Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Wiehl

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1 Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Wiehl Erneuerbare Energien - die maximal nutzbare Energie der Wasserkraft Facharbeit Projektkurs Erneuerbare Energien Abiturjahrgang 2012/2013 vorgelegt von Jan Wittersheim Abgabetermin: 16. November 2012 Note: Punktzahl: Projektleiter: Herr Geck (Unterschrift)

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 3 2. Grundlagen der Wasserkraft Stehende Gewässer Fließende Gewässer Die Gesamtenergie des Wassers Elektrische Leistung Wirkungsgrad der Wasserkraftanlage Theoretische Leistung Physisch hydraulische Anlagen Die vorliegenden Ähnlichkeiten zwischen Modell und Anlage Das Froudesche Gesetz Numerische Modelle 17 Literaturverzeichnis 2

3 1. Einleitung Die Geschichte der Wasserkraft beginnt ca. im Jahre 5000 v. Chr., als die Menschen eine Haus- und Brauchwasserversorgung entwickelten. Danach wurde die Wasserkraft hauptsächlich in der Landwirtschaft genutzt. Wasserräder dienten 1500 v. Chr. zur Bewässerung von Landflächen. Der nächste Schritt in der Entwicklung der Wassernutzung war die Nutzung der Energie des Wassers 100 v. Chr. um den Betrieb von Mühlen zu vereinfachen. (aus [1]) Heutzutage wird die Wasserkraft zur Energie und Stromgewinnung genutzt. Dies wurde von Werner von Siemens im Jahre 1866 durch die Erfindung des elektrodynamischen Generators ermöglicht. Insgesamt werden 18% des weltweiten Stromverbrauchs durch die Wasserkraft gedeckt. (aus [10] und [11]) Aber wie viel Energie der Wasserkraft kann man nutzen? Mit dieser Frage werde ich mich in der folgenden Facharbeit beschäftigen. Dabei werde ich vor allem zwei Aspekte beleuchten. Erstens die potentielle Umsetzung von Wasserkraft unter Einbezug von physikalischen Formeln und ihrer Herleitung. Zweitens die Modellierung von komplexen Strömungen anhand eines hydraulischen Modells um den Vergleich zwischen dem Modell und der Wasserkraftanlage in der Natur zu ziehen. 2. Grundlagen der Wasserkraft 2.1 Stehende Gewässer Man unterscheidet bei der Energie des Wassers zwischen ruhendem und fließendem Gewässer. Bei ruhenden Gewässern basiert die Energie auf der Lageenergie, die Energie, die ein Körper aufgrund seiner relativen Lage besitzt. Diese kommt durch den Energieerhaltungssatz zustande: Die Energie in einem abgeschlossenen System kann nicht verändert werden 3

4 Dadurch besitzt jeder Körper auf der Erde eine Lageenergie, die durch folgende Formel beschrieben wird: E=g*m*h Im Falle der Wasserkraft: [E p ] ist die Lageenergie des Wassers, angegeben in kwh, wodurch der Umrechnungsfaktor von zustande kommt. Die Erdanziehungskraft [g], die Masse des Körpers [m] und die relative Höhe, die der Körper im Fallen zurücklegt [h p ], geben die Energie an, die benötigt wurden um das Wasser auf das vorhandene Höhenniveau zu bringen. Diese wird aufgrund des Energieerhaltungssatzes im System, dem Wasser, gespeichert. Die potentielle Fallhöhe ist die Differenz zwischen dem Ober- und dem Unterwasser. Diese lässt sich als Summe aus Druckhöhe [h D ] und geodätischer Höhe [z] beschreiben: Im Fall von Wasserkraft ist die Druckhöhe der Quotient des Überdrucks [p] und der Dichte des Wassers [p w ] in Bezug auf die Erdanziehungskraft [g]: Der Druck [p] lässt sich durch die Beziehung zwischen dem absoluten Druck [p Abs ] und dem atmosphärischen Druck [p Atmos ] ausdrücken. Da [p]als Überdruck definiert ist, gilt: (aus [3] Seite 27/28) 4

