Der Kapitalwert einer Investition

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1 Der Kapitalwert einer Investition Grundlagen Aufstellung vollständiger Finanzpläne Der finanzielle Nutzen, den ein Wirtschaftssubjekt aus einem Investitionsobjekt zieht, kann in möglichst hohen Entnahmen ( Einkommensstreben ) oder einem möglichst hohen Vermögensendwert ( Vermögensstreben ) bestehen (Schneider 1992, S. 65 ff.). Zum Vorteilsvergleich von Investitionsvorhaben muss eine dieser Zielgrößen exogen festgelegt, die andere maximiert werden. Beispiel Es soll zunächst ein einfaches Beispiel betrachtet werden, dem folgende Prämissen zugrunde liegen: Vorhandenes Anfangsvermögen (Zahlungsmittelbestand): GE, Zielgröße sei der Vermögensendwert in t 3, keine Entnahmen vor t 3, der Investor habe in t 0 zwei voneinander unabhängige Investitionsmöglichkeiten mit den geschätzten Zahlungsreihen: I 1 :f 1:000 0 ; ; ; g, I 2 : ; ; g. Ist das Anfangsvermögen auf GE beschränkt, und hat der Investor keine anderweitigen Möglichkeiten der Kapitalbeschaffung, sind für ihn beide Objekte nicht Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 W. Busse von Colbe, G. Laßmann, F. Witte, Investitionstheorie und Investitionsrechnung, DOI / _2 51

2 52 2 Der Kapitalwert einer Investition gleichzeitig durchführbar. Um zu einer Entscheidung im Sinne seiner Zielgröße zu gelangen, sind Zusatzinformationen über Ergänzungsinvestitionen notwendig, und zwar über die Verwendung der in t 0 bei I 2 nicht gebrauchten Mittel in Höhe von 150 GE, der während der Laufzeit beider Investitionen erzielten Einzahlungsüberschüsse, der aus I 2 erzielten Mittel in der Periode 3. Dem Investor mögen als Ergänzungsinvestitionen zur Verfügung stehen: in t 0 bis t 3 Anlage als Festgeld zu 10 % p. a. (Laufzeit 1 Jahr), in t 1 eine Sachinvestition mit folgender Zahlungsreihe: I 3 :f ; ; g, in t 2 eine Sachinvestition mit folgender Zahlungsreihe: I 4 :f ; g. Zur Entscheidungsfindung ist es sinnvoll, vollständige Finanzpläne derart aufzustellen, dass in t 0 bis t 2 keine Geldeinheiten übrig bleiben, also keine Kassenhaltung besteht. Für den Investor ergeben sich folgende Alternativen, die etwas näher betrachtet werden sollen: Tab. 2.1 Alternative 1: I 1 mit Festgeldanlage Investition , , , ,00 Festgeld (10%) -500, ,00 Festgeld (10%) , ,00 Endvermögen +0,00 +0,00 +0, ,00 Die obenstehende Tab. 2.1 beinhaltet die einzelnen Zahlungsreihen der Investition 1 sowie der beiden Festgeldanlagen. In t 0 beträgt das Anfangsvermögen C1:000 GE. Durch die Anschaffungsauszahlung der Investition 1 ( 1:000 GE) ist der Zahlungsmittelbestand (am Ende der Periode) Null. In t 1 entstehen durch die Investition 1 Einzahlungsüberschüsse in Höhe von 500 GE, die in der aktuellen Periode als Festgeld ( 500 GE) angelegt werden, sodass der Zahlungsmittelbestand am Ende der Periode wieder Null ist. In der Periode t 2 fließt aus der Investition 1 erneut ein Einzahlungsüberschuss in Höhe von C500 GE. Aus der ersten Festgeldanlage ergibt sich ein Rückfluss in Höhe von +550 GE, sodass in t 2 die Rückflüsse wieder als Festgeld angelegt werden ( 1:050 GE). Auch in der Periode t 3 entstehen Einzahlungsüberschüsse aus der Investition 1 in Höhe von 500 GE, die zusammen mit dem Rückfluss aus der zweiten Festgeldanlage das Endvermögen (C1:655 GE) ergeben. Damit sind die beiden Forderungen erfüllt, dass keine Entnahmen vor t 3 erfolgen sollen und dass die Zielgröße der

