Kapital wird als Produktionsfaktor verwendet und es bezeichnet z t den entsprechenden Faktorpreis des Kapitals.

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1 2 Das Ramsey-Modell Literatur: - Maussner & Klump [1996, C.I.1] - Blanchard & Fischer [1989, Ch. 2] Der optimale Konsumplan des Haushalts Annahmen: N homogene Haushalte mit unendlichem Zeithorizont. Vermögen des repräsentativen Haushalts in t entspricht dem Bestand der bis zu dieser Periode akkumulierten Kapitalgüter. k t ist der Kapitalstock eines Haushalts in Periode t. Kapital wird als Produktionsfaktor verwendet und es bezeichnet z t den entsprechenden Faktorpreis des Kapitals. Bei der Güterproduktion gehen pro Einheit Kapital δ Einheiten als Abschreibungen verloren. Für die Abschreibungsrate δ des Kapitals gilt 0 < δ 1. Der repräsentative Haushalt verfügt in jeder Periode über eine Einheit Arbeitszeit. w t bezeichnet den Reallohn in Periode t. 26

2 Budgetrestriktion (Brutto-)Einkommen eines Haushalts in einer beliebigen Periode t: w t + z t k t Verwendung für Konsum c t in Periode t oder zur Vermögensbildung. Mit i b t als Bruttoinvestition resultiert als Budgetrestriktion für Periode t: w t + z t k t = c t + i b t Bruttoinvestitionen = Nettoinvestitionen (i n t ) Abschreibungen (δk t): w t + z t k t = c t + k t+1 (1 δ)k t Keine Kreditmärkte (unproblematisch bei homogenen Haushalten). 27 Präferenzen Präferenzen des repräsentativen Haushalts sind über Konsum c t in allen Lebensperioden t = 0,1,... definiert. Nutzenfuktion mit Konsumpfad als Argument: U(c 0,c 1,...,c t,c t+1,...) V = U(c 0,c 1,...,c t,c t+1,...): Lebensnutzen aus Konsumpfad. 28

3 Präferenzen Additive Separabilität in der Zeit: Lebensnutzen gleich Summe von Periodennutzen: V = U(c 0,c 1,...,c t,c t+1,...) = u t (c t ) t=0 1) Einschätzung eines Konsumpfades c t,c t+1,..., der in t beginnt, ist unabhängig davon, welcher Konsumpfad...,c t 1,c t 1 diesem vorgelagert ist. 2) Einschätzung eines Konsumpfades c 0,c 1,...,c t ist unabhängig von dem darauf folgenden Pfad c t+1,c t+2,... 1) + 2) implizieren additive Separabilität. 29 Präferenzen Für die Periodennutzenfunktionen u t (c t ) gilt u t (c t ) = β t u(c t ) gilt, wobei 0 < β < 1 Für alle c 0 gilt u (c) > 0 (Grenznutzen des Konsums ist immer positiv (Nichtsättigung)) Für alle c 0 gilt u (c) < 0 (Abnehmender Grenznutzen) u(c) ist daher eine streng monoton ansteigende, konkave Funktion. Diskontierungsfaktor β bestimmt die Gewichtung zukünftigen Nutzens im Vergleich zu gegenwärtigem Nutzen. Insgesamt ergibt sich: V = = t=0 u t (c t ) β t u(c t ), 0 < β < 1 t=0 30

