) obligatorischer Rückversicherung! (5) Berechnen Sie den Schadenerwartungswert und das versicherungstechnische Risiko (hier gemessen durch die Standardabweichung des Kollektivschadens) eines Versichertenkollektivs aus homogenen, unabhängigen Risiken mit einer Standardabweichung von 100 und einem erwarteten Schaden von 100 (a) für ein Kollektiv von Risiken, das mit einer Quote von 40 % rückversichert ist, (b) für ein Kollektiv von Risiken (ohne Rückversicherungsnahme)! Diskutieren Sie das Ergebnis! (6) Ein Versicherungsunternehmen hat folgenden Bestand an Risikolebensversicherungen Versicherungsverträge über eine Versicherungssumme von , Versicherungsverträge über eine Versicherungssumme von , Versicherungsverträge über eine Versicherungssumme von Die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit beträgt bei allen Versicherungsnehmern 0,1 Promille. (a) Welche Rückversicherungsform erscheint Ihnen hier geeignet? (b) Ermitteln Sie den Nettoprämienanteil des Erst- und Rückversicherungsunternehmens für die Rückversicherungsform aus Aufgabenteil (a)! (7) Ein Versicherungsunternehmen hat eine Jahresschadenexzedentenrückversicherung mit einer Priorität von 90 % der Bruttobeitrageinnahmen und einer Haftstrecke von 50 % abgeschlossen. (a) Stellen Sie die Entschädigungsfunktion aus dem Rückversicherungsvertrag graphisch dar! 12

13 (b) Welche Ergebnisse resultieren für das Erstversicherungsunternehmen bei einer Rückversicherungsprämie von 10 % und Betriebskosten von 20 %, wenn die tatsächliche Schadenquote i) 50 %, ii) 100 % und iii) 160 % beträgt? 9.3 Prämienkalkulation in der Rückversicherung (1) Erläutern Sie die Grundzüge der Prämienbestimmung für einen Rückversicherungsvertrag! (2) Wo liegen die besonderen Probleme der Prämienbestimmung in der nichtproportionalen Rückversicherung? (3) Welchen Zweck erfüllt die Rückversicherungsprovision? 9.4 Alternativer Risikotransfer Was versteht man unter einer Katastrophenanleihe? Erläutern Sie mögliche Ausgestaltungsformen von Katastrophenanleihen! 13