Selbständiges Arbeiten. Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra. Klasse 6bw. Okt / R. Balestra

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1 Selbständiges Arbeiten Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra Klasse 6bw Okt / R. Balestra

2 Inhaltsverzeichnis 1 Ziel 2 2 freeware GeoGebra - Der Download 3 3 Die Eingabe von Funktionen Bearbeitungsmöglichkeiten Erste hilfreiche Befehle Der Schieberegler 8 5 Das graphische Lösen von Gleichungen 10 6 Schnittwinkelprobleme 11 7 Das Ableiten von Funktionen 12 8 Taylorentwicklung 13 1

3 1 Ziel Das Ziel dieser Unterlagen ist ein selbständiges Kennenlernen der Einsatzmöglichkeiten von GeoGebra im Bereich der Analysis zu begleiten. Wir werden uns daher nur auf einen kleinen Anwendungsbereich von GeoGebra beschränken und insbesondere den Geometrieteil weitgehend auslassen. Um eine Vertrautheit im Umgang mit GeoGebra zu erlangen wird wie bei jeder anderen software gleich vorgegangen: ausprobieren, ausprobieren, ausprob... Ein grosser Vorteil von GeoGebra ist, dass es keine Programmierkenntnisse braucht, weitgehend selbsterklärend aufgebaut ist um mit einer guten Hilfe ausgestattet ist. Demenstprechend sind diese Unterlagen so aufgebaut, dass auf Anwendungsmöglichkeit hingewiesen wird und durch angepasste Aufgabenstellungen diese Möglichkeiten ausprobiert und zur Anwendung gebracht werden. Die Schwerpunkte sind: Graphische Darstellung von Funktionen Teile der Kurvendiskussionen Schnittwinkelprobleme Ableiten von Funktionen Taylorentwicklung 2

4 2 freeware GeoGebra - Der Download GeoGebra ist eine kostenlose dynamische Mathematiksoftware, die für SchülerInnen aller Altersklassen geeignet ist und auf allen Betriebssystemen läuft. GeoGebra verbindet Geomterie, Algebra, Tabellen, Zeichnungen, Statistik und Analysis in einem einfach zu bedienenden Softwarepaket, das bereits mehrere Bildungssoftwarepreise in Europa und den USA gewonnen hat. Zu finden ist GeoGebra unter wo es auch für den freien Download zur Verfügung gestellt wird. GeoGebra Home Info WebStart Download Hilfe Screenshots Beispiele Zukunft Nachspann Kontakt Unterstützen Sie GeoGebra! GeoGebraWiki Benutzerforum Willkommen bei GeoGebra! GeoGebra ist freie und plattformunabhängige Software, mit der sich Mathematik von der Grundschule bis zur Universität entdecken lässt. GeoGebra received the prestigious Tech Award 2009 in Silicon Valley! GeoGebra 3.2 mit Tabellenkalkulation ist da! Als Download oder Webstart mit vielen neuen Funktionen. International GeoGebra Institute - be part of a worldwide community! Adresse: Was ist GeoGebra? Siehe Info. Wie sieht GeoGebra aus? Siehe Screenshots und Beispiele. Was kann man mit GeoGebra machen? Siehe Hilfe und GeoGebraWiki. Wo bekomme ich GeoGebra? Siehe WebStart und Download. Was ist neu in der aktuellen Version und was kommt in den nächsten? Siehe Zukunft. Wenn Sie Fragen oder Anregungen zu GeoGebra haben, besuchen Sie bitte das GeoGebra Benutzerforum. GeoGebraWiki ist ein freier Pool von Unterrichtsmaterialien zu GeoGebra. Jeder kann dort eigene Materialien beitragen und hochladen. GeoGebra :12:25 3

5 3 Die Eingabe von Funktionen Die Startseite von GeoGebra: In der Eingabezeile können die Funktionen direkt als Funktionsgleichung eingegeben werden: f(x) = (x + 2)(x 2 4) g(x) = 0.5x Macht euch mit der Menuleiste vertraut, insbesondere mit dem ersten und letzten Button. 4

6 3.1 Bearbeitungsmöglichkeiten Probiert die folgenden Bearbeitungsmöglichkeiten selber aus... unter Bearbeiten - Eigenschaften... unter Einstellungen - Zeichenblatt/ Schriftgrösse... auf der Menuleiste - Texteingabe... und bearbeitet die folgende Aufgaben: Aufgaben : Wir betrachten die folgenden Funktionen: f(x) = x, g(x) = e x, h(x) = x 2 + 2x + 8 Stelle die Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch dar, dabei sollen folgende Einstellungen vorgenommen werden: Alle Graphen sollen die gleiche Linienstärke 5 und aber verschiedene Linienarten haben, Der Graph von f(x) soll blau und in der gleichen Farbe fett und kursiv mit graph(f) beschrieben sein, Das gleiche für den Graphen von g(x) in violett und den Graphen von h(x) in grün, Die Achsen sind anzuschreiben und die Einheiten in einem Abstand von 2 zu setzen, Das Koordinatengitter mit einem Abstand von 2 in x Richtung und 1 in y Richtung soll sichtbar sein, Die Funktionsgleichungen aller Funktionen sollen in der Darstellung vorkommen. 5