3 2.1 Grundlagen 53 Tab. 2.2 Alternative 2: I 1 mit I 3 und Festgeldanlage Tab. 2.3 Alternative 3: I 1 mit I 4 und Festgeldanlage Investition , , , ,00 Investition 3-500, , ,00 Festgeld (10%) -800, ,00 Endvermögen +0,00 +0,00 +0, ,00 Investition , , , ,00 Festgeld (10%) -500, ,00 Investition 4-850, ,00 Festgeld (10%) -200, ,00 Endvermögen +0,00 +0,00 +0, ,00 Vermögensendwert in t 3 sei. Die folgenden Tabellen (Tab. 2.2 bis 2.7) enthalten alle anderen möglichen Kombinationen aus den Investitionen 1 bis 4 und der Festgeldanlage und weisen das jeweils realisierte Endvermögen aus. Eine Kombination von I 1 mit I 3 und I 4 ist für den Investor nicht realisierbar, da die Aufnahme zusätzlicher Gelder ausgeschlossen war. Zur Durchführung von I 4 benötigte der Investor in t GE, seine liquiden Mittel betragen demgegenüber aus den Einzahlungsüberschüssen von I 1 und I 3 in t 2 nur 800 GE. Aufgrund der vollständigen Finanzpläne erweist sich Alternative 2 mit einem Vermögensendwert von GE als die vorteilhafteste Strategie. Man kann nun die Vermögensendwerte durch Abzinsung um drei Jahre auch auf den Zeitpunkt t 0 beziehen. Man bezeichnet die Größen dann nach Abzug der Investitionsausgabe in t 0 von GE auch als Kapitalwerte. An der Reihenfolge der Vorteilhaftigkeit ändert sich durch die Abzinsung nichts, weil alle Endwerte mit demselben Tab. 2.4 Alternative 4: I 2 mit Festgeldanlage Investition 2-850, , ,00 Festgeld (10%) -150, ,00 Festgeld (10%) -615, ,50 Festgeld (10%) , ,15 Endvermögen +0,00 +0,00 +0, ,15

4 54 2 Der Kapitalwert einer Investition Tab. 2.5 Alternative 5: I 2 mit I 3 und Festgeldanlage Investition 2-850, , ,00 Festgeld (10%) -150, ,00 Investition 3-500, , ,00 Festgeld (10%) -115, ,50 Festgeld (10%) , ,15 Endvermögen +0,00 +0,00 +0, ,15 Tab. 2.6 Alternative 6: I 2 mit I 4 und Festgeldanlage Investition 2-850, , ,00 Festgeld (10%) -150, ,00 Festgeld (10%) -615, ,50 Investition 4-850, ,00 Festgeld (10%) -606, ,15 Endvermögen +0,00 +0,00 +0, ,15 Tab. 2.7 Alternative 7: I 2, I 3 mit I 4 und Festgeldanlage Investition 2-850, , ,00 Festgeld (10%) -150, ,00 Investition 3-500, , ,00 Festgeld (10%) -115, ,50 Investition 4-850, ,00 Festgeld (10%) -356, ,15 Endvermögen +0,00 +0,00 +0, ,15