5 Zusammengefasst lässt sich die Lageenergie des Wassers durch folgende Formel errechnen: 2.2 Fließende Gewässer In einem fließenden Gewässer basiert die Energie, die ein Körper besitzt, auf seiner Geschwindigkeit im System. Diese wird kinetische Energie genannt und beschreibt die Kraft, die aufgewendet werden muss, um den Körper aus seiner Ruhelage in die momentane Bewegung zu versetzen. Im Allgemeinen wird die kinetische Energie in einem Körper durch folgende Formel beschrieben: Die kinetische Energiehöhe [h k ] und die Erdanziehungskraft [g] können durch die Gleichung der Geschwindigkeit [v] des freien Falls ersetzt werden. Für die kinetische Energie folgt daher: Diese Formel zeigt die kinetische Energie [E k ], die ein Körper mit der Masse [m] und seiner kinetischen Fallhöhe [h k ] unter Einfluss der Erdanziehungskraft besitzt. Der Umrechnungsfaktor basiert wieder auf der Einheit der Energie (kwh) und dem Faktor aus der Formel. (aus [3] Seite 28/29) 2.3 Die Gesamtenergie des Wassers 5

6 Die Gesamtenergie ist die Summe der Lageenergie und der kinetischen Energie: Somit gilt als idealer Zustand (auch Bernoulligleichung für ideale Flüssigkeiten genannt): Da in der Natur niemals ideale Zustände herrschen werden, da Reibung, Oberflächenspannung etc. das Wasser beeinflusst, definiert man eine Verlusthöhe [h v,i ] als Zusammenfassung aller Verluste. (aus [3] Seite 29) Somit erhalten wir: Die Verluste, die hauptsächlich durch die Reibung im Rohr zustande kommt, werden durch die Darcy-Weisbach-Gleichung beschrieben: Der Verlustbeiwert [ fasst die restlichen Verluste, die nicht von der Reibung entstehen, zusammen, [f] ist der Reibungsfaktor des Wassers im Rohr und [ ] beschreibt das Verhältnis zwischen Länge zu Durchmesser. (aus [3] Seite 30) Die Beeinflussungen auf das Wasser in der Fließstrecke können sich von Punkt 1 bis n verändern. Daher bilden wir den Durchschnitt der Verlusthöhe als Summe der Strecke 1 bis n: (aus [3] Seite 31) Aus der Massenbilanz erhält man, wenn die Flüssigkeiten homogen und inkompressibel ist, wovon man bei Wasser im Allgemeinen ausgehen kann, die Kontinuitätsgleichung. Die 6

7 Massenbilanz ist daher das Ergebnis aller infinitesimal kleiner Teilstücke und somit die Fläche unter dem Graphen. Diese würd auch durch das Integral beschrieben: (aus [3] Seite 31) Der Durchfluss [Q] ist somit das Produkt aus Geschwindigkeit und Durchflussquerschnitt. Dieses Produkt muss immer konstant bleiben, da bei einer Veränderung entweder Energie aus dem System herausgeht oder dazukommt, wodurch die Strömung nichtmehr inkompressibel wäre. 2.4 Elektrische Leistung Nun wollen wir die nutzbare elektrische Leistung [P] des Wassers bestimmen. Die elektrische Leistung [P] ergibt sich durch die Multiplikation des Wirkungsgrads, der die umsetzbare Energie angibt und der, durch den Durchfluss erzeugte Energie. [ beschreibt die Energie des Wassers ( in einer veralteten Einheit [ ]), [Q] den Durchfluss und h f die Fallhöhe, die das Wasser zurücklegt. Für einen groben Leistungsüberblick einer Wasserkraftanlage, kann man die Energie des Wassers [ und denwirkungsgrad in dem Leistungsbeiwert [c p ] zusammenfassen. Dieser ist für Klein-, Mittlere- und größere Wasserkraftanlagen grob definiert und dient als Überschlagswert. (aus [3] Seite 31) 2.5 Wirkungsgrad der Wasserkraftanlage Um ein genaues Ergebnis zu berechnen, muss man den Wirkungsgrad bestimmen. Dieser ist das Produkt aller Wirkungsgrade: 7

