Physik und Elektrotechnik 2

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1 I, 1 97 (2012) c 2012 Physik und Elektrotechnik 2 Dr. Jürgen Bolik Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg z k x B E y

2 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 2 Inhaltsverzeichnis 1 Wechselströme Wechselstromwiderstände Schwingkreise Der RLC-Serienschwingkreis Parallelschwingkreise Transformatoren Wärme, Wärmekraftmaschinen und Stromerzeugung Grundbegriffe Die Temperatur Wärme und Energie Arbeit und innere Energie Die Wärmekapazität Die kinetische Gastheorie Die Zustandsgleichung idealer Gase Folgerungen aus der Zustandsgleichung für ideale Gase Der Zusammenhang von C p und C V Die Geschwindigkeitsverteilung im idealen Gas Reale Gase Zustandsänderungen idealer Gase Der Begriff der Entropie Der zweite und der dritte Hauptsatz Wärmekraftmaschinen und Kraftwärmemaschinen Arbeitsdiagramme Der Wirkungsgrad von Carnot-Wärmekraftmaschinen Die Leistungszahl von Carnot-Kraftwärmemaschinen Reversible Kreisprozesse Stromerzeugung Elektromagnetische Wellen Das Spektrum elektromagnetischer Wellen Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Energiedichte und Energiestrom Der lineare Oszillator Interferenz harmonischer Wellen gleicher Frequenz Stehende Wellen Wellenausbreitung nach Huygens und Fresnel Elementarwellen Beugung und Interferenz an Beugungsgittern Optischer Doppler-Effekt

3 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 3 4 Wechselwirkung elektromagnetischer Wellen mit Materie Die Quantenzahlen von Elektronen der Atomhülle Das Photon Das Plancksche Strahlungsgesetz

4 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 4 1 Wechselströme 1.1 Wechselstromwiderstände Gehen wir davon aus, dass eine Spannung U(t) = U 0 sin(ωt) an einem Ohmschen Widerstand anliegt, so beträgt die Stromstärke I(t) = U(t) R = U 0 R sin(ωt) und die Leistung P (t) = U(t)I(t) = U 2 0 R sin2 (ωt). Der zeitliche Mittelwert P der Leistung beträgt P = 1 T T 0 P (t) dt = 1 U0 2 2 R. Würde diese Leistung mittels Gleichspannung erreicht, so müsste eine Spannung U eff = U 0 2 anliegen. In Hinblick auf die anliegende Wechselspannung U(t) = U 0 sin(ωt) und die Stromstärke wird I(t) = I 0 sin(ωt) U eff = U 0 2 als Effektivwert der Spannung und I eff = I 0 2 als Effektivwert der Stromstärke bezeichnet. Effektivwerte für Strom und Spannung lassen sich auch für allgemeinere Wechselspannungen und allgemeinere Widerstände Z C definieren.

5 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 5 Wird der elektrische Widerstand nur durch einen Ohmschen Verbraucher verursacht, so sind Stromstärke I und die Leistung P reell. In diesem Falle ist P eine reine Wirkleistung. U I R P I 0= U 0 R U 0 Abbildung 1.1 Stromstärke I, Spannung U und Leistung P für einen Ohmschen Widerstand t Abbildung 1.2 zeitlicher Verlauf der Stromstärke I(t), Spannung U(t) und Leistung P (t) für einen Ohmschen Widerstand Ersetzen wir den Ohmschen Widerstand durch eine Spule, so stellt sich der Strom durch die Spule so ein, dass L di(t) dt = U(t) gilt. Da wir I(t) als Zeiger in der komplexen Ebene auffassen, schreiben wir I(t) = I 0 e i(ωt+ϕ 0) mit I 0 R. Für die Ableitung von I(t) gilt daher di(t) dt = iωi(t).

6 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 6 Wir erhalten I(t) = U(t) iωl. Bei einer Spule ist P eine reine induktive Blindleistung. I U L U 0 P I 0= U 0 i ω L Abbildung 1.3 Stromstärke I, Spannung U und Leistung P für eine Spule t Abbildung 1.4 zeitlicher Verlauf der Stromstärke I(t), Spannung U(t) und Leistung P (t) für eine Spule

7 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 7 Für einen Kondensator gilt und somit U(t) = Q(t) C I(t) = dq(t) dt = C du(t) dt = iωcu(t). Bei einem Kondensator ist P eine reine kapazitive Blindleistung. I 0=i ωcu 0 I P U C U 0 Abbildung 1.5 Stromstärke I, Spannung U und Leistung P für einen Kondensator t Abbildung 1.6 zeitlicher Verlauf der Stromstärke I(t), Spannung U(t) und Leistung P (t) für einen Kondensator Mit Z C bezeichnen wir den elektrischen Widerstand, gegeben durch Z := U I und mit Y C den Leitwert, gegeben durch den Kehrwert von Z.

8 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 8 Zusammengefasst gilt für den Ohmschen Widerstand Z = R, für die Spule Z = iωl und für den Kondensator Z = 1 iωc. Durch Linearkombination dieser Widerstandswerte entstehen allgemeinere komplexe Widerstandswerte. Als komplexe Zahlen lassen sie sich folgendermaßen darstellen: Z = Re(Z) + i Im(Z). Die Zahl Z C wird auch als Impedanz bezeichnet. Der Anteil Re(Z) gibt die Komponente der Spannung an, die mit dem Strom phasengleich ist. Dieser heißt Wirkwiderstand. Der Anteil Im(Z) heißt Blindwiderstand. Bezeichnen I eff und U eff die Effektivwerte der Stromstärke bzw. Spannung und ϕ die Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung, so beträgt die (zeitlich gemittelte) Wirkleistung P w = U eff I eff cos ϕ und die (zeitlich gemittelte) Blindleistung P b = U eff I eff sin ϕ.

9 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 9 Sind ein Ohmscher Widerstand und eine Spule in Reihe geschaltet, so addieren sich deren Widerstände. Die Amplitude der Gesamtspannung beträgt U 0 = I 0 R2 + (ωl) 2. Der Strom weist gegenüber der Spannung eine Phasenverschiebung ϕ mit auf. tan ϕ = ωl R I U L,0=i ω L I 0 U R U 0 I 0 L U R,0=R I 0 Abbildung 1.7 Zeigerdiagramm für eine Reihenschaltung von Ohmschen Widerstand und Spule Sind ein Ohmscher Widerstand und ein Kondensator parallel geschaltet, so addieren sich deren Leitwerte. Die Amplitude des Gesamtstroms beträgt 1 I 0 = IR,0 2 + I2 C,0 = U 0 R + 2 (ωc)2. Der Strom weist gegenüber der Spannung eine Phasenverschiebung ϕ mit auf. tan ϕ = ωcr I 0 I I C,0 U C R I R,0 U 0 Abbildung 1.8 Zeigerdiagramm für eine Parallelschaltung von Ohmschen Widerstand und Kondensator

10 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Schwingkreise Der RLC-Serienschwingkreis Hier genügt die Ladung Q(t) der Differentialgleichung wobei 1 C Q(t) + RQ (t) + LQ (t) = U a (t), Kapazität: C Ohmscher Widerstand: R Induktivität: L. Zusätzlich liege eine äußere Spannung U a (t) an, wobei U a (t) = U 0 cos(ωt). Die Kreisfrequenz ω und Amplitude U 0 sind konstant. L C R U Abbildung 1.9 Serienschwingkreis mit äußerer Spannungsquelle Für den RLC-Serienschwingkreis setzen wir 1 ω 0 := LC δ := R 2L ω δ := ω 2 0 δ 2

11 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 11 und erhalten aus obiger Differentialgleichung nun x (t) + 2δ x (t) + ω0 2 x(t) = x a (t), wobei x a (t) = x a,0 cos(ωt) mit den Konstanten x a,0, ω R +. Zusätzlich wird hier vorausgesetzt, dass 0 < δ < ω 0 gelte. Wir betrachten hier Lösungen x(t) = x δ (t) der Differentialgleichung x (t) + 2δ x (t) + ω0 2 x(t) = 0 unter den Anfangsbedingungen und x(t = 0) = x 0 x (t = 0) = 0. Die folgende Abbildung zeigt den Einfluss der Dämpfung auf diese Lösungen x(t) = x δ (t): x(t) x 0 δ ω 0 =2,5 2,0 δ ω 0 =1 1,5 1,3 δ ω 0 =0,9 0 0,8 0,7 0,6 T 0 := 2π ω 0 2T 0 3T 0 t 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Abbildung 1.10 Der Einfluss der Dämpfung δ Die allgemeine Lösung y einer inhomogenen linearen Differentialgleichung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung y h der zugehörigen homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung y p der inhomogenen Gleichung.