5 2.1 Grundlagen 55 Tab. 2.8 Kapitalwertberechnung von Alternative 1 Investition , , , ,00 Festgeld (10%) -500, ,00 Festgeld (10%) , ,00 Endvermögen +0,00 +0,00 +0, ,00 Barwert ,43 Auszahlung für Investition ,00 Kapitalwert +243,43 B 0 = B n 1.655,00 (1+i) n 1,1 3 Faktor multipliziert werden. Tabelle 2.8 zeigt dies am Beispiel der Investitionsalternative 2. Wichtiger als das Endergebnis sind an dieser Stelle jedoch die Erkenntnisse, dass die Vorteilhaftigkeit eines Investitionsvorhabens entscheidend von der Art der geplanten Ergänzungsinvestitionen abhängig ist und eine fundierte Entscheidung nie für einzelne Investitionen, sondern immer nur für komplette Handlungsprogramme möglich ist. Probleme der Informationsbeschaffung und -verarbeitung machen es allerdings in der Realität häufig unmöglich, explizit alle Handlungsalternativen zu berücksichtigen. Deshalb beschränkt man sich auf Partialmodelle für einzelne Investitionsobjekte oder simultane Investitionsprogramme mehrerer Objekte. Dabei trifft man pauschale Annahmen über die Ergänzungsinvestitionen zur Verwendung der nicht für das einzelne Investitionsprogramm benötigten und der aus den einzelnen Investitionsobjekten erzielten Mittel. Ein solches Partialmodell stellt die Kapitalwertmethode dar, auf die im Folgenden näher eingegangen wird Begriff des Kapitalwertes Für die dynamische (finanzmathematische) Investitionsrechnung ist der Kapitalwert einer Investition ein Begriff von zentraler Bedeutung (Schneider 1973). Unter dem Kapitalwert einer Investition versteht man die Summe aller auf einen Zeitpunkt t D m ab- bzw. aufgezinsten Ein- und Auszahlungen, die mit der Investition verbun-

6 56 2 Der Kapitalwert einer Investition den sind. Der Kapitalwert repräsentiert die gesamte Zahlungsreihe durch einen Betrag. Der Kapitalwert ist mithin das Äquivalent für die Zahlungsreihe einer Investition, das der Investor genauso hoch einschätzt wie die Zahlungsreihe. Verschiedene Investitionsobjekte lassen sich daher über ihre Kapitalwerte miteinander vergleichen (Vorteilsvergleich). Der Kapitalwert kann auch als Vermögenszuwachs (, wenn C m >0) zum Berechnungszeitpunkt interpretiert werden; er entspricht dann der Zielsetzung eines Vermögensmaximierers Ein Endwertmaximierer ist interessiert an einem möglichst hohen Kapitalwert zum Ende der Investition (t D n). Der Fall der Endwertmaximierung ist ein Unterfall der Vermögensmaximierung. Welcher Zeitpunkt als Bezugspunkt gewählt wird, ist für den Vorteilsvergleich unerheblich, sofern nur für die zu vergleichenden Investitionen ein einheitlicher Bezugspunkt gewählt wird. Gewöhnlich wird jedoch der Zeitpunkt t D 0 unmittelbar vor der ersten Zahlung gewählt. In der Regel legt man eine nachschüssige Verzinsung zugrunde. Definition des Kapitalwertes (C 0 ) einer Zahlungsreihe im Zeitpunkt t 0 : mit C 0 D a 0 C nx c t q t (2.1) a 0 : D Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t 0 (hier zugleich : Bezugszeitpunkt) c t : D Überschuss der Einzahlungen.b t / über die Auszahlungen.a t / in der Periode t (jeweils kumuliert am Ende der Periode t/: q : D.1 C i/ mit i D Kalkulationszins; n : D Nutzungsdauer des Investitionsobjektes mit t D 1;2;:::;n: Unter Berücksichtigung einer Einzahlung beim Verkauf im Zeitpunkt n (häufig als Restwerterlös oder Liquidationserlös R n bezeichnet) gilt für den Kapitalwert: C 0 D a 0 C td1 nx c t q t C R n q n : (2.2) td1 Der Kapitalwert im Zeitpunkt t D 0kannauchalsBarwert aller Zahlungsdifferenzen eines Investitionsobjektes bezeichnet werden. Für den Fall, dass der Kapitalwert auf einen nach t 0 liegenden Zeitpunk t D m bezogen wird (0 <m) gilt für 0<m<n. C m D a 0 q m C nx c t q m t C R n q m n D C 0 q m ; (2.3) td1

