Optimal Control in Air Traffic Management

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1 Optimal Control in Air Traffic Management DGLR Workshop Bestimmung optimaler Trajektorien im Air Traffic Management Deutsche Flugsicherung GmbH, Langen

2 Inhalt. Hintergrund und Motivation. Optimalsteuerung. Initiale Resultate und Roadmap

3 Hintergrund und Motivation

4 Hintergrund und Motivation Lösung des Space Shuttle Reentry Problems mit Methoden der Optimalsteuerung Optimierung in ATM: Wegpunkt-Optimierung und Approximation der Trajektorien durch B-Splines Multi-Agent Optimierung Lineare Optimierung zur Wegpunkt-Generierung

5 Hintergrund und Perspektive Perspektive der Optimalsteuerung Betrachtung des Flugverkehrs aus einer Gesamtansicht Steuere alle Flugzeuge simultan Automatische und optimale Steuerung aller beteiligten Flugzeuge unter Einhaltung von Pfadbeschränkungen Verkehrssituation FMS/Pilot Realisierung Generierung eines Optimal Control Problems Ground-to-air Data Comm Ground-System Optimierung

6 Optimalsteuerung

7 Optimalsteuerung Finde einen optimalen Steuerungsverlauf u(t), der einen dynamischen Prozess dx/dt = f(t,x,u) von seinem Anfangszustand x 0, zu seinem Endzustand x f, auf optimaler Weise führt. Der Prozess sei dabei Gegenstand von Pfadbeschränkungen auf Zustandsvariablen x(t) und Steuergrößen u(t). Nissan Skyline GT-R34 US Navy, SM-3 Interceptor Soyuz Spacecraft

8 Optimalsteuerung: Direkte Methode (1/2) Direct Transcription Zustands-Diskretisierung und Steuerungs-Parametrisierung min J(u,x) s.t. dx/dt = f(t,x,u) g(t,x,u) = 0 h(t,x,u) 0 C eq (t f,x f ) = 0 C ineq (t f,x f ) 0 min F(ω) G(ω) = 0 H(ω) 0 Optimal Control Solver NLP Solver based on Sequential Quadratic Programming State Discretization BFGS Hessian Approximation Numerical Integrator Armijo Line Search

9 Optimalsteuerung: Direkte Methode (2/2) Schritt 1: Transkription Zustandsdiskretisierung Parametrisierung der Steuergrößen Schritt 2: Lösen des NLP Iterativer Abstiegsalgorithmus ω k+1 = ω k + α k d k Erhalte Suchrichtung d k aus Lösung eines quadratischen Hilfsproblems Bestimme Schrittweite α k durch Armijo-Bedingung o.ä. Für jede Iteration Überprüfe Nebenbedingungen Endpunkt-Bedingungen Zielfunktion Schritt 3: Re-Transkription der Lösung Erhalte finale Trajektorien aus Lösung

10 All-at-once Perspektive: Multiple Shooting Beispiel: Lotka-Voltera Räuber-Beute-Dynamik Simuliere Prozess und optimiere Steuerungen parallel Identifiziere Multiple Shooting Stützstellen s i [Simulation] Identifiziere Steuerungen u(t) und Parameter p [Optimierung] 2 Zustände, 4 Parameter, 1 Steuerungsfunktion 20 Variablen, ω=(s,p,u) T 2.6 s

11 Nichtlineare Optimierung (1/2) Aufgabe: Löse nichtlineares Optimierungsproblem für Vektor ω min F(ω) G(ω) = 0 H(ω) 0 Lagrange-Ansatz δl/δx = δf/δx (δg/δx) T λ (δh/δx) T μ = 0 Erhalte Suchrichtung d k aus quadratischem Hilfsproblem Taylorentwicklung von L Linearisierung der Nebenbedingungen min p ½p T H k p + (δf k /δx) T p + F k (δg/δx) T p + G k = 0 (δh/δx) T p + H k

12 Nichtlineare Optimierung (2/2) Gradienten-Matrix bzw. Hesse-Matrix enttscheidend für die Performance des Algorithmus Ausnutzen der Struktur ( Kondensierung ) Verwendung effizienter Update Verfahren zur Erzeugung der Hesse-Matrix (BFGS...) Geschickte Problemskalierung Idealfall: Hessematrix nahe Identität in optimalem Punkt

13 Optimalsteuerung: Zusammenfassung Optimalsteuerung im Bereich ATM bedeuted nicht Entscheidungsbäume Instrinsische Lösungsheuristik Verschiedene Lösungen untersuchen Stattdessen F (x) = 0 Übersetzung des Problems in ein mathematisches Optimierungsproblem Übersetzung der mathematischen Lösung in eine realisierbare und kommunizierbare Situationslösung

14 Initiale Resultate und Roadmap

15 Convergence achieved Hmm... Erstes Resultat August

16 Lessons Learned Abbildung des Optimalsteuerungsproblems muss zu adäquaten Lösungen führen Zielfunktion Nebenbedingungen Dynamisches System Algorithmische Details Lokale Minima vermeiden Wahl der Hesse-Matrix Approximation

17 Beispielszenario (1/2) Lösung eines menschlichen Lotsen

18 Beispielszenario (2/2) Lösung des Algorithmus, MinSep 7.5 NM Flugzeuge von links nach rechts

19 Ergebnisse (1/3)

20 Ergebnisse (2/3)

21 Ergebnisse (3/3)

22 Roadmap Initiale Fragestellungen (Anfang 2012) Welche Schwierigkeiten ergeben sich aus einer multikriteriellen Zielfunktion? Wie kann man adäquate Anfangswerte für die Optimierung generieren? Generierung von kommunizierbaren Lösungen Betrachtung von kontinuierlichen Szenarien mit vielen Flugzeugen Closed-Loop Algorithmen zur Kompensierung von Fehlern und Ungenaugkeiten Ausblick (April 2013) Erweiterung der Modellierung auf 3D Szenarien Interface zum AFS Simulator Implementierung von Wind- und Wettereffekten

23 Q & A Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Fragen & Antworten

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