12 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 12 Dabei gilt y = y h + y p. In unserem Fall ist die inhomogene Gleichung x (t) + 2δ x (t) + ω0 2 x(t) = x a (t) und die zugehörige homogene Gleichung x (t) + 2δ x (t) + ω0 2 x(t) = 0. Wir betrachten die Differentialgleichung z (t) + 2δ z (t) + ω 2 0 z(t) = x 0,a e iωt, wobei δ, ω 0 und x 0,a wie bisher definiert sind. Mit dem Ansatz erhalten wir z(t) = Ae i(ωt+ϕ), A( ω 2 + 2iδω + ω 2 0) = x 0,a e iϕ. Daraus folgt für die Amplitude der erzwungenen Schwingung A = x 0,a (ω 2 0 ω 2 ) 2 + 4δ 2 ω 2. Mit der Amplitude A und der Phasenverschiebung ϕ ist auch die reelle partikuläre Lösung unserer ursprünglichen Gleichung bestimmt. x(t) = A cos(ωt + ϕ) Nun betrachten wir die Amplitude A als Funktion von ω und berechnen deren Maximum. Dabei erweist sich die folgende Definition als nützlich: ω R := ω0 2 2δ 2 Die Funktion ist f(ω) := (ω 2 0 ω 2 ) 2 + 4δ 2 ω 2

13 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 13 für δ ω 0 2 : streng monoton und unbeschränkt wachsend, für δ < ω 0 2 : streng monoton fallend in (0, ω R ) und streng monoton und unbeschränkt wachsend in (ω R, ). Betrachten wir nun für den zweiten Fall die Amplitude A = x 0,a (ω 2 0 ω 2 ) 2 + 4δ 2 ω 2, so zeigt sich, dass deren Maximalwert bei ω = ω R angenommen wird und beträgt. A max = A(ω R ) = x 0,a 2δ ω 2 0 δ 2 = x 0,a 2δω δ Die Frequenz ω R heisst daher Resonanzfrequenz. Amplitude A(ω) und Phasenverschiebung ϕ(ω) der partikulären Lösung x(t) = A cos(ωt + ϕ) zeigen einen von der der relativen Dämpfung δ ω 0 abhängigen Verlauf. Die Amplitude A(ω) ist in folgender Abbildung für verschiedene Werte der relativen Dämpfung dargestellt: ω 0 2 x 0, a A δ ω 0 = ,1 10 0,2 0,4 0, ,5 1,0 ω 0 Abbildung 1.11 Amplitude einer erzwungenen Schwingung

14 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 14 Ersetzen wir x(t) durch die Ladungsmenge Q(t) und beachten, dass I(t) = dq(t) dt = ωq(t) gilt, so erhalten wir I ω (t) in Abhängigkeit von ω. Eine Spannungsmessung am Ohmschen Widerstand zeigt, bei nicht zu großer Dämpfung, ein Spannungsmaximum bei ω = ω R Parallelschwingkreise Während sich das Verhalten eines Parallelschwingkreises mit realer Spule und realem Kondensator nicht einfach durch Übersetzen der Terme für Ströme und Widerstände des RLC- Serienschwingkreises in Terme für Spannungen und Leitwerte herleiten lässt, ist eine solche Analogiebildung bei stärkerer Idealisierung der Spule des Parallelschwingkreises möglich. Die folgende Abbildung zeigt einen Parallelschwingkreis mit einem, durch den Parallelwiderstand R 2, realen Kondensator und einer idealen Spule, ohne vorgeschalteten Ohmschen Spulenwiderstand R L. R 1 U C R 2 L Abbildung 1.12 Parallelschwingkreis mit idealer Spule und mit äußerer Spannungsquelle Hier führt eine Spannungsmessung am Ohmschen Widerstand, bei nicht zu großer Dämpfung, auf ein Spannungsminimum bei ω = ω R.

15 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Transformatoren Mit Hilfe von Transformatoren kann die Wechselspannungsamplitude verändert weden. Der Transformator besteht oft aus zwei Spulen unterschiedlicher Windungszahlen N 1 und N 2, die durch ein hochpermeables Material verbunden sind. Damit die Wirbelstromverluste klein sind, muss auch die effektive Leitfähigkeit des Spulenkerns klein sein. Außerdem nehmen wir an, dass sich die ohmschen Verluste der Spulen vernachlässigen lassen, sich das B-Feld phasengleich zum Strom I ändert und der Magnetfluss φ den Spulenkern nicht verlässt. B N U 2 U 1 N 2 1 I 2 I 1 Abbildung 1.13 Transformator An der Primärspule liegt die Spannung U 1 an. Nach Voraussetzung ist der Widerstand der Spule rein induktiv. Daher gilt U 1 = N 1 φ t. Die Flußänderung φ t U 2 = N 2 φ t. wiederum, induziert in der Sekundärspule die Spannung Somit erhalten wir für die Spannungstransformation U 2 U 1 = N 2 N 1.

16 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 16 2 Wärme, Wärmekraftmaschinen und Stromerzeugung 2.1 Grundbegriffe Zustandgrößen Druck p Volumen V Temperatur T Teilchenzahl N 2.2 Die Temperatur Sind zwei Systeme jedes für sich im Gleichgewicht und hat für beide Systeme die Temperatur T den gleichen Wert, so bleiben beide Systeme im Gleichgewicht, wenn sie miteinander in thermischen Kontakt gebracht werden. Nimmt T in beiden Systemen verschiedene Werte an, so bleiben beide Systeme nicht im Gleichgewicht, wenn sie miteinander in thermischen Kontakt gebracht werden. Welche Bedingung muss das System erfüllen, damit ein Test-System, genannt Thermometer existiert? Transitivität des thermischen Gleichgewichts Sind zwei Gleichgewichtssysteme mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so sind sie auch untereinander im thermischen Gleichgewicht. Anmerkung: Der Satz wird oft als nullter Hauptsatz der Thermodynamik bezeichnet. Thermometer Zur Temperaturmessung sind im Prinzip alle Größen geeignet, die in reproduzierbarer Weise von der Temperatur abhängen. Am direktesten wäre eine Messung der Molekülenergie oder der Molekülgeschwindigkeit. Bequemer benutzt man in Quecksilber- oder Alkohol-Thermometern die Wärmeausdehnung von Flüssigkeiten, in Bimetallstreifen die von Festkörpern.

17 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 17 Thermodynamische Temperaturskala und der Begriff der absoluten Temperatur Als Messnormal für die Einheit der absoluten Temperatur wurde der Tripelpunkt (Gleichgewichtspunkt der festen, flüssigen und gasförmigen Phase des Systems) des Wassers gewählt. Der Grund für diese Wahl ist die Tatsache, dass es nur einen einzigen Wert (p, T ) von Druck und Temperatur gibt, bei dem alle drei Phasen koexistieren können, und dass die Temperatur nicht durch Änderungen der Mengenverhältnisse von fester, flüssiger und gasförmiger Substanz beeinflusst wird. Seit 1960 wird dem Tripelpunkt des Wassers die Temperatur T t (in Kelvin) zugeordnet, wobei T t = 273, 16 K (exakt) p kpa 101,33 0,61 fest T flüssig gasförmig 0, ϑ C Abbildung 2.1 Der Tripelpunkt des Wassers Der Nullpunkt der Kelvinskala ist der absolute Nullpunkt.

18 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 18 Verschiedene Temperaturskalen Das Kelvin (K), die Einheit der thermodynamischen Temperatur T, ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. Grad Celsius ( C) ist die Einheit der Temperaturskala ϑ. Deren Bezugspunkte sind bei 1013,25 hpa: Schmelzpunkt des Eises: 0 C Siedepunkt des Wassers: 100 C Grad Fahrenheit ( F ) ist die Einheit einer weiteren Temperaturskala θ. Transformation der Temperaturskalen Die Umrechnung zwischen der Kelvin- und Celsius-Skala erfolgt mittels T K = ϑ C + 273, 15 und die zwischen Fahrenheit- und Celsius-Skala mittels θ F = 9 ϑ 5 C + 32

19 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Wärme und Energie Der Versuch von James Prescott Joule ( ): Abbildung 2.2 Apparatur von Joule zur Messung des mechanischen Wärmeäquivalents Arbeit und innere Energie Wird das Volumen eines Systems quasistatisch von V i auf V f verändert und hat während dieses Prozesses der mittlere Druck des Systems den messbaren Wert p(v ), dann ist die vom System geleistete Arbeit gegeben durch: W if = V f V i dw = V f V i p(v )dv. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik Jedem Makrozustand eines Systems kann eine Größe U (genannt innere Energie) zugeordnet werden, die für abgeschlossene Systeme eine Erhaltungsgröße ist: U = const. Falls das System mit seiner Umgebung wechselwirken kann und dabei von einem Makrozustand in einen anderen übergeht, gilt für die Energieänderung U = W + Q. Dabei ist W die vom System geleistete makroskopische Arbeit. Die Größe Q heißt die vom System aufgenommene Wärmemenge.

