2. Diophantische Gleichungen

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1 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze Zahle erlaubt sid: m p 1 m p ax y z bx y z... d mit icht-egative Poteze i,m i,p i N 0 ud gazzahlige Koeffiziete a,b,d Z. Eie lieare diophatische Gleichug ethält i jedem Term ur eie der Variable i der erste (lieare) Potez: ax by cz... d Beispiele: Fermat sche Zahletripel: x y z für geg. N mit gesuchte Lösuge x,y,z Z. (Fermatsche Vermutug: Es gibt keie gazzahlige Lösug für >2. Bewiese 1993 vo Wiles & Taylor). Für =2 gibt es uedlich viele Lösuge, die sog. pythagoräische Zahletripel. Die lieare diophatische Gl. 3x+4y=1 hat als gazzahlige Lösug z.b. (x,y)=(3,-2). Ati-Beispiele: si(x)=1 (keie Polyomfuktio), 3.4x+2.5y=3 (keie gazzahlige Koeffiziete) Wozu braucht ma diophatische Gleichuge? W. Koe DiskreteMathe-ext.doc Seite 18/33

2 Produktiosplaug: We ich Eiheite eies Rohstoffes habe ud meie Produkte X ud Y je Eiheit 75 bzw. 38 Rohstoffeiheite verbrauche, wieviele vo welche Produkte muss ich herstelle, um die Rohstoffmege geau aufzubrauche? Gesucht ist eie Lösug der diophatische Gleichug 75x 38y mit der zusätzliche Aforderug, dass x ud y ichtegativ sei müsse. Wir werde hierzu i Kap. 2.2 eie Lösug etwickel. Das Briefmarkeproblem: 1. Ka ich mit 5c- ud 2c-Briefmarke JEDES Porto >3c darstelle? 2. Wieviele Arte gibt es, eie Brief mit Porto Z mit 5c-, 3c- ud 2c- Briefmarke zu beklebe? Berechug des multiplikative Iverse zu a modulo m, das beim RSA- Algorithmus gebraucht wird: Welches x Z erfüllt ax = 1 (mod m)? Die Atwort ka auch so formuliert werde: x ist geau da das multiplikative Iverse zu a modulo m, we ei y Z existiert, so dass ax = 1 my ax + my = 1 (Die Zahl ax ist ei Vielfaches vo m vo der Zahl 1 etfert) (lieare diophatische Gleichug mit b=m ud d=1) 2.2. Wie löst ma diophatische Gleichuge? Wir betrachte im Folgede ur lieare diophatische Gleichuge, die für die Awedug die größte Rolle spiele. Satz S2-1: Lösbarkeit eier diophatische Gleichug (Existez) Eie lieare diophatische Gleichug ax +by = c für a,b Z besitzt geau da gazzahlige Lösuge x,y Z, we c = ggt(a,b) W. Koe DiskreteMathe-ext.doc Seite 19/33

3 we also c ei gazzahliges Vielfaches des größte gemeisame Teilers vo a ud b ist. Beweis: Wir köe de Beweis i drei Fälle zerlege: Fall 1: c ist kei Vielfaches vo ggt(a,b): Es ka keie Lösug gebe, de die like Seite ist wg. a = a ggt(a,b) ud b = b ggt(a,b) bei gazzahligem x ud y sicher ei Vielfaches vo ggt(a,b). Fall 2: c = ggt(a,b): Der Algorithmus ErweiterterEuklid (Satz S1-8) liefert zumidest eie gazzahlige Lösug (x,y). Fall 3: c ist Vielfaches vo ggt(a,b): We c = kggt(a,b), da köe wir für ax+by = ggt(a,b) mit Algo Erweiterter Euklid eie Lösug (x,y ) ermittel. Multipliziere mit k liefert akx + bky = kggt(a,b) = c also ist (x,y) = (kx, ky ) eie Lösug der lieare diophatische Gleichug, q.e.d. Folgerug: We a ud b teilerfremd sid (gilt sicher für Primzahle a,b, aber auch für Zahle a=6, b=7), da ist ggt(a,b)=1, mithi ist die li. diophatische Gleichug für alle c Z lösbar. Für de Fall 2 köe wir eie Lösug mittels Satz S1-8 ermittel. Alterativ gebe wir hier och eie adere, logisch äquivalete, aber ichtrekursive Variate des Algorithmus Erweiterter Euklid a: Sei o.b.d.a. a b. Started mit Zahle r 0 =a ud r 1 =b fide wir die Zahle q k+1 ud r k+2 derart, dass r k = q k+1 r k+1 + r k+2 gilt. r k+2 ist also ichts aderes als der Rest r k mod r k+1 ud q k+1 = floor(r k /r k+1 ). Der Algorithmus termiiert, we r k+2 =0 ist. Das r k+1 ist da der ggt(a,b). Mit dem jeweilige q k+1 köe wir eie Berechug für x k ud y k fortsetze. Die kokrete Gleichuge stehe i der utestehede Tabelle, wir zeige es gleich a eiem kokrete Beispiel 5x + 3y = 1 r 0 = a r 1 = b x 0 =1 y 0 =0 r 0 = 5 r 1 = 3 x 1 =0 y 1 =1 W. Koe DiskreteMathe-ext.doc Seite 20/33