7 2.1 Grundlagen 57 Also gilt für t<maufzinsung und für t>mabzinsung. Ist m D 0, so stimmt Gl. 2.2 mit Gl. 2.3 überein. Beispiel Für das Investitionsobjekt I 1 W f a 0 D 1:000; c 1 D c 2 D 500; c 3 D 600; R 3 D 300g ergibt sich bei i D 10 % der Kapitalwert in t 0 entsprechend Gl. 2.2 C 0 D 1:000 C 500 1;1 1 C 500 1;1 2 C 600 1;1 3 C 300 1;1 3 C 0 D 543;95: Der Kapitalwert der Investition 1 in m D 2 ergibt sich bei i D 10 % entsprechend Gl. 2.3 wie folgt: C 2 D 1:000 1;1 2 C 500 1;1 1 C 500 1;1 0 C 600 1;1 1 C 300 1;1 1 C 2 D 658;18 oder C 2 D C 0 q m D 543;95 1;1 2 D 658;18: Berechnung des Kapitalwerts mit MS-EXCEL Die Berechnung des Kapitalwerts mit MS-EXCEL erfolgt mit der Funktion NBW. Grundsätzlich sollten die Zahlungen in einer Tabelle hinterlegt sein (vgl. Abb. 2.1). Für die Berechnung ist ausschließlich die saldierte Zahlungsreihe (hier Zelle B5:E5) Abb. 2.1 Kapitalwertberechnung mit der NBW-Funktion von EXCEL

8 58 2 Der Kapitalwert einer Investition interessant. In der Abbildung wurde die saldierte Zahlungsreihe aus der Anschaffungsauszahlung, den Einzahlungsüberschüssen und dem Restwert errechnet; die saldierte Zahlungsreihe kann auch unmittelbar eingegeben werden. Damit die NBW-Funktion den Kapitalwert für t 0 berechnet, muss die Zahlung aus t 0 (hier B5) zum Funktionswert addiert werden. Die Berechnung startet, hier in der Zelle B8, mit der Eingabe des Gleichheitszeichens, gefolgt von der zu addierenden Zelle B5. Auf B5 folgt ein Pluszeichen und die Eingabe der Buchstaben NBW sowie Klammer auf. Nun ist der Kalkulationszins in dezimaler Schreibweise einzugeben; für i D 10 % ist folglich 0,1 einzugeben. Nach einem Semikolon wird der Wertebereich der folgenden Zahlungen, hier C5:E5, gefolgt von Klammer zu eingegeben. Die Berechnung wird mit der Eingabetaste (Return) abgeschlossen; Excel ermittelt sodann den bereits bekannten Wert 543,95 (siehe oben). (Siehe auch: Für konstante Einzahlungsüberschüsse c 1 D c 2 D ::: D c n D c kann die Gl. 2.1 mit dem Rentenbarwertfaktor (siehe Abschn ) vereinfacht werden zu q n 1 C 0 D a 0 C c : (2.4) i q n Gleichung 2.4 kann für die Wahl eines von t D 0 verschiedenen Bezugspunktes sowie für Berücksichtigung von Restverkaufserlösen entsprechend modifiziert werden Prämissen Für die folgenden Überlegungen werden zur Vereinfachung folgende Prämissen eingeführt, die im weiteren Verlauf der Ausführungen zum Teil aufgehoben werden: In den Definitionsgleichungen (Gl. 2.1 bis 2.4) des Kapitalwertes werden die Zahlungsgrößen a 0 ;c t und R n sowie die wirtschaftliche Nutzungsdauer n zunächst als sichere Größen angenommen. Die Prämisse der Gewissheit entspricht wie in Kap. 1 bereits erwähnt nicht der Realität, sondern dient nur zur Vereinfachung. Die Finanzierungsseite des Investitionsobjektes wird vorerst nicht explizit in die Investitionsrechnung aufgenommen, sondern nur implizit durch den Kalkulationszins i berücksichtigt. Zur Vereinfachung wird als weitere nicht realistische Prämisse zunächst die Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes eingeführt, auf dem nur ein einziger Zinssatz für Kapitalaufnahme und -ausleihe existiert. Damit wird unterstellt, dem Investor stünden unbeschränkte Finanzierungsmittel zur Verfügung. Das Finanzierungsproblem wird damit ausgeschlossen. Schließlich wird vereinfachend angenommen, dass der Zins über die Zeit hin konstant sei.