20 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 20 Wie ist der Zusammenhang von Arbeit und innerer Energie, wenn das System thermisch isoliert ist, d.h. Q = 0 gilt? Für Q = 0 gilt: oder U = W b U b U a = W ab = a dw Die innere Energie ist hierdurch bis auf eine beliebige additive Konstante bestimmt. Die Wärmeenergie Die Wärme Q ab, die vom System beim Übergang vom Makroszustand a zu einem anderen Makrozustand b absorbiert wird, ist definiert als Q ab = (U b U a ) + W ab, wobei W ab die vom System in diesem Prozess geleistete makroskopische Arbeit ist. Anmerkung: Bei Phasenübergängen (1. Ordnung) führt eine Erwärmung nicht notwendig zu einer Temperaturerhöhung (latente Wärme). Q Dampf Wasser Eis Abbildung 2.3 latente Wärme T Das Mol und die Avogadro-Zahl 1 Mol (mol) ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 12 g des Elements 12 C enthalten sind. Damit enthält 1mol die Avogradro-Zahl an Teilchen, nämlich N A = 1g/mol 1, g = mol 1.

21 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Die Wärmekapazität Wir betrachten ein makroskopisches System, dessen Zustand durch seine absolute Temperatur T beschrieben werden kann. Der Parameter y sei beispielsweise das Volumen V (isochore Zustandsänderung) oder der mittlere Druck p (isobare Zustandsänderung) des Systems und bleibe während einer Wärmezufuhr konstant. Bei der Temperatur T führen wir nun eine infinitesimal kleine Wärmemenge zu und halten dabei y konstant. Dann definieren wir ( ) dq C y := dt y als die Wärmekapazität des Systems, wobei der Index y angibt, welcher Parameter konstant bleibt. Dabei ist dq eine infinitesimal kleine, dem System zugeführte Wärmemenge. Die spezifische Wärmekapazität Die Wärmemenge, die einem homogenen System zugeführt werden muss, um eine gegebene Temperaturänderung dt hervorzurufen, wird der darin enthaltenen Materiemenge proportional sein. Daher ist es zweckmäßig, eine Größe, die spezifische Wärmekapazität, zu definieren, die nur von der Natur der Substanz und nicht von der vorhandenen Menge abhängt. Die spezifische Wärmekapazität (pro Masseneinheit) c y ist definiert durch c y := 1 m C y und die molare Wärmekapazität C mol,y ist definiert durch C mol,y := 1 ν C y. Dabei bezeichnet ν := N/N A und N die Anzahle der Moleküle. Anmerkung: Statt C mol,y schreiben wir auch C y. Unter welchen Bedingungen gilt Q = cm T, wobei c = c y?

22 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 22 Allgemeiner erhalten wir T 2 Q = m c(t ) dt T 1 Spezifische und molare Wärmekapazitäten einiger Elemente bei 20 C Element c in J kg 1 K 1 rel. Atommasse µ C in J mol 1 K 1 Li ,94 23,4 Be ,02 15,9 Diamant C ,01 5,9 Mg ,32 24,7 Si ,06 20,1 K ,10 28,8 Fe ,85 25,5 Ag ,88 25,1 W ,92 24,7 Pb ,21 26,8 Tabelle 2.1 Spezifische und molare Wärmekapazität von Festkörpern Die relative Atommasse µ ist gegeben durch: µ := m A m 0, wobei m 0 = 1, kg die Atomgewichtseinheit und m A die Atommasse ist. Freiheitsgrade Bewegungsarten: Translation, Rotation, Schwingung Jede solche unabhängige Bewegungsmöglichkeit nennt man einen Freiheitsgrad. Bewegungsmöglichkeiten der Moleküle ergeben sich durch Translation, Rotation und Schwingung.

23 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 23 Mit f bezeichnen wir die Summe f := f transl + f rot + f osc. Dabei ist f transl die Anzahl der Translationsfreiheitsgrade, f rot die Anzahl der Rotationsfreiheitsgrade und f osc ein Wert, der die Schwingungen berücksichtigt. Den Wert f nennen wir ebenfalls Freiheitsgrad. Freiheitsgrade von Gasmolekülen 1 Molekül- f transl f rot 2 osc f struktur 1-atomig atomig atomig, linear atomig, gewinkelt n-atomig, linear 3 2 3n-5 6n-5 n 2 n-atomig, gewinkelt 3 3 3n-6 6n-6 n 3 Tabelle 2.2 Freiheitsgrade : Die Rotation um die Molekülachse wird hier als eingefroren betrachtet. : Die beiden Deformationsschwingungen unterscheiden sich weder in der Symmetrie noch in der Frequenz.

24 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 24 Die Zahl f für einige Gasmoleküle 1-atomige Moleküle: f = f transl = 3 Beispiele: Ar, He, Kr starre 2-atomige Moleküle: f = f transl + f rot = 5 Beispiele: H 2, O 2, N 2 bei Raumtemperatur oszillierende 2-atomige Moleküle: f = f transl + f rot + f osc = 7 Gleichverteilungssatz (Äquipartitionstheorem) Auf jeden Freiheitsgrad eines Moleküls entfällt im thermischen Gleichgewicht die gleiche mittlere Energie 1 2 kt. Dabei ist k = 1, J K 1 die Boltzmann-Konstante. Ein Molekül mit f Freiheitsgraden enthält daher die mittlere Gesamtenergie W = f 2 kt. Welche Energie benötigt man, um die Temperatur eines homogenen Körpers der Masse m, bestehend aus Atomen der Masse m A, von T 1 auf T 2 > T 1 zu erhöhen? Dazu braucht man die Energie m f m A 2 k T. Die Wärmekapazität des Körpers ist daher C = m m A f 2 k. Seine spezifische Wärmekapazität ist c = f 2m A k. Es gilt m A = µm 0, wobei µ die relative Atommasse und m 0 = 1, kg die Atomgewichtseinheit ist.

25 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 25 Beispiel: Für Eisen erhalten wir c = 3k µm 0 = 444J kg 1 K 1, wegen f = f osc = 6 und µ = 55, 85. Der gemessenen Wert ist c = 460J kg 1 K 1. Die molare Wärmekapazität ist C mol = N A f 2 k. Die Regel von Dulong und Petit Für Metalle, und allgemein für Elementkristalle mit f = 6 gilt C mol = 3N A k = 24, 9J mol 1 K 1. Die Regel von Dulong und Petit ist, wie obige Tabelle zur molaren Wärmekapazität zeigt, für schwerere Elemente gut erfüllt. Im unteren Temperaturbereich treten Abweichungen von dieser Regel auf.

26 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 26 Einfrieren von Schwingungs- und Rotationsfreiheitsgraden C mol R 3 Pb 2 Cu 1 C K T Abbildung 2.4 C mol (T ) von Elementkristallen Dabei ist die Gaskonstante R gegeben durch R := N A k = 8, 31 JK 1 mol 1. Anmerkungen zum Einfrieren der Schwingungs- und Rotationsfreiheitsgraden Bei tiefen Temperaturen geringere Energieaufnahme durch verringerte Freiheitsgrade. In der Nähe des absoluten Nullpunkts strebt der zugehörige energetische Beitrag gegen Null. Die Wärmekapazität von Gasen Bei Gasen muss man unterscheiden, ob die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen (c V ) oder bei konstantem Druck (c p ) gemessen wird. c p enthält auch die Arbeit, die das Gas bei seiner Wärmeausdehnung leisten muss. Bei Festkörpern ist der Unterschied weniger groß, da die Ausdehnung relativ gering ist.