4 Optimierungsproblem des Haushalts Auf der Grundlage der jeweils herrschenden Faktorpreise w t und z t und Grundlage von Erwartungen über die zukünftigen Faktorpreise wird der optimale Konsumplan bestimmt. Optimierungsproblem: max V = {c t β t u(c t ) } t=0,{k t+1} t=0 t=0 u. Nb. w t + z t k t = c t + k t+1 (1 δ)k t für t = 0,1,..., k 0 > 0 Faktorpreise w t und z t sind für t 1 erwartete Größen. Erwartungen werden zunächst als gegeben unterstellt (inkorrekte Erwartungen möglich). 31 Optimierungsproblem des Haushalts Lagrangeansatz (λ t = Lagrangemultiplikator für die Budgetrestriktion in t): max L = {c t } t=0,{k t+1} t=0,{λ t} t=0 t=0 t=0 β t u(c t ) λ t (c t + k t+1 (1 δ)k t w t z t k t ) Notwendigen Bedingungen für Nutzenmaximum bei innerer Lösung: L = β t u (c t ) λ t c t = 0, t = 0,1,... (1a) L = λ t + λ t+1 [z t+1 +(1 δ)] k t+1 = 0, t = 0,1,... (1b) L = c t + k t+1 (1 δ)k t w t z t k t = 0, t = 0,1,... λ t (1c) 32

5 Euler Gleichung (Keynes Ramsey Regel) Aus (1a) und (1b) folgt die Euler-Gleichung: λ t = λ t+1 [z t+1 +(1 δ)] β t u (c t ) = β t+1 u (c t+1 ) [z t+1 +(1 δ)] u (c t ) = βu (c t+1 ) } {{ } diskontierter Grenznutzen [z t+1 +(1 δ)] } {{ } erwarteter Grenzertrag der Ersparnis Grundlegende Eigenschaft eines optimalen Konsumpfades in der Zeit (notwendige Bedingung). 33 Euler Gleichung (Keynes Ramsey Regel) Grenzertrag der Ersparnis z t+1 +(1 δ) = Realzinsfaktor R t+1. Erwarteter Realzins r t+1 = R t+1 1 = z t+1 δ. Wenn βr t+1 = 1 folgt aus Euler-Gleichung, daß u (c t+1 ) = u (c t ) und daher c t+1 = c t (im Zeitablauf konstanter Konsumpfad). r t+1 = 1 β β für alle t generiert konstanten Konsumpfad ( 1 β β des Haushalts/interner Zinsatz). r t+1 < 1 β β : Konsum sinkt von Periode t auf t + 1. r t+1 > 1 β β : Konsum wächst von Periode t auf t + 1. = Zeitpräferenzrate 34

6 Euler Gleichung (Keynes Ramsey Regel) Grenzertrag der Ersparnis z t+1 +(1 δ) = Realzinsfaktor R t+1. Erwarteter Realzins r t+1 = R t+1 1 = z t+1 δ. Wenn βr t+1 = 1 folgt aus Euler-Gleichung, daß u (c t+1 ) = u (c t ) und daher c t+1 = c t (im Zeitablauf konstanter Konsumpfad). r t+1 = 1 β β für alle t generiert konstanten Konsumpfad ( 1 β β des Haushalts/interner Zinsatz). r t+1 < 1 β β : Konsum sinkt von Periode t auf t + 1. r t+1 > 1 β β : Konsum wächst von Periode t auf t + 1. = Zeitpräferenzrate 35 Euler Gleichung (Keynes Ramsey Regel) Die Euler-Gleichung im 2-Perioden-Fall c t+1 I I 1 0 c t+1 = c t c t+1 P w t+1 Q A c t+1 = w t+1 + R t+1 [w t + R t k t c t ] ct w t + R t k t } {{ } s c t 36

7 Intertemporale Substiutionselastizität Grenznutzenelastizität η = u (c)c u (c) für alle c konstant: Konstante intertemporale Substitutionselastizität σ. η ist Maß für relative Risikoaversion: Nutzenfunktionen vom CRRA-Typ (Constant Relative Risk Aversion): u(c) = 1 1 η c1 η für: σ = 1 η > 0, σ 1 u(c) = ln(c) für: σ = 1 η = 1 CRRA Typ ist häufige Annahme in Anwendungen Die Konsumfunktion Euler-Gleichung mit CRRA-Nutzenfunktion: u (c t ) u (c t+1 ) = ( ct+1 c t ) η = βr t+1 Optimaler Konsumpfades impliziert c t+1 = [βr t+1 ] 1/η c t für alle t. Lösung der Differenzengleichung ( = Produktoperator): c t = [βr t ] 1/η c t 1 = [βr t ] 1/η [βr t 1 ] 1/η c t 2 = [βr t ] 1/η [βr t 1 ] 1/η [βr 2 ] 1/η [βr 1 ] 1/η c 0 = β t/η t R 1/η i c 0 i=1 38