8 ] ist die Triebwasserzuleitung und ist mit der Fallhöhe zu vergleichen. Die Triebwasserzuleitung steht für den Wirkungsgrad der Fallhöhe [h f ], die durch die Verlusthöhe [h v,i ] verringert wird. (aus [3] Seite 32) Der Wirkungsgrad der Maschinen, angegeben durch aller einzelnen Wirkungsgrade:, ist dabei das Produkt Herleitung des allgemeinen Wirkungsgrades Der Wirkungsgrad ist der Quotient aus der resultierenden Energie zum Verhältnis Herleitung von Die Turbine wandelt die Energie der Strömung [P] in mechanische Energie [ Daher ergibt sich für den Wirkungsgrad: um. (Grafik aus [12] Seite 263) Für die Geschwindigkeit in einer Peltonturbine gilt mit u 1 =u 2 =u im Relativ und Absolutsystem die Vektoraddition. Dadurch folgt: 8

9 Die Turbine kann nur in ihre eigene Drehrichtung Kraft umsetzen. Daher ist der Strömungsimpuls [I u ] die Geschwindigkeit der Strömung in Umfangsrichtung[c u ]. Dadurch folgt: Die Impulskraft ist die zeitliche Differenzierbarkeit ergibt sich die Impulskraft [ Ableitung von [I u ]: ] als Da eine stationäre Strömung vorliegt, ist u konstant. Daraus folgt, dass die Ableitung Null ergibt: Die resultierende Kraft ergibt sich nun aus der Energie vor dem Rotor und der Energie nach dem Rotor : Die abgegeben Leistung der Turbine ergibt sich nun aus der resultierenden Kraft [F u ]und der Geschwindigkeit[u]: Nun wollen wir die mechanische Arbeit aus der vorher errechneten Leistung bestimmen: Somit lautet die Turbinenhauptgleichung oder Eulersche Gleichung genannt: (aus [12] Seite 263 ff.) 9

10 Herleitung von ist für einen Synchronmotor definiert als (Hergeleitet aus dem Satz des Pythagoras): ist die Leistung, die durch die Wasserkraft erzeugt werden kann und von der Turbine in mechanische Energie umwandeln kann: (aus [9] Seite 16 und [8]) Herleitung von Die Energie, die zum Betrieb von allen Anlagen des Wasserkraftwerkes benötigt wird[p Anlage ], wird in diesem Wert zusammengefasst. (aus [3] Seite 665.) Herleitung von Die elektrische Energie[W] wird durch die Stromstärke[I] und der Spannung [V] bestimmt: Der Widerstand der Leitungen basiert auf dem Material[p] und den Kabelausmaßen[l Länge und A Querschnitt]. Dabei ist zu beachten, dass die Stromstärke im Verhältnis zum Querschnitt nicht zu groß werden darf, da sonst die Gefahr der Überhitzung besteht 10

11 Durch den Widerstand kommt es zum Spannungsabfall: Dadurch folgt: 2.6 Theoretische Leistung Nachdem nun die theoretische Leistung erläutert wurde, wäre die zu erwartende elektrische Leistung in einem Jahr bzw. in einem Regelarbeitsvermögen [E A ] für eine Wasserkraftanlage von Bedeutung. Die zu erwartende Leistung ist die theoretische Leistung über den Zeitraum [t] betrachtet und ist mathematisch die Fläche unter einem P(t)-Diagramms. Daraus folgt, dass die Aufleitung von P(t) die Energie [E A ] beschreibt. (aus [3] Seite 33) 3. Physisch hydraulische Anlagen Neben der reinen Theorie gibt es auch Modelle um den Nutzen von Wasserkraftanlagen vorherzusagen. Diese physisch hydraulischen (oder physikalischen) Modelle werden neben der theoretischen Berechnung genutzt. Dies liegt vor allem daran, dass bei der Planung von teuren Wasserkraftanlagen meistens komplexe Strömungen auftreten und diese nicht perfekt mit den Formeln und Gesetzen ausgedrückt werden können. Dadurch können sich 11