27 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 27 Spezifische und molare Wärmekapazitäten einiger Gase bei 0 C c p in c v in C p in C V in γ J kg 1 K 1 J kg 1 K 1 J mol 1 K 1 J mol 1 K 1 He ,9 12,6 1,66 Ar ,7 12,4 1,67 Luft ,1 20,7 1,40 O ,3 21,0 1,40 N ,0 20,7 1,40 H ,5 20,2 1,41 CO ,9 25,1 1,30 N 2 O ,1 26,5 1,29 Tabelle 2.3 Spezifische und molare Wärmekapazität von Gasen Der Adiabaten- oder Isentropen-Exponent γ ist gegeben durch: γ := c p c V = C p C V. Beispiele N 2 bei Zimmertemperatur Es gilt f = 5 für N 2 bei Zimmertemperatur. Nach Rechnung erhalten wir: c v = 738J kg 1 K 1. Die Messung ergibt: c v = 740J kg 1 K 1. H 2 O bei Zimmertemperatur Die Molekülatome von H 2 O sind hier nahezu frei. Wir setzen daher f = 6 für jedes einzelne Atom und rechnen mit der mittleren relativen Atommasse 1 ( ) = 6. 3 Damit erhalten wir rechnerisch: c = 4150J kg 1 K 1. Die Messung ergibt: c = 4185J kg 1 K 1. Zusammenhang der Einheiten Joule und cal Die Energie 4, 185J, die man braucht, um 1g H 2 O um 1K zu erwärmen, wird 1 cal genannt.

28 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 28 Temperaturabhängigkeit von C V Translations-, Rotations- und Schwingungsanteile der Wärmekapazität sind temperaturabhängig. Die folgende Abbildung zeigt den Einfluss der Temperatur auf den Schwingungsanteil c osz der Wärmekapazität. c osz 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 T h ν Abbildung 2.5 Die Wärmekapazität c osz (T ) für ein diatomares ideales Gas Kalorimeter Die spezifische Wärmekapazität c kann mit dem Mischungskalorimeter bestimmt werden. Thermometer Rührwerk Probekörper Abbildung 2.6 Mischungskalorimeter Mischungkalorimetrie In einem Gefäß bekannter Wärmekapazität C G befindet sich eine Wassermasse m 1 der Temperatur T 1. Der Probekörper, dessen c gemessen werden soll, hat die Masse m 2 und wird auf T 2 (z. B. im Wasserdampfbad, T 2 = 100 C ) erhitzt und in das Kalorimeter gegeben. Schließlich stellt sich eine Mischungstemperatur T m ein.

29 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 29 Bestimmung der Wärmekapazität des Probekörpers Nach dem Energieerhaltungssatz erhalten wir Q 2 = cm 2 (T 2 T m ) = Q 1 = (c 0 m 1 + C G )(T m T 1 ) c 0 ist die spezifische Wärmekapazität des Wassers. Es folgt: c = c 0m 1 + C G m 2 T m T 1 T 2 T m.

30 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Die kinetische Gastheorie Die kinetische Gastheorie leitet die Eigenschaften der Gase aus mechanischen Bewegungsvorgängen der einzelnen Moleküle ab. Wir betrachten nun ein verdünntes Gas im Gleichgewichtsfall, das in einen quaderförmigen Kasten, eingeschlossen ist, wobei zwei gegenüberliegende Randflächen A 1 und A 2 jeweils den Flächeninhalt A haben. Wir interessieren uns dabei für die Frage: Wie viele Moleküle treffen in einer Zeiteinheit auf die Randflächen? u Δ t A Abbildung 2.7 Impulsübertragung und Gasdruck Annahmen Die Masse des Moleküls sei m. Die Moleküle verhalten sich wie vollkommen elastische Kugeln. Eine Wechselwirkung tritt nur durch Stöße auf. Die N Moleküle bewegen sich voneinander unabhängig, ohne eine Richtung im Raum zu bevorzugen, mit der Geschwindigkeit u := v2 = v2 x + v 2 y + v 2 z. Die Molekülzahldichte n := N V zeitlich konstant. ist homogen und, in Folge der Gleichgewichtsbedingung,

31 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 31 In der Nähe von A 1 bewegen sich n Moleküle pro Volumeneinheit in und ebenso viele 6 entgegen der Normalenrichtung von A 1. Ein Molekül mit der Geschwindigkeit v gibt an die Wand den Impuls 2mv ab. Innerhalb des Quaders betrachten wir ein Volumen mit der Grundfläche A und der Höhe u t. Darin befinden sich nau t Moleküle. Nach unserem Modell wird daher folgende Kraft auf die Wand ausgeübt: F = 2mu 1 6 nau. Der auf die Wand ausgeübte Druck p ist daher p = 1 A F = 1 3 mnu2.

32 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Die Zustandsgleichung idealer Gase Nach der kinetischen Wärmetheorie ist die Temperatur nur ein anderes Maß für die mittlere kinetische Energie der Moleküle. Betrachten wir nur die Translationsenergie, so erhalten wir nach dem Gleichverteilungssatz W trans = 1 2 mu2 = 3 2 kt. Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli lässt sich daher folgendermaßen schreiben: p = nkt. Mit n = N V erhalten wir schließlich pv = NkT. p T V Abbildung 2.8 Der Graph der Zustandsfunktion p(v, T ) eines Idealgases Der Zustand einer gegebenen Masse M eines idealen Gases mit fester Teilchenzahl N ist damit durch die drei Größen T, p und V vollständig beschrieben. Zwei davon können unabhängig voneinander variiert werden. Die dritte ist dann eindeutig bestimmt. Setzen wir N = νn A und R = N A k = 8, 31JK 1 mol 1, so gilt: pv = νrt.

33 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Folgerungen aus der Zustandsgleichung für ideale Gase Das Gesetz von Boyle-Mariotte: Bei konstanter Temperatur gilt p V 1 Das 1. Gesetz von Gay-Lussac: Bei konstantem Druck gilt V T Das 2. Gesetz von Gay-Lussac: Bei konstantem Volumen gilt p T Anmerkung: Die zusätzlichen Bezeichnungen Gesetz von Charles und Gesetz von Amontons werden in der Literatur leider nicht einheitlich verwendet. Das 1. Gesetz von Gay-Lussac lässt sich auch folgendermaßen formulieren V (T ) = V 0 (1 + γ 0 (T T 0 )) mit γ 0 := 1 T 0, wobei V 0 := V 0 (T 0 ) ist. γ 0 ist der Volumenausdehnungskoeffzient γ bei der Temperatur T 0. Anmerkung: Rechnerisch ist hierbei V (T = 0 K) = 0. Betrachten wir nun T 0 = 273, 15 K, so zeigt sich, dass für die Volumenausdehnung eines Idealgases: Bei einer Temperaturerhöhung um 1 K beträgt 1 die Volumenausdehnung = 3, ,15 des Volumens bei 0 C. Die folgende Tabelle bietet einen Vergleich dieses theoretischen Wertes mit empirischen Daten für den Raumausdehnungskoeffizienten im Temperaturbereich T [0 C, 100 C]: Das Gesetz von Avogadro für Idealgase zweier Gase ist, bei gleicher Temperatur und gleichem Druck, iden- Das Molvolumen V ν tisch. oder anders formuliert Zwei gleich große Gasvolumina enthalten bei gleicher Temperatur und gleichem Druck die gleiche Anzahl von Teilchen.

34 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 34 Raumausdehnungskoeffizient γ in 10 3 K 1 Luf t 3,675 H 2 3,662 He 3,660 Ar 3,676 CO 2 3,726 Tabelle 2.4 Raumausdehungskoeffizient γ für einige Gase Begründung: Nach der Zustandsgleichung erhalten wir ν = pv RT. Anmerkung: Für p 0 = 1013, 25 hp a und T 0 = 273, 15 K erhalten wir V ν = R T 0 p 0 = 22, 4 dm3 mol.

35 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Der Zusammenhang von C p und C V Bei konstantem Druck erfordert die Erwärmung eines Gases mehr Energie als bei konstantem Volumen, da das System auch für die Volumenzunahme Energie benötigt. Nach dem 1. Gesetz von Gay-Lussac erhalten wir und somit V = V T T p V = pv T T T = νrt T = νr T Daher gilt für die molare Wärmekapazität C p C p = C V + R = ( f 2 + 1)R und für den Adiabaten-Exponenten γ := C p = f + 2 C V f Daher erhalten wir für die Molwärmen C V und C p in Abhängigkeit von f: Molwärmen von Gasen nach der kinetischen Theorie der Wärme Molekül- f C V C p γ struktur in J mol 1 K 1 in J mol 1 K 1 1-atomig 3 12,5 20,9 1,667 2-atomig 5 20,9 29,3 1,40 3-atomig, gewinkelt 6 25,0 33,4 1,33 Tabelle 2.5 Molwärmen C V und C p von Gasen : Die Moleküle werden hier als nicht-oszillierend vorausgesetzt.