8 Die Konsumfunktion Aus der Budgetrestriktion folgt: k t+1 = R t k t + w t c t Wiederholtes Einsetzen: k t+1 = R t k t + w t c t = R t R t 1 k t 1 + w t c t + R t [w t 1 c t 1 ] = R t R t 1 R 1 R 0 k 0 + w t c t + R t [w t 1 c t 1 ]+R t R t 1 R 2 R 1 [w 0 c 0 ] = t i=0 R i k 0 + t i=0 t R j [w i c i ] j=i+1 39 Sofern t i=0 R i 0 resultiert: ( ) 1 ) 1 t t R i k t+1 = k 0 +( R i [w t c t ] i=0 + = k 0 + i=0 ( t 1 ) 1 R i [w t 1 c t 1 ]+ +R 1 0 [w 0 c 0 ] i=0 t i=0 ( ) 1 i R j [w i c i ] j=0 Endlicher Zeithorizont (T ) Keine Verschuldung am Lebensende: k T+1 = 0: R 0 k 0 + w 0 + w 1 w T + + = c 0 + c R 1 R 1 R 2 R T 1 R T R 1 c T R 1 R 2 R T 1 R T Gegenwartswert der Konsumausgaben entspricht dem laufenden Einkommen zuzüglich dem Gegenwartswert aller zukünftigen erwarteten Einkommen. 40

9 Die Konsumfunktion bei endlichem Zeithorizont Einsetzen der Lösung für c t in die Budgetrestriktion: R 0 k 0 + w 0 + w 1 w T + + = R 1 R 1 R 2 R T 1 R T c 0 [ 1+β 1/η R 1/η β 2/η (R 1 R 2 ) 1/η 1 + +β T/η (R 1 R 2 R T 1 R T ) 1/η 1] Lösung für c 0 im Fall σ = 1/η = 1: R 0 k 0 + w 0 + w 1 R w T R 1 R 2 R T 1 R T = c 0 [ 1+β 1 + β 2 + +β T] = c 0 Y p = laufendes Einkommen zuzüglich dem Gegenwartswert aller zukünftigen erwarteten Einkommen: c 0 = 1 T t=0 β t Y p ( sowie: c t = βt t i=1 R i T t=0 β t ) Y p T β t t=0 41 Die Konsumfunktion bei endlichem Zeithorizont Permanente Einkommenshypothese (Friedman): Konsum reagiert auf permanente Einkommensänderungen stärker als auf transitorische Einkommensänderungen. Lohnanstieg um eine Einheit w t = 1 in allen Perioden: Y p = = 1+ R 1 R 1 R 2 R T 1 R T Änderung des Konsums: c 0 = 1 T t=0 β t Y p = 1 T t=0 β t } {{ } transitorisch + 1 T t=0 β t T i=1 T i=1 ( ) 1 i R j j=1 ( ) 1 i R j j=1 } {{ } permanent 42

10 Die Konsumfunktion bei unendlichem Zeithorizont Gegenwartswert der Konsumausgaben muß dem Gegenwartswert der Einkommen entsprechen. Transversalitätsbedingung (TVB): Linke Seite der Budgetrestriktion konvergiert gegen Null: T ) 1 lim R T ( i k T+1 = 0 i=0 Im Fall σ = 1/η = 1 folgt wegen lim T T t=0 βt = 1 c 0 = [1 β]y p (sowie: c t = ( β t 1 β : ) t ) R i [1 β]y p i=1 Y p = Gegenwartswert der für einen infiniten Zeithorizont erwarteten, zukünftigen Einkommen. 1 β ist die mit dem permanenten Einkommen Y p verbundene Konsumneigung Der Produktionssektor Annahmen: Firmen produzieren ein einziges Gut mit den Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital. Für alle Firmen identische Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen. Aggregierte Produktionsfunktion: Y t = F(K t,l t ) mit: Y t = K t = Aggregierter Output Aggregierter Kapitalstock L t = Aggregierter Arbeitseinsatz Konstante Skalenerträge (Eulersches Theorem) implizieren Y t = F K K t + F L L t. F(K,L) mit üblichen Eigenschaften einer neoklassischen Produktionsfunktion(positive, aber sinkende Grenzprodukte). 44