12 Fehler einstellen, die teure Nachrüstungen und Ausbesserungsmaßnahmen mit sich ziehen. (aus [1] Seite 519f.) 3.1 Die vorliegenden Ähnlichkeiten zwischen Modell und Anlage Der Vergleich zwischen der zu bauenden Anlage und dem Modell ist auf die mechanische Ähnlichkeit zurückzuführen. Diese liegt vor, wenn eine geometrische, kinetische und dynamische Ähnlichkeit von Modell und Realität existiert. Geometrische Ähnlichkeit Bei einem konstanten Maßstab [M L ] zwischen allen geometrischen Größen im Modell [L M ] zur Anlage [L A ], wie Höhe, Breite und Länge, spricht man von einer geometrischen Ähnlichkeit. Kinetische Ähnlichkeit Zeitlich abhängige Prozesse müssen die Maßstabzahl [M t ] aufweisen. Dabei ergibt sich [M t ] als konstanter Maßstab für alle zeitlichen Prozesse von Anlage [t A ] zum Modell [t M ]. Dynamische Ähnlichkeit Die dynamische Ähnlichkeit [M F ] ist die wichtigste der drei Ähnlichkeiten und kann nur konstant sein, wenn die beiden oben genannten auch konstant sind. [M F ] beschreibt das Verhältnis aller auftretenden Kräfte in der Anlage [F A ] und dem Modell [F M ]. (aus [1] Seite 520) 12

13 3.2 Das Froudesche Gesetz Jedoch kann niemals eine vollständige Ähnlichkeit zwischen Anlage und Modell herrschen, deshalb können zur zwei wirkende Kräftearten, sowie die drei Ähnlichkeiten und die allgemeingültigen Kräfte, wie Dichte des Wassers oder die Erdanziehungskraft, in der Anlage und im Modell gleich sein. Da in den meisten Fällen die Schwerkraft und die Trägheit dominieren, vertiefe ich das Froudesche Gesetz. Physikalische Größe Bezeichnung Maßstab Anlage/Modell Länge L M L Zeit t M t Masse m M m Geschwindigkeit v M v Beschleunigung a M a Kraft F M F Durchfluss/Abfluss Q M Q (aus [1] Seite Seite 522) Gesetz: Froude Reynolds Weber Thoma Cauchy/Mach Dominierende Kräfte Trägheit und Schwerkraft Trägheit und Reibung Trägheit und Kapillarkraft Trägheit und Druck Trägheit und Elastizität (aus [1] Seite 523) Das Froudesche Gesetz lautet: 13

14 Herleitung des Froudeschen Modellgesetzes: Die Definition der dominierenden Kräfte ergibt folgende Gleichungen: Um die Masse eines Körpers allgemein darzustellen, werden die Dichte des Körpers und seine räumlichen Ausmaße miteinander multipliziert: Die Beschleunigung und die Geschwindigkeit sind definiert als: Fasst man alle Gleichungen zusammen, kommt man auf die Froudesche Zahl: Das Froudesche Gesetz kann man sowohl im Modell, als auch in der Anlage verwenden. Dadurch folgt beim Einsetzen beider Froudeschen Zahlen: [g] kann gekürzt werden, da es in beiden Gleichungen auftritt. Außerdem ist der Modellmaßstab [M L ] multipliziert mit der Höhe des Modells die Höhe der Anlage : (aus [1] Seite 523f.) 14