7 3.2 Erste hilfreiche Befehle Zuerst eine kurze Information: Das offizielle Handbuch 3.2 zur GeoGebra Hilfe ist als Link auf der GeoGebra - site zu finden, direkt unter oder mit dem Hilfe Button in der Menuleiste Nun zu einigen hilfreichen Befehlen, welche direkt auf der Startseite angewendet werden können, jeweils durch eine passende Eingabe in der Eingabezeile: Berechnet werden... die Funktionswerte durch die direkte Eingabe von z.b. f(4)... die Nullstellen durch den Befehl NULLSTELLE[FUNKTIONSNAME]... die Schnittpunkte durch den Befehl SCHNEIDE[FUNKTIONSNAME,FUNKTIONSNAME] oder mit Hilfe des 2. Button: Schneide zwei Objekte und dann mit dem Cursor beide Graphen anklicken.... die Extremas durch den Befehl EXTREMUM[FUNKTIONSNAME] Beachte: Dieser Befehl funktioniert nicht bei jedem Funktionstyp Um für Funktionswerte die zugehörigen Stellen zufinden, gibt es keinen direkten Befehl, aber GeoGebra kann uns helfen: Wir geben zuerst den zu untersuchenden Funktionswert als eine Gerade ein z.b.: y=5 und schneiden diese mit der zu untersuchenden Funktion. In den Schnittpunkten finden wir die gesuchten Informationen. 6

8 Aufgaben : Stelle die folgenden Funktionen graphisch dar: f(x) = x x 3 4.5x 2 2x + 2 g(x) = 0.5x und bestimme weiter (auf 3 Kommastellen genau) 1. die Schnittpunkte von f mit g: 2. die Nullstellen von f: 3. den Achsenabschnitt von g: 4. die folgenden Funktionswerte: f(2) =..., f( 1.5) =..., f(3) =... g(2) =..., g( 4) =..., g(0) = die lokalen Extremas von f(x): 6. die Stellen, an welcher g(x) ein Minimum hat, 7. die Stellen, an welchen f(x) den Wert -1 hat. 8. Probiere alle dir bekannten Funktionstypen aus, um herauszufinden, bei welchen der Befehl EXTREMUM nicht wirkt. 7

9 4 Der Schieberegler Um den Einfuss von Parametern (sog. Formvariablen) auf den Graphen zu untersuchen, gibt es bei GeoGebra den praktischen Schieberegler, welchen wir an einem und schon bekannten Beispiel einführen werden: mit a = Steigung b = Achsenabschnitt f(x) = ax + b 8

10 Die Definition eines Schiebereglers erfolgt wie folgt: 1. Eingabe des Parameters mit einem beliebigen Wert: a = 1 2. Eingabe der Funktion mit Parameter: f(x) = a x Sichtbarmachen: Bearbeiten Zahl a Grundeinstellungen / Schieberegler... Aufgaben : Untersuche und beschreibe mit Hilfe des Schiebereglers den Einfluss der Parameter auf die folgenden Funktionstypen: (Stelle die Grundfunktion auch jeweils graphisch dar und arbeite zur besseren Übersicht mit unterschiedlichen Farben.) 1. f(x) = x 2 mit g(x) = a x 2 h(x) = x 2 + n i(x) = (x m) 2 2. j(x) = sin x mit k(x) = a sin x l(x) = sin(b x) m(x) = sin(x + c) 3. i(x) = a b x 9

11 5 Das graphische Lösen von Gleichungen Für das graphische Lösen von Gleichungen ist der folgende mathematische Hintergrund wichtig: Die Lösungen einer Gleichung entsprechen den Nullstellen der zugehörigen Funktionsgleichung. Das graphische Lösen von Gleichungen hat seine Berechtigung aus der Eigenschaft, dass es für beliebige Gleichungen 5. und höherer Ordnung keine exakten Lösungsformeln gibt. D.h., dass wir unsere Gleichungen nach 0 auflösen und von den zugehörigen Funktionen nur noch die Nullstellen bestimmen müssen. Aufgaben : Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen: 1. x 2 + 3x = 4 x 2 + 3x 4 = x 2 + 2x + 1 = 0... oder dass wir beide Seiten der Gleichung als Funktionen eingeben und diese schneiden x 2 3x + 4 = 2x (x + 2)(x 1) 3 = (x + 2)(x 1) 3 = x 5 0.3x 4 0.6x 3 + x x = x Noch eine Aufgabe, die mit Hilfe des Schiebereglers ungefähr gelöst werden kann: Bestimme den Parameter p so, dass die folgende Gleichung x 2 + x + p = 0 (a) keine, (b) genau eine, (c) zwei Lösung(en) hat. 10