11 Produktionsfunktion in intensiver Form Pro Kopf Größen bzw. intensive Form der Produktionsfunktion: Y t L t = y t = 1 L t F(K t,l t ) = F(K t /L t,1) f(k t ) mit: y t = Output pro Kopf k t = Kapitalintensität Grenzprodukte der Faktoren: F K = F L = F(K, L) K F(K, L) L = f (k) = f(k) f (k)k 45 Gleichgewicht auf den Faktormärkten Vollständige Konkurrenz: Firmen sind Mengenanpasser. Gewinnmaximierende Produktion: Inputregel Faktorpreise entsprechen Grenzprodukten der Faktoren bei Vollbeschäftigung: z t = f (k) w t = f(k) f (k)k 46

12 2.4 Das Marktgleichgewicht Gleichgewicht bei vollkommener Voraussicht für die Perioden t = 0,1,...: (1) Der aufgrund von Erwartungen über zukünftige Faktorpreise formulierte Konsumplan des repräsentativen Haushaltes ist optimal. (2) Es herrscht Gleichgewicht auf den Faktormärkten, so daß L t = N und k t = k t. (3) Die zugrundeliegenden Erwartungen zukünftiger Faktorpreise sind korrekt, so daß mit Rt e und wt e als den für die Periode t gebildeten Erwartungen über den Zinsfaktor und den Lohnsatz gilt: Rt e = R t = f (k t )+(1 δ) zt e = z t = f (k t ) wt e = w t = f(k t ) f (k t )k t (4) Die Transversalitätsbedingung (TVB) ist erfüllt: T ) 1 lim R T ( i k T+1 = 0 i=0 47 Marktgleichgewicht Gleichgewichtsbedingungen (1) (3): Euler Gleichung und Budgetrestriktion Bedingungen bilden ein zweidimensionales, nichtlineares Differenzengleichungssystem in c t und k t. Unter Verwendung der Gleichgewichtswerte für w t und z t gilt für alle t = 0,1,...: u (c t ) = βu (c t+1 )[ f (k t+1 )+(1 δ)] f(k t ) = c t + k t+1 (1 δ)k t 48

13 Die Transversalitätsbedingung Existenz unendlich vieler Lösungspfade ( {c t } t=0, {k t} t=0 ) für DZGL. Zwei Anfangswerte notwendig, um eindeutigen Pfad zu bestimmen mit k 0 ist allerdings nur ein Anfangswert gegeben. TVB liefert den fehlenden Anfanswert Gleichgewichtsbedingung für den Kreditmarkt Kreditmarkt: Arbitrage impliziert, daß Kreditmarktzins = r t für alle t. 49 Transversalitätsbedingung Kreditaufnahme B 0 in t = 0 von B 0 : Schuldenstand + Zinsen in t = 1: B 1 = R 1 B 0 Schuldenstand + Zinsen in beliebiger Periode t: B t = ( t i=0 R i) B 0 (1) lim t t i=0 R i = 0: Schuldenstand konvergiert für t gegen Null unendliche Kreditnachfrage in t = 0 ist optimal kein Gleichgewicht auf dem Kreditmarkt (2) Nur lim t t i=0 R i = (bzw. lim t t i=0 R 1 i vereinbar. = 0) mit Kreditmarktgleichgewicht (3) Restriktion (2) nur dann hinreichend für TVB ist, wenn lim t k t 0 bzw. k t nicht mit zu großer Rate wächst. Rationale Erwartungen: Haushalte erwarten eine Zinsfolge, die mit einem Kreditmarktgleichgewicht in den Perioden t = 0,1,... vereinbar ist TVB erfüllt Lösungspfade des DZGL müssen Restriktion k 0 > 0 und TVB lim T t i=0 R 1 i = 0 erfüllen. 50