36 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Die Geschwindigkeitsverteilung im idealen Gas Die Geschwindigkeitsverteilung f(v) Wir betrachten ein verdünntes Gas bestehend aus N Molekülen der Masse m mit Volumen V, wobei sich der Schwerpunkt des Systems mit der Geschwindigkeit v bewegt. Für die Molekülgeschwindigkeit in Luft erhalten wir, abhängig von der Temperatur, folgende Verteilungsfunktion f(v): f (v) 10 3 s m K K K 3000 K v m s Abbildung 2.9 Die Geschwindigkeitsverteilung in Luft Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung Die Funktion f : R 3 R mit m f(v) := ( 2πkT ) 3 2 e m v 2 2kT ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Auch für die (kartesischen) Geschwindigkeitskomponenten lassen sich Verteilungsfunktionen angeben. Hinsichtlich v x gilt m g(v x ) = ( 2πkT ) 1 2 e mvx 2 2kT.

37 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 37 Der Mittelwert u Um u zu bestimmen, betrachten wir v 2 x = v 2 xg(v x ) dv x = kt m. Dabei ist g(v x ) die Dichtefunktion einer Gauß-Verteilung, falls T = const. y N (0,1) N (0,2) N (0, 3 2 ) Abbildung 2.10 Die Dichtefunktion der Normalverteilung x Wegen v 2 x = v 2 y = v 2 z, können wir v 2 = 3 v 2 x und somit schreiben. 1 2 m v 2 = 3 2 kt Damit erhalten wir wieder 3kT u = m.

38 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Reale Gase Die oben genannte Zustandsgleichung gilt für ein Idealgas, in dem die Teilchen, abgesehen von kurzzeitigen Stößen keine Kräfte aufeinander ausüben und ein vernachlässigbares Eigenvolumen haben. Diese Voraussetzungen sind umso schlechter erfüllt, je dichter das Gas und je tiefer die Temperatur ist. Da Moleküle einen gewissen Raum beanspruchen und Anziehungskräfte aufeinander ausüben, ist die Zustandsgleichung des idealen Gases nicht allgemein gültig. Die van der Waals-Gleichung Ein besseres Modell als die Zustandsgleichung des Idealgases bietet die van der Waals-Gleichung (p + a )(V Vm 2 m b) = RT Dabei sind die Größen a und b Konstanten und V m das molare Volumen. p T >T c T =T c T <T c Abbildung 2.11 Van der Waals-Isothermen V Die Temperatur, oberhalb der sich ein Gas durch Druckerhöhung nicht mehr verflüssigen lässt, heißt seine kritische Temperatur T c.

39 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Zustandsänderungen idealer Gase Hierbei werden Änderungen der Zustandsgrößen p, V, T betrachtet. Die Teilchenzahl N ist konstant. Wir unterscheiden zwischen isochoren Zustandsänderungen isobaren Zustandsänderungen isothermen Zustandsänderungen adiabatischen Zustandsänderungen Ist die innere Energie, wie bei idealen Gasen, Bewegungsenergie, so gilt: du = νc V dt. Weitere Formen der inneren Energie zeigen sich, wenn Energie bei Schmelz- Verdampfungs- oder Lösungsvorgängen, oder beispielsweise zur Überwindung der chemischen Bindungsenergie oder elektromagnetischen Wechselwirkung aufgewandt wird.

40 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 40 a) Isochore Zustandsänderung Hier ist V = const. Somit gilt p T. p p 1 T 1 p 0 T 0 V 0=V 1 V Abbildung 2.12 Isochore Zustandsänderung Außerdem gilt hier dv = 0. Nach dem 1. Hauptsatz erhalten wir du = dq p dv du = dq. Anmerkung: Wir verwenden hier dq lediglich im Sinne einer bequemen Schreibweise, also auch dann, wenn Q hinsichtlich der zu betrachtenden Variablen nicht differenzierbar ist. Ferner gilt dq = νc V dt.

41 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 41 b) Isobare Zustandsänderungen Hier ist p = const. Somit gilt V T. p p 0= p 1 T 1 T 0 V 0 V 1 V Abbildung 2.13 Isobare Zustandsänderung Nach dem 1. Hauptsatz erhalten wir du = dq p dv. Ferner gilt dq = νc p dt und nach der Zustandsgleichung für ideale Gase pdv = νrdt. Insgesamt erhalten wir daher du = νdt (C p R) = νc V dt.

42 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 42 c) Isotherme Zustandsänderungen Hier ist T = const. Somit gilt p V 1. p p 1 T 0 =T 1 p 0 V 1 V 0 V Abbildung 2.14 Isotherme Zustandsänderung Die innere Energie U eines Idealgases mit f Freiheitsgraden und N Molekülen beträgt U = f 2 NkT. Da hier T konstant ist, erhalten wir U = 0 und nach dem 1. Hauptsatz: V 1 Q p dv = 0 V 0 Außerdem gilt hier V 1 V 0 p dv = νrt V 1 V 0 Schließlich erhalten wir Q = νrt ln( V 1 V 0 ). 1 V dv = νrt ln V V1 = νrt ln( V 1 ). V 0 V 0

43 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 43 d) adiabatische Zustandsänderungen Eine thermodynamische Zustandsänderung ohne Wärmeaustausch (d.h. mit dq = 0) wird adiabatisch genannt. p p 1 p 0 V 1 V 0 V Abbildung 2.15 Adiabatische Zustandsänderung Der 1. Hauptsatz lautet dq = du + p dv. Für die innere Energie U eines Idealgases gilt du = νc V dt. Daher erhalten wir für eine adiabatische Zustandsänderung: νc V dt = p dv. Mit der Zustandsgleichung des Idealgases p = νrt V 1 und der molaren Wärmekapazität C V, mit C V = f 2 R, erhalten wir f 2 dt T = dv V. Eine Integration impliziert V T f 2.

44 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 44 Mit dem Adiabatenexponent γ = f + 2 f erhalten wir V T 1 γ 1 Mit Hilfe der Zustandsgleichung erhalten wir und daher T = pv νr pv νr V γ 1 = const. Zusammengefasst bedeutet das: p V γ mit γ: 1 < γ 5 3. Zum Vergleich: Für die Isothermen des Idealgases gilt p V 1. Betrachten wir nun p V γ und beispielsweise V T 1 γ 1 so zeigt sich, dass sich p auch als Funktion mit der Temperatur T als einziger Variablen ausdrücken lässt: So erhalten wir p T γ γ 1. Zusammengefasst lauten die Adiabaten- oder Poisson-Gleichungen: pv γ = c 1 T V γ 1 = c 2 p 1 γ T γ = c 3. Dabei sind c i, i = 1, 2, 3 reelle Konstanten.

45 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 45 Bei adiabatischer Kompression wird das Gas erwärmt. Ursache ist die, bei der Kompression geleistete Arbeit. Anders als bei der isothermen Kompression kann hier die Wärme nicht an ein Wärmebad abgeführt werden. Die Temperaturerhöhung lässt sich mittels T 1 T 0 = ( V 1 V 0 ) 1 γ berechnen. W und U lassen sich auch für adiabatische Zustandsänderungen berechnen: Es gilt für γ 1: V 1 V 0 p dv = c 1 V 1 V 0 V γ dv = V 1 V 0 V γ dv, wobei Da c 1 = pv γ, erhalten wir schließlich 1 γ + 1 V γ+1 V1 = 1 1 γ (V1 V 1 γ 0 ). V 0 1 γ V 1 Der Term V 0 p dv = 1 1 γ (p 1V γ 1 V 1 γ 1 p 0 V γ 0 V 1 γ 0 ) = 1 1 γ (p 1V 1 p 0 V 0 ). U = 1 1 γ (p 1V 1 p 0 V 0 ) lässt sich mit Hilfe der Zustandsgleichung folgendermaßen umformen: U = 1 γ 1 νr (T 1 T 0 ). Berücksichtigen wir, dass für γ γ = f + 2 f = f

46 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 46 und für die molaren Wärmekapazität C V C V = f 2 R gilt, so zeigt sich, dass R γ 1 = C V. Somit erhalten wir für die Änderung der inneren Energie U wieder U = νc V T. Betrachten wir die Bestimmung der inneren Energie wie in unserer Bemerkung zum 1. Hauptsatz der Thermodynamik, so zeigt sich, dass die innere Energie eines idealen Gases durch du = νc V dt auch allgemein, d.h. nicht nur im Rahmen adiabatischer Zustandsänderungen, bis auf eine additive Konstante, bestimmt ist.

