Zusammenfassung der 6. Vorlesung

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1 Zusammenfassung der 6. Vorlesung w-transformation Die w-transformationbildet das Innere des Einheitskreises der z-ebene in die linke w-ebene ab. z 1 w= z+1, bzw. z= 1+w 1 w Nach Anwendung der w-transformationist z.b. wieder eine Stabilitätsprüfung mit Hilfe des Hurwitzkriteriums möglich.

2 Zusammenfassung der 6. Vorlesung Zeitdiskretes Zustandsraummodell Zustandsdifferenzengleichung, algebraische Ausgangsgleichung. Blockschaltbild. Zustandsmodell aus Übertragungsverhalten. Lösung der Zustandsgleichung. - Transitionsmatrix. - Bewegungsgleichung. Zusammenhang: Gewichtsfolge / Zustandsmodell.

3 Zusammenfassung der 6. Vorlesung Äquivalentes zeitdiskretes Zustandsmodell A T d = e A b d T = A 0 τ τ ' e b d ' c c T = d T d = d d Abtastzeit

4 Steuerbarkeit zeitdiskreter Systeme Erreichbarkeit Steuerbarkeit

5 Steuerbarkeit zeitdiskreter Systeme (2) Steuer- und Erreichbarkeit kontinuierlicher Systeme strebt für stabile Systeme nur asymptotisch gegen Null.

6 Steuerbarkeit zeitdiskreter Systeme (3) Steuer- und Erreichbarkeit kontinuierlicher Systeme Steuerbarkeit impliziert Erreichbarkeit, da Φ(t e ) immer invertierbarist.

7 Steuerbarkeit zeitdiskreter Systeme (4) Erreichbarkeitskriterium von Kalman Beweis: x( k+ 1) = Ax( k) + bu( k) k=0: k=1: k=2: x(1) = bu(0) x(2) = Ax(1) + bu(1) = Abu(0) + bu(1) x(3) = Ax(2) + bu(2) 2 = + + Abu(0) Abu(1) bu(2) x A b A b b 1 2 ( ) k k k = u(0) + u(1) u( k 1) x(k) = A k 1 b A k 2 b b u(0) u(1). u(k 1) Kann nur nach uaufgelöst werden, wenn Q s invertierbar ist.

8 Steuerbarkeit zeitdiskreter Systeme (5) Erreichbarkeitskriterium von Kalman Dieses Kriterium ist zwar hinreichend für die Steuerbarkeit eines zeitdiskreten Systems aber nicht notwendig! Beispiel: k=0: k=1: für beliebige Anfangswerte

9 Steuerbarkeit zeitdiskreter Systeme (6) Ein nichterreichbares aber steuerbares zeitdiskretes System kann immer in 2 Teilsysteme aufgeteilt werden: Einen erreichbaren Teil, dessen Zustandsvektor mit Hilfe von u(t) in den Ursprung überführt werden kann. Einen nichterreichbarenteil mit Eigenwerten bei Null, dessen Zustand von alleine in wenigen Schritten in den Ursprung geht. nicht erreichbar Beispiel: k=0 u(k) = {

10 Steuerbarkeit zeitdiskreter Systeme (7) Steuerbarkeitskriterium

11 Beobachtbarkeit zeitdiskreter Systeme Bei zeitdiskreten Systemen muß man auch zwischen Beobachtbarkeit und Rekonstruierbarkeit unterscheiden: Beobachtbarkeit Rekonstruierbarkeit

12 Beobachtbarkeit zeitdiskreter Systeme (2) Beobachtbarkeitskriterium von Kalman Dieses Kriterium ist zwar hinreichend für die Rekonstruierbarkeit eines zeitdiskreten Systems aber nicht notwendig! Beispiel: nicht beobachtbar nicht beobachtbar aber nur von u(k) abhängig!! y(k)

13 Beobachtbarkeit zeitdiskreter Systeme (3) Rekonstruierbarkeitskriterium Fragestellung Kann die Steuer-und Beobachtbarkeit durch Abtastung verloren gehen? Antwort: Ja!!!

14 Beobachtbarkeit zeitdiskreter Systeme (4) Steuer- und Beobachtbarkeit des kontinuierlichen und des zeitdiskreten Systems Das zeitdiskrete System (A d,b d,c d ), das aus dem kontinuierlichen System (A, b, c) durch Abtastung mit der Abtastzeit T entsteht, ist genau dann vollständig steuer- und beobachtbar wenn das kontinuierliche System (A, b, c) vollständig steuer- und beobachtbar ist und wenn für zwei verschiedene Eigenwerte λ i und λ j (λ i λ j ) der Matrix A die Bedingung erfüllt ist. e λ it = e λ j T

15 Beobachtbarkeit zeitdiskreter Systeme (5) Steuer- und Beobachtbarkeit des kontinuierlichen und des zeitdiskreten Systems Beispiel: Das kontinuierliche System ist beobachtbar für λ 1 = λ 2 Das zeitdiskrete System ist beobachtbar für e λ 1T = e λ 2 T

16 Beobachtbarkeit zeitdiskreter Systeme (6) Steuer- und Beobachtbarkeit des kontinuierlichen und des zeitdiskreten Systems kann für verschiedene λ 1 und λ 2 nur für 2 komplexe Eigenwerte der kontinuierlichen Matrix A auftreten, die folgende Bedingungen erfüllen: T darf nicht so gewählt werden, daß diese Gl. erfüllt ist!!!! stellt Steuer- und Beobachtbarkeit des diskreten Systems sicher.