14 Dynamik des Ramsey-Modells Richtungsfeld: Restriktion: k t+1 k t+1 k t = f(k t ) δk t c t k t+1 = 0: c t = f(k t ) δk t Euler Gleichung: u (c t ) = βu (c +1 )R t+1 c t+1 c t+1 c t = 0: βr t+1 = 1 1/β (1 δ) = f (k t+1 ) 51 Richtungsfeld c c = 0 Stationärer Punkt: f (k ) = 1 (1 δ) β c = f(k ) δk c max c S k = 0 Richtungspfeile: c t f(k t ) δk t k t+1 0 k t+1 k c t+1 0 k f (k o ) = δ k k 52

15 Sattelpunktpfad Sattelpunktpfad erfüllt die TVB c c = 0 und verletzt keine Restriktion: Unterhalb des SP ( (c 2 0,k 0)): Konvergenz gegen k TVB verletzt. Oberhalb des SP ( (c 1 0,k 0)): t c S k = 0 mit c t f(k t )+(1 δ)k t Euler-Gleichung verletzt. c 1 c S 0 0 Für k 0 > 0 existiert nur ein einziger Anfangswert c S 0, der c 2 0 Lösung ist Sattelpunktpfad k 0 k f (k) = δ k k Komparativ statische Analyse des Ramsey-Modells Wie beeinflussen exogene Störungen das Gleichgewicht (kurz- und langfristig)? Transitorische Produktivitätsschocks Permanente Produktivitätsschocks 54

16 Transitorischer Produktivitätsschock zusätzlicher Output ε in t c mit c t = c + ε und c t+ j = c für j = 1,2,... ist Euler Gleichung nicht erfüllt. intertemporale Substitution von Konsum: k t+1 > k. Anpassung entlang des Sattelpunktpfades an das unveränderte langfristige GG. c t+1 c t c f(k) δk k = k t k t+1 k k 55 Permanenter Produktivitätsschock Verändertes langfristiges GG und veränderter Sattelpunkt. Ausgehend von k t = k konvergiert k gegen das neue Steady-State Niveau k1. c c 1 c t c f(k) δk f(k) δk Konsum steigt in t auf c t > c und konvergiert gegen das neue Steady-State Niveau c 1. k = k k1 t k k 1 k 56

17 2.6 Ein spezifiziertes Modell Annahmen: Nutzenfunktion: u(c) = ln(c) Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas Typ: y t = f(k t ) = kt α, 0 < α < 1 vollständige Abschreibungen: δ = 1 Euler Gleichung Budgetrestriktion: c t+1 c t = βαk α 1 t c t = k α t k t+1 Lösung für den Sattelpunktpfad (Einsetzen): k t+1 = βαk α t c t = (1 βα)k α t Anpassungsdynamik und Konvergenz Wachstumsrate des Kapitalstocks im spezifizierten Modell: γ k,t = k t k t 1 k t 1 = βαk α 1 t 1 1, Analog für das pro-kopf-einkommen y t (y = k α = (βα) α/(1 α) ): γ y,t = y t y t 1 y t 1 = kα t k α t 1 1 = (βα) α y α 1 t 1 1 Absolute Konvergenz: Eine Volkswirtschaft mit geringem Einkommen wächst mit größerer Rate 58