4 k r k = q k+1 r k+1 + r k+2 r k+1 q k+1 x k+2 =x k q k+1 x k+1 y k+2 =y k q k+1 y k = = = Hier gig i der Zeile k=2 die Divisio r k erstmalig ohe Rest auf. I der Zeile davor hier also bei k=1 köe wir i der x- ud y-spalte die Lösug (x,y) = (-1,2) ablese: 5(-1) + 32 = 1 ist eie zutreffede Aussage. Satz S2-2: Alle Lösuge eier diophatische Gleichug (Vollstädigkeit) Sei (x,y) eie spezielle Lösug der lieare diophatische Gleichug ( ) ax +by = ggt(a,b) für a,b Z, die ach Satz S2-1 existiert ud mit dem Algorithmus Erweiterter Euklid (Satz S1-8) ermittelt werde ka. Da habe alle weitere gazzahlige Lösuge ( x~, ~ y ) vo ( ) die Form kb x~ x, y~ y ggt(a,b) wori k Z eie beliebige gaze Zahl ist. ka ggt(a,b) Beweis i Vorlesug. Wir habe u alles beisamme, um usere Aufgabe Produktiosplaug aus der Eileitug zu löse: Gegebe: ax+by = c = ggt(a,b) Welche ichtegative, gazzahlige Paare (x,y) löse diese Gleichug? Lösugsweg: 1. Mit Algorithmus Erweiterter Euklid bestimmt ma spezielle Lösug (x s,y s ) zu ax+by = ggt(a,b) W. Koe DiskreteMathe-ext.doc Seite 21/33

5 2. We c = ggt(a,b), d.h. die rechte Seite ist ei Vielfaches vo ggt(a,b), da ist (x,y) = (x s, y s ) eie spezielle Lösug zu ax+by=c 3. Jede weitere Lösug ( x~, ~ y ) zu ax+by=c erfüllt ach Satz S2-2 kb ka x~ x, y~ y mit k Z ggt(a,b) ggt(a,b) Ma versucht da, solche k zu fide, die ( x~, ~ y ) icht egativ werde lasse (zwei eifache Ugleichuge). Beispiel: Welches ichtegative, gazzahlige Paar (x,y) erfüllt 75x 38y 10000? Lösug: Zuächst stelle wir fest, ob ei Vielfaches vo ggt(75,38)=ggt(355,219) ist. Da beide Zahle teilerfremd sid, also ggt(75,38)=1, ist dies gegebe. 1. Mit Algorithmus Erweiterter Euklid löst ma 75x + 38y = 1: r 0 = 75 r 1 = 38 x 0 =1 y 0 =0 x 1 =0 y 1 =1 k r k = q k+1 r k+1 + r k+2 r k+1 q k+1 x k+2 =x k q k+1 x k+1 y k+2 =y k q k+1 y k = = = ud ma rechet ach: 75(-1) = 1 also stimmt die Probe, (x s,y s )=(-1,2) ist eie Lösug der ggt-gleichug. 2. Da ist (x,y) = ( , ) eie spezielle Lösug der Produktiosgleichug. 3. Für ichtegative Lösuge stellt Satz S2-2 zwei Forderuge a k Z auf: k 38 k 75 x~ , y~ k , k W. Koe DiskreteMathe-ext.doc Seite 22/33

6 4. Es komme also die gaze Zahle k = 264, 265, 266 i Betracht. Dies führt auf die Lösuge: x~,y ~ (32,200) ud x~,y ~ (70,125) ud x~,y ~ (108,50) Ü Übug: Gibt es ichtegative gaze Zahle, die die Gleichug 5x+3y=17 löse? Auch we ma hier eie Lösug schell durch Probiere fide ka, löse Sie die diophatische Gleichug ach dem obe beschriebee Verfahre. Weitere Übuge W. Koe DiskreteMathe-ext.doc Seite 23/33

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