47 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 47 e) Beschreibungen und Folgerungen der Zustandstandsänderungen Überblick Beschreibung der Zustandsänderung Zustandsänderung Bedingung Graph im Funktionen der p(v )-Diagramm Zustandsgrößen isochor dv = 0 V = const. pt 1 = const. isobar dp = 0 p = const. V T 1 = const. isotherm dt = 0 p V 1 pv = const. adiabatisch dq = 0 p V γ pv γ = const. (isentrop) T V γ 1 = const. p 1 γ T γ = const. Folgerungen der Zustandsänderung Zustandsänderung I. Hauptsatz Q V 1 V 0 p dv isochor du = dq Q = νc V T 0 isobar du = dq p dv Q = νc p T p V isotherm dq = p dv Q = νrt ln( V 1 V 0 ) Q adiabatisch du = p dv Q = γ (p 1V 1 p 0 V 0 ) (isentrop) Tabelle 2.6 Überblick: Zustandsänderungen Anmerkung: C p und C V werden hier als von T unabhängige Größen vorausgesetzt.

48 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Der Begriff der Entropie Der mikroskopisch-statistische Begriff der Entropie S ist mit der Wahrscheinlichkeit P eines Zustandes verknüpft. Der makroskopisch-phänomenologische Begriff der Entropie ist hingegen mit der aufgenommenen Wärmemenge und der Temperatur verknüpft. Zusätzlich nehmen wir hierbei an, dass die Zustandsänderung zwischen zwei Makrozuständen eines Gleichgewichtssystems, als quasistatischer infinitesimaler (d.h. reversibler) Prozess stattfindet. Dabei definieren wir S folgendermaßen: Nach der mikroskopisch-statistischen Definition durch S = k ln P. und nach der makroskopisch-phänomenologischen Definition durch ds = dq T. Die letztere, klassische Definition besagt, dass sich der infinitesimale Unterschied der Entropie zweier benachbarter Systemzustände ds bestimmen lässt mittels der, bei einer bestimmten absoluten Temperatur T, in einem reversiblen Prozess, vom System aufgenommenen infinitesimalen Wärmeenergie dq.

49 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 49 Wir nehmen an, dass sich zum Zeitpunkt t 0 alle N Moleküle eines Gases in einer Gefäßhälfte befinden sich die Moleküle, abgesehen von Stößen an den Gefäßwänden oder bei Kollisionen der Gasteilchen, mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede beliebige Richtung des Raumes bewegen können, Wechelwirkungen nur durch diese Stöße auftreten und N hinreichend groß ist. Liegen keine weiteren Einschränkungen vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass nach einer angemessenen Zeit dieser Zustand 0 vorliegt P = 2 N. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass dann der komplementäre Zustand 1 vorliegt, etwa 2 N - mal größer als das Eintreten des Zustandes 0. Daher ist die Entropie des Zustandes 1 um etwa S = k ln 2 N = kn ln 2 höher als die für Zustand 0. Andererseits gilt für den Wärmeaustausch bei isothermer Expansion Q = νrt ln V 1 V 0 = νrt ln 2. Demnach erhalten wir, nun nach der klassischen Definition der Entropie, S = Q T = νr ln 2 = kn ln 2.

50 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Der zweite und der dritte Hauptsatz Zweiter Hauptsatz Die Entropie S erfüllt für jeden Makrozustand eines Gleichgewichtssystems die folgenden Bedingungen: Für jeden Prozess zwischen zwei Gleichgewichtszuständen eines thermisch isolierten Systems gilt: S 0. Durchläuft ein nicht-abgeschlossenes System einen quasistatischen infinitesimalen Prozess, wobei es die Wärmemenge dq aufnimmt, so gilt ds = dq T. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik schließt ein perpetuum mobile erster Art aus. Das wäre eine Maschine, die Arbeit leistet, ohne weitere Veränderungen in der Natur herbeizuführen, d.h. der Umgebung Energie zu entziehen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik schließt ein perpetuum mobile zweiter Art aus. Das wäre eine Maschine, die Arbeit leistet, indem sie als einzige Veränderung in der Natur ein Wärmereservoir abkühlt. Eine derartige Maschine könnte jede Zustandsänderung in einen reversiblen Prozess einbetten, so dass es keine irreversiblen Vorgänge gäbe. Dritter Hauptsatz Die Entropie S eines Gleichgewichtssystems hat die Grenzwerteigenschaft S S 0 für T 0. Dabei ist S 0 eine von den Systemparametern unabhängige Konstante.

51 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Wärmekraftmaschinen und Kraftwärmemaschinen Unter einem Kreisprozess verstehen wir eine Folge von Zustandsänderungen, die periodisch durchlaufen wird. Damit erhalten wir Maschinen, die eine Folge von Zustandsänderungen zyklisch durchlaufen. Zusätzlich können wir uns die Folge von Zustandsänderungen auch in umgekehrter Reihenfolge denken. Wärmekraftmaschinen wandeln Wärmeenergie in mechanische Energie um. Beispiele: Dampfmaschinen, Verbrennungsmotoren, Gas- und Dampfturbinen Kraftwärmemaschinen wandeln mechanische Energie in Wärmeenergie um. Beispiele: Kältemaschinen (Kühlschrank, Klimaanlage), Wärmepumpe Q 2 Q 2 W W Q 1 Q 1 Wärmekraftmaschine Kraftwärmemaschine Abbildung 2.16 Wärme und Arbeit Bei Wärmekraftmaschinen wird Wärme dem heißen Gas entzogen, mechanische Energie abgegeben und Wärme an das kühle Gas abgeführt.

52 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 52 Bei Kraftwärmemaschinen wird Wärme dem heißen Gas zugeführt, mechanische Energie zugeführt und Wärme dem kühlen Gas entzogen Arbeitsdiagramme Der Carnot-Kreisprozess Folge der Zustandsänderungen: isotherm, adiabatisch, isotherm, adiabatisch p V V Abbildung 2.17 Carnot-Zyklus im p-v-diagramm T S Abbildung 2.18 Carnot-Zyklus im T-S-Diagramm

53 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 53 Der Stirling-Kreisprozess Folge der Zustandsänderungen: isotherm, isochor, isotherm, isochor p V Abbildung 2.19 Stirling-Zyklus im p-v-diagramm T S Abbildung 2.20 Stirling-Zyklus im T-S-Diagramm

54 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 54 Der Otto-Kreisprozess Folge der Zustandsänderungen: adiabatisch, isochor, adiabatisch, isochor p V Abbildung 2.21 Otto-Zyklus im p-v-diagramm T S Abbildung 2.22 Otto-Zyklus im T-S-Diagramm

55 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 55 Der Diesel-Kreisprozess Folge der Zustandsänderungen: isobar, adiabatisch, isochor, adiabatisch p V Abbildung 2.23 Diesel-Zyklus im p-v-diagramm T S Abbildung 2.24 Diesel-Zyklus im T-S-Diagramm

56 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Der Wirkungsgrad von Carnot-Wärmekraftmaschinen Der Carnot-Kreisprozess p V V Abbildung 2.25 Carnot-Zyklus im p-v-diagramm Folge der Zustandsänderungen: 1.) isotherme Expansion 1 2, 2.) adiabatische Expansion 2 3, 3.) isotherme Kompression 3 4, 4.) adiabatische Kompression 4 1 isotherme Expansion 1 2 und isotherme Kompression 3 4 Die innere Energie U ist konstant, d.h. U = 0. Wärmeaustausch bei 1 2 Q = νrt 1 ln( V 2 V 1 ) und bei 3 4 Q = νrt 3 ln( V 4 V 3 ) adiabatische Expansion 2 3 und adiabatische Kompression 4 1 Die Wärmeenergie Q ist konstant, d.h. Q = 0. Mit unserer Formel für die innere Energie du = νc V dt erhalten wir daher bei 2 3: V 3 V 2 p dv = νc V (T 3 T 2 )

57 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 57 V 1 und bei 4 1: V 4 p dv = νc V (T 1 T 4 ). Um den Wirkungsgrad einer Carnot-Wärmekraftmaschine zu berechnen, bestimmen wir den Wert p dv hinsichtlich eines Carnot-Kreisprozesses. Für die beiden adiabatischen Prozesse berücksichtigen wir: Da T 2 = T 1 und T 4 = T 3 gilt, unterscheiden sich die Werte für die Volumenarbeit bei 2 3 und 4 1 nur durch das Vorzeichen und heben sich daher auf. Für die beiden isothermen Prozesse berücksichtigen wir: Sowohl T 2 = T 1 und T 4 = T 3 sind durch die Adiabatengleichung verknüpft. So gilt und daher T 1 T 4 = ( V 4 V 1 ) γ 1 = T 2 T 3 = ( V 3 V 2 ) γ 1 V 4 V 3 = V 1 V 2. Betrachten wir einen Umlauf , so erhalten für den gesamten Wärmeaustausch Q: Q = νrt 1 ln( V 2 V 1 ) + νrt 3 ln( V 4 V 3 ) = νr ln( V 2 V 1 )(T 1 T 3 ) und für die nutzbare mechanische Arbeit W Nutzen W Nutzen = νr ln( V 2 V 1 )(T 1 T 3 ). Für den Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine gilt η = W Nutzen Q Aufwand.