18 Absolute und bedingte Konvergenz Absolute Konvergenz: Voraussetzung identischer Steady States 2 Länder A und B: γ y,a > γ y,b obwohl y A,t > y B,t Bedingte Konvergenz: Wachstumsrate um so höher, je größer die Abweichung vom jeweiligen Steady State Einkommen ist. Empirische Überprüfung möglich. γ y,t+1 γ y,t+1 γ y,a γ y,b y y t y B,t y B y A,t y A y t 59 Empirie zur These der bedingten Konvergenz aus Romer [1996, S. 28f.]) 60

19 Konvergenzgeschwindigkeit Lösung des spezifizierten Modells: k t+1 = βαk α t Stationäre Lösung: k = (βα) 1 1 α Logarithmieren: lnk t+1 = ln(βα)+α lnk t, ln k = (1 α)ln(βα) Damit: lnk t+1 ln k = α(lnk t lnk ) Wiederholtes Einsetzen: lnk t lnk = α t (lnk 0 lnk ) Für kleine Differenzen gilt ln(k/k ) k k k : k t k k α t k 0 k k 61 Konvergenzgeschwindigkeit α bestimmt die Konvergenzgeschwindigkeit: Halbwertszeit: Wann sind 50% der Abweichung vom Steady State beseitigt? 1 2 k 0 k k = α t k 0 k k ln2 = t lnα t 1/2 = ln2 lnα 0.69 lnα z.b. α = 0.5 t 1/2 = 1 / α = 0.25 t 1/2 = 0.5. Unrealistisch hohe Konvergenzgeschwindigkeit. Empirisch plausible Spezifikationen: µ jährliche Konvergenzrate 5% (t 1/2 = 13.51, t 1/4 = 27.03). Empirische Schätzungen: jährliche Konvergenzrate 2% (t 1/2 = 34.31, t 1/4 = 68.62). 62

20 Konvergenz zwischen Ost- und Westdeutschland Entwicklung Arbeitsproduktivität in Deutschland (aus Barrell & te Velde [2000, S. 272], Arbeitsproduktivität gemessen als Output je Beschäftigtenstunde in Preisen von 1991). Niveau Wachstumsrate in % Jahr West Ost Gesamt West Ost Gesamt Aufgaben 1. Erläutern Sie die Keynes-Ramsey-Regel für den optimalen Konsumpfad. Inwiefern werden die Eigenschaften des optimalen Konsumpfades durch den Realzins und die Zeitpräferenzrate der Wirtschaftssubjekte beeinflußt? 2. Im Ramsey-Modell muß eine Gleichgewichtsbedingung für den Kreditmarkt die sogenannte Transversalitätsbedingung erfüllt sein. Erläutern Sie diese Bedingung. 3. Erläutern Sie die Bedeutung der permanenten Einkommenshypothese für die Größenordnung des Ihnen aus dem keynesianischen Makromodell bekannten Einkommensmultiplikators. 4. Wie begründet die permanente Einkommenshypothese, daß der Konsum auf dauerhafte Einkommensänderungen stärker reagiert als auf transitorische Einkommensänderungen? 5. Skizzieren und erläutern Sie die Zeitpfade für den Konsum, die Kapitalintensität und den Output, die sich ergeben, wenn es im Ramsey-Modell ausgehend vom Steady-State zu einem transitorischen Produktivitätsschock kommt. 6. Skizzieren und erläutern Sie die Zeitpfade für den Konsum, die Kapitalintensität und den 64

21 Output, die sich ergeben, wenn es im Ramsey-Modell ausgehend vom Steady-State zu einem permanenten Produktivitätsschock kommt. 7. Erläutern Sie, wie die Annahme völliger Faktormobilität die Aussagen über die Konvergenz zwischen Ländern oder Regionen beeinflußt. 8. Das Einkommen y A und y B zweier Länder A und B entwickelt sich gemäß der Gleichung y t = [y 0 y ]a t + y. In Periode t = 0 gilt y A 0 = 3yB 0 und yb 0 = 1/3y, wobei y das langfristige Gleichgewichtseinkommen ist. Nach wievielen Perioden hat das Einkommen in Land B 5/6 des Einkommensniveaus von Land A erreicht? 65

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