12 6 Schnittwinkelprobleme Wie wir wissen bestimmt der Winkel zwischen den Tangenten an die Graphen im Schnittpunkt den Winkel zwischen den Funktionen in diesem Schnittpunkt. Diese Tangenten lassen sich durch GeoGebra einfach konstruieren und analytisch bestimmen. Wir verwenden die folgenden Funktionen: f(x) = (x + 2)(x 2 4) g(x) = 0.5x Zuerst müssen wir den Schnittpunkt bestimmen und können anschliessend die Tangenten wie folgt bestimmen lassen: TANGENTE[SCHNITTPUNKT,FUNKTIONSNAME] Einerseits wird die Tangente graphisch dargestellt, andererseits lässt sich die zugehörige Funktionsgleichung auch ablesen. Wie definieren nun auf jeder Tangente einen weiteren Punkt (2.ter Button von links) wählen den Befehl Winkel (4.ter Button von rechts) aus und klicken mit dem Cursor die drei Punkte an und erhalten so den Winkel zwischen den Tangenten und somit auch den Schnittwinkel. Aufgaben : Bestimme alle Schnittwinkel von f und g 11

13 7 Das Ableiten von Funktionen Der Befehl für das Ableiten einer Funktion ist ABLEITUNG[FUNKTIONSNAME] Das Resultat ist sowohl graphisch als auch analytisch die Steigungsfunktion mit den Namen.... Diese Bezeichnung lässt sich später auch weiterverwenden. Wenn der Name der Funktion h ist, so liefert die Ableitung die Funktion mit dem Namen h (x) und für die Steigung von h an der Stelle 3 genügt nun die Eingabe h (3) für die Bestimmung möglicher Extremalstellen bestimmen wir die Nullstellen von h, für die Bestimmung möglicher Wendepunkte leiten wir h ein zweites mal ab und erhalten h (x) =... ABLEITUNG[h ] Aufgaben : Wir verwenden wieder unsere Beispiele f(x) = (x + 2)(x 2 4) g(x) = 0.5x Kontrolliert die Steigungen der Tangenten (aus dem vorherigen Abschnitt) mit Hilfe der Ableitungen, bestimmt die Extremalstellen und Wendepunkte von f und g, kontrolliert die ES und WP mit den Befehlen EXTREMUM[FUNKTIONSNAME] WENDEPUNKT[FUNKTIONSNAME] Untersucht, ob der Befehl zru Betsimmung der Wendepunkte für alle Funktionstypen geht. 12

14 8 Taylorentwicklung In der Theorie haben wir uns unter anderem auch mit der Reihenentwicklung von f(x) = 1 1 x beschäftigt. Anhand diese Beispiels wollen wir die Einsatzmöglichkeit von GeoGebra besprechen. Der Befehl lautet sinnvollerweise TAYLORPOLYNOM[FUNKTIONSNAME,ENTWICKLUNGSZENTRUM, GRAD] Unter FUNKTIONSNAME kann eine vorher definierte Funktion eingegeben werden oder direkt die Funktionsgleichung, das ENTWICKLUNGSZENTRUM gibt an, an welcher Stellen die Funktion in ein Polynom entwickelt werden soll, der GRAD gib an, welchen Grad das Taylorpolynom schlussendlich haben soll. (Achtung: zu hohe Grade kann GeoGebra wegen zu grossem Rechenaufwand nicht berechnen.) Das Resultat ist wieder die graphische und analytische Darstellung. Mit Hilfe des Schiebereglers lässt sich die Näherungseigenschaft gut visualisieren: Eingaben: f(x) = 1 1 x n = 1 Unter Berabeiten - Eigenschaften - Zahl - n lässt sich der Schieberegler einstellen: min = 0, max = 10, Schrittlänge = 1 Grundeinstellung: Objekt anzeigen, Beschriftung anzeigen TALORPOLYNOM[F,0,n] 13

15 Durch Verschieben des Schiebereglers kann mit steigendem Grad eine immer bessere Approximation festgestellt werden. Warum aber nur über dem Intervall ] 1, 1[? Für eine Approximation an der Stelle 2 müssen wir das Entwicklungszentrum neu wählen: TAYLORPOLYNOM[f,2,n] Warum können wir nicht um das Zentrum 1 herum entwickeln? Aufgaben : Untersuche die Reihenentwicklungen von e x, sin x und cos x Entwickle f(x) = 1 x 2 in ein MacLaurinsche Reihe und bestimme mit Hilfe der Reihenentwicklung den Wert von f an der Stelle 2.5 auf 3 Kommastellen genau? Warum stimmt der Wert nicht? 14

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