58 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 58 Daher erhalten wir η = νr ln( V 2 V 1 )(T 1 T 3 ) νrt 1 ln( V 2 V 1 ) = T 1 T 3 T Die Leistungszahl von Carnot-Kraftwärmemaschinen Nun betrachten wir einen Umlauf (entgegen dem Uhrzeigersinn). Hier wird die mechanische Arbeit aufgewandt, um Wärmeenergie auszutauschen. Für die Leistungszahl ɛ einer Kraftwärmemaschine gilt ɛ = Q Nutzen W Aufwand. Kältemaschinen Nutzen: Wärme, die bei der isothermen Expansion 4 3 ausgetauscht wird. Der Wärmeaustausch Q bei 4 3 beträgt Q = νrt 3 ln( V 3 V 4 ) = νrt 3 ln( V 2 V 1 ). W Aufwand für eine Carnot-Kraftwärmemaschine ist gleich dem Wert von W Nutzen für eine Carnot-Wärmekraftmaschine. Für die Leistungszahl erhalten wir daher ɛ = νrt 3 ln( V 2 V 1 ) νr ln( V 2 V 1 )(T 1 T 3 ) = T 3. T 1 T 3

59 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 59 Wärmepumpe Nutzen: Wärme, die bei der isothermen Kompression 2 1 ausgetauscht wird. Der Wärmeaustausch Q bei 2 1 beträgt Q = νrt 1 ln( V 1 V 2 ) = νrt 1 ln( V 2 V 1 ). Für die Leistungszahl erhalten wir daher ɛ = νrt 1 ln( V 2 V 1 ) νr ln( V 2 V 1 )(T 1 T 3 ) = T 1. T 1 T Reversible Kreisprozesse Wir nennen einen periodisch und reversibel arbeitenden thermischen Energiewandler, dessen Wärmeaustausch zwei Wärmereservoirs 1 und 2 nutzt Carnot-Maschine und den zyklischen Prozess von Zustandsänderungen, den die Maschine hervorruft, einen Carnot-Kreisprozess.

60 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 60 Angenommen, es gebe zwei Carnot-Wärmekraftmaschinen A und B mit η A > η B, dann könnten wir die Laufrichtung von B umkehren und B als Kältemaschine nutzen. 2 Q 2B Q 2A B W B A W A W B Q 1B Q 1A 1 Abbildung 2.26 Wirkungsgrad reversibler Kreisprozesse Bei jedem Zyklus, würde die Wärmekraftmaschine A die Wärme Q 2,A aus dem Reservoir 2 entnehmen, die Arbeit W A = η A Q 2,A verrichten und die Wärme Q 1,A an Reservoir 1 abgeben. Entsprechend würde die Kältemaschine B die Wärme Q 1,B aus dem Reservoir 1 entnehmen, die Arbeit W B nutzen und die Wärme Q 2,B = W B η 1 B an Reservoir 2 abgeben. Wir können dabei annehmen, dass Q 2,B = Q 2,A ist. Nach unserer Annahme ist η A > η B und daher wäre die Arbeit W B, die B nutzt kleiner als die Arbeit W A, die A verrichtet.

61 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 61 Damit hätten wir insgesamt Arbeit verrichtet, indem wir lediglich das Reservoir 1 abgekühlt hätten. Da das jedoch gegen den 2. Hauptsatz verstößt, muss η A = η B sein und alle Carnot-Prozesse müssen den haben. gleichen Wirkungsgrad η rev Verzichten wir lediglich auf die Eigenschaft, dass die Maschine reversibel arbeitet, so erhalten wir irreversibel arbeitende Wärmekraft- bzw. Kraftwärmemaschinen C. Wir nehmen an, dass η C > η rev. Ist C eine Wärmekraftmaschine, so können wir die Annahme wie oben zum Widerspruch führen. Ist C eine Kraftwärmemaschine, so könnten wir A und C zusammenschalten, um eine Maschine zu erhalten, die insgesamt zwar keine Arbeit verrichtet, aber ständig Wärme vom kalten zum warmen Speicher transportiert. Das widerspricht allerdings dem 2. Hauptsatz. 2 Q 2A Q 2C>Q 2A A W A=W C C Q 1A Q 1C>Q 1A 1 Abbildung 2.27 Kreisprozesse Wirkungsgrad irreversibler

62 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 62 Da die Konstruktion der Maschine unabhängig vom Verlauf des Prozesses und der Arbeitssubstanz ist, können wir als Beispiel für den auch den Kreisprozess einer allgemeinen Carnot-Maschine speziellen Carnot-Kreisprozess, bestehend aus zwei adiabatischen und zwei isothermen Prozessen, heranziehen, um η rev zu bestimmen.

63 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Stromerzeugung Strom wird vorwiegend durch Generatoren erzeugt. Das wird auch in folgender Unterscheidung der Stromerzeugnung nach Technischen Anlagen deutlich: Atomkraft Biomasse Braunkohle Erdgas Erdöl Geothermie Photovoltaik Solarthermie Steinkohle Wasserkraft Windkraft Eine Beschreibung eines Drehspulgenerators findet sich beispielsweise in meinem Vorlesungsskript Physik und Elektrotechnik 1.

64 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 64 Drehstrom Unter einem Dreiphasen- oder Drehstromsystem verstehen wir einen Generator, der mit drei um 2π 3 versetzen Spulen Wechselspannungen, die sich nur durch ihren zeitlichen Abstand T 3 unterscheiden, erzeugt. U U 0 0 T 2 T 3 2 T 2T t U 0 Abbildung 2.28 Zeitlich versetzte Wechselspannungen Eine Sternschaltung weist drei Außenleiter R, S, T, einen Mittelpunkts- oder Nullleiter M und, in der Praxis, eine Erdleitung auf. R Z 1 S Z 2 Z 3 T M Abbildung 2.29 Drehstromverbindung mit Sternschaltung

65 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 65 Bei einer Dreieckschaltung stehen drei Außenleiter R, S, T und, in der Praxis, eine Erdleitung zur Verfügung. R Z 1 S Z 3 Z 2 T Abbildung 2.30 Drehstromverbindung mit Dreieckschaltung Die Spannungen U RS, U ST und U T R der Sternschaltung lassen sich mit Hilfe eines Spannungsdreiecks aus den Spannungen U R, U S und U T bestimmen. Dabei gilt ( U R, U S ) = ( U S, U T ) = ( U T, U R ) = 2π 3 und für das symmetrische System U R = U S = U T =: U. R U RS U R S U S U TR U T U ST T Abbildung 2.31 Spannungsdreieck einer Sternschaltung Demnach erhalten wir U RS = U ST = U T R = 2U cos π 3 = U 3.

66 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 66 3 Elektromagnetische Wellen 3.1 Das Spektrum elektromagnetischer Wellen Zu den elektromagnetischen Wellen gehören beispielsweise Funkwellen, die Infrarot-Strahlung, das sichtbare Licht, die Ultraviolett-Strahlung, die Röntgenstrahlung und die γ-strahlung. Radiowellen Mikrowellen sichtbares Infrarotstrahlung Licht UV- Röntgenstahlung Strahlung Gammastahlung ν s 1 λ m Abbildung 3.1 Das elektromagnetische Spektrum Für Frequenz und Wellenlänge gilt λν = c. Abhängig vom Frequenzbereich gibt es folgende Quellen und Nachweismöglichkeiten: Funkwellen IR, sichtbares Licht sichtbares Licht, UV Röntgenstrahlung γ-strahlung elektronische Schaltungen, Antennen Temperaturstrahlung, Lumineszenz elektronische Übergänge in Atomen beschleunigte Elektronen Kernprozesse

67 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 67 Harmonische ebene Wellen Eine ebene Welle wird als harmonisch bezeichnet, wenn die Bewegungsgleichung die Form u(x, t) = u 0 sin(ω(t x c ) + ϕ 0) besitzt. Für die Periodendauer T gilt daher T = 2π ω = 1 ν. Die kleinste Entfernung zweier Ebenen, die sich zur gleichen Zeit in der gleichen Phase befinden, wird als Wellenlänge λ bezeichnet. Mit der Phasengeschwindigkeit c erhalten wir λ = ct = c 1 ν. u(x,t 0 ) c Δ t t 0 =0 t 0 =Δ t x λ u(x, T 2 ) x u(x,t ) x Abbildung 3.2 Die Ausbreitung einer harmonischen Welle Die Phase ω(t x c ) + ϕ 0 lässt sich mit Hilfe der Wellenzahl k = 2π λ = ω c umformulieren. Daher können wir ebene Wellen u(x, t) = u 0 sin(ω(t x c ) + ϕ 0) = u 0 sin(2π( t T x λ ) + ϕ 0)

68 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 68 auch folgendermaßen schreiben u(x, t) = u 0 sin(ωt kx + ϕ 0 ). In der üblichen komplexen Darstellung erhalten wir z(x, t) = u 0 e i(ωt kx+ϕ0) = z 0 e i(ωt kx), wobei z 0 = u 0 e iϕ 0 die komplexe Amplitude dieser ebenen Welle ist.