15 Kürzen von [h M ] und umstellen nach [M L ] ergibt: Somit haben wir die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit von Modell zu Anlage beschrieben. Diese liegt bei: Durch die allgemeine Formel für Geschwindigkeit [v] und einsetzen der Maßstabszahlen ergibt sich: Umstellen nach [M t ] und ersetzen von [M u ] ergibt: Die Maßstabzahl des Durchflusses [ und einsetzen der Maßstabszahlen beschrieben werden: ] kann wieder durch das aufstellen der allgemeinen Formel Die letzte Größe ist die, der auftretenden Kräfte [M F ]. Kraft ist definiert als: 15

16 Wir ersetzen die Masse wieder durch Volumen und Dichte. Da die Dichte des Wassers im Modell und in der Anlage gleich ist, kann dieser Faktor wegfallen. Ersetzen wir die restlichen Faktoren wieder mit [M L ], erhalten wir: Anhand der Modellgrößen dem Modell ziehen. können wir nun einen Vergleich zwischen der Anlage und Hätten wir als Modellmaßstab [M L ] z.b. 30, könnten wir damit den Faktor errechnen, mit dem die auftretenden Größen im Modell der Wirklichkeit entsprechen. In dem oben genannten Modell wäre das Modell um den Faktor schneller als die Anlage und der in der Anlage auftretenden Geschwindigkeiten um langsamer. Außerdem würde ein Abfluss von 1 L/s im Modell dem Abfluss von der Anlage sind um größer als im Modell. L/s entsprechen. Die auftretenden Kräfte in (aus [1] Seite 524) 3.3 Numerische Modelle Neben der physisch hydraulischen Modellierung gibt es auch noch die numerische Modellierung. Diese basieren auf Programmen, die die Modellierung der Realität durch ein Programm darstellen können. Diese Art von Modellierung gewinnt immer mehr an Bedeutung, da die Voraussetzungen zur Berechnung durch den Computer mit den Jahren stark gestiegen sind und es bald nicht mehr notwendig ist, physikalische Modelle zur Betrachtung von komplexen Strömungen zu nutzen. (Stand 2006) (aus [1] Seite 534f.) 16

17 Literaturverzeichnis 1. Theodor Strobl/Franz Zunix: Wasserbau Aktuelle Grundlagen- Neue Entwicklungen, München, Springerverlag, Joachim Raabe: Hydraulische Maschinen und Anlagen, 2.Auflage Band 1-4, München, VDI Verlag, Jürgen Giesecke/Emil Mosonyi: Wasserkraftanlagen Planung, Bau und Betrieb, 5. Aktualisierte und erweiterte Auflage, beabrietet von Jürgen Giesecke und Stephan Heimerl, Stuttgart/Karlsruhe, Springerverlag, Uni Protokoll: Energieerhaltungssatz [ ] 5. Beuth-Hochschule: Kontinuitätsgleichung [ ] 6. Universität der Bundeswehr: Formelsammlung[ ] 7. Wikipedia: Froudsche Zahl [ ] 8. Energie.ch: Leistungsflächen von Asynchronmaschinen[ ] 9. Chris Meier: Formelsammlung[ ] 10. Thema-Energie:Wasserkraft weltweit[ ] Wikipedia: Wasserkraft[ ] von Richard Zahoransky,Elmar Bollin,Udo Schelling,Helmut Oehler: Energietechnik[ ] eichung+vektoraddition&source=bl&ots=p9i0ycgsba&sig=yvbbis- GBk5nfZNTfl2GJknnaxc&hl=de&sa=X&ei= 2oUKmZK8OdtQan7YGIAg&ved=0CC0Q6AEwAA#v=one page&q=herleitung%20turbinenhauptgleichung%20vektoraddition&f=false 17

18 Erklärung über die selbstständige Anfertigung der Arbeit Ich versichere, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen Quellen und Hilfsmittel als die angegebenen benutzt habe. Die Stellen der Arbeit, die anderen Werken entnommen sind, sind unter Angaben der Quelle kenntlich gemacht. Wiehl, den (Unterschrift) 18