9 2.1 Grundlagen Kapitalwertfunktion Ist die mit einem Investitionsobjekt verbundene Zahlungsreihe gegeben, so ist der Kapitalwert C lediglich eine vom Kalkulationszins i abhängige Variable (Kapitalwertfunktion). Die Kapitalwertfunktion (C.i/) verläuft je nach der Struktur der Zahlungsreihe verschieden (Schneider 1992, S. 81 ff.; ferner Kruschwitz 2014, S. 94 ff.). Beispiel Es seien die Zahlungsreihen folgender Investitionen betrachtet: I 1 W f 2:500 0 ; C1:000 1 ; C1:000 2 ; C1:000 3 g ; I 2 W fc31:250 0 ; 68:750 1 ; C37:700 2 g ; I 3 W f 31:250 0 ; C68:750 1 ; 37:700 2 g : Die Kapitalwertfunktionen für die drei oben genannten Investitionen sind in Abb. 2.2 dargestellt. 500,00 C 0 400,00 300,00 200,00 100,00 C 0 Inv2 - i 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% C Inv ,00-200,00 C 0 Inv1 Abb. 2.2 Beispiele für Kapitalwertfunktionen

10 60 2 Der Kapitalwert einer Investition Kapitalwertfunktionen mit MS-EXCEL Auch die Kapitalwertfunktionen lassen sich mit EXCEL aufbauend auf den Darstellungen zu Abb. 2.1 erzeugen. Ausgangspunkt ist die Zahlungsreihe der Investition. Anschließend können die Kapitalwerte mit der NBW-Funktion für eine Wertetabelle mit unterschiedlichen Zinssätzen errechnet werden. Beim Kopieren der Funktion in die unterschiedlichen Zellen der Wertetabelle ist darauf zu achten, dass der absolute Bezug 1 zur Zahlungsreihe erfolgt, hier $B$2 für die Zahlung in t D 0 bzw. $C$2:$D$2 für die restlichen Zahlungen (vgl. Abb. 2.3). Beim relativen Kopieren greift EXCEL dann jeweils auf die Zelle mit dem jeweils relevanten Zinssatz (bei 0 % auf A6) zurück. Abb. 2.3 Wertetabelle für die Kapitalwertfunktion mit EXCEL am Beispiel der Investition 3 Die erzeugte Wertetabelle wird anschließend als (XY)-Punktediagramm (Punkte mit interpolierter Linie) eingefügt (vgl. Abb. 2.4). Da die grafische Darstellung auf Basis geglätteter Werte erfolgt, ist es in der Regel nicht notwendig die Wertetabelle mit einem Raster von kleiner als 0,5 % zu versehen. (Siehe auch: 1 Im Gegensatz zum relativen Bezug, bei dem die Zellenbezüge beim Kopieren automatisch entsprechend angepasst (verschoben) werden, bleibt beim absoluten Zellenbezug der hinterlegte Zellenbezug fixiert. Absolute Zellenbezüge bleiben also erhalten, unabhängig davon, wohin die Berechnung kopiert wird. Der absolute Zellenbezug wird bei EXCEL mit einem $-Zeichen vor der Spalte und/oder der Zeile eingeleitet (Shortcut: F4). Standardmäßig kopiert EXCEL relativ.

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