69 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Die Maxwell-Gleichungen Die Maxwellschen Feldgleichungen bestehen aus den Gesetzen von Coulomb div D = ρ, Ampère-Maxwell Faraday rot H = D t + j, rot E = B t und dem Gesetz von der Divergenzfreiheit des B-Feldes div B = 0, Für ein beschränktes Gebiet im R 3 mit einer endlichen Anzahl von Zusammenhangskomponenten und geeignetem Rand S lassen sich diese Gleichungen auch in integraler Form angeben: D d a = Q, S C H d s = t S E d s = t D d a + I, B d a, C S B d a = 0. S

70 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 70 Der Verschiebungsstrom Maxwell ergänzte Ampères Gesetz um den Verschiebungsstrom. Die Veschiebungsstromdichte beträgt j v = D t. Damit wurde die Ampèresche Gleichung rot H = j mit der Leitungsstromdichte j um die Verschiebungsstromdichte ergänzt. Diese Gleichung lautet rot H = j v + j. Betrachten wir Lade- und Entladevorgänge eines Kondensators, so zeigt sich, dass Maxwells Verschiebungsstrom durch eine zeitliche Änderung des elektrischen Feldes bewirkt und, ebenso wie ein Leitungsstrom, Ursache eines Magnetfeldes ist. Die Maxwellschen Gleichungen zeigen, dass ein zeitlich variierendes elektrisches Feld ein magnetisches Wirbelfeld erzeugt und ein zeitlich variierendes Magnetfeld ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt. 3.3 Elektromagnetische Wellen Setzen wir voraus, dass ρ = 0 und j = 0 und ɛ und µ räumlich konstant sind, so nehmen die Maxwell Gleichungen folgende Gestalt an div E = 0, rot E + B t = 0, divb = 0, roth D t = 0. Zusätzlich gilt in linearen, isotropen Medien und D = ɛɛ 0 E B = µµ 0 H.

71 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 71 Sind E und B hinreichend differenzierbar, so können wir den div-operator auf die beiden rot- Gleichungen anwenden und die Eigenschaft u = grad div u rot rot u nutzen. Damit erhalten wir die Wellengleichungen und E c 2 2 E t 2 = 0 wobei B c 2 2 B t 2 = 0, c = 1 ɛɛ0 µµ 0 die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Nehmen wir an, dass das Gebiet, in dem sich die elektromagnetische Welle ausbreitet, in jeder Richtung unbegrenzt ist, so können wir von Randwerten an die Felder absehen. Lassen wir auch Anfangswerte außer Acht, so erhalten wir als Lösungen des Problems die harmonischen Wellenfunktionen und E( r, t) = E 0 e i( k r ωt) B( r, t) = B 0 e i( k r ωt). Dabei ist k der Wellenzahlvektor mit k = 2π λ und k weist in Richtung der Wellenausbreitung.

72 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 72 Betrachten wir die Felder komponentenweise, so können wir die Ausbreitung einer ebenen linear polarisierten Welle und die zugehörige Oszillation der Felder folgendermaßen darstellen: z k x B E y Abbildung 3.3 Linear polarisierte elektromagnetische Welle Die ebene harmonische elektromagnetische Welle soll sich in x-richtung ausbreiten und das elektrische Feld die Form besitzen. E = E 0 sin(ωt kx) = E 0 sin(ω(t x c )) Die Änderung des elektrischen Feldes verursacht ein Magnetfeld B, das sich ebenfalls harmonisch in Abhängigkeit von t x c ändert. Die Änderung dieses Magnetfeldes ruft wiederum ein elektrisches Feld hervor. Nach den Maxwellschen Gleichungen zeigt sich: Elektromagnetische Wellen sind transversal, da im ladungfreien Raum keine Feldquellen oder -senken existieren. Die Felder E und B sind zueinander orthogonal, da der Verschiebungsstrom maximal in einem geeignet gewählten Stromkreis ist, wenn dieser senkrecht zu E steht und dann, wegen H d s = D d a, t C auch H maximal sein muss. S E und H sind in Phase, da der Verschiebungsstrom maximal in einem geeignet gewählten Stromkreis ist, wenn er von einem Maximum von E bis zum nächsten Minimum von E reicht.

73 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 73 Zwischen den Amplituden des E-Feldes und des H-Feldes besteht folgender Zusammenhang: H 0 = ɛɛ 0 c E 0 E 0 = µµ 0 c H 0. und Im Vakuum breiten sich elektromagnetische Wellen mit der Geschwindigkeit aus. c 0 = 1 ɛ0 µ 0 = m s In Materie beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = c 0 ɛµ. Im Falle von µ = 1 erhalten wir die Maxwell-Relation n = c 0 c = ɛ. Während sich bei linear polarisierten elektromagnetischen Wellen die Schwingungsrichtung von E und B nicht verändert, dreht sich die jeweilige Schwingungsrichtung bei elliptisch und zirkular polarisierten Wellen. z z E 0 x y k E 0 y Abbildung 3.4 E 0 für eine elliptisch polarisierte Welle

74 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg 74 In natürlichem Licht, wie es beispielsweise ein glühender Körper aussendet, sind die verschiedenen Polarisationsrichtungen regellos vertreten und das Licht wird als unpolarisiert bezeichnet, sind die Wellenzüge nicht kohärent und das Licht enthält viele regellos und rasch aufeinanderfolgende Wellengruppen, da an der Emission eine große Zahl von Atomen beteiligt ist und die Emissionsdauer sehr kurz ist. Zwei harmonische Wellen gleicher Frequenz und gleicher Wellenlänge werden als kohärent bezeichnet, wenn die Differenz ihrer Phasenkonstanten (Nullphasen) konstant ist. Die Kohärenzlänge zweier bis auf die Nullphase gleicher Wellenzüge ist mit der Länge dieser Wellenzüge identisch. Jedoch liegt die mittlere Dauer der Lichtemission bei isolierten Aromen im Bereich 10 8 s, so dass die Kohärenlänge des natürlichen Lichts wenige Meter beträgt. 3.4 Energiedichte und Energiestrom Mit Hilfe des Ampère-Maxwell-Gesetzes lässt sich folgende Kontinuitätsgleichung für die Energie herleiten: w t + div S = j E. Dabei wird die Energiedichte des Elektromagnetischen Feldes definiert durch w = 1 2 ( E D + B H) der Poynting-Vektor definiert durch S = E H und das Gebietsintegral von j E als mechanische Leistung verstanden. Eine ebene, ungedämpfte Welle hat die Energiedichte w = 1 2 (ED + HB) = ɛɛ 0E 2 = µµ 0 H 2 und die Energiestromdichte S = S = EH = cw. Die Intensität I ist der Zeitmittelwert von S, d.h. I = c w = c 1 T T w(t) dt = 1 2 c ɛɛ 0E 2 0 = 1 2 c µµ 0H

75 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg Der lineare Oszillator Der Hertzsche Oszillator Denken wir uns einen Schwingkreis, dessen Kapazität und Induktivität durch einen linienförmigen Leitungsdraht gegeben sind, so erhalten wir einen linearen oder Hertzschen Oszillator. Der umgebende Raum soll ein Vakuum sein. Abbildung 3.5 Schwingkreis und Hertzscher Oszillator Strom- und Spannungsverteilung oszillieren, wobei der Phasenabstand beider Schwingungen, bei rein induktivem Widerstand, π 2 beträgt. t=0 I U t= 1 4 T t= 1 2 T t= 3 4 T t=t λ 2 Abbildung 3.6 Stromstärke und Spannung des Hertzschen Oszillators Im linearen Oszillator bildet sich eine stehende Welle des elektrischen Feldes, deren Wellenlänge doppelt so lang wie der Stab ist. Diese lässt sich als Überlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude und der Lichtgeschwindigkeit c = m als Phasengeschwindigkeit verstehen. s